湖北省武汉外国语学校2013—2014学年度高一上学期期末考试数学试题

武汉外国语学校2013—2014学年度上学期期末考试高一数学试卷（评分标准）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若角α的终边经过点(1,2)P -，则tan α的值为（ A ）A. 2-B. 2C. 12-D. 122. （592P A -）设a >0，将322aa a ⋅表示成分数指数幂，其结果是（ D ）A. 21a B. 23a C. 65a D. 67a 3. （293P A -）若76πα=，则计算21sin(2)sin()2cos ()αππαα+-⋅+--所得的结果为（ A ）A. 34-B. 14-C. 0D. 54 4. 函数f (x ) = x 2+ ln x -4的零点所在的区间是（ B ）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)5. （119(3)1P B -）已知OA a =，OB b =，OC c =，OD d =，且四边形ABCD 为平行四边形，则（ B ）A.0a b c d +++=B. 0a b c d -+-=C. 0a b c d +--=D.0a b c d --+=6. （751P B -）若3log 41x =，则44xx-+=（ D ）A. 1B. 2C. 83D. 1037.（原创）已知函数π()cos()(00)2f x A x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象如图所示，则()4f π=（ B ）A. 0B. 1-C. 3-D. 2-8. （119(6)1P B -）若向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,1,3a b c ===，则a b c ++等于（ C ）C. 2或5D. 59()lgf x = C ）A ．关于轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y =x 对称10. 对于任意不全为0的实数b a ,，关于x 的方程0)(232=+-+b a bx ax 在区间()1,0内（ C ）A ．无实根B ．恰有一实根C ．至少有一实根D ．至多有一实根二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.（449P A -）已知函数2()48f x x kx =--在区间[]5,10上具有单调性，则实数k 的取值范围是(][),4080,-∞+∞。

12.（10811P A-）已知()4,2a =，则与a 垂直的单位向量的坐标是5,5555⎛⎛-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

13.（698P A -）若tan 3α=，则()2sin cos αα+的值为85。

14.（251P B -）函数()r f p =的图象如图所示，其右侧部分向直线6x =无限接近，但永不相交。

（1）函数()r f p =的定义域为[][)5,02,6-，值域为[)0,+∞；（2）当r ∈[)()0,25,+∞时，只有唯一的p 值与之对应。

（错一空扣．．．．2．分，．．扣完为止．．．．）15.（2013湖南卷）设函数()xxxf x a b c =+-，其中0,0c a c b >>>>． （1）记集合(){,,|,,M a b c a b c =不能．．构成一个三角形的三边长，且}a b =，则(),,a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为(]0,1；（2）若,,a b c 是ABC ∆的三边长，则下列结论正确的是 ①②③ （写出所．．．有．正确结论的序号．．．．．．．）． ①对于区间(),1-∞内的任意x ，总有()0f x >成立；②存在实数x ，使得,,xxxa b c 不能同时成为任意一个三角形的三条边长； ③若0CA CB ⋅<，则存在实数(1,2)x ∈，使()0f x =．（提示．． ：AB CB CA =-） （第．（．1．）．空．2．分．，．第．（．2．）．空．3．分．） 三、解答题：本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（原创）设全集R U =，集合{,2A x x αα==为第二象限角}，集合{,B x x παα==-为第四象限角}．（1）分别用区间表示．．．．．集合A 与集合B ； （2）分别求A B 和()U A B ð． 解：（1）,()42A k k k Z ππππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭，32,2()2B k k k Z ππππ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭；………（6分） （2）32,22,2()422AB k k k k k Z ππππππππ⎛⎫⎛⎫=++++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()32,2()4U A B k k k Z ππππ⎛⎤=++∈ ⎥⎝⎦ð．………………………………………（12分）17．（833P B -）对于函数2()21x f x a =-+（a R ∈）． （1）探索并证明函数()f x 的单调性； （2）是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？若有，求出实数a 的值，并证明你的结论；若没有，说明理由． 解：（1）在(),-∞+∞上单调递增（用定义证明）；………………………………………（6分）（2）先由(0)0f =求得1a =，再证明()()f x f x -=-恒成立．…………………（12分）18. （原创）已知平面直角坐标系内三点A 、B 、C 在一条直线上，(2,)OA m =-，(,1)OB n =，(5,1)OC =-，且OA OB ⊥，其中O 为坐标原点．（1）求实数m ，n 的值；（2）设O A C ∆的重心为G ，若存在实数λ，使O B O G λ=，试求AOC ∠的大小．解：（1）由于A 、B 、C 三点在一条直线上，则AC ∥AB ，而(7,1)AC OC OA m =-=--，(2,1)AB OB OA n m =-=+-∴7(1)(1)(2)0m m n ----+=，又OA OB ⊥ ∴20n m -+=，联立方程组解得63m n =⎧⎨=⎩或332m n =⎧⎪⎨=⎪⎩．………（6分） （2）若存在实数λ，使OB OG λ=，则B 为AC 的中点，故33,2m n ==． ∴(2,3)OA =-，(5,1)OC =-∴cos 213OA OC AOC OA OC⋅∠===-⋅，∴34AOC π∠=………………（12分） 19. 已知函数1()sin(),23f x x x R π=+∈。

（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在区间[]0,π上的最大值及最小值；（3）将函数1sin()23y x π=+的图象作怎样的变换可得到sin y x =的图象？解：（1）令123z x π=+，则sin y z = sin y z =的单调递减区间为)](232,22[Z k k k ∈++ππππ 由1322,()2232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得：Z k k x k ∈+≤≤+,37434ππππ又123z x π=+在(,)-∞+∞上为增函数，故原函数的单调递减区间为：)](374,34[Z k k k ∈++ππππ……………………………………………………（4分） （2）令123z x π=+，则sin y z =，5,36z ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当2z π=，即3x π=时，()f x 有最大值()13f π=，当56z π=，即x π=时，()f x 有最小值1()2f π=；……………………………（8分） （3）法一：将1sin()23y x π=+的图象的横坐标变为原来的12，再向右平移3π个单位。

（12分）法二：将1sin()23y x π=+的图象向右平移23π个单位，再将横坐标变为原来的12。

（12分）20.（836P B -）某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量(/)P mg L 与时间(t 小时)间的关系为0kt P Pe -=．如果在前5个小时消除了10%的污染物，试求：（1）10个小时后还剩百分之几的污染物？（2）污染物减少50%所需要的时间．（参考数据：ln 20.7,ln3 1.1,ln5 1.6===）解：（1）由0ktP Pe -=可知，当0t =时，0P P =；当5t =时，0(110%)P P =-．于是有500(110%)k P Pe --=，解得1ln 0.95k =-，那么1ln0.950t P P e ⎛⎫⎪⎝⎭= 所以，当10t =时，1ln0.910ln0.8150081%P Pe Pe P ⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭=== ∴10个小时后还剩81%的污染物……………………………………………………（7分）（2）当050%P P =时，有1ln0.950050%t P Pe ⎛⎫⎪⎝⎭=解得15ll n2519ln 9ln10ln 2ln 52ln 3ln 0.9ln 510t -===⋅=⋅=-+-…………（13分）∴污染物减少50%所需要的时间为35个小时．21．已知函数kx x x x f ++-=221)(．（1）若对于区间()0,+∞内的任意x ，总有()0f x ≥成立，求实数k 的取值范围；（2）若函数()f x 在区间()2,0内有两个不同的零点21,x x ，求：①实数k 的取值范围； ②2111x x +的取值范围． 解：（1）()22221()010,0,x x f x x x kx k x x-+≥⇒-++≥⇒≥-∈+∞，记(]()221,0,11()12,1,x x x x g x x x x x ⎧-∈⎪-+⎪=-=⎨⎪-+∈+∞⎪⎩，易知()g x 在上(]0,1递增，在()1,+∞上递减， ∴()max ()11g x g ==-，∴1k ≥-即可 …………………………………………（5分）（2）①ⅰ）10≤<x 时，方程0)(=x f 化为01=+kx ，0=k 时，无解；0≠k 时，kx 1-=； ⅱ）21<<x 时，方程0)(=x f 化为0122=-+kx x ，482+±-=k k x ，而其中04482≤--<+--kk k k ，故0)(=x f 在区间()2,1内至多有一解482++-=k k x ；综合ⅰ）ⅱ）可知，0≠k ，且10≤<x 时，方程0)(=x f 有一解kx 1-=，故1-≤k ；21<<x 时，方程0)(=x f 也仅有一解482++-=k k x ，令24812<++-<k k ，得127-<<-k ，所以实数k 的取值范围是127-<<-k ； ……………………………………………（10分） ②方程0)(=x f 的两解分别为k x 11-=，4822++-=k k x ，2884112221+++-=++-+-=+k k k k k k xx =()222,4x =∈……（14分）四、选做题：本大题10分. 建议有．．．理科倾向的同学选．．．．．．．．做．. 22. （原创）已知函数()()sin f x x x R =∈与()()cos g x x x R =∈．（1）对于函数()(2)()F x f x g x =⋅，有下列结论：①()F x 是奇函数；②()F x 是周期函数，最小正周期为π；③()y F x =的图象关于点(),0π对称；④()y F x =的图象关于直线2x π=对称．其中正确结论的序号是__________；（直接写出所．．．．．有正确结论的序号．．．．．．．．） （2）对于函数()()(2)G x f x g x =⋅，求满足()0G x >的x 的取值范围； （3）设函数()F x 的值域为A ，函数()G x 的值域为B ，试判断集合,A B 之间的关系．解：（1）①③④；…………………………………………………………………………………（3分）（2）sin 0()0cos 20x G x x >⎧>⇔⎨>⎩或sin 0cos 20x x <⎧⎨<⎩⇔3572,22,22,24444x k k k k k k πππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；…………（6分）（3）()sin 2cos sin 2cos 1F x x x x x =⋅=⋅≤，当且仅当cos 1sin 21x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取得等号，但是当cos 1x =时，()x k k Z π=∈，此时sin 2sin 20x k π==，所以()1F x ≠，故()1F x <，即[]1,1A ⊂-≠；()sin cos2sin cos21G x x x x x =⋅=⋅≤，当且仅当cos 21sin 1x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩时取得等号，此时()2x k k Z ππ=+∈，所以()1G x ≤，即[]1,1B =-；由此可知，A B ⊂≠．…………………………………………………………………（10分）。