苏科2011课标版初中数学九年级上册第一章一元二次方程1.1一元二次方程教案

“一元二次方程（第1课时）”教学设计及反思

1 教学内容与学情

本节课的教学内容是苏科版《义务教育教科书·数学》九年级上册第一章第1节“一元二次方程（第1课时）”．

在七、八年级先后学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式（组）和分式方程，学生对“元”、“次”、“方程”、“解（根）”、“解方程”等概念已比较清晰，并且知道方程是刻画现实生活中数量关系的有效模型；一元二次方程是揭示现实世界数量关系的又一个重要的数学模型，它既是方程本身内容进一步丰实的需要，也是后续学习二次函数以及高中数学的基础．

2 教学目标

（1）了解一元二次方程的概念，理解一元二次方程的解和解一元二次方程的意义；

（2）能根据已知的一元二次方程编写相应的生活情境，也能根据实际问题中的数量关系列方程，从中感受一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个有效的数学模型；

（3）经历一元二次方程概念的生成与逻辑建构过程，体会由特殊到一般、分类和化归等数学思想方法，感受概念学习的基本方式，逐步形成数学经验体系．

3 教学重点、难点

重点：了解一元二次方程的概念，感受一元二次方程是揭示现实世界数量关系的一个重要的数学模型；

难点：经历具体现实原型与抽象数学模型之间的数学化过程，用一元二次方程描述简单问题中数量之间的相等关系．

4 教学过程设计

4．1 概念形成（是什么？）

概念形成一般经历4个阶段：“感知认识阶段”、“分化本质属性阶段”、“概括形成定义阶段”和“应用与强化阶段”．

4．1．1 感知认识

本节课我们开始学习“一元二次方程”，你能写出1个一元二次方程吗？你能再写出类型不同的一元二次方程吗？

【有效性分析】学生对“元”、“次”、“方程”的概念已比较清晰，类比地写出几个一元二次方程，让学生形成直观感受；概念抽象需要典型实例，通过“类型不同”引发学生深度参与，逐步向数学对象的本质属性逼近.

4．1．2 分化本质

下列方程是不是一元二次方程？为什么？

①y 2

=－3；

② x 2+1x +2=0；

③ x（x－1）=x2；

④ax2+3x+1=0.

【有效性分析】利用正例和反例变换非本质属性特征，抽象共性特征，概括本质特征．“大众化”的方程没有争议，以无实根型、分式方程、化简后不含x2型以及二次项系数不确定型等有“个性”的方程引发认知冲突，从而促成一种共同的认知欲望：必须明确“一元二次方程”的定义，这既是一个思维实质性参与过程，又是一个孕育概念生长点的过程．

4．1．3 概括定义

问题1：你认为什么叫做一元二次方程？

⑴文字定义：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．

⑵符号定义：形如ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）的方程叫做一元二次方程．

我们把ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，a≠0）叫做一元二次方程的一般形式，其中ax2叫做二次项、bx叫做一次项、c叫做常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数．思考：①如何理解“未知数的最高次数是2”这个条件？②在一般形式中，如果b=0或c=0，那么一元二次方程具有怎样的形式？

【有效性分析】有以前学习方程的经验和认识基础，学生具备由具体思维向形式化思维转变、归纳一元二次方程定义的能力．数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中，思考的两个问题是等价的，凸出了概念的内涵和外延，一方面认识到一元二次方程形式的多样性，另一方面也加深了对概念本质的理解．

4．1．4 应用强化

例1已知关于x的方程（m2－4）x2+（m＋2）x－m+2=0．

⑴当m______时，该方程为一元二次方程；

⑵若该方程为一元一次方程，则m=______．

【有效性分析】引导学生养成从基本概念出发思考问题、解决问题的习惯，突出一元二次方程基本概念所蕴含的思想方法，在感受数学分类的必要性的同时，训练思维的缜密性．4．2 建构活动（学什么？）

问题2（先留空）：

你认为，这个问题应该是什么？或者说，此刻我们应该提出什么问题？

【有效性分析】学生主动提出问题也是需要引导的．这个留空问题的出现，激发学生思考，我们已经知道了一元二次方程的定义（从哪里来），接下来当然应该研究一元二次方程的其它内容（到哪里去），这是认知的自然趋势；学生应该有这种自主建构学习内容体系的学习倾向和主动提出问题的意识，这种把主动权还给学生的做法有益于促进学习方式的改变．

通过回忆与重构，“我们应该如何学习一元二次方程？”或者“接下来我们应该学习一元二次方程的哪些内容？”这类问题呼之欲出，“⒈定义；2.解；3.解方程；4.列方程解决问题.”的认知框架水到渠成．

为了强化主动提出问题的意识，积累提出问题的经验，教师可以追问：“你是怎么想到这样提出问题的？”“提这样的问题合理吗？”．

4．3 数学探索（怎么学？）

4．3．1自主探索

结合我们自己写出来的方程，同学们先独立思考：刚才我们所提出的几个问题中，哪些你能解决？哪些你可以尝试解决？

【有效性分析】一元二次方程的形式多样、系数复杂，导致解方程的方法多样性与复杂性共存，这些需要学生自主认识与感受；这里不在于是否解决了问题，而在于思维的层次与实质——发现了悬而未决的问题，这既是突出核心概念的过程，也是突破难点的过程．4．3．2合作交流

⑴一元二次方程的解的意义

各组代表陈述（可以结合已写出的方程，也可以重新写），突出下列几个问题：

①什么叫“一元二次方程的解”？

②如何验证一个值是否为一元二次方程的解？你发现一元二次方程的解与我们以前学过的方程的解有何异同？

⑵解一元二次方程的感受

如何确定（或找到）一元二次方程解？学生对照自己写出的方程说明．例如对9x2=4型的可以通过开平方，对（x－1）（x+2）=0或x2－5x=0型的可以通过因式分解，而x2=－5型的没有实数根；当然，像2x2－5x=1等型的方程目前尚难解决，这正是我们本章要学习的内容，后面将有非常巧妙的解法等待着我们！

反过来，如果已知解，你能编写出一元二次方程吗？能编出不同的一元二次方程吗？

①你能写出一个以1和－2为根的一元二次方程吗？

许多学生会写出（x－1）（x+2）=0型的方程，老师可以用“你是怎么想到这样编写的？”初步形成编写的经验．

②你能写出一个只以3为根的一元二次方程吗？

③你能写出一个没有实数根的一元二次方程吗？

④你能写出一个有3个实数根的一元二次方程吗？

【有效性分析】学生经历编写过程（逆向思维），或许可以打开解方程（找方程的解）的渠道，让数学活动由方程的“解”向“解方程”自然过渡；在尝试解方程的过程中感受化归求简的思想方法．

⑶列一元二次方程解决问题的尝试

在我们所写的一元二次方程中选择1个你喜欢的方程，举1个相应的生活问题，使得该方程可以描述其中数量之间的相等关系（能解决其中的问题）．

学生可能会选择下列方程编写生活问题：

①（x－1）2=2，利用正方形面积来编；已知一个正方形的边长减小1，得到的新正方形