数学练习卷： 《二次函数》(含答案)

数学九年级（下）单元练习卷：
《二次函数》
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题
1．已知二次函数y＝﹣x2+3mx﹣3n图象与x轴没有交点，则（）
A．2m+n＞B．2m+n＜C．2m﹣n＜D．2m﹣n＞2．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）
A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2 3．若抛物线y＝x2+bx+c与x轴只有一个公共点，且过点A（m，n），B（m﹣8，n），则n的值为（）
A．8 B．12 C．15 D．16
4．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如表
x﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2
y﹣7 0 5 8 9 8
利用该二次函数的图象判断，当函数值y＞0时，x的取值范围是（）
A．0＜x＜8 B．x＜0或x＞8 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4 5．抛物线y＝x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（）A．y＝（x﹣1）2﹣2 B．y＝（x+1）2﹣2 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2 6．函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．有两个异号的实数根
7．已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣4，m），（﹣3，n），若x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且﹣4＜x1＜﹣3，x2＞0，则下列结论一定正确的是（）A．m+n＞0 B．m﹣n＜0 C．m•n＜0 D．＞0
8．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．
C．D．
9．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
y…﹣4 0 2 2 0 ﹣4 …
下列结论：
①抛物线开口向下；
②当x＞1时，y随x的增大而减小；
③抛物线的对称轴是直线x＝；
④函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为2．
其中所有正确的结论为（）
A．①②③B．①③C．①③④D．①②③④10．向空中发射一枚炮弹，第x秒时的高度为y米，且高度与时间的关系为y＝ax2+bx+c （a≠0），若此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）
A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒11．如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，且对称轴在（﹣1，0）的左边，下列结论一定正确的是（）
A．abc＞0 B．2a﹣b＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a﹣b+c＞﹣1 12．抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③9a﹣3b+c＝0；④若m＞n ＞0，则x＝m﹣1时的函数值小于x＝n﹣1时的函数值．其中正确结论的序号是（）
A．①③B．②④C．②③D．③④
第Ⅱ卷（非选择题）
二．填空题
13．已知二次函数的图象开口向上，则m的值为．
14．若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的两个点，则此抛物线的对称轴是直线．
15．函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则该函数的最小值是．
16．扫地机器人能够自主移动并作出反应，是因为它发射红外信号反射回接收器，机器人在打扫房间时，若碰到障碍物则发起警报．若某一房间内A、B两点之间有障碍物，现将A、B两点放置于平面直角坐标系xOy中（如图），已知点A，B的坐标分别为（0，4），（6，4），机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．若机器人在运动过程中只触发一次报警，则a的取值范围是．
17．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写
出正确说法的序号）．
三．解答题
18．已知抛物线的解析式是y＝x2﹣（k+2）x+2k﹣2．
（1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）若抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，求该二次函数的顶点坐标．
19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A 向右平移2个单位长度，得到点b．直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C，D．（1）求抛物线的对称轴；
（2）若点A与点D关于x轴对称，
①求点B的坐标；
②若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．
20．如图，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴相交于点C，连接AC，BC，以线段BC为直径作⊙M，过点C作直线CE∥AB，与抛物线和⊙M分别交于点D，E，点P在BC下方的抛物线上运动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当△PDE是以DE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）当四边形ACPB的面积最大时，求点P的坐标并求出最大值．
21．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点为A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），顶点为D，其对称轴与x轴交于点E．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点P为第三象限内抛物线上一点，△APC的面积记为S，求S的最大值及此时点P 的坐标．
22．下面给出六个函数解析式：
y＝x2，y＝x2+1，y＝﹣x2﹣|x|，y＝2x2﹣3|x|﹣1，y＝﹣x2+2|x|+1，y＝﹣3x2﹣|x|﹣4．
小明根据学习二次函数的经验，分析了上面这些函数解析式的特点，研究了它们的图象和性质．下面是小明的分析和研究过程，请补充完整：
（1）观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，可以表示为形如：y＝，其中x为自变量；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数y＝﹣x2+2|x|+1的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整；
（3）对于上面这些函数，下列四个结论：
①函数图象关于y轴对称
②有些函数既有最大值，同时也有最小值
③存在某个函数，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个
所有正确结论的序号是；
（4）结合函数图象，解决问题：
若关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，则该方程其它的实数根为．
参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y＝﹣x2+3mx﹣3n图象与x轴没有交点，
∴△＜0，即（3m）2﹣4×（﹣1）×（﹣3n）＜0，
9m2﹣12n＜0，
3m2＜4n，
∵抛物线开口向下，与x轴没有交点，
∴﹣3n≤0，
∴n≥0，
当x＝2时，y＜0，
即﹣4+6m﹣3n＜0
解得2m﹣n＜
故选：C．
2．解：∵抛物线抛物线y＝a2（x+1）2+k（a，k为常数，且a≠0）的开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（﹣2，y1）离直线x＝﹣1的距离最近，C（2，y3）点离直线x＝﹣1最远，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
3．解：由题意b2﹣4c＝0，
∴b2＝4c，
又∵抛物线过点A（m，n），B（m﹣8，n），
∴A、B关于直线x＝﹣对称，
∴A（﹣+4，n），B（﹣﹣4，n），
把点A坐标代入y＝x2+bx+c，
n＝（﹣+4）2+b（﹣+4）+c＝﹣b2+16+c，
∵b2＝4c，
∴n＝16．
故选：D．
4．解：由表中的数据知，抛物线顶点坐标是（1，9），当x＜1时，y的值随x的增大而增大，当x＞1时，y的值随x的增大而减小，则该抛物线开口方向向上，
所以根据抛物线的对称性质知，点（﹣2，0）关于直线直线x＝1对称的点的坐标是（4，0）．
所以，当函数值y＞0时，x的取值范围是﹣2＜x＜4．
故选：C．
5．解：抛物线y＝x2向右平移1个单位，得：y＝（x﹣1）2；
再向下平移2个单位，得：y＝（x﹣1）2﹣2．
故选：A．
6．解：由函数图象可知，
函数y＝ax2+bx+c的最大值是4，
即4＝ax2+bx+c对应的x的值只有一个，
即一元二次方程ax2+bx+c﹣4＝0有两个相等的实数根，
故选：A．
7．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣4，m），（﹣3，n），x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，且﹣4＜x1＜﹣3，x2＞0，
∴m＞0，n＜0或m＜0，n＞0，
∴当m＞0，n＜0时，m+n的正负不好确定，m﹣n＞0，mn＜0，＜0，
当m＜0，n＞0时，m+n的正负不好确定，m﹣n＜0，mn＜0，＜0，
由上可得，一定正确的结论是mn＜0，
故选：C．
8．【解答】解：A、一次函数y＝ax+c与y轴交点应为（0，c），二次函数y＝ax2+bx+c
与y轴交点也应为（0，c），图象不符合，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，a的取值矛盾，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，且抛物线与直线与y轴的交点相同，
故本选项正确．
故选：D．
9．解：由表格可知，
解得
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2，
∵a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，①正确；
抛物线的对称轴是直线x＝＝，故②③正确，
抛物线的顶点坐标是（，），故④错误，
故选：A．
10．解：∵此炮弹在第6秒与第17秒时的高度相等，
∴抛物线的对称轴是：x＝＝11.5，
∴炮弹所在高度最高时：
时间是第12秒．
故选：C．
11．解：A、如图所示，抛物线经过原点，则c＝0，所以abc＝0，故不符合题意；
B、如图所示，对称轴在直线x＝﹣1的左边，则﹣＜﹣1，又a＞0，所以2a﹣b＜0，
故符合题意；
C、如图所示，图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知b2﹣4ac＞0，故不符合题
意；
D、如图所示，当x＝﹣1时y＜0，即a﹣b+c＜0，但无法判定a﹣b+c与﹣1的大小，
故不符合题意．
故选：B．
12．解：①观察图象可知：
a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，
所以①错误；
②∵对称轴为直线x＝﹣1，
即﹣＝﹣1，解得b＝2a，即2a﹣b＝0，
所以②错误；
③∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），且对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
当a＝﹣3时，y＝0，即9a﹣3b+c＝0，
所以③正确；
根据选择题的筛选法，只有D正确．
故选：D．
二．填空题（共5小题）
13．解：∵二次函数的图象开口向上，
∴，
解得，m＝2，
故答案为：2．
14．解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．
故答案为：x＝3．
15．解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为（1，﹣1），
∵此抛物线开口向上，
∴此函数有最小值，最小值为﹣1；
故答案为：﹣1．
16．解：由题意可知：
∵点A、B坐标分别为（0，4），（6，4），∴线段AB的解析式为y＝4．
机器人沿抛物线y＝ax2﹣4ax﹣5a运动．抛物线对称轴方程为：x＝2，
机器人在运动过程中只触发一次报警，
所以抛物线与线段y＝4只有一个交点．所以抛物线经过点A下方．
∴﹣5a＜4
解得a＞﹣．
4＝ax2﹣4ax﹣5a，
△＝0
即36a2+16a＝0，
解得a1＝0（不符合题意，舍去），a2＝．当抛物线恰好经过点B时，
即当x＝6，y＝4时，
36a﹣24a﹣5a＝4，
解得a＝
综上：a的取值范围是﹣＜a＜17．解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，
∴x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵﹣＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故②正确；
∵当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故③错误；
∵a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，
∵b＞0，
∴a+c＞0，故④正确．
综上所述，正确结论是②④2；
故答案为②④．
三．解答题
18．解：（1）∵△＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×（2k﹣2）
＝k2﹣4k+12
＝（k﹣2）2+8＞0，
∴此抛物线与x轴必有两个不同的交点；
（2）∵抛物线与直线y＝x+k2﹣1的一个交点在y轴上，∴2k﹣2＝k2﹣1，
解得k＝1，
则抛物线解析式为y＝x2﹣3x＝（x﹣）2﹣，
所以该二次函数的顶点坐标为（，﹣）．19．解：（1）∵y＝ax2﹣4ax+c＝a（x﹣2）2﹣4a+c，∴抛物线的对称轴是直线x＝2；
（2）①∵直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点C、D，
∴点C的坐标为（5，0），点D的坐标为（0，﹣3）．
∵抛物线与y轴的交点A与点D关于x轴对称，
∴点A的坐标为（0，3）．
∵将点A向右平移2个单位长度，得到点B，
∴点B的坐标为（2，3）．
②抛物线顶点为P（2，3﹣4a）．
（ⅰ）当a＞0时，如图1．
令x＝5，得y＝25a﹣20a+3＝5a+3＞0，
即点C（5，0）总在抛物线上的点E（5，5a+3）的下方．
∵y P＜y B，
∴点B（2，3）总在抛物线顶点P的上方，
结合函数图象，可知当a＞0时，抛物线与线段CB恰有一个公共点．
（ⅱ）当a＜0时，如图2．
当抛物线过点C（5，0）时，
25a﹣20a+3＝0，解得a＝﹣．
结合函数图象，可得a≤﹣．
综上所述，a的取值范围是：a≤﹣或a＞0．
20．解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣4）＝a（x2﹣2x﹣8），
即﹣2a＝﹣，解得：a＝，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3；
（2）点C（0，﹣3），函数对称轴为：x＝1，则点D（2，﹣3），
点E（4，﹣3），则DE的中垂线为：x＝（2+4）＝3，
当x＝3时，y＝x2﹣x﹣3＝﹣，
故点P（3，﹣）；
（3）由点B、C的坐标可得，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，
故点P作y轴的平行线交BC于点H，
设点P（x，x2﹣x﹣3），则点H（x，x﹣3）；
四边形ACPB的面积＝S△ABC+S△BCP＝3×6+HP×OB＝9+×3×（x﹣3﹣x2+x+3）＝﹣x2+3x+9，
∵﹣＜0，故四边形ACPB的面积有最大值为，此时，点P（2，﹣3）．21．解：（1）∵二次函数过A（﹣3，0），B（1，0）两点，
∴设二次函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），
∵二次函数过C点（0，﹣3），
∴﹣3＝a（0+3）（0﹣1），
解得，a＝1，
∴y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3
即二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3；
（2）设直线AC解析式为：y＝kx+b，
∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴，
解得，，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，
过点P作x轴的垂线交AC于点G，设点P的坐标为（x，x2+2x﹣3），
则G（x，﹣x﹣3），
∵点P在第三象限，
∴PG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，
∴＝＝＝，∴当时，，点P（﹣，﹣）．，
即S的最大值是，此时点P的坐标是（﹣，﹣）．
22．解：（1）①观察上面这些函数解析式，它们都具有共同的特点，
可以表示为形如：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）
故答案为：y＝ax2+b|x|+c，（a，b，c是常数，a≠0）．
（2）图象如图1所示．
（3）观察图象可知：
①函数图象关于y轴对称，正确；
②有些函数既有最大值，同时也有最小值，不正确；
③存在某个函数，y＝x2，当x＞m（m为正数）时，y随x的增大而增大，当x＜﹣m时，y随x的增大而减小，正确；
④函数图象与x轴公共点的个数只可能是0个或2个或4个，错误．
故答案为①③．
（4）
观察图2可知，关于x的方程﹣x2+2|x|+1＝﹣x+k有一个实数根为3，
则该方程其它的实数根为﹣1，0．
故答案为﹣1，0．。