考研数学讲义
考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义02
一元函数积分学 考纲要求：（1）理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念（2）掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定 理，掌握换元积分法与分部积分法（3）会求有理函数 三角函数有理式和简单的无理函数的积分（数一数二要求 数三参考）（4）理解积分上限函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式 （5）了解反函数的概念，会计算反常积分（6）掌握用定积分表达和计算一些几何量和物理量（平面图形的面积，平面曲 线的弧长， 旋转体的体积及侧面积，平行截面面积为已知的立体体积，功， 引力，压力，质心，形心等）及函数的平均值（数一，数二），会利用定积 分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值。
会利用定积分求 解简单的经济应用问题。
（数三）知识结构框架：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧反常积分变限积分定积分原函数与不定积分概念⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧华里士公式周期性化简计算几何意义计算；分部积分积分表：凑；第二换元定积分的计算简单无理式积分数有理式积分有理函数积分；三角函部积分法第二类换元积分法；分基本积分表：凑微分法不定积分的计算计算⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧经济应用（数三）物理应用（数一数二）二）弧长，侧面积（数一数体体积平面图形的面积和旋转几何应用应用一元函数积分学的概念1.原函数：如果在区间I 上，可导函数函数为的)(导x F ()x f ，即I x ∈∀，都有)()(x f x F ='成立，则称)(x F 是)(x f 在区间I 上的一个 原函数.注：原函数必须指明是函数在哪个区间上的原函数。
定理：若()()()必有无穷多个原函数则上有一个原函数x f x F x f ,在区间 定理：()()的全体原函数函数族包括了x f C x F +对任意常数C，形如 2.不定积分：函数)(x f 在区间I 上的所有原函数称为)(x f 的不定积分，记为⎰dx x f )(，即C x F dx x f +=⎰)()(.例1：设函数()x f 在()∞+∞，-上连续，则()=⎰dx x f d ()()x f A :()dx x f B ）（ ()()C x f C + ()()dx x f D '答案：B例2：若()()有一个原函数是（）则的导函数是x f x x f ,sec 2 ()x A cos ln 1- ()x B sin ln 1- ()x C sin 1+ ()x D cos 1-答案：A2：定积分定义：设函数()x f 在区间[]b a ,上有界，将[]b a ,任意分成n 个子区间[]i i x x ,1-， 分点为11210,---=∆=<<<=i i i n n x x x b x x x x x a 为该小区间的长度， 在每个小区间[]i i x x ,1-上任意取一点i ξ，对()()()i ni i i i x f n i x f ∆=∆∑=13,2,1ξξ求和 ，记{}i ni x ∆=≤≤1max λ，若对[]b a ,的 任意分法，()i ni i x f ∆∑=→1lim ξλ极限存在，则称此极限为()x f 在区间[]b a ,上的定积分，记为()dx x f b a⎰，即定积分()()i ni i bax f dx x f ∆=∑⎰=→1lim ξλ可积的条件：例3 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++++∞→n n n n n n n n n 2224211lim答案：dx x x⎰++10211例4：∑∑==∞→ni nj n n ij 114lim答案：41例5：()()=++∑∑==∞→ni nj n j n i n n1122lim答案：()()dy y dx x ⎰⎰++102101111定积分的几何意义若0)(≥x f ，则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 轴所围成的曲边梯形的面积. 若0)(≤x f ，则dx x f ba ⎰)(表示以曲线)(x f y =、两直线b x a x ==,与x 所围成的曲边梯形的面积的负值 若)(x f 在[]b a ,上有正有负，则dx x f ba ⎰)(表示曲边梯形的面积的代数和，在0)(≥x f 部分，取“+”，在0)(≤x f 部分，取“-”定积分的性质：当()()()0.==-=<⎰⎰⎰bababadx x f b a dx x f dx x f a b 时，特别的，时，约定（1）⎰-=baa b dx 1（2）[]⎰⎰⎰±=±b ab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()()(2121（3）⎰⎰⎰∀+=b aabc dx x f dx x f dx x f c c,)()()(（4）在[]b a ,上，)()(x g x f ≤，则⎰⎰≤b abadx x g dx x f )()(特别地⎰⎰≤babadx x f dx x f )()(（5）Mm ,是)(x f 在[]b a ,上的最小值与最大值，则⎰-≤≤-b aa b M dx x f a b m )()()(（6）积分中值定理：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，则存在[]b a ,∈ξ，使得()()()a b f dx x f ba -=⎰ξ3：变限积分：设函数()x f 在区间[]b a ,上连续，并且设x 为[]b a ,上的一点，考察()x f 在部分区间[]x a ,上的定积分()dx x f xa ⎰首先，由于()x f 在区间[]x a ,上仍旧连续，因此这个定积分存在。
考研数学基础复习全书《知识点解析》讲义01
考研数学基础复习全书《知识点解析》注重积累夯实基础紧扣大纲精准把握知识网络一目了然目录第一章函数极限与连续第二章一元函数微分学第三章一元函数积分学第四章微分方程第五章多元函数微分学第六章二重积分第七章无穷级数（数一，数三）第八章多元函数积分学（数一）第一章函数极限与连续考纲要求：1：理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系。
2：了解函数的有界性，单调性，周期性和奇偶性。
3：理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数:及隐函数的概念4：掌握基本初等函数的性质及图形，了解初等函数的概念5：理解极限的概念，理解函数左极限和右极限的概念以及函数极限存在与左，右极限之间的关系。
6：掌握极限的性质及四则运算法则。
7：掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法8：理解无穷小量，无穷大量的概念掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限9：理解函数连续性的概念（含左连续右连续），会判别函数间断点的类型。
10：了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性最大值最小值定理介值定理零点定理），并会应用这些性质知识结构：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-∞→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧第二类间断点第一类间断点间断点质闭区间上连续函数的性连续的定义连续连续单调有界准则夹逼准则、定积分定义限计算连续化，转化为函数极将极限的计算保号性有界性唯一性极限的性质极限运算的过程性语言定义极限的定义数列的极限泰勒公式计算极限的高级工具七种未定式极限化简先行极限的计算局部保号性局部有界性唯一性极限的性质极限运算的过程性语言定义六种趋向极限的定义函数的极限极限函数的性质比较重要的函数函数的概念函数n x n δεδε---具体内容：一：函数的概念与性质 1:函数的概念设y x 与是两个变量，中的每个值若对于是实数集的某个子集，D D x ， 按照一定的法则f 有唯一的值y 与之对应，则称变量y 为变量x 的函数记作()x f y =。
考研高数数学讲义
第一篇 高等数学第一章 函数、极限与连续一、大纲内容与要求【大纲内容】函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限与右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限：0sin lim 1x x x →=，1lim 1e xx x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭.函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质. 【大纲要求】1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系. 2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念. 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念.5．理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左、右极限之间的关系.6．掌握极限的性质及四则运算法则.7．掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法. 8．理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限. 9．理解函数连续性的概念(含左连续与右连续)，会判别函数间断点的类型.10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.二、知识网络Nε-”定义X-”定义δ-”定义数列整体有界函数局部有界两个重要的极限(数一、三)∞∞型、型∞-∞型、0∞⋅1∞、0∞、00型初等函数的连续性分段函数连续性的判定闭区间上连续函数的性质——左右极限都存在第二类——左右极限中至少有一个不存在跳跃间断点可去间断点关系极限连续性函数零点定理最值定理有界性、单调性、奇偶性、周期性1lim1nnen→∞⎛⎫+=⎪⎝⎭sinlim1xxx→=单调有界数列有极限夹逼定理三、基本内容(一)函数1．定义 设x 与y 是两个变量，D 是实数集的某个子集，若对于D 中的每个值x ，变量y 按照一定的法则有一个确定的值y 与之对应，称变量y 为变量x 的函数，记作()y f x =．数集D 称为函数的定义域，由函数对应法则或实际问题的要求来确定，相应的函数值的全体称为函数的值域，对应法则和定义域是函数的两个要素. 2．几种特性(1)有界性 设函数()y f x =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个x X ∈，都有()f x M ≤成立，称()y f x =在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称()f x 在X 上无界．所以函数在X 上无界，是对任何0M >，总存在0x X ∈，使0()f x M >．(2)单调性 设函数()y f x =在区间I 上有定义，若对于I 上任意两点1x 与2x ，当12x x <时，均有12()()f x f x < [或12()()f x f x >]，称函数()f x 在区间I 上单调增加(或单调减少)．如果其中的“<”(或“>”)改为“≤”(或“≥”)，称函数()f x 在I 上单调不减(或单调不增)． (3)奇偶性 设函数()y f x =的定义域为(,)(0)a a a ->，若对于任一x ∈(,)a a -，都有()()f x f x -=，称()f x 为偶函数，如常数2,,cos C x x 等，其图像关于y 轴对称;若对于任一(,),x a a ∈-都有()()f x f x -=-，称()f x 为奇函数，如3,,sin x x x 等，其图像关于坐标原点对称．(4)周期性 对函数()y f x =，若存在常数0T >，使得对于定义域内的每一个,x x T +仍在定义域内，且有()()f x T f x +=，称函数()y f x =为周期函数，T 称为()f x 的周期． 3．复合函数、反函数、隐函数与分段函数(1)基本初等函数与初等函数基本初等函数 常数函数;幂函数;指数函数;对数函数;三角函数;反三角函数.初等函数 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数.(2)复合函数 设函数()y f u =的定义域为f D ，函数()u x ϕ=的值域为z ϕ，若集合f D 与z ϕ的交集非空，称函数[()]y f x ϕ=为函数()y f u =与()u x ϕ=复合而成的复合函数，u 为中间变量．对复合函数，重要的是会把它分解，即知道它是由哪些“简单”函数复合而成的．(3)反函数 设函数()y f x =的值域为f z ，定义域为f D ，则对于每一个f y z ∈必存在f x D ∈使()y f x =．若把y 作为自变量，x 作为因变量，便得一个函数()x y ϕ=，且[]()f y ϕ y =，称()x y ϕ=为()y f x =的反函数，但习惯上把()y f x =的反函数记作1()y f x -=．y()f x =与其反函数1()y f x -=的图像是关于直线y x =对称的．(4)隐函数 设有方程(,)0F x y =，若当x 在某区间内取任一值，便总有满足该方程唯一的值y 存在时，称由方程(,)0F x y =在上述区间内确定了一个隐函数()y y x =．(5)分段函数 若一个函数在其定义域的不同部分要用不同的式子表示其对应规律，如(),()(),x a x bf x x c x dϕψ<<⎧=⎨<<⎩称为分段函数． (二)极限 1．概念(1)定义1 设()y f x =在0x 的一个去心邻域010001(,)(,)x x x x δδ-+内有定义，若对于任意给定的0ε>，总存在0δ>，使得当上述去心邻域内任意x 满足00x x δ<-<时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称常数a 为函数()f x 在0x x →的极限，记作0lim ().x x f x a →=或()f x a → (当0x x →)．直观地说，即当x 无限趋近0x 时，函数()f x 无限趋近常数a ．定义2 设()f x 在区域0x E >>内有定义，若对于任意给定的0ε>，存在0M >，使得当x M E >≥时，不等式()f x a ε-<恒成立，则称a 为当x →∞时函数()f x 的极限，记作lim ().x f x a →∞=直观地说，即当x 无限增大时，函数无限趋近常数a ．(2)左极限与右极限 在定义1中，若把“00x x δ<-<”改为“00x x x δ-<<”，即自变量x 从0x 的左侧趋近于0x ，则称a 为函数()f x 当0x x →时的左极限，记作0lim ()(0);x x f x a f x a -→=-=或 相应把定义1中的“00x x δ<-<”改为00x x x δ<<+， a 便是函数()f x 当0x x →时的右极限，记作00lim ()(0).x x f x a f x a +→=+=或 极限存在的充分必要条件：当0x x →时，函数()f x 的极限存在的充分必要条件为其左、右极限存在并相等，即00(0)(0)f x f x -=+.在定义2中，把x M >改为x M >，便得到x →+∞时函数()f x 的极限的定义，即lim (),x f x a →+∞=以及把“x M >”改为x M <-，便得到lim ()x f x a →-∞=的定义.注 把数列{}n x 看作整数函数即()n x f n =(1,2,)n =，则数列极限的概念lim n n x a →∞=便是()f x 在x →+∞时极限的特殊情况：自变量x 取正整数.即对于任意给定的0ε>，总存在正整数N ，使当n N >时，不等式n x a ε-<恒成立，则称常数a 为数列{}n x 的极限，也称此数列收敛于a .2.性质(1)唯一性 在自变量的一个变化过程中(0x x →或x →∞)，函数的极限存在，则此极限唯一. (2)有界性 若0lim ()[lim ()]x x x f x a f x a →→∞==或，则存在0x 的某去心邻域(或0x M >>)，()f x 在此邻域(或0x M >>)内有界.(3)保号性 设0)lim ()x x f x a →→∞=(x ，0()lim ()x x x g x b →→∞=，若在0x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()f x g x <(或()()f x g x ≤)，则a b ≤.3.极限存在准则夹逼准则：若在x 的某去心邻域(或0x M >>)内恒有()()()g x f x h x ≤≤， 且000()()()lim ()lim ()lim ().x x x x x x x x x g x h x a f x a →→→→∞→∞→∞===，则单调有界准则：单调有界数列必收敛. 4.两个重要极限(1)0sin lim 1.x x x→= (2)1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭或10lim xx x e →=（1+）. 5.极限的运算设在自变量的同一变化过程中(0x x →或x →∞)，lim (),lim ()f x a g x b ==，则有(1)和差：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ±=±=±.(2)积：[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x a b ⋅=⋅=⋅.特别地，lim ()lim ()cf x c f x =ca = (其中c 为常数)，[][]lim ()lim ()k kk f x f x a ==(其中k 为正整数).(3)商：若lim ()0g x b =≠，则()lim ()lim()lim ()f x f x ag x g x b==. (4)复合函数的运算法则：已知00lim (),lim ()u u x x f u A x u ϕ→→==⇒在有意义的情况下，lim [()]x x f x ϕ→.A =6.无穷小量与无穷大量(1)无穷小量的概念 若0()lim ()0x x x x α→→∞=，称()x α为0x x →(x →∞)时的无穷小，即极限为0的变量为无穷小量，以下简称无穷小.常数0也是无穷小.(2)无穷小量的性质 0lim ()x x f x a →→∞=(x )的充分必要条件为()()f x a x α=+，其中()x α为0x x →(x →∞)的无穷小.(3)无穷小量的运算1°加法：有限多个无穷小的和仍为无穷小; 2°乘法：有限多个无穷小的积仍为无穷小; 3°有界变量与无穷小的乘积亦为无穷小. (4)无穷小量的比较设()x α与()x β都是在同一个自变量变化过程中的无穷小，且()lim ()x x αβ也是在此变化过程中的极限：若()lim0()x x αβ=，称()x α是比()x β高阶的无穷小，记作()(())x o x αβ=; 若()lim()x x αβ=∞，称()x α是比()x β低阶的无穷小; 若()lim0()x c x αβ=≠(其中c 为常数)，称()x α与()x β是同阶的无穷小;特别()lim1()x x αβ=，称()x α与()x β是等价无穷小，记作()~()x x αβ. 在求极限过程中，有时利用等价无穷小代换可以化简计算，所以应掌握几个常见的等价无穷小：当0x →时，sin ~~tan x x x ，ln(1)~x x +，1~x e x -11~x n ，211cos ~2x x -等等. (5)无穷大量的概念 设函数()f x 在0x 的某一去心邻域内有定义(或x 大于某一正数时有定义)，如果对于任意给定的正数M (不论它多么大)，总存在正数δ (或正数X )，只要x 适合不等式00x x δ<-<(或x X >)，对应的函数值()f x 总满足不等式()f x M >，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大量，以下简称无穷大.(6)无穷小量与无穷大量之间的关系在自变量的同一变化过程中，若()f x 为无穷大，则其倒数1()f x 必为无穷小;反之，若()f x 为无穷小，且()0f x ≠，则其倒数1()f x 必为无穷大. 7.洛必达(L’Hospital)法则(1)00⎛⎫⎪⎝⎭型 (),()f x g x 在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (2)∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型 (),()f x g x在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若 0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim ()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (三)连续1.函数的连续性(1)连续性的概念 设函数()y f x =在点0x 某邻域内有定义，若当自变量增量x ∆=0x x -0→时，对应的函数值增量00()()0y f x x f x ∆=+∆-→，即0lim 0x y ∆→∆=，或0lim ()()x x f x f x →=，则称函数()f x 在0x 处连续.若00lim ()()x x f x f x -→=，称函数()f x 在0x 处左连续，00lim ()()x x f x f x +→=，称函数()f x 在0x 处右连续. 显然，函数()f x 在0x 处连续的充分必要条件是()f x 在0x 处既左连续又右连续.若函数()f x 在区间(,)a b 内每一处都连续，称()f x 在开区间(,)a b 内连续，也称()f x 是(,)a b 内的连续函数;若()f x 在(,)a b 内连续，又在a 点处右连续，b 点处左连续，则称()f x 在闭区间[,]a b 上连续.(2)运算1°加法 有限多个在同一点连续的函数之和，仍在该点处连续; 2°乘法 有限多个在同一点连续的函数之积，仍在该点处连续; 3°除法 若()f x 与()g x 均在点0x 处连续，且0()0g x ≠，则()()f xg x 在点0x 处连续. (3)复合函数与初等函数的连续性设函数()u x ϕ=在点0x x =处连续，且00()x u ϕ=，若函数()y f u =在点0u u =处连续，则复合函数[()]y f x ϕ=在点0x x =处连续.一切初等函数在其定义区间上都是连续的. 2.函数的间断点(1)函数间断点的概念 设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义.在此前提下，如果函数()f x 有下列三种情形之一：1°在0x x =没有定义;2°虽在0x x =有定义，但()0lim x x f x →不存在;3°虽在0x x =有定义，且()0lim x x f x →存在，但()00lim (),x x f x f x →≠则函数()f x 在点0x 不连续，而点0x 称为()f x 的不连续点或间断点.(2)函数间断点的类型 设0x x =为函数()y f x =的间断点，若0lim ()x x f x -→与0lim ()x x f x +→都存在，称0x 为函数()f x 的第一类间断点，其他均称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等的称为可去间断点，不相等的称为跳跃间断点；无穷间断点与振荡间断点都是第二类间断点.3.闭区间上连续函数的性质(1)最大值和最小值定理 闭区间上的连续函数一定有最大值与最小值. (2)有界性定理 闭区间上的连续函数在该闭区间上一定有界.(3)介值定理 设函数()f x 在闭区[,]a b 上连续，且()()f a f b ≠，则对于()f a 与()f b 之间的任一常数C ，必在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()f C ξ=.推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M 与最小值m 之间的任何值.(4)零点定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则在开区间(,)a b 内至少存在函数()f x 的一个零点，即至少有一点(,)a b ξ∈使()0f ξ=.四、典型例题[例1.1]设函数11()01x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，，，则[()]f f x =.[例1.2]已知2()sin ,[()]1,f x x f x x ϕ==-则()________x ϕ=，其定义域为 .[例1.3]设函数2sin ()(ln )(tan )x f x x x e =，则()f x 是( ).(A)偶函数.(B)无界函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.4]设对任意(,)∈-∞+∞x 有(1)()+=-f x f x ，则()f x 一定是( ).(A)奇函数.(B)偶函数.(C)周期函数.(D)单调函数.[例1.5]设函数21tan(3)()(1)(2)(3)x x f x x x x --=---，则()f x 在下列哪个区间内有界().(A)(0,1).(B)(1,2). (C)(2,3). (D)(3,4).[例1.6]设数列n x 与n y ，满足lim 0n n n x y →∞=，则下列叙述正确的是().(A)若n x 发散，则n y 必发散. (B)若n x 无界，则n y 必有界. (C)若n x 有界，则n y 必为无穷小量. (D)若1nx 为无穷小量，则n y 必为无穷小量. [例1.7]下列极限正确的是().(A)sin lim1x xxπ→=.(B)1lim sin1x x x→∞⋅=. (C)11limsin 1x x x→∞=. (D)sin lim1x xx→∞=.[例1.8]设n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，a 为常数，则数列{}n x 和{}n y ( ).(A)都收敛于a .(B)都收敛，但不一定收敛于a . (C)可能收敛，也可能发散.(D)都发散.[例1.9]设n n n x a y ≤≤，且lim()0n n n y x →∞-=，{}n x ，{}n y 和{}n a 均为数列，则lim n n a →∞( ).(A)存在且等于0.(B)存在但不一定等于0. (C)一定不存在. (D)不一定存在.[例1.10]22212lim 12n n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪++++++⎝⎭.[例1.11]30arctan sin limx x xx →-=.[例1.12]求极限limx [例1.13]求下列极限：2011lim()tan x x x x→-. [例1.14]设2lim 8xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则a =.[例1.15]21ln(1)0lim(cos )+→x x x =.[例1.16]当0x →时，211()sin f x x x=是( ). (A)无穷小量.(B)无穷大量.(C)有界量非无穷小量.(D)无界但非无穷大量.[例1.17]设220ln(1)()lim 2x x ax bx x →+-+=，则().(A)1a =，52b =-. (B)0a =，2b =-. (C)0a =，52b =-. (D)1a =，2b =-. [例1.18]设当0x →时，()()21cos ln 1x x-+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin n x x 是比2(1)x e -高阶的无穷小，则正整数n 等于().(A)1. (B)2. (C)3. (D)4.[例1.19]当0x →时，求常数,c k 使得(I)3sin sin3~;kx x cx -~kcx .[例1.20]设110x =，1n x +=(1,2,n =)，试证数列{}n x 极限存在，并求此极限.[例1.21]下列各式中正确的是( ).(A)01lim (1)1xx x+→+=. (B)01lim(1)e xx x+→+=. (C)1lim(1)e xx x→∞-=. (D)1lim(1)e xx x-→∞+=-.[例1.22]求极限21lim ln(1)→∞⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦x x x x.[例1.23]()f x 在0x 点连续是()f x 在0x 点连续的( ). (A)充分条件，但不是必要条件. (B)必要条件，但不是充分条件.(C)充分必要条件.(D)既不是充分条件，也不是必要条件.[例1.24]函数1()tan ()x x e e xf x x e e +=⎛⎫- ⎪⎝⎭在[],ππ-上的第一类间断点是x =().(A)0.(B)1.(C)2π-. (D)2π. [例1.25]设函数21()lim 1nn xf x x →∞+=+，讨论函数()f x 的间断点，其结论为().(A)不存在间断点. (B)存在间断点1x =. (C)存在间断点0x =. (D)存在间断点1x =-.[例1.26]设2(1)()lim1n n xf x nx →∞-=+，则()f x 的间断点为x =.[例1.27]设函数()tan 21e ,0arcsin 2e ,0xx x x f x a x ⎧->⎪⎪=⎨⎪⎪≤⎩在0x =处连续，则________a =.[例1.28]设)(x f 在(+∞∞-,)内有定义，且lim ()x f x a →∞=，1,0()0,0f x g x x x ⎧⎛⎫≠⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=⎩，则( ).(A)0=x 必是)(x g 的第一类间断点. (B)0=x 必是)(x g 的第二类间断点.(C)0=x 必是)(x g 的连续点.(D))(x g 在点0=x 处的连续性与a 的取值有关.[例1.29]设函数()f x 在[,]a b 上连续，且12n a x x x b <<<<<，证明：存在(,)a b ξ∈，使得12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.[例1.30]设()f x 是[0,1]上非负连续函数，且(0)(1)0.f f ==证明：对任意实数r (01r <<)，必存在0[0,1]x ∈，使得0[0,1]x r +∈，且00()()f x f x r =+.[例1.31]设()f x 在[0,1]上连续，(0)(1)f f =且 . (1)证明：存在[0,1],ξ∈使1()()2f f ξξ=+.(2)证明：存在[0,1],η∈使1()()f f nηη=+(2n >且n 为正整数).五、经典习题1.求⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x sin 1)1ln(1lim 0. 【答案】212.求xx e e xx x sin lim tan 0--→.【答案】23.已知()01lim2=--++-∞→b ax x xx ，则___________,==b a .【答案】21,1--. 4.极限()()2lim xx xx a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦( )(A) 1.(B) e . (C) a be-.(D) b ae-.【答案】(C).5.求22201cos lim sin x x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【答案】43. 6.求1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭. 【答案】1. 7.若()3sin 6lim0x x xf x x →+=，则()26limx f x x →+为( ).(A)0.(B)6.(C)36.(D)∞.【答案】(C).8.1lim1cosn n→∞++=________. 【答案】π.9.设103x <<，1n x +=(n =1，2，…)，证明数列{}n x 的极限存在，并求此极限.【答案】证明{}n x 单调增加且有上界，3lim 2n n x →∞=. 10.设函数()f x 在0x =的某邻域内具有一阶连续导数，且()00f ≠，()00f '≠，若()()()20af h bf h f +-在0h →时是比h 高阶的无穷小，试确定,a b 的值.【答案】2,1a b ==-.11.设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，且[()]f f x x =，证明在(,)-∞+∞内至少有一个0x 满足00()f x x =.【答案】利用反证法.第二章 一元函数微分学导数与微分是一元函数微分学中的两个重要概念，在高等数学中占有重要地位，其内涵丰富，应用广泛，是研究生入学考试的主要内容之一，应深入加以理解，同时应熟练掌握导数的各种计算方法.中值定理与导数的应用在高等数学中占有极为重要的位置，内容多，影响深远，是复习的重点也是难点，而且具有承上启下的作用，应熟练掌握.一、大纲内容与要求【大纲内容】导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达(L'Hospital)法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 (弧微分;曲率的概念;曲率圆与曲率半径，数学三不要求). 【大纲要求】1．理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，(了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，数学一、二要求)，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2．掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7．理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用.8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(,)a b 内，设函数()f x 具有二阶导数.当''()0f x >时，()f x 的图形是凹的;当''()0f x <时，()f x 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形.9.了解曲率、曲率圆和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径(数学一、二要求).二、知识网络三、基本内容(一)导数概念1．导数定义 设函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义，若自变量从0x 变到0x x +∆时，导数的定义左、右导数基本初等函数的导数导数的四则运算 复合函数的导数 反函数的导数隐函数的导数参数方程求导（数一、二）2阶导数n 阶导数 高阶导数导数的概念导数的计算罗尔定理拉格朗日中值定理 柯西中值定理 中值定理应用洛必达法则求极限 研究函数性质及几何应用单调性定理、函数的单调区间 函数的极值、最值曲线的凹凸性及拐点 渐近线、函数作图 边际、弹性经济中的最大值和最小值应用经济应用(数学三要求) 微分概念微分的计算 一阶微分形式不变性微分导数泰勒定理 曲率(数学一、二要求) 费马引理 切线、法线方程函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-与自变量增量x ∆之比的极限0000()()limlim x x f x x f x yx x→∆→+∆-∆=∆∆存在，则称()y f x =在0x 处可导，此极限值称为()f x 在0x 处的导数，记作0()f x '，或00,x x x x dyy dx=='等.令0x x x =+∆，可得导数的等价定义0000()()()limx x f x f x f x x x →-'=-2.左导数 若000()()lim x f x x f x x -∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的左导数，记作0()f x -'.3.右导数 若000()()lim x f x x f x x+∆→+∆-∆存在，则称此极限值为()f x 在x =0x 处的右导数，记作0()f x +'.4.若函数()f x 在区间(,)a b 内任意点x 处的导数()f x '都存在，则称()f x 在(,)a b 内可导.5.若函数()f x 在(,)a b 内可导，且()f a +'及()f b -'都存在，称()f x 在闭区间[,]a b 上可导. (二)函数可导的条件1.()f x 在x =0x 处可导的必要(非充分)条件是()f x 在x =0x 处连续.2.()f x 在x =0x 处可导的充分与必要条件是0()f x -'与0()f x +'存在且相等. (三)导数的几何意义与物理意义1.设函数()f x 可导，则0()f x '等于曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处切线的斜率.曲线y ＝()f x 在点00(,())x f x 处的切线与法线方程分别是：000()()()y f x f x x x '--＝和0001()(),()y f x x x f x -=--'其中0()0f x '≠. 2.设一质点作变速直线运动，若其位移s 随时间t 的变化规律为函数()s s t =，则导数0()s t '表示该质点在时刻0t 的瞬时速度.注 导数的物理意义有多种，如细棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.(四)导数的计算1.基本初等函数的导数公式 (1)()0()c c '=为常数(2)1()()x x μμμμ-'=为实数(3)()ln (01)xxa a a a a '=>≠， (4)();x x e e '=(5) 1(log ||)(0,1);ln a x a a x a '=>≠ (6) 1(ln ||);x x'= (7)(sin )cos ;x x '= (8)(cos )sin ;x x '=- (9)2(tan )sec ;x x '= (10)2(cos )csc x x '=-(11)(sec )sec tan ;x x x '= (12)(csc )csc cot ;x x x '=-(13)(arcsin )x '=(14)(arccos )x '=(15)21(arctan );1x x'=+ (16)21(arccot ).1x x-'=+ 2.导数的四则运算法则 设函数(),()u x v x 都可导，则 (1)();u v u v '''±=±(2)()uv u v uv '''=+，特别()cu cu ''=(c 为常数).(3)2(0).u u v uv v v v '''-⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭3.复合函数求导法设()u x ϕ=在x 处可导，()y f u =在对应的()u x ϕ=处可导，则复合函数[()]y f x ϕ=在x 处可导，且{[]}()(),f x f u x ϕϕ'''=()即d .y dy dudx du dx=⋅ 4.反函数的导数若()x y ϕ=在某区间内单调、可导，且()0y ϕ'≠，则其反函数()y f x =在对应的区间内也可导，且1()()f x y ϕ'='. 5.隐函数的导数设()y f x =是由方程(,)0F x y =所确定的可导函数，注意到x 是自变量，y 是x 的函数，y 的函数是x 的复合函数，在方程的两边同时对x 求导，可得到一个含有y '的方程，从中解出y '即可.注 y '也可由多元函数微分法中的隐函数求导公式x y F dydx F '=-'得到，这里()y x 是由方程(,)0F x y =确定的函数.6.高阶导数(1) 函数()y f x =导数的导数，称为函数()f x 的二阶导数，即(),y y ''''=记作()y f x ''''=，或2(2)2,d y y dx.一般地，函数()y f x =的n 阶导数为()(1)(),n n y y-'=也可写作()()n n n d y fx dx或.(2)设(),()u x v x 具有n 阶导数，则有()()()[()()]()()n n n au x bv x au x bv x +=+(,a b 为常数);()()1(1)()()()[()()]()()()()()()()().n n n k n k k n n n u x v x u x v x C u x v x C u x v x u x v x --'=+++++7.由参数方程所确定的函数的导数(数学一、二要求)设()y y x =是由参数方程()()()x t t y t ϕαβψ=⎧<<⎨=⎩确定的函数，(1)若()t ϕ和()t ψ都可导，且()0t ϕ'≠，则()()dy t dx t ψϕ'='. (2)若()()t t ϕψ,二阶可导，且()0t ϕ'≠，则223()1()()()()()()()td y t t t t t dx t t t ψψϕψϕϕϕϕ''''''''⎡⎤-=⋅=⎢⎥'''⎣⎦. (五)微分1.微分定义 设函数()y f x =在点x 的某邻域内有定义，若对应于自变量的增量x ∆，函数的增量y ∆可以表示为()y A x o x ∆=∆+∆，其中A 与x ∆无关， ()o x ∆是x ∆的高阶无穷小，则称函数()y f x =在点x 处可微，并把A x ∆称为()f x 在点x 处的微分，记作dy 或()df x ，即dy =A x ∆.2.函数()y f x =在点x 处可微的充分必要条件是()f x 在x 处可导，此时()A f x '=，即有()dy f x dx '=.3.一阶微分形式的不变性 设()y f u =可微，则微分()dy f u du '=，其中u 不论是自变量还是中间变量，以上微分形式保持不变. (六)微分中值定理1.费马(fermat)引理 若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且在0x 处可导，如果对任意0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤(或0()()f x f x ≥)，则0()0f x '=.2.罗尔(Rolle)定理 若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且f (a )＝f (b )，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=.3.拉格朗日(Lagrange)中值定理 若函数()f x 在闭区间上连续，在开区间(,)a b 内可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()().f b f a f b a ξ'-=-4.柯西(Cauchy)中值定理 若函数()f x 和()g x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()0g x '≠，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()().()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-5.泰勒(Taylor)定理(1)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到1n +阶的导数，则()20000000()()()()()()()()(),2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+其中(1)10()()(),(1)!n n n f R x x x n ξξ++=-+是0x 与x 之间的某个值，此公式称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式.(2)假设函数()f x 在含有0x 的开区间(,)a b 内具有直到n 阶的导数，则()200000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x o x x n '''⎡⎤=+-+-++-+-⎣⎦， 此公式称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式.注 当00x =时，以下两公式称为麦克劳林(Maclaurin)公式，即()21(0)(0)(1)()()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n f f f n x f x f f x x x x n n θθ+''+'=+++++<<+和 ()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x o x n '''=+++++.(七)洛必达(L ’Hospital)法则 1.00⎛⎫⎪⎝⎭型 0()()()0,f x g x x g x '≠设，在点的某去心邻域内可导，若0lim ()lim ()x x x x f x g x →→=0=，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. 2.∞⎛⎫⎪∞⎝⎭型 设()()f x g x ，在点0x 的某去心邻域内可导，()0g x '≠，若0lim ()x x f x →=0lim ()x x g x →=∞，且0()lim()x x f x g x →''存在或为∞，则有00()()lim lim()()x x x x f x f x g x g x →→'='. (八)利用导数研究函数及平面曲线的性态1.单调性定理 设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，若对任一x ∈(,)a b ，有()0(0)f x '><，则()f x 在[,]a b 上单调增加(减少).注 若将上面的不等式()0(0)f x '><，改为()0(0)f x '≥≤，且使()0f x '=的点(驻点)只有有限个，则结论仍成立.2.极值(1)极值的定义 若()f x 在0x 的某邻域0()U x 内有定义，且对该邻域内任意异于0x 的点x 都有0()()f x f x <(或0()()f x f x >)，则称0x 的极大(或小)值点，0()f x 称为()f x 的极大(或小)值.(2)判断极值的第一充分条件 设函数()f x 在点0x 的某邻域00(,)x x δδ-+内连续，0x 是()f x 的驻点或不可导点，在00(,)x x δ-及00(,)x x δ+内()f x 均可导.1°若在00(,)x x δ-内()0(0)f x '<>而在00(,)x x δ+内()0(0)f x '><则()f x 在0x 处取21极小值(极大值);2°若在00(,)x x δ-和00(,)x x δ+内()f x '符号相同，则()f x 在0x 处不取得极值. (3)判断极值的第二充分条件 设函数()f x 在x =0x 处 ，一阶导数0()0f x '=，二阶导数0()f x ''存在且不等于零，则当0()0f x ''>时，()f x 在0x 处取得极小值;当0()0f x ''<时，()f x 在0x 处取得极大值.3.取到极值的唯一性定理 若()f x 在区间I 上可导，驻点唯一，且该驻点是极值点，则该驻点一定是最值点.4.曲线凹凸性及拐点(1)凹凸性的定义 设()x f 在区间I 上连续，若对任意不同的两点21,x x ，恒有()()()()12121212112222x x x x f f x f x f f x f x +⎛+⎫⎛⎫⎛⎫>+<+⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭或则称()x f 在I 上是凸（凹）的.(2)凹凸性的判断 若函数()f x 在区间I 上()0(0)f x ''><则曲线()y f x =在I 上凹 (凸)的.(3)拐点的定义 在连续曲线上，凹凸部分的分界点00(,())x f x 称为曲线的拐点.(4)拐点的第一充分条件 设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续且在该去心邻域内二阶可导，若()f x 在0x 的左右两边()f x ''的符号相反，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.(5)拐点的第二充分条件：设函数()f x 在点0x 的某邻域内连续，0()0f x ''=，而0()0f x '''≠，则点00(,())x f x 是曲线)(x f y =的拐点.5.曲线的渐近线(1)若lim ()x f x C →∞=(或x →+∞或x →-∞)(C 为常数)，则y C ＝是曲线()y f x ＝的一条水平渐近线;(2)若0lim ()x x f x →∞＝(或0x x +→，或0x x -→)，则0x x =是曲线()y f x ＝的一条铅直渐近线; (3)若()lim,0,x f x a a x→∞=≠且lim[()],x f x ax b →∞-=则y ax b +＝是曲线()y f x ＝的斜渐近线.22(九)平面曲线的曲率(数学一、二要求) 1.弧微分设()y f x ＝是平面内的光滑曲线，则弧微分.ds = 若曲线方程为(),(),x x t y y t =⎧⎨=⎩则弧微分为.ds =2.曲率(1)设M 和N 是曲线上不同的两点，弧MN 的长为s ∆，当M 点沿曲线到达Ｎ点时，Ｍ点处的切线所转过角为α∆，则称极限0lims K sα∆→∆=∆为该曲线在点M 处的曲率. (2)曲率计算公式若曲线方程为()y f x ＝，则曲率23/2(1)y K y ''='+. 若曲线由参数方程()()x x t y y t =⎧⎨=⎩给出，则曲率223/2()t t t t t t x y y x K x y ''''''-=''+. (3)曲率半径1(0)R K K=≠. 三、典型题型[例2.1]已知(3)2f '=，则0lim 2h h→=______________.[例2.2]设函数()f x 在0x =处连续，且201lim (1cos )1h f h h→-=，则().(A)(0)1-'=f .(B)(0)2-'=f .(C)(0)1+'=f . (D)(0)2+'=f .[例2.3]设函数()f x 可导，()(sin 2)()xF x e x f x =+，则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的( )条件.(A)充要. (B)充分非必要. (C)必要非充分.(D)非充分非必要.[例2.4]设周期函数()f x 在),(+∞-∞内可导，周期为4，0(1)(1)lim2x f f x x→--=1-，则曲线()y f x =在点))5(,5(f 处的法线斜率为(). (A)21. (B)0.(C)1 .(D)2-.[例2.5]设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当x ∈(,)δδ-时，恒有2()f x x ≤，则23x 0=必是()f x 的( ).(A)间断点.(B)连续而不可导的点. (C)可导的点，且(0)0'=f . (D)可导的点，且(0)0'≠f .[例2.6]设()(1)(2)()f x x x x x n =+++，则(0)________.f '=[例2.7]设函数0()y f x x x ==在处可导，0()1f x '=-，则0limx y dydy∆→∆-=_______.[例2.8] 设函数()f x 处处可微，且有()01f '=，且对任何,x y 恒有()()x f x y e f y +=()x e f y +， 求().f x[例2.9]设函数()f x 在(,)-∞+∞上有定义，对任意,x y ，()f x 满足关系式()()[()1]()f x y f x f x y y α+-=-+，其中0()lim0y y yα→=.又已知(0)2,f =则(1)f =.[例2.10]设()()(),()F x g x x x ϕϕ=在x a =连续，但不可导，又()g a '存在，则()0g a =是()F x 在x a =可导的()条件.(A) 充要. (B) 充分非必要.(C) 必要非充分.(D) 非充分非必要. [例2.11]函数32()2arctan f x x x x x =+-的不可导点的个数是( ). (A)3.(B)2.(C)1.(D)0.[例2.12]设函数11,0()1,0x x f x x e k x ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩连续，求常数k 的值，并求()f x '.[例2.13] 求下列函数的导数(1)arctanx y e=-(2)2()ln |2a f x x =.24[例2.14]设2sin[()]y f x =，其中f 具有二阶导数，求22,dy d ydx dx . [例2.15]设函数1,()21,x f x x ⎧≥=⎨<⎩，()()y f f x =，则x edy dx ==_____________.[例2.16]设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1=-x 处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)'=f _________________.[例2.17] (数一、二)设()2arctan ,25t x t y y x y ty e =⎧⎪=⎨-+=⎪⎩由所确定，求.dy dx[例2.18]设22411x y x -=-，求(100)y .[例2.19]设函数()y f x ＝由方程23ln()sin +=+x y x y x 确定，则==x dy dx_________.[例2.20]设()()()nf x x a x ϕ=-，其中()x ϕ在x a =处具有1n -阶连续导数，试求()()n f a (2)n ≥.题型三 利用导数研究函数的性态[例2.21]设当a x b <<时函数()f x ，()g x 是大于零的可导函数，且()()f x g x '-()f x ()0g x '<，则当a x b <<时，有().(A)()()()()f x g b f b g x >.(B)()()()()f x g a f a g x >.(C)()()()()f x g x f b g b >.(D)()()()()f x g x f a g a >.。
考研数学讲义
《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim )21ln(arctan lim3030-=-=+->->-xx x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030)(6lim 0)(6sin limxx f x x xf x x x +=+>->-，求 解：20303')(6cos 6lim )(6sin limx xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim 2'lim )(6lim0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 30)2(lim +>-求 解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=x x x x x b a xt b a t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a b a t xx x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+ 2/100212tan limln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 022=⎰⎰>-xx x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 20-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos 11lim-=---->-xx x e x x （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xx ctgx x ->- （洛必达或Taylor ） 3.11lim22=--->-⎰x xt x edte x （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理 会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导计算1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2t e ty y tx x y y 由决定，求dxdy2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
21、考研数学-高等数学冲刺讲义-84页 文字版
鹤壁淇滨高中2017-2018学年下学期高二年级第二次月考英语试题时间：100分钟总分：150分第二部分阅读理解(共两节,满分40分)第一节(共15小题;每小题2分,满分30分)阅读下列短文,从每题所给的四个选项(A、B、C和D)中,选出最佳选项。
AAn eight-year-old child heard her parents talking about her little brother. All she knew was that he was very sick and they had no money. Only a very expensive operation could save him now and there was no one to lend them the money.When she heard her daddy say to her tearful mother, “Only a miracle (奇迹) can save him now.” the little girl went to her bedroom and pulled her money from its hiding place and counted it carefully.She hurried to a drugstore with the money in her hand.“And what do you want?” asked the salesman. “It’s for my little brother.”The girl answered. “He’s really sick and I want to buy a miracle.”“Pardon?”said the salesman.“My brother Andrew has something bad growing inside his head and my daddy says only a miracle can save him. So how much does a miracle cost?” “We don’t s ell a miracle here, child. I’m sorry.” the salesman said with a smile.“Listen, if it isn’t enough, I can try and get some more. Just tell me how m uch it costs.”A well-dressed man heard this and asked, “What kind of miracle do es your brother need?”“I don’t know,” she answered with her eyes full of tears. “He’s really sick and mum says he needs an operation. But my daddy can’t pay for it, so I have brought all my money.”“How much do you have?’’ asked the man. “$1.11, but I can try and get some more.” she answered.“Well, what luck,” smiled the man, “$1.11, the price of a miracle for your little brother.” He took up the girl’s hand and said, “Take me to where you live.I want to see your brother and meet your parents. L et’s s ee if I have the kind of miracle you nee d.”That well-dressed man was Dr. Carlton Armstrong, a famous doctor. The operation was successful and it wasn’t long before Andrew was home again.How much did the miracle cost?21. What was the trouble in the little girl’s family?A. Her brother was seriously ill.B. They had no money.C. Nothing could save her brother.D. Both A and B.22. In the eyes of the little girl, a miracle might be ______.A. something interesting.B. something beautiful.C. some wonderful medicine.D. some good food.23. What made the miracle happen?A. The girl’s love for her brother.B. The medicin e from the drugstore.C. The girl’s money.D. Nobody can tell.24. From the passage we can infer (推断) that ______.A. the doctor didn’t ask for any pay.B. a miracle is sure to happen if you keep on.C. the little girl is lovely but not so clever.D. Andrew was in fact not so sick as they had thought.BA few days ago, I ran into a stranger as he passed by. I said sorry to him. And we were very polite. Then we went on our way after saying goodbye.Later in the kitchen at home, as I cooked our meal, my daughter Betty walked up to me. When I turned around, I nearly knocked her down. “Get out of the way!”I shouted angrily. She ran away, crying.That night, when I lay in bed, my husband said to me. “You were so rude to Betty. Go and look around on the kitchen floor, and you’ll find some flowers there. Betty brought those for you. She picked them herself pink, yellow, and your favourite blue.” When I heard this, I thought deeply. “While meeting with a stranger, I was calm and polite, but with my daughter, I was not patient.” I felt sad and tears began to fall.I quietly went to Betty’s bed, “Wake up, my dear!” I said, “Are these the flowers you picked for me?”she smiled. “I found them by the tree. I knew you liked them, especially the blue. ” I said, “I am so sorry that I treated you that way today.”And she whispered(悄声说)，“Mommy, that’s okay. I still love you anyway.”I kissed her and said, “I love you too and I do love the flowers.”That day Betty gave me a lesson on how to get along with each other in the family.I spend much time on work and didn’t realize how important family life was. I decided to do better in the future.25. What did the writer do when she ran into a man?A. She got mad at him.B. She didn’t say sorry to him.C. She said sorry to him politely.D. She left without saying anything.26. How did the writer deal with it when she nearly knocked down her daughter?A. She held her temper.B. She talked to her quietly.C. She shouted at her angrily.D. She said nothing to her.27. Why did the writer feel sorry for what she had done?A. Her husband didn’t love her.B. Her daughter bought her some flowers.C. She used to be friendly to others.D. She spent less time on her family life.28. According to the passage, which do you think is the best title?A. How to get along with a stranger.B. I love my daughter.C. Daughter gave me a good lesson.D. How to be a polite person.CDear Mom and dad，Camp is great! I have met a lot of new friends. Jim is from California, Eric is from Iowa, and Tony is from Missouri. We have a great time together, swimming, boating, hiking, and playing tricks on other campers! Every night, we go to another tent secretly and try to scare other campers by making scary noises. It's so funny to see them run out screaming! Now, don't worry, Mom. I'm not going to get cough like I did last year.One thing that is different from last year is how many bugs (昆虫) there are!I have at least 100 mosquito bites and about 25 ant bites. Every time I go outside, horseflies chase me, too! Other than all these bugs, I'm having the best time!Love，Tyler Dear Tyler，Are you sure you are okay? All of those bugs sound awful! Have you used all of the “ItchBeGone” cream I got you? How about the “Ants'k Awful” lotions (护肤液) for the ant bites? You and your aunt Ethel have always seemed to attract those nasty fire ants.Now Tyler, I am very happy that you have met some new friends and that you are having fun together. However, you MUST stop trying to scare other campers. Remember, honey, some campers may be scared easily. I want you to apologise for any anxiety you may have caused them and start being the nice, polite boy that I know you are. Do you hear me, Tyler? Please be careful. I want you to come here safely.Love，Mom 29．Why did Tyler write the letter to his parents?A．To describe his interesting camp experiences.B．To express his regret about scaring others.C．To ask his parents for advice about camping.D．To tell his parents about his sufferings at camp.30．The underlined word “chase” in the first letter probably means “________”．A．fly away B．get rid of C．put up with D．run after31．Tyler's mother advises him to ________.A．buy more lotion for the bites B．return with a few friendsC．avoid scaring other campers D．turn to the police when in troubleDFar from the land of Antarctica, a huge shelf of ice meets the ocean. At the underside of the shelf there lives a small fish, the Antarctic cod.For forty years scientists have been curious about that fish. How does it live where most fish would freeze to death? It must have some secret. The Antarctic is not a comfortable place to work and research has been slow. Now it seems we have an answer.Research was begun by cutting holes in the ice and catching the fish. Scientists studied the fish's blood and measured its freezing point.The fish were taken from seawater that had a temperature of －1.88℃ and many tiny pieces of ice floating in it. The blood of the fish did not begin to freeze until its temperature was lowered to －2.05℃. That small difference is enough for the fish to live at the freezing temperature of the icesalt mixture.The scientists' next research job was clear: Find out what in the fish's blood kept it from freezing. Their search led to some really strange things made up of a protein (蛋白质) never before seen in the blood of a fish. When it was removed, the blood froze at seawater temperature. When it was put back, the blood again had its antifreeze quality and a lowered freezing point.Study showed that it is an unusual kind of protein. It has many small sugar molecules (分子) held in special positions within each big protein molecule. Because of its sugar content, it is called a glycoprotein. So it has come to be called the antifreeze fish glycoprotein or AFGP.32．What is the text mainly about?A．The terrible conditions in the Antarctic. B．A special fish living in freezing waters.C．The ice shelf around Antarctica. D．Protection of the Antarctic cod. 33．Why can the Antarctic cod live at the freezing temperature?A．The seawater has a temperature of －1.88℃.B．It loves to live in the icesalt mixture.C．A special protein keeps it from freezing.D．Its blood has a temperature lower than －2.05℃.34．What does the underli ned word “it” in Paragraph 5 refer to?A．A type of icesalt mixture. B．A newly found protein.C．Fish blood. D．Sugar molecule.35．What does “glyco” in the underlined word “glycoprotein” in the last paragraph mean?A．sugar B．ice C．blood D．molecule第二节七选五 (共5小题;每小题2分,满分10分)根据短文内容,从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
考研数学基础班讲义1
----高等数学----第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。
它们是每年必考的内容之一。
第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。
【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。
函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。
设有数列和常数A 。
若对任意给定的，总存在自然数，当n>N 时，恒有，则称常数A 为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。
没有极限的数列称为发散数列。
收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。
2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有，则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论.（2）定理：单调有界数列必有极限.3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。
（2）。
（3）。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。
考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
考研数学基础串讲讲义
考研数学的命题特点1. 基础性【例一】极限定义1、lim x →∙是什么？（lim n →∞是什么？）①lim x →∙1）“x →∙”存在六种情形 （1）0x x →00,0,x x εδ∃><-< （2）0x x +→00,0,x x εδ∃><-<（3）0x x -→00,0,x x εδ∃><-<(4) x →∞0,,X x X ∃>> (5) x →+∞0,,X x X ∃>> (6) x →-∞0,,X x X ∃><-2极限趋向的“过程性”——若lim x →∙f(x)∃，则f(x)在x →∙时处处有定义（命题A ⇒B ，则B ⇒A ）故有：若f(x)在x →∙时至少一点无定义，⇒lim x →∙f(x)不存在。
（2016）求0lim x →1sin sin()1sin()x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】x →∙，xsin(1x)→0x ~0, sinx ~x. 狗~0，sin 狗~狗xsin(1x )→0, xsin(1x )~sin(xsin(1x))故原式=1知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!【正解】当x=π1k ，|k|充分大，xsin(1x )=0。
还记得极限的定义吗？0x →时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的点，例如取x=π1k ，此时xsin(1x )的极限=0。
所以xsin(1x)在时0x →不能叫0→，而叫做无穷小量。
故f(x)= 1sin(sin())1sin()x x x x在x=π1k 处无定义，⇒原极限不∃ ②lim n →∞n →∞只有一种情形，专指n →+∞∃N>0, n>N（注意n 是自然数，没有负的，而且都是整数，所以是离散的） 2、极限定义 ①函数极限的定义 若0lim x x →f(x)=A ⇔∀ε>0, ∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε②数列极限的定义。
考研数学连续讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编§1.3 连续A 基本内容一．函数连续的概念1、连续的定义定义(1)：设函数()x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量x ∆趋近于0时，相应的函数改变量y ∆也趋近于0，即0lim 0=∆→∆y x或 ()()[]0lim 000=-∆+→∆x f x x f x 则称函数()x f y =在点0x 处连续。
定义(2)：设函数()x f y =在点0x 的某个领域内有定义，如果当0x x →时，函数()x f 的极限值存在，且等于0x 处的函数值()0x f ，即()()00lim x f x f x x =→则称函数()x f y =在点0x 处连续。
2、左右连续的定义如果()()00lim x f x f x x =-→，则称函数()x f 在点0x 处左连续；如果()()00lim x f x f x x =+→，则称函数()x f 在点0x 处右连续。
由上述定义2可知，如果函数()x f y =在点0x 处连续，则()x f 在0x 处既左连续也右连续。
3、函数在区间内（上）连续的定义如果函数()x f y =在开区间()b a ,内的每一点都连续，则称()x f 在()b a ,内连续。
如果()x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称()x f 在闭区间[]b a ,上连续。
二、函数的间断点及其分类1、函数的间断点的定义如果函数()x f y =在点0x 不连续，则称0x 为()x f 的间断点。
2、函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数()x f y =的间断点。
如果()x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是()x f 的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。
（2）第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
考研数学强化班高等数学讲义汤家凤
第一讲 极限与连续主要内容归纳（略）要点题型解说一、极限问题种类一：连加或连乘的求极限问题 1．求以下极限：（ 1） lim111；n13 35(2n1)(2n 1)（ 2） limnk 3 1 ；1nk 2k 3n（ 3） lim [nk 11] n ；k (k 1)2．求以下极限：（ 1） lim111；222n4n 14n24nn3．求以下极限：（ 1） lim111；22222nn 2 n n21 n（ 2） lim nn!；nnn 1（ 3） lim。
ni2i 11nn种类二：利用重要极限求极限的问题 1．求以下极限：（ 1） lim cos x cos xcos x(x0) ；( n 1) n 112 n （ 2） limnsin；n222nnn2．求以下极限：1（ 1） lim 1 sin x 2 1 cos x ；x 011（ 3） lim1 tan x x 3ln(1 2 x)（4） lim cos1 sin x；xx 0x种类三：利用等价无量小和麦克劳林公式求极限的问题1．求以下极限：x 2；（ 1） lim1 tan x 1 sin x ；（ 2） lime tan xe x ；x 0x(1 cosx) x 0x(1 cosx)（ 3） lim1 2 cos xx1] ；（ 4） lim (11) ；x 3 [(3)x 2tan 2x 0xx（ 5） lim(3 x) x3 x2；x 0xln(1 f (x) ) f (x)（ 6）设 lim sin xA ，求 lim 。
x2x 0 a 1 x 0 xx 22．求以下极限： lim cos x e 23x 0x sin x种类四：极限存在性问题：1．设 x 1 1, x n 11 x n0 ，证明数列 { x n } 收敛，并求 lim x n 。
nnn2．设 f ( x) 在 [ 0, ) 上单一减少、非负、连续， a nf (k)f (x)dx(n 1,2, ) ，证明：k11lim a n 存在。
考研数学讲义
第一部分第一章集合与映射§1.集合§2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。
第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限与连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量与无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其应用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。
第五章微分中值定理及其应用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其应用§5.应用举例§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。
第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。
2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析
2024考研数学李林高等数学辅导讲义解析一、概述2024年考研数学高等数学一直是考研学子备战考试的焦点。
为帮助考生更好地掌握数学知识，提高解题能力，李林老师精心编写了高等数学辅导讲义。
本文将对李林老师的辅导讲义进行解析，帮助考生更好地理解和应用这些知识。
二、讲义内容概述李林老师的高等数学辅导讲义分为多个章节，涵盖了高等数学的各个知识点，包括微积分、多元函数、级数、常微分方程等内容。
讲义内容扎实，逻辑严谨，既包括基础知识的讲解，也包括典型例题的分析和解答，适合考生系统复习和巩固知识点。
三、微积分部分1.极限与连续讲义对极限与连续的概念进行了详细介绍，从基本概念到极限存在的条件，再到连续性的定义和性质，帮助考生理解和掌握这一重要知识点。
讲义中还包括了大量例题分析，帮助考生加深对极限与连续的理解，提高解题能力。
2.微分与微分中值定理针对微分的定义和微分中值定理等内容，讲义中提供了详细的公式推导和典型例题讲解，帮助考生掌握微分的概念和性质，熟练运用微分中值定理解决实际问题。
3.不定积分与定积分在不定积分与定积分部分，讲义重点讲解了换元积分法、分部积分法等解题技巧，并结合典型例题进行深入分析，帮助考生掌握积分的计算方法和技巧，提高解题效率。
四、多元函数部分1.多元函数的概念与性质讲义对多元函数的概念、多元函数的极限、连续性、偏导数等内容进行了系统介绍，并结合实际问题进行讲解，帮助考生理解多元函数的重要性及其在实际问题中的应用。
2.方向导数与梯度在方向导数与梯度的部分，讲义对方向导数的定义、计算方法和梯度的概念进行了详细讲解，并提供了大量例题进行分析，帮助考生掌握这一知识点的计算方法和应用技巧。
五、级数部分1.数项级数的收敛性与敛散性讲义对数项级数的收敛性与敛散性进行了全面介绍，包括正项级数的收敛判别法、一般项级数的审敛法等内容，帮助考生系统掌握级数收敛性的判别方法，提高解题能力。
2.幂级数与傅立叶级数在幂级数与傅立叶级数部分，讲义介绍了幂级数的收敛半径、函数展开成幂级数的方法，以及傅立叶级数的基本概念和性质，帮助考生理解级数在实际问题中的应用。
历年考研数学高等数学基础讲义
考研数学高等数学基础讲义目录第一讲极限 (1)第二讲高等数学的基本概念串讲 (9)第三讲高等数学的基本计算串讲 (13)第四讲高等数学的基本定理串讲 (24)第五讲微分方程 (27)第六讲多元函数微积分初步 (29)1 第一讲 极限核心考点概述1.极限的定义2.极限的性质3.极限的计算4.连续与间断内容展开 一、极限的定义1. lim 是什么？ lim 是什么？x →∙n →∞（1）lim 的情况：x →∙①“ x → ∙ ”代表六种情形： x → x , x → x +, x → x -, x → ∞, x → +∞, x → -∞②函数极限运算的过程性——必须保证在作极限运算的过程中函数处处有定义，否则极限过程便无从谈起，于是极限就不会存在了。
比如下面这个例子：sinx sin 1 x【例】计算lim x →0. x sin 1x事实上，在 x = 0 点的任一小的去心邻域内，总有点 x = → 0（| k | 为充分大的正整数），k πsin x s in 1 sin x s in 1 x x 使 在该点没有定义，故lim不存在. x sin 1 x x →0x sin 1x（2）lim 是什么？n →∞2.极限的定义（1）函数极限的定义：lim f (x ) = A ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0, 当0 < x →x 0x - x 0< δ 时，恒有f (x ) - A < ε1n n12注：趋向方式六种（2）数列极限定义：lim x = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N > 0, 当n > N 时，恒有 x - a < ε n →∞注：趋向方式只有一种【例】以下三个说法，（1）“ ∀ε > 0 ，∃X > 0 ，当 x > X 时，恒有件；εf (x ) - A < e 10”是“ lim x →+∞f (x ) = A ”的充要条（ 2 ）“ ∀ 正整数 N ， ∃ 正整数 K ，当 0 <“ lim f (x ) = A ”的充要条件；x →x 0x - x 0 ≤ K时，恒有 f (x ) - A ≤ 1 ” 是 2N（3）“ ∀ε ∈ (0,1) ， ∃ 正整数 N ，当n ≥ N 时，恒有| x n - a |≤ 2ε ”是“数列{x n } 收敛于a ” 的充要条件；正确的个数为（）（A ）0 （B ）1（C ）2（D ）3二、极限的性质1.唯一性（1） lim e x= ∞, lim e x= 0 ，（2）limsin x 不存在（3）lim arctan x 不存在（4）lim [x ]x →+∞x →-∞x →0xx →∞x →0不存在1- π e x 1【例】设k 为常数，且 I = lim x →0+k ⋅ arctan 存在，求 k 的值，并计算极限 I 。
考研数学概率论辅导讲义
考研数学概率论辅导讲义主讲：马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数： 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2．1：4黑球，2白球，每次取一个，不放回，直到取到黑为止，令X(ω)为“取白球的数”，求X 的分布律。
例2．2：给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下：,31,,31,31,,,2,1|2k k PX ， 判断它是否为随机变量X 的分布律。
例2．3：设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1，，，-P X ，求X 的分布函数，并求)21(≤X P ，)231(≤<X P ，)231(≤≤X P 。
例2．4： )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是： （1）)(),(21x f x f 均为概率密度函数 （2）1)()(021≤+≤x f x f例2．5：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中先后取a+b 个球（放回），试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
例2．6：某人进行射击，设每次射击的命中率为0.001，若独立地射击5000次，试求射中的次数不少于两次的概率，用泊松分布来近似计算。
例2．7：设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少？例2．8：袋中装有α个白球及β个黑球，从袋中任取a+b 个球，试求其中含a 个白球，b 个黑球的概率（a ≤α，b ≤β）。
考研--高数讲义
第一讲 极限与连续一、重要的概念 1．极限定义（1）数列极限定义—（N -ε）A a n n =∞→lim ：若对任意的0>ε，总存在0≥N ，当N n >时，有ε<-||A a n 成立，称A 为数列}{n a 的极限，记A a n n =∞→lim 。
（2）自变量趋于无穷时函数极限的定义—（δε-）A x f ax =→)(lim ：若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 当a x →时的极限，记A x f ax =→)(lim 。
（3）自变量趋于有限值时函数极限的定义—（X -ε）A x f x =∞→)(lim ：若对任意的0>ε，总存在0>X ，当Xx >||时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记A x f x =∞→)(lim 。
（4）左右极限的定义—)0(-a f ：若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<-<x a 0时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 在a x =处的左极限，记)0()(lim -==-→a f A x f a x 。
)0(+a f ：若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<-<a x 0时，有ε<-|)(|A x f 成立，称A 为函数)(x f 在ax =处的右极限，记)0()(lim +==+→a f A x f a x 。
注解：)(lim x f ax →存在)0(),0(+-⇔a f a f 都存在且相等。
2．无穷小（1）无穷小的定义—以零为极限的函数称为无穷小。
（2）无穷小的层次关系及等价无穷小的定义设0,0→→βα，若0lim=αβ，称β是α的高阶无穷小，记为)(αβo =；若),0(lim ∞≠=k αβ，称β与α为同阶无穷小，记为)(αβO =，特别地，若1lim =αβ，称β与α为等价无穷小，记为αβ~。
考研高等数学精讲讲义
第一讲 极限与连续一、数列的极限 1、数列极限的定义定义1：如果对0>∀ε，0>∃N ，使得当N n >时，总有ε<-||a x n ，则称a 为数列{n x }的极限，记作a x n n =∞→lim ，或a x n→（)∞→n .2、计算数列极限常常需要用到的几个结论：)0(01lim >=∞→p n p n ；)1|(|0lim <=∞→q q n n ；)0(1lim 1>=∞→a a n n ；1lim 1=∞→n n n . 3、收敛数列的相关性质定理1：收敛数列必有界.定理2：如果a x n n =∞→lim ，且0>a （或0<a ），则0>∃N ，当N n >时，有0>n x （或0<n x ）.定理3：如果数列{n x }收敛于a ，那么其任一子数列{k n x }也收敛于a . 定理4：单调有界数列必收敛。
定理5：如果数列{n x }、{n y }、{n z }满足以下条件：（1）0>∃N ，当N n >时，有n x <n y <n z ;（2）a z y n n n n ==∞→∞→lim lim ，那么，a x n n =∞→lim二、函数的极限 （一）函数极限的定义定义1：A x f x x =→)(lim 0⇔对0>∀ε，0>∃δ，当δ<-<||00x x 时，总有ε<-|)(|A x f ，则称A 为函数)(x f 当0x x →时的极限，记作Ax f x x =→)(lim 0或A x f →)(（0x x →）.定义2：A x f x =∞→)(lim ⇔对0>∀ε，0>∃Z ，当Z x >||时，总有ε<-|)(|A x f ，则称A 为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记作A x f x =∞→)(lim 或A x f →)(（∞→x ）.（二）函数极限的性质定理1：A x f x x =→)(lim 0⇔A x f x f x x x x ==+-→→)(lim )(lim 00。
(整理)高等数学考研讲义第六章
第六章 多元函数微分学§6.1 多元函数的概念、极限与连续性(甲)内容要点一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点P (x,y )∈D ，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以z=f （x ，y ），D 称为定义域。
二元函数z=f （x ，y ）的图形为空间一块曲面，它在xy 平面上的投影域就是定义域D 。
例如 1:,12222≤+--=y x D y x z 二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。
2．三元函数与n 元函数Ω∈=),,(),,,(z y x z y x f u 空间一个点集，称为三元函数。
n x x x f u n 元函数称为),,,(21 =它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。
条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。
二、二元函数的极限设),(),(00y x y x f 在点的邻域内有定义，如果对任意,00>>δε存在，只要εδ<-<-+-A y x f y y x x ),(,)()(2020就有则记以A y x f A y x f y x y x y y xx ==→→→),(lim ),(lim )(),(000或称当),(),(),(00y x ，f y x y x 时趋于的极限存在，极限值为A 。
否则，称为极限不存在。
值得注意：),(),(00y x y x 趋于这里是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于),(00y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。
三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概念若处连续在点则称),(),(),(),(lim 00000y x y x f y x f y x f xx y y =→→ 若D y x f 在区域),(内每一点皆连续，则称),(y x f 在D 内连续。
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《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数）2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）1.612arctan lim)21ln(arctan lim33-=-=+->->-xxx x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知23)(6lim0)(6sin limxx f xx xf x x x +=+>->-，求解：233')(6cos 6lim)(6sin limxxy x f x xx xf x x x ++=+>->-72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 0=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim2'lim)(6lim2====+>->->-y xy xx f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，x xx x ba 3)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=xx x xx b a xt ba t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a ba t xx xxx x =∴=++=>->-（变量替换）5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+2/10212tan limln lim ->->-=∴-=-=et xx t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-x x x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）三、补充习题（作业） 1.3cos11lim-=---->-xx x e xx （洛必达）2.)1sin 1(lim 0xxctgx x ->- （洛必达或Taylor ）3.11lim 22=--->-⎰xxtx edtex （洛必达与微积分性质）第二讲 导数、微分及其应用一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y tx x y y 由决定，求dx dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy+==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθθθθy e y x e y e xx ey -=-2/π5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(limsin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f tf t f tf t f x x f x f t tx xC.导数应用问题6.已知x e x f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e ex f x x xx 代入，，故为极小值点。
7.23)1(-=x xy ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'+===⇒===⇒=x y x x y x x y8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/22-==⇒++=+x x exx x y x与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：πD.幂级数展开问题9.⎰=-xx dt t x dxd 022sin )sin(⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-xn nn nx n n n nxn xx x dt t x dxd n n xx x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02)12(262214732141732)12(2622sin )!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：222sin sin )(sin x du u dxd du u dxd u t x xx==-⇒=-⎰⎰10.求)0(0)1ln()()(2n f n x x x x f 阶导数处的在=+=解：)(2)1(32()1ln(2213222---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n xo n xxxx x x x=)(2)1(321543n nn x o n xxxx +--+⋅⋅⋅-+-- 2!)1()0(1)(--=∴-n n fn nE.不等式的证明11.设)1,0(∈x ，211)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g；得证。
单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2<<<∈∴==<++-=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2）令单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1)1ln(1)(<∈-+=x h x xx x hF.中值定理问题12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η+++=其中]1,1[),,0(-∈∈x x η将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+=-=两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f3)](''')('''[21)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，13.2e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b ea b ->-证：)(')()(:ξf ab a f b f Lagrange =--令ξξln 2lnln ,ln )(222=--=ab ab x x f令2222ln )()(0ln 1)(',ln )(ee tt t tt t >∴>∴<-==ξξϕξϕϕϕ)(4ln ln222a b ea b ->- （关键：构造函数）三、补充习题（作业） 1.23)0('',11ln)(2-=+-=y xx x f 求2.曲线012)1,0(2cos 2sin =-+⎪⎩⎪⎨⎧==x y te y te x tt处切线为在3.ex y x xe x y 1)0)(1ln(+=>+=的渐进线方程为4.证明x>0时22)1(ln )1(-≥-x x x证：令3222)1(2)('''),(''),(',)1(ln )1()(xx x g x g x g x x x x g -=---=02)1(''0)1(')1(>===g g g ，00'),,1(0'),1,0(0''2'',0'''),,1(2'',0'''),1,0(>∴⎩⎨⎧>∞∈<∈⇒>⇒⎭⎬⎫>>+∞∈><∈g g x g x g g g x g g x第三讲 不定积分与定积分一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法 A.积分计算1.⎰⎰+-=--=-C x x dx x x dx 22arcsin)2(4)4(22.⎰⎰⎰+=+=+C x exdx exdx edx x e xxxx tan tan 2sec)1(tan 2222223.设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )(解：⎰⎰+=dx ee dx xf xx)1ln()(⎰+++-=+-++=--C e ex dx eee exxxx xx)1ln()1()11()1ln(4.⎰⎰∞∞>-∞+=+-+-=112122ln 214)11(lim|arctan 1arctan bb dx xx xx xdx xx πB.积分性质5.)(x f 连续，⎰=1)()(dt xt f x ϕ,且A xx f x =>-)(lim，求)(x ϕ并讨论)('x ϕ在0=x 的连续性。