中考数学专题复习第六章三角形等腰三角形

2021/12/8
图 19－2
回归教材
第六考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解 析 ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝70°. ∵MN 垂直平分 AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝
40°，∴∠DBC＝∠ABC－∠ABD＝70°－40°＝30°.
2021/12/8
2021/12/8
图 19－1
回归教材
第三考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解 析 由题意，在△ABC 中，AB＝AD＝DC，∠BAD
＝26°，根据等腰三角形的性质可以求出底角，再根据三角 形内角与外角的关系即可求出内角∠C.
∵AB＝AD，∠BAD＝26°，在△ABD 中，∠B＝∠ADB ＝(180°－26°)×12＝77°.
(1)上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC 来自百度文库等 腰三角形？(用序号写出所有成立的情形)
(2)请选择(1)中的一种情形，写出证明过程．
2021/12/8
回归教材
图 19－7
第二十考二点页，聚共焦四十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解：(1)①②；①③. (2)选①②，证明如下： 在△BOE 和△COD 中， ∠EBO＝∠DCO，
∠EOB＝∠DOC， BE＝CD， ∴△BOE≌△COD，∴BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠EBO＋∠OBC＝∠DCO＋∠OCB， 即∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC，即△ABC 是等腰三角形．
2021/12/8
回归教材
第二十考三点页，聚共焦四十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解 析 如图，DC 平分∠ACE，且 AB∥CD，∴∠ACD
＝∠DCE，∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCE，∴∠B＝∠A，∴ △ABC 为等腰三角形．
2021/12/8
回归教材
第五考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
4．[八上 P82 习题 13.3 第 7 题改编] 如图 19－2，AB＝AC， ∠A＝40°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，则∠DBC＝ __3__0_°___．
(1)三个角都相等的三角形是等边三角形
判定 (2)有一个角等于 60°的等腰三角形是等
边三角形
2021/12/8
回归教材
第十考三页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
考点(kǎo diǎn)4 线段的垂直平分线
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线叫 定义
做这条线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点 性质 的距离__相__等____ 与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 判定 段的__垂__直__平__分__线____上
2021/12/8
回归教材
第十考八页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
2．如图 19－6，在△ABC 中，AB＝AC，过点 C 作 CN ∥AB 且 CN＝AC，连接 AN 交 BC 于点 M.求证：BM＝CM.
2021/12/8
图 19－6
回归教材
第十考九页点，聚共四焦十二页。
2021/12/8
回归教材
第十考四页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
考向探究
探究1 等腰三角形性质(xìngzhì)的运用 例 1 如图 19－4，在△ABC 中，AB＝AD＝DC，∠
B＝70°，∠C 的度数为( A )
A．35°
图 19－4 B．40° C．45° D．50°
回归教材
第十考七页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解析
∵AB＝AC，BE＝a，AE＝b， ∴AC＝AB＝a＋b， ∵DE 是线段 AC 的垂直平分线， ∴AE＝CE＝b，∴∠ECA＝∠BAC＝36°， ∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°， ∴∠BCE＝∠ACB－∠ECA＝36°， ∴∠BEC＝180°－∠ABC－∠ECB＝72°， ∴CE＝BC＝b， ∴△ABC 的周长为：AB＋AC＋BC＝2a＋3b.
2021/12/8
回归教材
第九考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
考点聚焦
考点(kǎo diǎn)1 等腰三角形的概念与性质
定义 有_两__边___相等的三角形是等腰三角形．相等的两 边叫做腰，第三边为底
轴对 等腰三角形是轴对称图形，有___1___条
称性 对称轴 等腰三角形的两个底角相等，简称
第4课时(kèshí) 等腰三角形
2021/12/8
第一页，共四十二页。
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
回归教材
1．[八上 P8 习题 11.1 第 6 题改编] 若一个等腰三角形的一边 长 为 6 cm ， 周 长 为 20 cm ， 则 其 他 两 边 的 长 为
__8_c_m__，_6__cm___或__7__c_m__，_7_c．m
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
证明：∵AB＝AC，CN＝AC， ∴AB＝CN，∠N＝∠CAN. 又∵AB∥CN，∴∠BAM＝∠N， ∴∠BAM＝∠CAM， ∴AM 为∠BAC 的平分线， 又∵AB＝AC， ∴AM 为三角形 ABC 的边 BC 上的中线， ∴BM＝CM.
2021/12/8
2021/12/8
回归教材
第十考二页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
考点(kǎo diǎn)3 等边三角形
定义 三边相等的三角形是等边三角形
性质
等边三角形的各角都__相__等__，并且每一个 角都等于__6_0_°__ 等边三角形是轴对称图形，有__3____条对
称轴
|变式训练| 【2017·连云港】如图 19－8，已知等腰三角形 ABC 中，AB
＝AC，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且 AD＝AE，连接 BE， CD，交于点 F.
(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由； (2)求证：过点 A，F 的直线垂直平分线段 BC.
2021/12/8
2021/12/8
回归教材
第十考五页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解析
∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝70°，∵AD＝DC， ∴∠DAC＝∠C，∠ADB＝∠DAC＋∠C＝70°，则∠C ＝12∠ADB＝35°.
2021/12/8
回归教材
第十考六页点，聚共四焦十二页。
2021/12/8
回归教材
第十考一页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
考点(kǎo diǎn)2 等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个 定理
角所对的边也相等，简称__等__角__对__等__边__ (1)一边上的高与这边上的中线重合的三角 形是等腰三角形 (2)一边上的高与这边所对的角平分线重合 拓展 的三角形是等腰三角形 (3)一边上的中线与这边所对的角平分线重 合的三角形是等腰三角形
又∵AD＝DC，在△ADC 中，∠C＝12∠ADB＝77°×12＝ 38.5°.
2021/12/8
回归教材
第四考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
3．[八上 P78 例 2 改编] 如果三角形一个外角的平分线平 行于三角形的一边，那么这个三角形是___等__腰__三__角__形____．
图 19－8
回归教材
第二十考四点页，聚共焦四十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解析
(1) 根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 SAS 可 证 明 △ABE≌△ACD，然后证得∠ABE＝∠ACD；(2)由 AB ＝ AC ， 得 ∠ABC ＝ ∠ACB ， 由 (1)得 ∠ABE ＝ ∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC，得点 A， F 均在线段 BC 的垂直平分线上，即可证出结论．
解 析 ①若底边长为 6 cm，则腰长为(20－6)÷2＝7
(cm)，所以另两边的长为 7 cm，7 cm，能构成三角形； ②若腰长为 6 cm，则底边长为 20－6×2＝8 (cm)，所以
另两边的长为 8 cm，6 cm，能构成三角形． 因此另两边长为 8 cm，6 cm 或 7 cm，7 cm.
2021/12/8
回归教材
第二十考六点页，聚共焦四十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
探究(tànjiū)3 等腰三角形的多解问题
例 3 (1)若等腰三角形的一个角为 40°，则它的另外两 个角的度数为_1_0_0_°__，_4_0；°或70°，70°
(2)若等腰三角形的一个角为 100°，则它的另外两个 角的度数为_40_°__，__4_0°_．
2021/12/8
图 19－3
回归教材
第八考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
证明：∵BO 平分∠ABC， ∴∠ABO＝∠CBO. ∵MN∥BC，∴∠CBO＝∠BOM， ∴∠ABO＝∠BOM， ∴BM＝OM.同理可得 CN＝ON， ∴△AMN 的周长＝AM＋MO＋ON＋AN＝AM＋BM＋CN＋ AN＝AB＋AC.
性质 定理 1 __等__边__对__等__角__ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的
定理 2 __中__线____、底边上的高互相重合，简称 “三线合一”
2021/12/8
回归教材
第十考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
(1)等腰三角形两腰上的高相等 (2)等腰三角形两腰上的中线相等 (3)等腰三角形两底角的平分线相等 (4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 拓展 (5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行 (6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高 (7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等 于一腰上的高
2021/12/8
回归教材
第二十考一点页，聚共焦四十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
探究(tànjiū)2 等腰三角形的判定
例 2 如图 19－7，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AC， AB 上，BD 与 CE 交于点 O，给出下列三个条件：①∠EBO ＝∠DCO；②BE＝CD；③OB＝OC.
2021/12/8
回归教材
第二考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
2．[八上 P77 练习第 3 题改编] 如图 19－1，在△ABC 中， AB ＝ AD ＝ DC ， ∠ BAD ＝ 26 ° ， 则 ∠B ＝ __7_7_°____ ， ∠ C ＝ _3_8_.5_°____．
回归教材
第二考十页点，聚共四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
【方法模型】 (1) 等 腰 三 角 形 的 性 质 揭 示 了 三 角 形 中 边 与 角 的 转 化 关 系，由两边相等转化为两角相等是证明两角相等的常用方法． (2)等腰三角形“三线合一”是证明两条线段相等、两个 角相等以及两条直线互相垂直的重要依据．
2021/12/8
回归教材
第二十考五点页，聚共焦四十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
解：(1)∠ABE＝∠ACD.理由如下． 因为 AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD， 所以△ABE≌△ACD.所以∠ABE＝∠ACD. (2)证明：因为 AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB. 由(1)可知∠ABE＝∠ACD，所以∠FBC＝∠FCB，所以 FB＝FC. 又因为 AB＝AC，所以点 A、F 均在线段 BC 的垂直平 分线上， 即直线 AF 垂直平分线段 BC.
回归教材
第七考页点，共聚四焦十二页。
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
5．[八上 P83 习题 13.3 第 10 题] 如图 19－3，△ABC 中， BO 平分∠ABC，CO 平分∠ACB，MN 经过点 O，与 AB，AC 相交于点 M，N，且 MN∥BC.求证：△AMN 的周长等于 AB＋ AC.
考向探究
第19课时(kèshí)┃等腰三角形
|变式训练| 1．【2017·益阳】如图 19－5，在△ABC 中，AB＝AC， ∠BAC＝36°，DE 是线段 AC 的垂直平分线，若 BE＝a，AE ＝b，则用含 a，b 的代数式表示△ABC 的周长为_2a_＋__3_b___．
2021/12/8
图 19－5