X射线衍射方向材料分析

X射线衍射⽅向材料分析
第⼆章X射线衍射⽅向
X射线照射晶体，电⼦受迫振动产⽣相⼲散射；同⼀原⼦内各电⼦散射波相互⼲涉形成原⼦散射波。

由于晶体内各原⼦呈周期排列，因此各原⼦散射波间也存在固定的位相关系⽽产⽣⼲涉作⽤，在某些⽅向上发⽣相长⼲涉，即形成了衍射波。

由此，可知衍射的本质是晶体中各原⼦相⼲散射波叠加（合成）的结果。

衍射波的两个基本特征—衍射线（束）在空间分布的⽅位（衍射⽅向）和强度，与晶体内原⼦分布规律（晶体结构）密切相关。

X射线衍射分析是以X射线在晶体中的衍射现象作为基础的。

衍射可归结为两⽅⾯的问题，即衍射⽅向及衍射强度。

布拉格⽅程是阐明衍射⽅向的基本理论，⽽倒易点阵与爱⽡尔德图解则是解决衍射⽅向的有⼒⼯具。

晶体⼏何结构是更为基础的知识，在讨论上述内容之前应该有所了解。

有关点阵、晶胞、晶系以及晶向指数、晶⾯指数等在某些课程中可能已涉及，为适应衍射分析的需要，⼤家课前应该有所准备，这⾥不在重复。

⼀、劳厄⽅程：
波长为λ的⼀束X射线，以⼊射⾓α投射到晶体中原⼦间距为a的原⼦列上（图1）。

假设⼊射线和衍射线均为平⾯波，且晶胞中只有⼀个原⼦，原⼦的尺⼨忽略不计，原⼦中各电⼦产⽣的相⼲散射由原⼦中⼼点发出，那么由图1可知，相邻两原⼦的散射线光程差为：
若各原⼦的散射波互相⼲涉加强，形成衍射，则光程差必须等于⼊射X射线波长
λ德整数倍：
式中：H为整数（0，1，2…），称为衍射级数。

⼊射X射线的⽅向S0确定后，则决定各级衍射⽅向α/⾓可由下式求得：
由于只要α/⾓满⾜上式就能产⽣衍射，因此，衍射线将分布在以原⼦列为轴，以α/⾓为半顶⾓的⼀系列圆锥⾯上，每⼀个H值对应于⼀个圆锥。

在三维空间中，设⼊射X射线单位⽮量S0与三个晶轴a，b，c的交⾓分别为α，β，γ。

若产⽣衍射，则衍射⽅向的单位⽮量S 与三个晶轴的交⾓α/，β/，γ/必须满⾜：
a（COSα/－COSα）= Hλ
b（COSβ/－COSβ）= Kλ
c （COSγ/－COSγ）= Lλ
式中H，K，L均为整数，a，b，c分别为三个晶轴⽅向的晶体点阵常数。

上式由劳厄在1912年提出，称为劳厄⽅程，是确定衍射⽅向的基本⽅程。

由于S与三晶轴的交⾓具有⼀定的相互约束，因此，α/，β/，γ/不是完全相互独⽴，也受到⼀定关系的约束。

图1 ⼀维原⼦列的衍射
⼆、布拉格⽅程：
X射线在传播途中，与晶体中束缚较紧的电⼦相遇时，将发⽣经典散射。

晶体由⼤量原⼦组成，每个原⼦⼜有多个电⼦。

各电⼦所产⽣的经典散射线会相互⼲涉，使在某些⽅向获得加强，另⼀些⽅向则被削弱。

电⼦散射线⼲涉的总结果被称为衍射。

可以回顾⼀个波的⼲涉的概念：振动⽅向相同、波长相同的两列波叠加，将造成某些固定区域的加强或减弱。

如若叠加的波为⼀系列平⾏波，则形成固定的加强和减弱的必要条件是：这些波或具有相同的波程（周相），或者其波程差为波长的整数倍（相当于周相差为2π的整数倍）。

排列在⼀直线上⽆穷多的电⼦称为电⼦列。

早期的研究指出，当X射线照射到电⼦列时，散射线相互⼲涉的结果，只能在某些⼒向上获得加强。

在这些⽅向上，相邻电⼦散射线为同波程或波程差为波长的整数倍。

忽略了同原⼦中各电⼦散射线的周相差时，原⼦列对X射线的散射，其情况当与电⼦列相同。

德同物理学家劳埃在1912年指出：当X射线照射晶体时，若要在某⽅向上能获得衍射加强，必须同时满⾜三个劳埃⽅程即在晶体中三个相互垂直的⽅向上，相邻原⼦散射线的程差为波长的整数倍。

劳埃⽅程式，从本质上解决了X射线在晶体中的衍射⽅向问题，但理论⽐较复杂，在使⽤上亦⽋⽅便。

从实⽤⾓度来说，该理论有简化的必要。

晶体既然可看成由平⾏的原⼦⾯所组成、晶体的衍射线亦当是由原⼦⾯的衍射线叠加⽽得。

这些衍射线会由于相互⼲涉⽽⼤部分被抵消，只其中⼀些可得到加强。

更详细的研究指出，能够保留下来的那些衍射线，相当于某些⽹平⾯的反射线。

按照这⼀观点，晶体对X射线的衍射可视为晶体中某些原⼦⾯对X射线的“反射”。

将衍射看成反射，是导出布拉格⽅程的基础。

这⼀⽅程⾸先由英国的物理学家布拉格在1912年导出。

次年，俄国的晶体学家吴⾥夫也独⽴地导出了这⼀⽅程，因此也称为吴⾥夫－布拉格⽅程。

（⼀）布拉格⽅程的导出：
布拉格⽅程是应⽤起来很⽅便的⼀种衍射⼏何规律的表达形式。

⽤布拉格⽅程描述X射线在晶体中的衍射⼏何时，是把晶体看作是出许多平⾏的原⼦⾯堆积⽽成、把衍射线看作是原⼦⾯对⼊射线的反射。

这也就是说，在X射线照射到的原⼦⾯中，所有原⼦的散射波在原⼦⾯的反射⽅向上的相位是相同的，是⼲涉加强的⽅向。

图2 布拉格⽅程的导出
先考虑同⼀晶⾯上的原⼦的散射线叠加条件。

如图2，⼀束平⾏的单⾊X射线以θ⾓照射到原⼦⾯AA上，如果⼊射线在LL1处为同周相，则⾯上的原⼦M1和M的散射线中，处于反射线位置的MN和M1N1在到达NN1时为同光程，⼲涉加强。

由于M、M1是任意的，所以此原⼦⾯上所有原⼦散射波在反射⽅向上的相位均相同，这说明同⼀晶⾯上的原⼦的散射线，在原⼦⾯的反射线⽅向上是可以互相加强的。

由于X射线的波长短、穿透⼒强，因此X射线不仅可照射到晶体表⾯，使晶体表⾯的原⼦成为散射波源，⽽且可以照射到晶体内⼀系列平⾏的原⼦⾯使晶体内部的原⼦成为散射波源。

如果相邻两个晶⾯的反射线的周相差为2π的整数倍（或光程差为波长的整数倍），则所有平⾏晶⾯的反射线可⼀致加强，从⽽在该⽅向上获得衍射。

⼊射线LM照射到AA晶⾯后，反射线为MN；另⼀条平⾏的⼊射线L1M2照射到相邻的晶⾯BB后，反射线为M2N2。

这两束X射线到达NN2处的程差为：
如果晶⾯间距为d，则：
如果散射（⼊射）X射线的波长为λ，则在这个⽅向上散射线互相加强的条件为：
2d sinθ＝nλ
这就是著名的布拉格⽅程。

式⼦：2d sinθ＝nλ中的θ，是⼊射线或（反射线）与晶⾯的夹⾓，称为掠射⾓或布拉格⾓。

⼊射线与衍射线之间的夹⾓为2θ，称为衍射⾓，n为整数，称为反射的级数。

布拉格⽅程是X射线在晶体中产⽣衍射必须满⾜的基本条件，它反映了衍射⽅向与晶体结构之间的关系。

还可以证明，X射线束上L1M2在照射晶⾯AA后，反射线到达N1点；同⼀线束照射到相邻晶⾯BB后，反射线到达N2点。

在
N1、N2处，两束反射X射线的程差亦为2d sinθ。

这样，我们已经证明，当⼀束单⾊且平⾏的X射线照射到晶体时，同⼀晶⾯上的原⼦的散射线，在晶⾯反射⽅向上是同周相的，因⽽可以叠加；不同晶⾯的反射线若要加强，必要的条件是相邻晶⾯反射线的程差为波长的整数倍。

（⼆）布拉格⽅程的讨论：
布拉格⽅程在解决衍射⽅向时是极其简单⽽明确的。

波长为λ的⼊射线，以θ⾓投射到晶体中间距为d的晶⾯时，有可能在晶⾯的反射⽅向上产⽣反射（衍射）线，其条件为相邻晶⾯的反射线的程差为波长的整数倍。

下⾯我们将会看到，布拉格⽅程只是获得衍射的必要条件⽽⾮充分条件。

布拉格⽅程联系了晶⾯间距d，掠射⾓θ⾓，反射级数n和X射线波长λ四个量。

当知道了其中三个量就可通过公式求出其余⼀个量。

必须强调的是，在不同场合下，某个量可能表现为常量或变量，故需仔细分析。

布拉格⽅程是衍射中最基本最重要的⽅程。

布拉格⽅程的主要⽤途：
1、已知晶体的d值。

通过测量θ，求特征X射线的λ，并通过λ判断产⽣特征X射线的元素。

这主要应⽤于X射线荧光光谱仪和电⼦探针中。

2、已知⼊射X射线的波长，通过测量θ，求晶⾯间距。

并通过晶⾯间距，测定晶体结构或进⾏物相分析。

1、选择反射：
X射线在晶体中的衍射实质是晶体中各原⼦散射波之间的⼲涉结果。

只是由于衍射线的⽅向恰好相当于原⼦⾯对⼊射线的发射，所以可以借⽤镜⾯发射规律来描述X 射线的衍射，即将衍射看成反射，是布拉格⽅程的基础。

但衍射是本质，反射仅是为了使⽤⽅便的描述⽅式。

X射线的晶⾯反射与可见光的镜画反射亦有所不同。

⼀束可见光以任意⾓度投射到镜⾯上都可以产⽣
反射，但X射线只有在满⾜布拉格⽅程的θ⾓上才能发⽣反射，是具有选择性的⽽⾮任意的，只有当d、θ和λ满⾜布拉格⽅程时才能发⽣反射，。

因此，这种反射亦称选择反射。

⼀组⾯⽹只能在⼀定的⾓度上反射X 射线，级次越⾼，衍射⾓越⼤。

⼈们经常⽤“反射”这个术语来描述⼀些衍射问题，有时也把“衍射”和“反射”作为同义语混合使⽤，但其实质都是说明衍射问题；有两种⼏何学的关系必须牢记：①⼊射光束、反射⾯的法线和衍射光束⼀定共⾯；②衍射光束与透射光束之间的夹⾓等于2θ，这个⾓称为衍射⾓。

例1：Al,⾯⼼⽴⽅,已知a=0.405nm
⽤nm
线照射,问(111)⾯⽹组能产⽣⼏条衍射线。

=
CuK15416
.0
α
解: nm d 234.03405.0==
04.315418.0234
.02=?≤n
n=1,2,3 能产⽣三条衍射线
n=1 329.021sin 1==d λθ,12
191?=θ’ n=2 659
.022sin 2==d λθ，13412?=θ’ n=3 988.023sin 3==d
λθ,07813?=θ’ 例2、Lu 2O 3，⽴⽅晶系，已知a=1.0390 nm
⽤nm CoK
17980.01=α线照射,问(400)⾯⽹组能产⽣⼏条衍射线。

解：2598.04039.1==
d 89
.21798.02598
.02=?≤n 2,1=n
2、反射级数：
公式中的n 称为反射级数。

由相邻两个平⾏晶⾯反射出的X 射线束，其波程差⽤波长去量度所得的整份数在数值上就等于n 。

在使⽤布喇格⽅程时，并不直接赋予n 以1、2、3等数值，⽽是采⽤另⼀种⽅式。

图3 反射级数讨论⽤图
参照图3，假设X 射线照射到晶体的（100），⽽且刚好能发⽣⼆级反射，则相应的布拉格⽅程为：
设想在每两个（100）中间均插⼊⼀个原⼦分布与之完全相同的⾯。

此时⾯簇中最
近原点的晶⾯在X 轴上截距已变为1／2，故⾯簇的指数可写作（200）。

⼜因⾯间距已减为原来的⼀半，相邻晶⾯反射线的程差便只有⼀个波长，此种情况相当于（200）发⽣了⼀级反射，其相应的布拉格⽅程为：
上式⼜可写作：（2－9）
式（2－9）相当于将式（2－8）右边的2移往了左边，但这两个式⼦所对应的衍射⽅向是⼀样的，也就是说，可以将（100）的⼆级反射看成（200）的⼀级反射。

⼀般说法是，把（hkl ）的n 级反射看作（nh nk nl ）的⼀级反射。

如果（hkl ）的⾯间距是d ，则（nh nk nl ）的⾯间距为d/n 。

因此，布拉格⽅程可以写成以下的形式：
或
这种形式的布拉格⽅程，在使⽤上极为⽅便，它可以认为反射级数永远等于1，因为级数n 实际上已经包含在d 中。

也就是说，（hkl ）的n 级反射可以看成来⾃某种虚拟的晶⾯的1级反射。

（为了应⽤上的⽅便,经常把布拉格⽅程中的n 隐含在d 中得简化后布拉格⽅程。

λθ=sin 2n
d hkl
令
HKL hkl
d n d = 则λθ=sin 2HKL d
这样，布拉格⽅程变成永远是⼀级反射的形式。

也就是说，我们把(hkl )晶⾯的n 级反射看成为与(hkl )晶⾯平⾏，⾯间距为n d d hkl HKL =的晶⾯的⼀级反射。

注意：⾯间距为HKL d 的晶⾯并不
⼀定是晶体中的真实原⼦⾯，⽽是为了简化布拉格⽅程⽽引⼊的反射⾯，我们把这样的反射⾯称为⼲涉⾯。

把⼲涉⾯的⾯指数称为⼲涉指数，通常⽤⼤写的HKL 来表⽰。

根据晶⾯指数的定义可以得出⼲涉指数与晶⾯指数之间的关系为：
nl L nk K nh H ===,;
差别是⼲涉指数中有公约数，⽽晶⾯指数没有公约数。

若⼲涉指数也没有公约数，它就代表⼀族真实的晶⾯。

在X 射线结晶学中,实际使⽤的经常都是简化的布拉格⽅程。

同时规定：
衍射指标：产⽣第⼀级衍射的那个⾯⽹的⾯指数。

例如：110衍射----代表由(110)⾯⽹族所产⽣的衍射线。

⾄于110的第⼆级衍射，由于它等同于(220)⾯⽹族的第⼀级反射，故其衍射指标应为：220
显然，110衍射与220衍射两者的θ值是不等的，它们是不同⽅向的两条衍射线。

注意：在X 射线结晶学中，决不能象在⼏何结晶学中确定晶⾯符号那样，把(220)约简为(110)，把(002)约简为(001)等。

）
3、⼲涉⾯指数：
晶⾯（hkl）的n级反射⾯（nh nk nl），⽤符号（HKL）表⽰，称为反射⾯或⼲涉⾯。

根据晶⾯指数的定义可以得出⼲涉指数与晶⾯指数之间的关系：
H＝nh，K＝nk，L＝nl
（hkl）是晶体中实际存在的晶⾯，（HKL）只是为了使问题简化⽽引⼊的虚拟晶⾯。

⼲涉⾯的⾯指数称为⼲涉指数，⼀般有公约数n。

当n＝1时，⼲涉指数即变为晶⾯指数。

⼲涉指数中有公约数，⽽晶⾯指数没有公约数。

对于⽴⽅晶系，晶⾯间距与晶⾯的关系为：
⼲涉⾯的间距与⼲涉指数的关系与此类似，即
在X射线衍射分析中，如⽆特别声明，所⽤的⾯间距—般是指⼲涉⾯间距。

4、掠射⾓：
掠射⾓θ是⼊射线或反射线与晶⾯的夹⾓，可表征衍射的⽅向。

从布拉格⽅程可得：sinθ＝λ／（2d）。

从这⼀表达式可导致两个概念：其⼀是，当λ⼀定时，d相同的晶⾯，必然在θ相同的情况下才能获得反射。

当⽤单⾊X射线照射多晶体时，各晶粒中d相同的晶⾯，其反射线将有者确定的关系。

这⾥所指d相同的晶⾯，当然也包括等同晶⾯。

另⼀个概念是，当λ⼀定时，d减⼩，θ就要增⼤。

这说明间距⼩的晶⾯，其掠射⾓必须是较⼤的，否则它们的反射线就⽆法加强。

在考察多晶体衍射时，这⼀概念⾮常重要。

5、衍射极限条件：
掠射⾓的权限范围为0o～90o，但过⼤成过⼩都会造成衍射的探测困难。

由于
|sinθ|＜1，使得在衍射中反射级数n或⼲涉⾯间距d都要受到限制。

（1）只有特定波长范围的X射线才能产⽣衍射：
在晶体中产⽣衍射的波长是有限度的，在电磁波的宽阔波长范围⾥，只有在X射线波长范围内的电磁波才适合探测晶体结构，这个结论可以从布拉格⽅程得出。

因为2d sinθ＝nλ，n为整数。

n＝（2d/ λ）sinθ，所以n≤2d/ λ。

对衍射⽽⾔，n 的最⼩值为1（n＝0相当于透射⽅向上的衍射线束，⽆法观测）。

当d⼀定时，λ减⼩，n可增⼤，说明对同⼀种晶⾯，当采⽤短波X射线照射时，可获得较多级数的反射，即衍射花样⽐较复杂。

从⼲涉⾯的⾓度去分析亦有类似的规律。

在晶体中，⼲涉⾯的划取是⽆限的，但并⾮所有的⼲涉⾯均能参与衍射。

因为存在关系d sinθ＝λ／2，表达
式说明只有间距⼤于或等于X 射线半波长的那些⼲涉⾯才能参与反射。

即产⽣衍射的条件为：λ≤2d
说明X 射线的波长必须⼩于晶⾯间距的⼆倍，才能产⽣衍射现象。

很明显，当采⽤短波X 射线照射时，能参与反射的⼲涉⾯将会增多。

常⽤波长范围为：0.25～0.05 nm 。

但波长太短，掠射⾓就很⼩，这对仪器测量是很困难的。

（2）λ⼀定时，产⽣衍射的晶⾯族也是有限的，必须满⾜：d ≥λ／2
从⼲涉⾯的⾓度去分析亦有类似的规律。

在晶体中，⼲涉⾯的划取是⽆限的，但并⾮所有的⼲涉⾯均能参与衍射，说明只有那些晶⾯间距⼤于⼊射X 射线波长⼀半的晶⾯才能发⽣衍射。

例3：已知nm d 0715.0440=，问⽤nm CuK 15418.0=α
λ照射，能否使(440)⾯⽹组产⽣衍射？
解： 93.015418.00715
.022=?=≤λd
n
不能使(440)⾯产⽣衍射。

改Mo 靶，nm MoK 07107.0=αλ 02.207107.00715
.022=?=≤λd
n
n=1,2 有两条衍射线。

6、应⽤：
布拉格⽅程是衍射分析中最重要的基础公式，它简单明确地阐明衍射的基本关系，应⽤⾮常⼴泛。

归结起来、从实验上可有两⽅⾯的应⽤：其⼀是⽤已知波长的X 射线去照射未知结构的晶体，通过衍射⾓的测量求得晶体中各晶⾯的⾯间距d ，从⽽揭⽰晶体的结构，这就是结构分析（衍射分析）；另⼀是⽤已知⾯间距的晶体来反射从样品发射出来的X 射线，通过衍射⾓的测量求得X 射线的波长，这就是X 射线光谱学。

该法除可进⾏光谱结构的研究外，从X 射线波长尚可确定试样的组成元素。

电⼦探针就是按照这⼀原理设计的。

补充：衍射花样与晶体结构的关系
从布拉格⽅程可知，在波长⼀定的情况下，衍射线的⽅向是晶体⾯间距d 的函数。

如果将各晶系的d 值代⼊布拉格⽅程中，则得：
⽴⽅晶系：222l k h a
d ++=，()2222224sin L K H a ++=λθ
正⽅晶系:222221
c l a k
h d ++=，
++=22222224sin c L a K H λθ斜⽅晶系:2221
??+ ??+ ??=c l b k a h d ，
++=222222224sin c L b K a H λθ六⽅晶系:22222341c l a k hk h d +++=，
+++=2222222344sin c L a K HK H λθ其它晶系从略。

从这些关系式可明显看出，不同晶系的晶体，或者同⼀晶系⽽晶胞⼤⼩不同的晶体，其衍射花样是不相同的。

由此可见，布拉格⽅程可以反映出晶体结构中晶胞⼤⼩及形状的变化。

三、衍射⽮量⽅程及厄⽡尔德图解：
X 射线在晶体中的衍射，除布拉格⽅程外，还可以⽤衍射⽮量⽅程和厄⽡尔德图解来表达。

在前⾯描述X 射线的衍射时，主要解决两个问题，⼀是产⽣衍射的条件，即满⾜布拉格⽅程；⼆是衍射⽅向，即根据布拉格⽅程确定2θ。

现在把这两个⽅⾯的条件⽤⼀个统⼀的⽮量形式来表达。

1、衍射⽮量⽅程：
应⽤倒易点阵可以容易地解释衍射现象。

若⼀束波长为λ的单⾊X 射线被晶⾯P 反射时，假定N 为晶⾯P 的法线⽅向，⼊射线⽅向⽤单位⽮量S 0表⽰，衍射线⽅向⽤单位⽮量S 表⽰，K ＝S —S 0称为衍射⽮量，见图4。

从图4可见，只要满⾜布拉格⽅程，衍射⽮量K 必定与反射⾯的法线N 平⾏，它的绝对值为： |S －S 0|＝2sinθ=λ/d hkl 。

因此，当满⾜衍射条件时，衍射⽮量的⽅向就是反射晶⾯的法线⽅向，衍射⽮量的长度与反射晶⾯组的⾯间距成⽐例，⽐例系数相当于λ。

根据前⾯讲述的倒易点阵不难看出，衍射⽮量实际上相当于倒易⽮量。

因为，r ＝1/ d hkl ，r*=ha*＋kb*＋lc*，
所以由|S －S 0|＝2sinθ=λ/d hkl 可得：|S/λ－S 0/λ| = 1/d hkl ，即：
S/λ－S 0/λ＝r*=ha*＋kb*＋lc*，该式就是倒易点阵中的衍射⽮量⽅程。

图4 衍射⽮量图⽰
2、厄⽡尔德图解：
这种图解法是德国物理学家厄⽡尔德⾸先提出来的。

衍射⽮量⽅程的图解法表达形式是由S0／λ、S／λ和r*三个⽮量构成的等腰三⾓形，三者分别表⽰⼊射线⽅向、衍射线⽅向和倒易⽮量之间的关系，倒易点阵原点在O*，晶体放在C处，见图。

当⼀束X射线以⼀定的⽅向照射到晶体上时，可能会有很多个晶⾯族满⾜衍射条件，即在很多个⽅向上产⽣衍射线，也就是说以公共边S0／λ构成很多个⽮量三⾓形。

其中公布⽮量S0／λ的起端为各等腰三⾓形顶⾓的公共顶点，末端为各三⾓形中⼀个底⾓的公共顶点，也就是倒易点阵的原点，⽽各三⾓形的另⼀些底⾓的顶点为满⾜衍射条件的倒易结点。

由⼏何知识可知，腰边相等的等腰三⾓形其两腰所夹的⾓顶为公共点时，则两个底⾓的⾓顶必定都位于以两腰所夹的⾓顶为中⼼、腰长为半径的球⾯上。

由此可见，满⾜布拉格条件的那些倒易点⼀定位于以等腰⽮量所夹的公共⾓顶为中⼼、1／λ为半径的球⾯上。

根据这样的原理、厄⽡尔德提出了倒易点阵中衍射条件的图解法，称为厄⽡尔德图解法。

作图⽅法见图5。

沿⼊射线⽅向做长度为l／λ（例易点阵周期与1／λ采⽤同⼀⽐例尺度）的⽮量S0／λ，使该⽮量的末端落在倒易点阵的原点O*。

以⽮量S0／λ的起端C为中⼼，以1／λ为半径画⼀个球，该球称为反射球。

凡是与反射球⾯相交的倒易结点（P1和P2等）都能满⾜衍射条件⽽产⽣衍射。

图5 衍射⽮量三⾓形和厄⽡尔德图解
由反射球⾯上的倒易结点、倒易点阵原点和反射球中⼼连接成衍射⽮量三⾓形P1O*C、P2O*C等，其中CP1和CP2分别为倒易结点P1和P2的衍射⽅向，倒易⽮量r*（O*P1和O*P2）分别表⽰满⾜衍射条件的晶⾯族的取向和⾯间距。

如果我们观察位于C的晶体在转动，倒易结点也就随之转动，这样就会有更多的倒易点落在反射球上，从⽽出现更多的衍射线。

利⽤倒易点阵的优点是，⽬视观察点阵上的⼀组点⽐观察⼀组晶⾯要容易得多。

因此，厄⽡尔德图解法可以同时容易地表达产⽣衍射的条件和衍射线的⽅向。

但是，如果需要进⾏具体的数学运算时，还要⽤布拉格⽅程。

从厄⽡尔德图解法中可以看出，并不是随便把⼀个晶体置于X射线的照射下都能产⽣衍射现象。

例如，⼀束单⾊X射线照射⼀个固定不动的单晶体时，就不⼀定能产⽣衍射现象。

因为在这种情况下，反射球⾯完全有可能不与倒易结点相交。

所以，在设计实验⽅法时，⼀定要保证反射球⾯能有充分的机会与倒易结点相交，只有这样才
能产⽣衍射现象。

解决这个问题的办法是使反射球扫过某些倒易结点，永远有机会与倒易结点相交。

要做到这⼀点，就必须使反射球或晶体其中之⼀处于运动状态或者相当于运动状态。

⽬前常⽤的实验⽅法有：
（1）⽤单⾊（标识）X射线照射转动晶体，相当倒易点在运动，使反射球永远有机会与某些倒易结点相交。

该法称为转动晶体法。

（2）⽤多⾊（连续）X射线照射固定不动的单晶体。

由于连续X射线有⼀定的波长范围，因此就有⼀系列与之相对应的反射球连续分布在⼀定的区域，凡是落在这个区域内的倒易结点都满⾜衍射条件。

这种情况也相当于反射球在⼀定的范围内运动，从⽽使反射球永远有机会与某些倒易结点相交。

该法称为劳厄法。

（3）⽤单⾊（标识）X射线照射多晶体试样。

多晶体中，由于各晶粒的取向是杂乱分布的，因此固定不动的多晶体就其晶粒的位向关系⽽⾔，相当于晶体转动的情况。

该法称为多晶体衍射法，这也是⽬前最常⽤的⼀种⽅法。

三、X射线衍射的⽅法
简化的布拉格⽅程维系着d、λ及θ三个参量。

设想采⽤单⼀波长的X射线去照射不动的单晶体，对于间距为d的某种晶⾯⽽⾔，λ、θ已属恒定，⽽该晶⾯相对于X 射线的掠射⾓θ亦不复可变。

这样三个固定的参量⼀般是不会满⾜布拉格关系的，从⽽不可能获得衍射。

为使衍射能够发⽣，必须设法使θ或λ连续可变。

（⼀）劳埃法（劳厄法）
采⽤连续X射线照射不动的单晶体。

因X射线的波长连续可变，故可从中挑选出其波长满⾜布拉格关系的X射线使其产⽣衍射。

连续谱的波长有⼀段范围，从λ0到λm，对应的反射球也有⼀整套，其半径从1／λ0连续变化到l／λm。

凡是落到这两个球⾯之间区域的倒易结点，均满⾜布拉格条件，它们将与对应某⼀波长的反射球⾯相交⽽获得衍射。

劳埃法是德国物理学家劳埃在1912年⾸先提出的，是最早的X射线分析⽅法，它⽤垂直于⼊射线的平底⽚记录衍射线⽽得到劳埃斑点。

如图6劳埃法⽰意的描绘了这⼀⽅法。

⽬前劳埃法多⽤于单晶体取向测定及晶体对称性的研究。

图6 劳埃法图7 周转晶体法
（⼆）周转晶体法
旋转单晶法是采⽤单⾊X射线照射转动的单晶体，并使晶体不断旋转，⽤⼀张以旋转轴为轴的圆筒形底⽚来记录，其⽰意图
7（即固定X射线的波长，不断改变θ）。

如前所述，当晶体处于静⽌状态时，⼀般不能产⽣衍射。

如果晶体转动，则某晶⾯与⼊射X射线的夹⾓将连续变化，并在某特定位置满⾜布拉格关系⽽产⽣⼀个衍射点。

衍射花样呈层线分布。

通常选择晶体某⼀已知点阵直线为旋转轴，通过层线可计算该⽅向上的点阵周期，测定多个⽅向上点阵周期之后就可确定晶体的结构。

旋转晶体法主要⽤于研究晶体结构，是晶体学家研究晶体结构的主要⼿段。

（三）粉末法
采⽤单⾊X射线照射多晶体。

试样是出数量众多、取向混乱的微晶体组成。

各微晶体中某种指数的晶⾯在空间占有各种⽅位，这与运动的单晶体某种晶⾯在不同瞬时占有不同位置的情况相当，故此种⼏何布置亦可获得衍射。

关于粉末衍射花样的形成，本书将在第三章及第四章开头处作较详细的分析。

粉末法是衍射分析中最常⽤的⽅法。

⼤多数材料的粉末或其板、丝、块、棒等均可直接⽤作试样，且其衍射花样⼜可提供甚多的分析资料。

粉末法主要⽤于测定晶体结构，进⾏物相定性、定量分析，精确测定晶体的点阵参数以及材料的应⼒、织构、晶粒⼤⼩的测定等等。

粉末法是各种多晶体X射线分析法的总称，其中以德拜—谢乐法最具典型性，它⽤窄圆筒底⽚来记录衍射花样，图8为其⽰意图。

较重要的还有聚焦照相法等。

亦可⽤平底⽚记录，此法惯称针孔法。

⽬前最具实⽤性的是⽤电离计数器测定衍射X射线，这就是X射线衍射仪测量。

图8 粉末法。