课题学习最短路径问题教学设计人教版数学八年级上册

高新技术产业开发区XX中学
备课日志
1.两点之间的所有连线中，什么线最短？
2．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，什么线最短？
【课堂引入】
已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA＋PB最小．提示：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求．以学生学过的知识为基础引入课题，培养学生的学习兴趣
【探究新知】
1．问题1如图，牧马人从草场A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后回到帐篷B 地．问：到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？你能用自己的语言解释这个题的意思吗？能把它抽象为数学问题吗？
(1)将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线；
(2)从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；探究活动，使学生经历将实际问题转化为数学问题的建模过程．
2
思考、合作交流，鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试，培养合作意识
(3)在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
(4)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图).
追问2对于问题1，如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等？
追问3你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？
教师讲解作法：如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？
作法：
(1)作点B关于直线l的对称点B′；
(2)连接AB′，与直线l相交于点C.则点C即为所求．
问题2你能用所学的知识证明AC＋BC最短吗？
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点C不重合)，连接AC′，BC′，B′C′.由轴对称的性质知，
BC＝B′C，BC′＝B′C′.
∴AC ＋BC＝AC＋B′C＝AB′，AC′＋BC′＝AC′＋B′C′.
在∴AB′C′中，AB′＜AC′＋B′C′，∴ AC ＋BC＜AC′＋BC′.即AC ＋BC 最短．
师生活动：教师先让学生分组讨论，分析问题，解决问题，对有疑问的地方教师适时引导，最后共同总结．
2．仿照上面分析问题的方法，你能解决下面的问题吗？
(造桥选址问题)如下图，A，B两地在一条河的两岸，现要在河岸上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
把河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.
上面的问题就转化为：如图，直线a∴b，N为直线b上的一个动点，MN∴b，交直线a于点M，当点N在直线b的什么位置时，AM＋MN＋NB最小？
由于河岸宽度是固定的，因此当AM＋BN最小时，AM＋MN＋NB最小．这样，问题就进一步转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM＋NB最小？
追问4：能否通过图形的变化(轴对称、平移等)，把上图的情况转化为下图的情况？
如图，将AM沿与河岸垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移动到点A′，则AA′＝MN，AM＋NB＝A′N＋NB.这样问题就得到了转化．
追问5：你能找到所要求的N点的位置吗？
如图，连接A′B，交直线b于点N，则点N即为所求．
即在点N处建桥MN，所得路径AMNB最短．
追问6：你能证明点N的位置即为所求吗？
如图，在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作N′M′∴a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.求证：AM＋MN＋NB＜AM′＋M′N′＋N′B.
证明：由作图可知M′N′＝MN＝AA′.
由平移的性质可知AM＝A′N，AM′＝A′N′.
根据“两点之间，线段最短”可知A′N′＋N′B＞A′B.
∴AM′＋N′B＞AM＋NB.
∴AM′＋N′B＋M′N′＞AM＋NB＋MN.
师生活动：教师可引导学生分析，对于有疑问的地方进行讲解说明．
归纳：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径.
重难点突破【典型例题】
例1如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使PM＋PN最
短，则点P应选在(C)
A．A点B．B点C．C点D．D点
例2如图直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∴l2，现要在这条河上建一座桥(桥与
河的两岸相互垂直)，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画
出示意图，并说明理由．
解：如图所示．
理由：由作图过程可知，四边形ADCA′为平行四边形，AD平移至A′C即可得到线
段A′B，两点之间，线段最短，由于河宽不变，CD即为桥．
进一步巩固学生
对最短路径问题
的解决方法的掌
握
【课堂检测】
1．如图，A，B是两个居民小区，快递公司准备在公路l上选取点P处建一个服务中心，使PA＋PB最短．下面四种选址方案符合要求的是(A)
A B C D
2．如图，在Rt∴ABC中，∴A＝90°，∴C＝30°，AB＝2，EF是AC的垂直平分
线，P是直线EF上的任意一点，则PA＋PB的最小值是4．
3．如图，一艘旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后送往河岸BC上，再回到P处，请画出旅游船的最短路线．
解：连接PQ，作P关于BC的对称点P1，连接QP1，交BC于M，再连接MP.最短路线即为PQMP.
师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解．针对本课时的主要问题，分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的。