清泉州阳光实验学校高三数学二轮教案二次函数

清泉州阳光实验学校2021届高三数学二轮专题教案
二次函数
[核心打破]
二次函数的解析式〔三种形式〕，图象〔单调性，开口方向，对称轴〕，数形结合.
[根底再现]
1.假设函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b ∈R,且a,b 为常数)是偶函数，其值域为
(]4,∞-，那么该函数的解析式
是______________. 2.函数()2)1(22+-+=x a x x f 在区间(4,∞-)上是减函数，那么实数a 的取值范围__
3.不等式012≥--bx ax 的解集是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--31,21，那么不等式02<--a bx x 的解集是_ 4.设函数,002)(2⎩
⎨⎧≤++>-=x c bx x x x f 假设f(-4)=f(0)，f(-2)=0.那么关于x 的不等式f(x)≤1的 解集为_____________.
[典型例题]
例1:二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f --=-,且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求)(x f 的解析式.
例2:〔1〕函数
a ax x x f -++-=12)(2在区间[0，1]上有最大值2，求a 的值； 〔2〕函数
12)(2++=ax ax x f 在区间[-3，2]上有最大值4，求a 的值； 〔3〕a ax x x f -++=3)(2,假设]2,2[-∈x 时,0)(≥x f 恒成立，求a 的取值范围.
例3：函数52)(2+-=ax x x f 〔1>a 〕.
〔1〕假设)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，务实数a 的值；
〔2〕假设
)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有 4)()(21≤-x f x f ，务实数a 的取值范围.
参考答案
[根底再现]
1.f(x)=-x2+4
2.(]3,-∞-
3.(2，3)
4.
[]()+∞--,01,3 [典型例题]
例1．二次函数
)(x f 满足)2()2(x f x f --=-，且图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求)(x f 的解析式。

分析：根据题中条件的不同转化方法，可以选择二次函数不同的解析式来解题。

解析：方法一：
设)0()(2≠++=a c bx ax x f 那么由0)2()2(=--=-x f x f 得22-=-
a b ① 又易得1=c ②又2221=-x x ，∴84)(21221=-+x x x x ∴84)(2=--a c a b ③由①②③可得1,2,21===c b a ∴122
1)(2++=x x x f 。

方法二：由
)2()2(x f x f --=-可设n x a n x a x f -=+⇒=++=22)2(0)2()( 又易得14=+n a ①令0)1(2=++n x a ，得a
n x -=+2)2( ∴a n
x -±=+2，∴22221=-=-a
n x x ② 由①②得⎪⎩
⎪⎨⎧-==121n a ，∴1)2(21)(2-+=x x f 方法三:由得)(x f 关于2-=x 对称，
∵)(x f 在x 轴上截得线段长为22∴可设)(x f =0两根为21x x 、 ∴221
--=x ，222+-=x 设)24()22)(22()(2++=-+++=x x a x x a x f
又,12=a ∴2
1=a ，∴)24(21)(2++=x x x f 。

评析：解题时要擅长将题中条件)2()2(x f x f --=-进一步转化，这样可以更快地找到解题思路。

例2．〔1〕函数
a ax x x f -++-=12)(2在区间[0，1]上有最大值2，求a 的值； 〔2〕函数
12)(2++=ax ax x f 在区间[-3，2]上有最大值4，求a 的值； 〔3〕a ax x x f -++=3)(2，假设]2,2[-∈x 时，0)(≥x f 恒成立，
求a 的取值范围。

分析：二次函数在给定闭区间上的最值问题，一般先讨论二次函数图像的开口方向，再讨论对称轴和区间的相对位置。

解析：〔1〕1)()(22+-+--=a a a x x f
①10≤≤a 21)(2max =+-=a a x f ，∴25
1±=
a 舍去。

②0<a
21)(max =-=a x f ，∴1-=a 成立。

③1>a ,2121)(max ==-++-=a a a x f ∴2=a 成立。

综上，12-==a a 或
〔2〕
a x a x f -++=1)1()(2 ①0=a
，舍去。

②0>a
，418)2()(max =+==a f x f ，∴83=a ，成立。

③0<a ，41)1()(max =-=-=a f x f ，∴3-=a ，成立。

综上，833=
-=a a 或。

(3)∵03)1(2≥+-+x a x
,∴3)1(2--≥-x x a ①1=x 时，R a ∈
②]2,1(∈x ，1
32---≥x x a 令]1,0(,1∈=-t t x ∴2)4(422-+-=---≥t
t t t t a ，∴7-≥a ③13),1,2[2---≤-∈x x a x ，令[)0,3,1-∈=-t t x ∴2)4(-+-≤t
t a ，∴2≤a ，
综上，27≤≤-a 。

评析：有关不等式恒成立问题通常可以通过别离参数转化为求函数最值问题。

例3：函数
52)(2+-=ax x x f 〔1>a 〕. 〔1〕假设
)(x f 的定义域和值域均是[]a ,1，务实数a 的值； 〔2〕假设)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，且对任意的1x ，2x []1,1+∈a ，总有
4)()(21≤-x f x f ，务实数a 的取值范围.
【解】∵
225)()(a a x x f -+-=〔1>a 〕, ∴)(x f 在[]a ,1上是减函数，
〔2分〕 又定义域和值域均为[]a ,1，∴⎩
⎨⎧==1)()1(a f a f ，〔4分〕 即⎩
⎨⎧=+-=+-15252122a a a a ，解得2=a .〔6分〕 (II)∵
)(x f 在区间(]2,∞-上是减函数，∴2≥a ，〔8分〕 又[]1,1+∈=a a x
，且，1)1(-≤-+a a a ∴a f x f 26)1()(max -==，2min 5)()(a a f x f -==.〔11分〕 ∵对任意的1x ，2
x []1,1+∈a ，总有4)()(21≤-x f x f ， ∴4)()(min max ≤-x f x f ，
〔13分〕 即4)5()26(2≤---a
a ，解得31≤≤-a ，〔14分〕 又2≥a ，∴32≤≤a .〔15分〕
例4：设a 为实数，函数
a x a x x x f --+=)(2)(2. 〔1〕假设1)0(≥f ，求a 的取值范围；
〔2〕求)(x f 的最小值；〔3〕设函数)()(x f x h =, ),(+∞∈a x ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集.
【解析】〔1〕假设(0)1f ≥，那么20||111
a a a a a <⎧-≥⇒⇒≤-⎨≥⎩
〔2〕当x a ≥时，22()32,f x x ax a =-+22min (),02,0()2(),0,033f a a a a f x a a f a a ⎧≥≥⎧⎪⎪==⎨⎨<<⎪⎪⎩⎩ 当x a ≤时，22()2,f x x ax a =+-2min
2(),02,0()(),02,0f a a a a f x f a a a a ⎧-≥-≥⎧⎪==⎨⎨<<⎪⎩⎩ 综上22
min
2,0()2,03a a f x a a ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ (3)(,)x a ∈+∞时，()1h x ≥得223210x ax a -+-≥，222412(1)128a a a ∆=--=-
当a a ≤≥时，0,(,)x a ∆
≤∈+∞；
当a <<0,∆>
得(0x x x a ⎧⎪≥⎨⎪>⎩
1
〕a ∈时，(,)x a ∈+∞ 2
〕[a ∈
时，)x ∈+∞ 3
〕(a ∈
时，3([)3a x a +-∈+∞ 例4：设a 为实数，函数
a x a x x x f --+=)(2)(2. 〔1〕假设1)0(≥f ，求a 的取值范围；
〔2〕求)(x f 的最小值；〔3〕设函数)()(x f x h =, ),(+∞∈a x ，直接写出(不需给出演算步骤)不等式1)(≥x h 的解集.。