2023-2024学年内蒙古呼和浩特市八年级(下)期末数学试卷及答案解析

2023-2024学年内蒙古呼和浩特市八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（共8小题，1-6小题，每小题2分，7-8小题，每小题2分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2分）化简的结果是（）
A．﹣3B．3C．±3D．
2．（2分）△ABC的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是（）
A．c2＝（a+b）2B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠A＝∠B+∠C D．a＝12，b＝8，c＝10
3．（2分）下列计算正确的是（）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列命题正确的是（）
A．四个角都相等的四边形是正方形B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是正方形D．对角线互相垂直的矩形是正方形
5．（2分）P1（x1，y1），P2（x2，y2）是一次函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2
C．当x1＜x2时，y1＜y2D．当x1＜x2时，y1＞y2
6．（2分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE 的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（）
A．B．C．3D．4
7．（3分）体育测试前，小明早8点从家匀速骑自行车出发，沿一条直路去公园锻炼，小明出发的同时，他的爸爸锻炼结束从公园沿同一条道路匀速步行回家．小明在公园体育锻炼了一会后沿原路以原速返
回，小明比爸爸早3分钟到家．设两人离家的距离s（m）与小明离开家的时间t（min）之间的函数关系如图所示．下列说法中，正确的是（）
A．公园与家的距离为2400米B．小明在去公园途中离家820米处与爸爸相遇C．小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇D．小明到家的时间为8：25
8．（3分）下列关于两个变量关系的四种表达式中，正确的是（）
①正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，y是x的函数；
②表达式中，y是x的函数；
③下表中，n是m的函数；
m﹣3﹣2﹣1123
n﹣2﹣3﹣6892
④如图中，曲线表示y是x的函数．
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）
9．（3分）某一长方形纸片的长为cm，宽为cm，则此长方形纸片的周长为cm．10．（3分）已知点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于．
11．（3分）若实数x满足，则|1﹣x|+|2﹣x|＝．
12．（3分）按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是﹣1，则输出y的值是3，若输入x 的值是3，则输出y的值是．
13．（3分）如图，将一个边长分别为4，8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF的长是．
14．（3分）一组数据：2，4，4，4，6；若去掉一个数据4，则下列统计量中发生变化的是（填“平均数”，“中位数”、“众数”或“方差”）
15．（3分）如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB＝90°，BC＝5，点A，B的坐标分别为（1，0），（4，0）．将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y＝2x﹣6上时，线段BC平移的距离为．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别是AB，CD的中点，AF，DE相交于点M，G为BC上一动点，N为EG的中点，下列结论：①AE＝AM；②S△AEM：S△AED＝1：2；③线段MN
的最大值是；④线段MN的最小值是．其中正确的是．（只填写序号）
三、解答题（本大题共7小题，共58分．解答题应写出文字说明，计算过程或演算步骤）
17．（8分）（1）计算：．
（2）计算：．
（3）先化简，再求值，其中．
18．（8分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
19．（8分）“相约十四冬，魅力内蒙古”2024年2月17日至27日我国第十四届冬季运动会在内蒙古自治区举办，某校做冬运会宣传海报（AB），悬挂在体育馆的窗户上方（如图所示）．小明搬来一架梯子（AE ＝5米）靠在宣传海报（AB）的A处，底端落在地板E处，然后移动梯子使顶端落在宣传海报（AB）的B处，而底端E向外移动了1米到C处（CE＝1米）．测量得BM＝4米．求宣传海报（AB）的高度
（结果保留根号）．
20．（8分）阳光中学开展“认领一片菜地活动”，王老师为了考查黄瓜的生长情况，他随机抽查了部分黄瓜藤上的黄瓜根数．用得到的数据绘制了如图不完整的统计图．
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图．图1中的m的值为；
（2）分别求出抽取的黄瓜根数的众数和中位数；
（3）求这个品种的黄瓜平均每株结多少根？（结果取整数）
21．（8分）如图，直线y＝kx+3经过点B（﹣1，4）和点A（5，m），与x轴交于点C．（1）求k，m的值；
（2）求△AOB的面积；
22．（8分）2020年春，新冠肺炎疫情暴发后，全国人民众志成城抗击疫情．某省A，B两市成为疫情重灾区，抗疫物资一度严重紧缺，对口支援的C，D市获知A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨，现将这些抗
疫物资全部调往A，B两市．已知从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元，设从D市运往B市的救灾物资为x吨，并绘制出表：
A（吨）B（吨）合计（吨）
C a b240
D c x260
总计（吨）200300500（1）a＝，b＝，c＝（用含x的代数式表示）；
（2）设C，D两市的总运费为w元，求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）由于途经地区的全力支持，D市到B市的运输路线得以改善和优化，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m＞0），其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元，求m的取值范围．
23．（10分）综合与实践
【提出问题】
由课本一道复习题，小明进行改编探究：如图，正方形ABCD中，点E是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形的外角∠DCL的平分线于点F．求证：AE＝EF．
（1）如图1，当点E在边BC上时，小明的证明思路如下：
在BA上截取BP＝BE，连接EP．
则易得在△APE和△ECF中
∴△APE≌△ECF
∴AE＝EF
请补全小明的证明思路，横线处应填．
【深入探究】
（2）如图2，在（1）的基础上，过点F作FG∥AE交直线CD于点G．以CG为斜边向右作等腰直角三角形HCG，点H在射线CF上．
①求证：FG＝EF；
②当AB＝5，CE＝2时，请求出线段DG的长．
2023-2024学年内蒙古呼和浩特市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，1-6小题，每小题2分，7-8小题，每小题2分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【分析】根据二次根式的性质求出即可．
【解答】解：＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，主要考查学生的计算能力，题目比较好，难度不大．2．【分析】根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：A．∵c2＝（a+b）2去括号后是c2＝a2+2ab+b2，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意；
B．设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，
∴3x+4x+5x＝180°，
解得x＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠B+∠C，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵82+102≠122，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．3．【分析】根据二次根式的运算性质，以及平方差公式、完全平方公式进行计算即可．【解答】解：A、，计算正确，故选项符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故选项不符合题意；
C、，故选项不符合题意；
D、，故选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则及性质是关键．
4．【分析】根据正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理逐一判断即可．【解答】解：A、四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，原命题不正确，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题不正确，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题不正确，不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了判断命题真假，正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理，熟知正方形，矩形和菱形的判定定理是解题的关键．
5．【分析】由可得y随x的增大而减小，据此即可判断求解．
【解答】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
当x1＜x2时，y1＞y2，
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降是解题的关键．
6．【分析】利用三角形中位线定理求出BE即可解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE＝90°，OD＝OB，
∵DF＝FE，
∴CF＝FE＝FD，
∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，
∴EF+FC＝13，
∴DE＝2CF＝13，
∴DC＝＝12，
∴BC＝CD＝12，
∴BE＝BC﹣EC＝7，
∵OD＝OB，DF＝FE，
∴OF＝BE＝，
【点评】本题考查正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
7．【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，
公园与家的距离为1200米，故A错误；
爸爸的速度为：1200÷（12+10+3）＝48（m/min），小明的速度为：1200÷10＝120（m/min），
设小明在去公园途中离家a米处与爸爸相遇，
，
解得，，
即小明在去公园途中离家处与爸爸相遇，故B错误；
设小明在返回途中离家a米处与爸爸相遇，
，
解得，a＝240，
即小明在返回途中离家240米处与爸爸相遇，故C正确；
∵10+12+10＝22（min），
∴小明到家的时间为8：22，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查从函数图象获取信息和解一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．【分析】根据函数的定义，在一个变化过程中有两个变量x，y，对于x的每一个确定值y都有唯一确定的值与其对应，则y是x的函数，据此判断．
【解答】解：①正方形边长为3，若边长增加x，则面积增加y，
∴y+32＝（3+x）2，得y＝x2+6x，
∴y是x的函数；故正确；
②表达式中，x的每一个确定值y都有唯一确定的值与其对应，y是x的函数，故正确；
③表格中，m的每一个确定值n都有唯一确定的值与其对应，n是m的函数，故正确；
④图中，曲线表示y是x的函数，故正确；
【点评】此题考查了函数图象，掌握函数的定义是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分．本题要求把正确结果填在规定的横线上，不需要解答过程）
9．【分析】根据长方形的周长＝2（长+宽），即可得到答案．
【解答】解：长方形纸片的周长为
故答案为：．
【点评】此题考查了二次根式的应用，正确进行计算是解题关键．
10．【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式可以求得a、b间的数量关系，所以易求代数式4a﹣b﹣2的值．
【解答】解：∵点P（a，b）在一次函数y＝4x+3的图象上，
∴b＝4a+3，
∴4a﹣b﹣2＝4a﹣（4a+3）﹣2＝﹣5，即代数式4a﹣b﹣2的值等于﹣5．
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，函数图象上的点的坐标满足图象的解析式．11．【分析】直接利用二次根式的性质得出x的取值范围，进而化简得出答案．
【解答】解：∵，
∴1﹣x≥0，
解得x≤1，
故|1﹣x|+|2﹣x|
＝1﹣x+2﹣x
＝3﹣2x．
故答案为：3﹣2x．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出x的取值范围是解题关键．
12．【分析】直接利用已知代入得出b的值，进而求出输入3时，得出y的值．
【解答】解：∵当输入x的值是﹣1，输出y的值是3，
∴3＝﹣1+4b，
解得：b＝1，
故输入x的值是3时，y＝3﹣2×1＝1．
故答案为：1．
【点评】此题主要考查了函数值，正确得出b的值是解题关键．
13．【分析】先过点F作FG⊥BC于G．利用勾股定理可求出AE，再利用翻折变换的知识，可得到AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，再利用平行线可得∠AEF＝∠AFE，故有AE＝AF．
求出EG，再次使用勾股定理可求出EF的长．
【解答】解：过点F作FG⊥BC于G
∵EF是直角梯形AECD的折痕
∴AE＝CE，∠AEF＝∠CEF．
又∵AD∥BC
∴∠AEF＝∠AFE．∴AE＝AF．
在Rt△ABE中，设BE＝x，AB＝4，AE＝CE＝8﹣x．x2+42＝（8﹣x）2解得x＝3．
在Rt△FEG中，EG＝BG﹣BE＝AF﹣BE＝AE﹣BE＝5﹣3＝2，FG＝4，
∴EF＝＝．
【点评】本题考查了折叠的知识，矩形的性质，勾股定理等知识点的理解和运用，关键是根据题意得出方程x2+42＝（8﹣x）2．
14．【分析】根据众数，中位数，平均数，方差的定义和公式分别计算新旧两组数据的平均数、中位数、众数、方差求解即可．
【解答】解：原数据2，4，4，4，6的平均数为，中位数为4，众数为4，方差为；
新数据3，4，4，5的平均数为，中位数为4，众数为4，
方差为；
故答案为：方差．
【点评】本题主要考查的是众数、中位数、方差、平均数，熟练掌握相关概念和公式是解题的关键．15．【分析】依据题意，线段BC平移的距离就是点C平移的距离．求当点C落在直线y＝2x﹣6上时的横坐标即可．
【解答】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），
∴AB＝3．
∵∠CAB＝90°，BC＝5，
∴AC＝4．
∴A′C′＝4．
∵点C′在直线y＝2x﹣6上，
∴2x﹣6＝4，解得x＝5．
即OA′＝5．
∴CC′＝5﹣1＝4．
∴线段BC平移的距离为4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查平移的性质及一次函数的应用，解题的关键是求出C'点的横坐标．
16．【分析】由矩形的性质推出AB＝AD＝CD，AB∥CD，∠EAD＝90°，判定四边形AEFD是矩形，推出AF＝DE，，，得到，，而AD＜DE，得到AE＜AM，又，：S△AED＝1：2，由三角形中位线定理推出，当G与C重合时，DG的值最小，当得到S
△AEM
G与B重合时，DG的值最大，求出DG的最小值是4，DG的最大值是，即可求出MN的最小值和最大值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CD，AB∥CD，∠EAD＝90°，
∵点E，F分别是AB、CD的中点，
∴，，
∴AE＝DF，
∵AE∥DF，∠EAD＝90°，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AF＝DE，，，
∴，
∵，AB＝AD，
∴，
∵AD＜DE，
∴AE＜AM，
故①不符合题意；
∵，
：S△AED＝1：2，
∴S
△AEM
故②符合题意；
连接DG，
∵M是DE中点，N是EG中点，
∴MN是△EDG的中位线，
∴，
当G与C重合时，DG的值最小，当G与B重合时DG最大，
∵正方形的边长是4，△ABD是等腰直角三角形，
∴，
∴DG的最小值是4，DG的最大值是，
∴MN的最小值是，MN的最大值是，
故④不符合题意，③符合题意，
∴其中正确的是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题考查矩形的判定，三角形中位线定理，正方形的性质，关键是由正方形的性质推出四边形
AEFD是矩形，由三角形中位线定理推出，明白当G与C重合时，DG的值最小，当G与B 重合时DG最大．
三、解答题（本大题共7小题，共58分．解答题应写出文字说明，计算过程或演算步骤）
17．【分析】（1）先计算乘法，并化简各二次根式，再计算加减即可；
（2）用完全平方公式展开工计算即可；
（3）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝；
（3）原式＝
＝，
当时，
原式＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式和分式的混合运算顺序和运算法则．
18．【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF＝∠DFA是解题关键．
19．【分析】先根据勾股定理算出MC的长度，即可得EM的长度，再根据勾股定理得出AM的长度，即可得．
【解答】解：由题意可得：AE＝BC＝5米，BM＝4米，EC＝1米，
在Rt△MBC中，（米），
则EM＝3﹣1＝2（米），
在Rt△AEM中，（米），
故米．
答：宣传海报（AB）的高度为米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是勾股定理的熟练掌握．
20．【分析】（1）由10根的数量及其所占百分比求出总株数，再进一步求出12根、13根的人数即可补全图形，用11根的株树除以总株树即可；
（2）根据众数和中位数的定义求解即可；
（3）根据加权平均数的定义列式计算即可．
【解答】解：（1）被调查的总根数为14÷35%＝40（株），
则12根的数量为40×25%＝10（株），
13根的数量为40×10%＝4（株），
补全图形如下：
m%＝×100%＝20%，即m＝20，
故答案为：20；
（2）抽取的黄瓜根数的众数10根，中位数为＝11（根）；
（3）×（10×14+11×8+12×10+13×4+14×4）≈11（根），
答：这个品种的黄瓜平均每株结11根．
【点评】本题主要考查扇形统计图、条形统计图，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
21．【分析】（1）将点A，点B的坐标代入直线解析式，即可得到k，m的值；
＝S△BOC+S△AOC进行计算即可．（2）利用割补法进行计算，先求得点C的坐标，再根据S
△AOB
【解答】解：（1）将B（﹣1，4）代入y＝kx+3，
解得：k＝﹣1，
∴y＝﹣x+3．
将A（5，m）代入y＝﹣x+3，
解得：m＝﹣2；
（2）在y＝﹣x+3中，令y＝0，则x＝3，
∴C（3，0），即CO＝3，
＝S△BOC+S△AOC＝×3×4+×3×2＝9．
∴S
△AOB
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是利用分类思想求解．
22．【分析】（1）根据“从D市运往B市的救灾物资为x吨，A，B两市分别急需抗疫物资200吨和300吨，C市有救灾物资240吨，D市有救灾物资260吨”即可算出a、b、c；
（2）根据“从C市运往A，B两市的费用分别为每吨20元和25元，从D市运往往A，B两市的费用别为每吨15元和30元”即可得w与x的函数关系式；
（3）根据“D市到B市运费每吨减少m元，其余路线运费不变，若C，D两市的总运费的最小值不小于10320元”得到w、m、x之间的关系式，利用一次函数的性质分类讨论即可确定m的取值范围．【解答】解：（1）∵D市运往B市x吨，
∴D市运往A市（260﹣x）吨，C市运往B市（300﹣x）吨，C市运往A市200﹣（260﹣x）＝（x﹣60）吨，
故答案为：x﹣60，300﹣x，260﹣x；
（2）由题意得：
w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，
∵x≥0，x﹣60≥0，300﹣x≥0，260﹣x≥0，
∴60≤x≤260，
∴w与x之间的函数关系式为w＝10x+10200，自变量x的取值范围为60≤x≤260；
（3）由题意可得，
w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，
当10﹣m＞0时，即0＜m＜10，
x＝60时，w最小，此时w＝（10﹣m）×60+10200≥10320，
解得0＜m≤8，
当10﹣m＜0时，即m＞10，
x＝260时，w取得最小值，此时w＝（10﹣m）×260+10200≥10320，
解得m≤，
∵＜10，
∴m＞10不符合题意，
当m＝10时，w＝0x260十10200＝10200＜10320，不合题意，舍去．
∴m的取值范围是0＜m≤8．
【点评】本题主要考查一次函数的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系列出函数关系式．
23．【分析】（1）利用全等三角形的判定条件行填补即可；
（2）在GH上截取HQ＝HF，连接FQ，证明△QGF≌△CFE（ASA），即可求解；
（3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质即可求解．
【解答】（1）解：由题意，横线处应∠FEC＝∠EAP或∠AEP＝∠EFC．
故答案为：∠FEC＝∠EAP或∠AEP＝∠EFC；
（2）①证明：在GH上截取HQ＝HF，连接FQ，
∵∠GHC＝90°，
则∠HQF＝∠HFQ＝45°，
∵△HCG是等腰直角三角形，
∴HG＝HC，则QG＝FC，
∵∠QGF＝90°﹣∠GFH＝∠CFE，
∠GQF＝180°﹣45°＝135°＝∠FCE，
∴△QGF≌△CFE（ASA），
∴FG＝EF；
②解：∵HQ＝HF，
∴在Rt△FHQ中，，
∵△QGF≌△CFE，
∴FQ＝CE，
∴，
∵CE＝2，即，
∴，BE＝5﹣2＝3，
∴，
∴，
∵△HCG是等腰直角三角形，
∴，
∴GD＝8﹣5＝3．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确作出辅助线解决问题是解题的关键。