《三维设计》高考数学

解答題増分
TT系列讲座〔六〕
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“概率与统计〞类题目的审题技巧与解题标准［审题技巧］宙图表’明目标
［技法概述］
在高考的实际综合应用问题中，题目中的图表、数据包含着问题的根本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向，在审题时，要认真观察分析图表、数据的特征和规律，为问题
解决提供有助的方法.
［适用题型］在高考中以下几种题型常用到此审题方法：
(1) 概率与统计局部；
(2) 回归分析与统计案例；
(3) 算法与程序框图•
［解题标准］
［典例］(2021湖•南高考)(此题总分值12分)某人在如下图的直角边长为4
米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一
株相同品种的作物•根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y(单位：kg)与
它的“相近〞作物株数X之间的关系
如下表所示：
X1234
Y51484542
这里，两株作物“相近〞是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近〞的概率;
⑵从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.
［解题步步标准1
［解题流程］
第一步
由图表确定总株 数及内部株数， 边界株数. 第二步 计算事件根本数 及所求事件数.
第三步
解：1所种作物总株数N = 1 + 2+ 3 ? +
4 + 5= 15,其中三角形地块内部的作 物株数为3,
边界上的作物株数为12.
从三角形地块的内部和边界上分别 随机选取一株的不同结果有c 3C i2 = 36种, ?选取的两株作物恰好“相近〞的不同结 果有3 + 3 + 2 = 8种.
［失分警示］ ——结合图形准 确计算“相近〞 的结果易无视某 一类导致结果计 算出错
求円戶51)
数晨
m
1
的值
h^J
期卑
第2问
求概率.
第四步
故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株 作物，它们恰好“相近〞的概率为36=9.
2先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收
获量丫的分布列.
因为 P Y = 51 = P X = 1 , P Y = 48 = P
P Y = 45 = P X = 3 , P Y = 42 = P
•转化变量间关系如 P Y = 51 = PX = 1 是关
键.对Y 的每个取值相对 应的概率求法易失误
量Y 取值：
所以只需求出PX = k k = 1 , 2, 3, 4即可. 记九为其“相近〞作物恰有k 株的作物株数 k = 1, 2, 3, 4，那么 n 1 = 2,匕=4,出=6,加=3.
得 PX = 1 = £
4 6 2 3
1
PX =2 = 15，PX = 3 = 15= 5，PX =4 = 15= 5. 9分
的概率.
■故所求的分布列为
1 34+ 64+
9°+ 化 46. 12分
第五步
井析泊FI 峙踪 论，佛紀所求-
4#. M 相.
程两•嗽值
诵宜隧机戏啟用 所样町噩収慎・ 值的 戦抓条门弋
KM ： 査醱.朮肾
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的
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话哉如辿韦
I
乏 H 伯廿斎列.利用 井布网豹性朋世订 检验是杳准射
1. 〔2021武昌模拟〕某市准备从7名报名者〔其中男4人，女3人〕中选3人参加三个副局 长职务竞选.
为女副局长的概率.
解：〔1〕依题意，X 可取0,1,2,3 ,
故X 的分布列为
3X 5 1
⑵记D = “A 局是男副局长〞，E = “B 局是女副局长〞，贝U P 〔E|D 〕 = 6X5 = 2-
第五步
写出Y 的分布列.？
第六步 求期望.
〔7分〕
所求的数学期望为
E Y = 51 X 15 + 48 X 15 + 45 X | +
42 15 15 5
•计算期望 法由于不细 心、易算错， 导致丢2分
模板形
成
［解答题观范专
练］ 概率与统计 第二加
利用匚他和
H<
瓷进点、闔钿点
〔1〕设所选3人中女副局长人数为 X , 求X 的分布列;
〔2〕假设选派三个副局长依次到 A , B , C 三个局上任，求 A 局是男副局长的情况下,
P (X =0)=C 7= 35, P (X = 1)=曲
_ 18 C 7
= 35，
C® 12
P (x =2) = CCT = 32, C 3丄 P (x =3)=C 7= 35，
2•某单位举行一次全体职工的象棋比赛〔实行三局两胜制〕，甲、
乙两人进入决赛.
甲、乙两人平时进行过屡次对弈，其中记录了30局的对弈
结果如右表:
根据表中的信息，预测在以下条件下的比赛结果:
〔1〕在比赛时由掷硬币的方式决定谁先，试求甲在第一局获胜的概率;
⑵假设第一局由乙先，以后每局由负者先.
①求甲以二比一获胜的概率；
②假设胜一局得2分，负一局得0分，用E表示甲在这场比赛中所得的分数，试求布列与数学期望E〔8.
解：根据题中表格的信息可知，假设甲先，那么甲获胜的概率是2 1
2，乙获胜的概率是1假设乙
3 2
先，那么甲获胜的概率是？乙获胜的概率是~.
5 5
1 2 1 3 19
〔1〕甲在第一局获胜的概率是P1 =尹3 +寸5 =五.
⑵①假设甲以二比一获胜，那么甲胜第一局和第三局，或甲胜第二局和第三局.
所以，甲以二比一获胜的概率是
P2= 3x 2x 2+ 2x 2x 3=色
P2 5 5 3^ 5 3 5 25.
②由题意知，E的所有可能取值为0,2,4，那么
2「2 P(E=0)=5X1
= 15；
P(三=2) = 2x 打-x-
P(' 2) 5 5 3十5 3
x5=玮；
P&4) = 3X 3+血=立
P(' 4) 5 5 25 25.
所以E的分布列为
2 14 17 232
E(8=0 x-+2X 74+4x27=石.
3 . 〔2021成都模拟〕某校高三〔1〕班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见局部如下：
试根据图表中的信息解答以下问题:
〔1〕求全班的学生人数及分数在［70,80〕之间的频数；
〔2〕为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于［70,80〕，［80,90〕和［90,100］
分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于
［70,80〕分数段的人数X的分布列和数学期望.
解：〔1〕由茎叶图可知，分数在［50,60〕上的频数为4,频率为0.008X 10= 0.08，故全班的
4
学生人数为0-4〕8= 50.
分数在［70,80〕之间的频数等于50 —〔4 + 14+ 8 + 4〕= 20.
〔2〕按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比.
又［70,80〕, ［80,90〕和［90,100］分数段人数之比等于5 ：2 ：1，由此可得抽出的样本中分数在［70,80〕之间的有5人，分数在［80,90〕之间的有2人，分数在［90,100］之间的有1人.
从中任取3人，共有C8= 56种不同的结果.
被抽中的成绩位于［70,80〕分数段的学生人数X的所有取值为0,1,2,3.
它们的概率分别是：
C3 1 C s C3 15 c5c3 30 15 C3 10 5 P〔x =0〕=56= 56, P〔x=1〕=w=56，P〔x=2〕=石=辰=28, P〔X=3〕=56=56=云
•••X的分布列为
X0123
P
1r 1515:5 56562828
卑叶
=<3668~
013334J5077889了
L334454T
1 15 15 5 105 15 •••x 的数学期望为E〔x〕= o x 56+仆15+2X云+3X28=105= 8。