2020高中物理 第一章 抛体运动 第三节 竖直方向的抛体运动学案 粤教版必修2

第三节竖直方向的抛体运动
知识目标核心素养
1.理解竖直上抛运动和竖直下抛运动的规
律，并能利用所学规律解决相关问题.
2.能用运动的合成与分解的方法研究竖直
上抛运动和竖直下抛运动.
3.会用分段法和整体法研究竖直上抛运
动.
1.通过对竖直上抛运动和竖直下抛运动的分
析，进一步掌握匀变速直线运动的特点.
2.能用合成和分解的思想分析两种运动，体
会竖直上抛运动的对称性.
一、竖直下抛运动
1．定义：把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向下抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．2．性质：初速度不为零，加速度a＝g的匀加速直线运动．
3．规律
(1)速度公式：v t＝v0＋gt.
(2)位移公式：s＝v0t＋
1
2
gt2.
(3)位移、速度与加速度的关系v t2－v02＝2gs.
二、竖直上抛运动
1．定义：把物体以一定的初速度v0沿着竖直方向向上抛出，仅在重力作用下物体所做的运动．2．性质：初速度向上，加速度a＝g的匀变速直线运动．
3．研究方法
分段法
⎩⎪
⎨
⎪⎧
⎭⎪
⎬
⎪⎫
上升阶段：匀减速直线运动
下降阶段：匀加速直线运动
具有对称性．
4．规律
(1)速度公式
⎩⎪
⎨
⎪⎧上升阶段：v t＝v0－gt
下降阶段：v t′＝gt′
(2)位移公式
⎩⎪
⎨
⎪⎧上升阶段：h＝v0t－12gt2
下降阶段：h′＝
1
2
gt′2
(3)上升到最高点，所用时间t＝
v0
g
.
(4)上升的最大高度：h ＝
v 0
2
2g
.
1．判断下列说法的正误．
(1)从正在上升的热气球上脱落的物体做自由落体运动．(×) (2)物体做竖直上抛运动时，上升过程中速度、加速度都在减小．(×)
(3)下抛时要给物体一定的作用力，因此竖直下抛运动的加速度大于重力加速度．(×)
2．质量为2 kg 的物体以10 m/s 的初速度从距离地面15 m 处竖直下抛，g 取10 m/s 2
，则物体经过________ s 到达地面，物体到达地面的速度为________ m/s. 答案 1 20
解析 根据s ＝v 0t ＋12gt 2
可知t ＝1 s ，
由v t ＝v 0＋gt 可知v t ＝20 m/s.
或根据v t 2
－v 02
＝2gs 得v t ＝v 02
＋2gs ＝20 m/s.
一、竖直下抛运动
在无风的雨天，水滴从房檐滴落，不计空气阻力，试问：
(1)水滴从离开房檐开始做什么运动？经过2 m 高的窗口的运动是不是竖直下抛运动？ (2)做竖直下抛运动的物体在相等时间内速度的变化量相等吗？
(3)从运动的合成与分解看，竖直下抛运动可以看作在同一直线上哪两个分运动的合运动？ 答案 (1)自由落体 是 (2)相等
(3)自由落体运动和竖直向下的匀速直线运动
1．做竖直下抛运动的条件 (1)具有竖直向下的初速度． (2)只受重力作用．
2．规律：竖直下抛运动是初速度v 0向下，加速度为g 的匀加速直线运动，其规律如下： (1)v t ＝v 0＋gt . (2)s ＝v 0t ＋12gt 2
.
(3)v t 2
－v 02
＝2gs .
3．用运动的合成与分解分析竖直下抛运动
从运动的合成角度看，竖直下抛运动可以看成是自由落体运动和竖直向下的匀速直线运动的合运动． 例1 (多选)关于竖直下抛运动，下列说法正确的是( ) A ．竖直下抛运动是匀变速直线运动，其加速度为重力加速度g B ．竖直向下投掷的悠悠球的运动是竖直下抛运动
C ．竖直下抛运动可以看作自由落体运动和匀速直线运动两个分运动的合运动
D ．物体在空气中下落一段时间后，物体的运动可看作竖直下抛运动 答案 AC
解析 竖直下抛运动的物体只受重力作用，其加速度为重力加速度g ，是匀变速直线运动，故A 正确．竖直向下投掷的悠悠球的运动虽然具有向下的初速度，但由于有线绕在悠悠球上，悠悠球不只受重力作用，故B 错误．竖直下抛运动可以看作竖直方向的自由落体运动和沿初速度方向的匀速直线运动两个分运动的合运动，故C 正确．如果物体在空气中下落受空气阻力作用，则物体的运动不是竖直下抛运动，D 错误．
例2 一人站在30 m 高的楼顶竖直向下投石块，假设石块出手时的位置靠近楼顶，石块到达地面所用的时间为 2 s ，不计空气阻力(g 取10 m/s 2
)，求： (1)石块出手时速度的大小． (2)石块到达地面时速度的大小． 答案 (1)5 m/s (2)25 m/s
解析 (1)由题意知s ＝30 m ，t ＝2 s ， 由位移公式s ＝v 0t ＋12
gt 2
得v 0＝s t －1
2
gt ＝5 m/s.
(2)由速度公式v t ＝v 0＋gt ， 得石块落地时速度的大小为
v t ＝(5＋10×2) m/s＝25 m/s.
二、竖直上抛运动
1．给一纸片一个竖直向上的初速度，则纸片做的是竖直上抛运动吗？为什么？ 答案 不是．因为纸片除受重力外还受不能忽略的空气阻力．
2．从运动合成的角度看，竖直上抛运动可以看作在同一直线上哪两个分运动的合运动？ 答案 自由落体运动和竖直向上的匀速直线运动．
1．处理竖直上抛运动问题的思路和方法 (1)分段法
竖直上抛运动可分为上升阶段和下降阶段．
①上升过程是初速度为v 0、加速度为a ＝g 的匀减速直线运动(以向上为正方向，不考虑空气阻力)：
v t ＝v 0－gt ，s ＝v 0t －12
gt 2.
②下降过程是自由落体运动(以向下为正方向，不考虑空气阻力)：
v t ＝gt ′，s ′＝12
gt ′2.
(2)整体法
①将全过程看作是初速度为v 0、加速度为a ＝g 的匀变速直线运动，用匀变速直线运动规律进行计算(以向上为正方向)：v t ＝v 0－gt ，s ＝v 0t －12
gt 2
.
②若v t >0，则物体在上升；v t <0，则物体在下降．s >0，物体在抛出点上方；s <0，物体在抛出点下方． (3)利用竖直上抛运动的v －t 图象，如图1所示．
图1
2．竖直上抛运动的对称性
(1)速度对称性：上升和下降经过同一位置时，速度等大反向，即v 上＝v 下． (2)时间对称性：上升和下降经过同一竖直距离所用时间相等，即t 上＝t 下．
(3)过程对称性：从抛出点抛出到回到抛出点，上升阶段为匀减速到速度为零的过程，下降阶段为自由落体运动，上升阶段可看作下降阶段的逆过程．
例3 (多选)关于竖直上抛运动，以初速度方向为正方向，下列说法正确的是( ) A ．从上升到下降的整个过程中，加速度保持不变 B ．到达最高点时速度为零，物体处于静止状态 C ．落回抛出点时的速度与初速度相同
D ．在落回抛出点以前，物体的位移方向始终相同 答案 AD
解析 竖直上抛的物体，其加速度总等于重力加速度，A 正确；在最高点速度为零，但加速度不为零，物体不是处于静止状态，B 错误；速度是矢量，落回抛出点时速度方向与初速度方向相反，C 错误；在落回抛出点以前，物体的位移方向始终向上，D 正确．
例4 在离地面15 m 的高处，以10 m/s 的初速度竖直上抛一小球，求小球落地时的速度大小和小球从抛出到落地所用的时间．(忽略空气阻力的影响，取重力加速度g ＝10 m/s 2
) 答案 20 m/s 3 s
解析 解法一 (分段法)：取竖直向上的初速度方向为正方向．小球从竖直抛出到落地经历两个过程：上升过程
和下落过程．上升过程的时间t 1＝0－v 0－g ＝－10－10 s ＝1 s ，上升的高度s 1＝0－v 0
2
－2g ＝－10
2
－20 m ＝5 m ；下落的总高度s 2
＝15 m ＋5 m ＝20 m ，自由下落的时间t 2＝
2s 2
g
＝
2×20
10
s ＝2 s 小球落回地面经历的总时间t ＝t 1＋t 2＝1 s ＋2 s ＝3 s 小球落回地面时的速度方向竖直向下，为负方向
v t ＝－2gs 2＝－2×10×20 m/s ＝－20 m/s.
解法二 (全程法)：将小球竖直上抛运动的整个过程作为一个整体，取初速度的方向即竖直向上的方向作为正方向，加速度为重力加速度，方向竖直向下，所以a ＝－g .已知v 0＝10 m/s ，s ＝－15 m 小球落地时的速度v t ＝±v 02
＋2as ＝±102
＋2×(－10)×(－15) m/s ＝±20 m/s 由于小球落地时的速度方向竖直向下，所以取v t ＝－20 m/s 小球从抛出到落地所用时间t ＝
v t －v 0a ＝－20－10
－10
s ＝3 s.
1．(竖直下抛运动的理解)关于竖直下抛运动，下列说法正确的是( ) A ．从飞行中的轰炸机抛下的炸弹的运动是竖直下抛运动 B ．从屋顶竖直向下抛出的铅球的运动是竖直下抛运动 C ．竖直下抛运动是一种特殊的非匀变速直线运动
D ．某同学站在窗前将衣服竖直向下抛给伙伴，他认为衣服的运动是竖直下抛运动 答案 B
解析 从轰炸机上抛下的炸弹具有水平初速度，不是竖直下抛运动，故A 错；衣服向下运动时所受空气阻力太大，与其重力相比不可忽略，其运动不是竖直下抛运动，故D 错；从屋顶竖直向下抛出的铅球具有竖直向下的初速度且其所受空气阻力可以忽略，其运动可以看作竖直下抛运动，故B 正确；做竖直下抛运动的物体仅受重力作用，其加速度为重力加速度g ，是匀加速直线运动，故C 错．
2．(竖直下抛规律的应用)做竖直下抛运动的物体，第9 s 内和第4 s 内的位移之差为(g 取10 m/s 2
)( ) A ．5 m B ．10 m C ．25 m D.50 m
答案 D
解析 设下抛初速度为v 0，第9 s 内的位移大小
s ＝s 9－s 8＝(9v 0＋12g ×92)－(8v 0＋12g ×82)＝v 0＋172
g ，第4 s 内的位移大小 s ′＝s 4－s 3＝(4v 0＋12g ×42)－(3v 0＋12
g ×32)
＝v 0＋7
2
g ，
第9 s 内和第4 s 内的位移之差
Δs ＝s －s ′＝172g －7
2
g ＝5g ＝50 m ．D 正确．
3．(竖直上抛运动的理解)关于竖直上抛运动，下列说法中正确的是( )
A ．将物体以一定初速度竖直向上抛出，且不计空气阻力，则物体的运动为竖直上抛运动
B ．做竖直上抛运动的物体，其加速度与物体重力有关，重力越大的物体，加速度越小
C ．竖直上抛运动只包括上升阶段
D ．竖直上抛运动其速度和加速度的方向都可以改变 答案 A
解析 竖直上抛运动是初速度向上，只在重力作用下的运动，加速度为g ，所以将物体以一定初速度竖直向上抛出，且不计空气阻力，则物体的运动为竖直上抛运动，故A 正确；竖直上抛运动是初速度向上，只在重力作用下的运动，加速度为g ，加速度与物体重力无关，故B 、C 错误；竖直上抛运动速度方向会改变，加速度的方向始终向下，D 错误．
4．(竖直上抛运动的分析与计算)从高出地面15 m 的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5 m 后回落，最后到达地面．不计空气阻力．重力加速度g ＝10 m/s 2
.求： (1)小球抛出的初速度大小． (2)从抛出到落地过程的平均速度． 答案 (1)10 m/s (2)5 m/s ，方向竖直向下 解析 (1)由速度－位移公式得：
v 02＝2gs
所以v 0＝2gs ＝10 m/s ，方向竖直向上． (2)由速度－位移公式得：
v t 2＝2g (15 m ＋s )
所以落地速度大小为v t ＝20 m/s(方向竖直向下) 所以全程平均速度为v ＝
v 0－v t
2
＝－5 m/s ，
负号表示方向竖直向下．
一、选择题
考点一 对竖直方向抛体运动的理解
1．关于竖直下抛运动，下列说法正确的是( ) A ．下落过程是加速运动，加速度越来越大 B ．下落过程是匀速直线运动
C ．在下抛时，由于给物体一定的作用力，所以在下落过程中的加速度大于重力加速度
D．下落过程中物体的运动是匀变速直线运动
答案 D
解析竖直下抛运动中，物体具有一个竖直向下的初速度，在运动过程中，只受重力的作用，故物体做匀变速直线运动，D正确．
2．钢球自地面做竖直上抛运动后又落回地面，则( )
A．上升过程中，加速度方向向上，速度方向向上，相对于抛出点的位移方向向上
B．下落过程中，加速度方向向下，速度方向向下，相对于抛出点的位移方向向下
C．在最高点，加速度大小为零，速度大小为零
D．到达最高点后，加速度方向不变，速度方向改变
答案 D
解析物体抛出后只受重力作用，加速度方向向下，大小恒定．落地前的位移相对于抛出点方向向上，A、B、C 均错，D对．
3．将一物体以某一初速度竖直上抛，下图中能反映物体在整个过程中速率v 与时间t 的关系的是(不计空气阻力)( )
答案 B
解析 做竖直上抛运动的物体在上升过程中做匀减速直线运动，下降过程做自由落体运动，其加速度均为g ，只有B 符合题意．
4．(多选)在同一高度将质量相等的两球A 、B 以大小相等的初速度分别竖直上抛和竖直下抛，则下列说法中正确的是( )
A ．A 、
B 落地时位移相同
B ．在运动过程中，A 、B 的加速度相同
C ．A 、B 落地时速度相同
D ．在整个运动过程中，A 、B 的速度变化量相同 答案 ABC
解析 两个小球的初位置和末位置都相同，故两个球落地时位移相同，故A 正确；在运动过程中，A 、B 的加速度相同，均为g ，故B 正确；根据匀变速运动的规律知C 正确；设向上为正，A 球的速度变化量为－v －v 0，B 球的速度变化量为v －v 0，故D 错误． 考点二 竖直方向抛体运动的有关计算
5．从地面以大小为v 1的初速度竖直向上抛出一个皮球，经过时间t 皮球落回地面，落地时皮球的速度大小为v 2.皮球在运动过程中受到的空气阻力忽略不计，重力加速度大小为g .下面给出时间t 的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求解t ，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性做出判断．根据你的判断，t 的合理表达式应为( ) A ．t ＝v 1＋v 2
g B ．t ＝v 1－v 2
g C ．t ＝
v 1v 2
g
D ．t ＝
v 1＋v 2
2g
答案 A
6．一个人站在楼顶竖直向下抛出一物块．已知物块离开手的速度是1.0 m/s ，物块在最后1 s 内通过的路程是整个楼高的811，假设物块离开手的位置靠近楼顶，不计空气阻力，则整座楼的高度为(g 取10 m/s 2
)( )
A ．18 m
B ．20 m
C ．22 m
D ．无法计算
答案 C
解析 设物块落地时间为t ，则楼高为s 1＝v 0t ＋12gt 2，前(t －1 s)物块下落的高度为s 2＝v 0(t －1 s)＋12g (t －1 s)2
，
由题意可知，s 1－s 2＝811s 1，则v 0t ＋12gt 2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤
v 0(t －1 s )＋12g (t －1 s )2＝811⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t ＋12gt 2.代入v 0＝1.0 m/s 解得t ＝2
s(t ＝0.55 s 不符合题意舍去)，所以楼高s 1＝v 0t ＋12gt 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
1.0×2＋12×10×22 m ＝22 m ．故C 正确．
7．物体甲自由下落1 s 后，将物体乙在甲释放处以v 0＝10 m/s 竖直下抛，g 取10 m/s 2
，不计空气阻力，则在两物体落地前有( ) A ．乙离甲越来越远
B ．乙离甲越来越近，最终超过甲
C ．乙相对甲做加速运动
D ．乙相对甲静止 答案 D
解析 以物体甲开始下落时刻为初始时刻，则对甲有h 甲＝12gt 2，对乙有h 乙＝v 0(t －1 s)＋12g (t －1 s)2
，
则h 甲－h 乙＝12gt 2－v 0t ＋v 0－12gt 2＋gt －g
2
，
代入数值得h 甲－h 乙＝5 m ，即两物体的间距不变，它们保持相对静止，故D 正确．
8．一个从地面上竖直上抛的物体，它两次经过一个较低点A 的时间间隔是5 s ，两次经过一个较高点B 的时间间隔是3 s ，则A 、B 之间的距离是(g 取10 m/s 2
)( ) A ．80 m B ．40 m
C ．20 m
D ．初速度未知，无法确定
答案 C
解析 由题意知：从A 到最高点的时间为52 s ，从B 到最高点的时间为3
2 s ，因为s AB ＝s A －s B ，从最高点计算，所
以s AB ＝[12×10×(52)2－12×10×(32
)2
] m ＝20 m.
9．(多选)把一个小球以20 m/s 的初速度竖直向上抛出，若不计空气阻力，g 取10 m/s 2
，则小球到达距抛出点上方15 m 高处的时间可能为( ) A ．1 s B ．2 s C ．3 s D ．4 s 答案 AC
解析 竖直上抛运动的位移公式可以写成：
s ＝v 0t －12
gt 2
整理得：12
gt 2
－v 0t ＋s ＝0
代入数据解方程，得：t 1＝1 s ，t 2＝3 s.
故A 、C 正确．
10．(多选)某升降机用绳子系着一个重物，以10 m/s 的速度匀速竖直上升，当到达40 m 高度时，绳子突然断开，从绳子断开到重物落地过程重物(不计空气阻力，g 取10 m/s 2
)( ) A ．距地面的最大高度为45 m B ．在空中的运动时间为5 s C ．落地速度的大小为10 m/s D ．落地速度的大小为30 m/s 答案 AD
解析 绳子断开后重物上升过程，根据速度位移关系公式，有：－v 02
＝2(－g )s ，解得s ＝v 022g ＝10
2
2×10
m ＝5 m ，故
物体距离地面的最大高度为45 m ，故A 正确；根据位移时间关系公式，有：s ＝v 0t －12gt 2
，
代入数据得：－40＝10t －12
×10×t 2
.
解得：t ＝4 s(t ＝－2 s 不符合题意舍去)，故B 错误；根据速度时间关系公式，有：v ＝v 0－gt ＝－30 m/s ，故C 错误，D 正确．
11．在离地高h 处，沿竖直方向向上和向下抛出两个小球，它们的初速度大小均为v ，不计空气阻力，两球落地的时间差为( ) A.2v g
B.v g
C.2h v
D.h v
答案 A
解析 设落地速度为v ′，规定向下为正方向， 则无论竖直向下还是竖直向上抛出都满足
v ′2－v 2＝2gh
则v ′＝v 2
＋2gh ，
所以落地时两球的速度大小相等． 对于竖直上抛的小球运动时间为
t 1＝v ′－(－v )g ＝v ′＋v g
，
对于竖直下抛的小球运动时间t 2＝
v ′－v
g
， 故两球落地的时间差为：Δt ＝t 1－t 2＝2v
g
. 二、非选择题
12．(竖直上抛运动)一个氢气球以4 m/s 2
的加速度由静止从地面竖直上升，10 s 末从气球中掉下一重物，此重物最高可上升到距地面多高处？此重物从氢气球中掉下后，经过多长时间落回地面？(忽略空气阻力，g 取10 m/s 2
)
2020
答案 280 m 11.48 s
解析 向上加速阶段：
H 1＝12a 1t 12＝12
×4×102 m ＝200 m ，v 1＝a 1t 1＝4×10 m/s＝40 m/s ，
竖直上抛阶段： H 2＝v 122g ＝80 m ，t 2＝v 1g
＝4 s. 自由下落阶段：
H 1＋H 2＝12gt 32
t 3＝2(H 1＋H 2)g
＝56 s≈7.48 s 所以，此重物距地面的最大高度
H max ＝H 1＋H 2＝280 m
重物从掉下到落地的总时间
t ＝t 2＋t 3＝11.48 s.
13．(竖直上抛运动)一物体做竖直上抛运动，它经过抛出点上方0.4 m 处时，速度是3 m/s ，求它经过抛出点下方0.4 m 处时的速度．(g 取10 m/s 2
)
答案 5 m/s ，方向竖直向下
解析 解法一 分段法
上升过程：设到达抛出点上方0.4 m 处时还能上升的高度为s 1，则s 1＝v 022g ＝322×10 m ＝0.45 m. 下降过程：从最高点处下落到抛出点下方0.4 m 处时，下落高度s 2＝0.45 m ＋2×0.4 m＝1.25 m ，由v t 2＝2gs 2得 v t ＝2×10×1.25 m/s ＝5 m/s ，方向竖直向下．
解法二 整体法
设以向上的方向为正方向，距抛出点上方0.4 m 处的速度为v 0，距抛出点下方0.4 m 处的速度为v t ，物体在该过程中发生的位移s ＝－0.4 m －0.4 m ＝－0.8 m ，运动中加速度a ＝－g .由v t 2－v 02＝2as 得v t 2＝v 02
＋2as 即v t ＝±5 m/s ，由于是下落，故v t ＝－5 m/s ，大小为5 m/s ，方向竖直向下．。