2022年广州中考数学试题及答案详解

2022年广州中考数学试题及答案详解
（试题部分）
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 如图是一个几何体的侧面展开图，这个几何体可以是
( )
A.圆锥
B.圆柱
C.棱锥
D.棱柱
2. 下列图形中，是中心对称图形的是
( )
A
B C D 3. 代数式√x+1
有意义时，x 应满足的条件为
( )
A.x ≠―1
B.x >―1
C.x <―1
D.x ≤―1
4. 点(3，―5)在正比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，则k 的值为 ( )
A.―15
B.15
C.―3
5
D.―5
3
5. 下列运算正确的是 ( )
A.√−83
=2
B.
a+1a
―1
a =a (a ≠0)
C.√5+√5=√10
D.a 2·a 3=a 5
6. 如图，抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为x =―2，下列结论正确的是( )
A.a <0
B.c >0
C.当x <―2时，y 随x 的增大而减小
D.当x >―2时，y 随x 的增大而减小 7. 实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则
( )
A.a =b
B.a >b
C.|a |<|b |
D.|a |>|b |
8. 为了疫情防控，某小区需要从甲、乙、丙、丁4名志愿者中随机抽取2名负责该小区入口处的测温工作，则甲被抽中的概率是 ( )
A.1
2
B.1
4
C.3
4
D.5
12
9. 如图，正方形ABCD 的面积为3，点E 在边CD 上，且CE =1，∠ABE 的平分线交AD 于点F ，点M ， N 分别是BE ，BF 的中点，则MN 的长为
( )
A.√6
2
B.√3
2
C.2―√3
D.
√6−√2
2
10. 如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1个图形需要6根小木棒，拼第2个图形需要14根小木棒，拼第3个图形需要22根小木棒，......若按照这样的方法拼成的第n 个图形需要2022根小木棒，则n 的值为
( )
A.252
B.253
C.336
D.337
二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)
11. 在甲、乙两位射击运动员的10次考核成绩中，两人的考核成绩的平均数相
同，方差分别为s 甲2=1.45，s 乙2
=0.85，则考核成绩更为稳定的运动员是 (填
“甲”“乙”中的一个).
12. 分解因式：3a 2―21ab = .
13. 如图，在▱ABCD 中，AD =10，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC +BD =22，则△BOC 的周长为 .
14. 分式方程3
2x =2
x+1的解是 .
15. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点O 在边AC 上，以O 为圆心，4为半径的圆恰好过点C ，且与边AB 相切于点D ，交BC 于点E ，则劣弧DE 的长是 .(结果保留π)
16. 如图，在矩形ABCD 中，BC =2AB ，点P 为边AD 上的一个动点，线段BP 绕点B 顺时针旋转60°得到线段BP'，连接PP'，CP'. 当点P'落在边BC 上时，∠PP'C 的度数为 ； 当线段CP'的长度最小时，∠PP'C 的度数为 .
三、解答题(本大题共9小题，满分72分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.( 4分)解不等式：3x ―2<4.
18.( 4分)如图，点D ， E 在△ABC 的边BC 上，∠B =∠C ，BD =CE ，求证：△ABD ≌△ACE.
19.( 6分)某校在九年级学生中随机抽取了若干名学生参加“平均每天体育运动时间”的调查，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图。

频数分布表
频数分布直方图
请根据图表中的信息解答下列问题：
(1)频数分布表中的a=，b=，n=；
(2)请补全频数分布直方图；
(3)若该校九年级共有480名学生，试估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min的学生人数。

20.( 6分)某燃气公司计划在地下修建一个容积为V(V为定值，単位：m3)的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)是反比例函数关系，它的图象如图所示。

(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度d需要满足16≤d≤25，求储存室的底面积S 的取值范围。

21.( 8分)已知T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a―3b)+a2.
(1)化简T；
(2)若关于x的方程x2+2ax―ab+1=0有两个相等的实数根，求T的值。

22.( 10分)如图，AB是☉O的直径，点C在☉O上，且AC=8，BC=6.
(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；
(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值.
23.( 10分)某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度.如图，在某一时刻，旗杆AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE，CD=1.6 m，BC=5CD.
(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个
．．作为已知，求旗杆AB的高度.
条件①：CE=1.0 m；条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角α为54.46°.
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分.
参考数据：sin 54.46°≈0.81，cos 54.46°≈0.58，tan 54.46°≈1.40.
24.( 12分)已知直线l：y=kx+b经过点(0，7)和点(1，6).
(1)求直线l的解析式；
(2)若点P(m，n)在直线l上，以P为顶点的抛物线G过点(0，―3)，且开口向下.
①求m的取值范围；
②设抛物线G与直线l的另一个交点为Q，当点Q向左平移1个单位长度后得
到的点Q'也在G上时，求G在4m
5≤x≤4m
5
+1的图象的最高点的坐标.
25.( 12分)如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=6，连接BD.
(1)求BD的长；
(2)点E为线段BD上一动点(不与点B，D重合)，点F在边AD上，且
BE=√3DF.
①当CE⊥AB时，求四边形ABEF的面积；
②当四边形ABEF的面积取得最小值时，CE+√3CF的值是否也最小?如果是，求CE+√3CF的最小值；如果不是，请说明理由.
2022年广州中考数学试题及答案详解
（答案详解）
1. A ∵圆锥的侧面展开图是扇形， ∴这个几何体是圆锥.故选A .
2. C 选项A 中的图形为轴对称图形， 选项B 中的图形为轴对称图形， 选项C 中的图形为中心对称图形， 选项D 中的图形为轴对称图形.故选C .
3. B ∵x +1>0， ∴x >―1，故选B .
4. D 将点(3，―5)代入y =kx 中，得―5=3k ， 解得k =―5
3.故选D .
5. D ∵√−83
=―2≠2，∴A 选项错误； ∵
a+1a
―1a =
a+1−1a
=a
a =1≠a (a ≠0)，
∴B 选项错误； ∵√5+√5=2√5≠√10， ∴C 选项错误； ∵a 2·a 3=a 2+3=a 5， ∴D 选项正确.故选D .
6. C ∵二次函数的图象开口向上， ∴a >0，故A 选项错误；
∵二次函数的图象与y 轴的交点在y 轴的负半轴上， ∴c <0，故B 选项错误； 抛物线的对称轴为直线x =―2，
由图象可得当x <―2时，y 随x 的增大而减小，当x >―2时，y 随x 的增大而增大，故C 选项正确，D 选项错误.故选C . 7. C 由题图可得―1<a <0，b >1， 所以a <b ，故A 选项错误，B 选项错误； ∵0<|a |<1，|b |>1，
∴|a |<|b |，故C 选项正确，D 选项错误.故选C . 8. A 根据题意，画树状图如下：
共有12种等可能的情况，其中甲被抽中有6种情况，所以甲被抽中的概率为6
12=1
2
，故选A . 9. D 如图，连接EF ，过点F 作FG ⊥BE 于点G ，
∵正方形的面积为3， ∴正方形的边长为√3， ∵CE =1，
∴在Rt △BEC 中，BE =√BC 2+EC 2=2， ∵BF 平分∠ABE ，FA ⊥AB ，FG ⊥BE ， ∴FG =FA.易证△FAB ≌△FGB ， ∴BG =BA =√3， ∴EG =BE ―BG =2―√3， ∵CD =√3，∴DE =√3―1.
设AF =FG =x ，则FD =AD ―AF =√3―x ，
在Rt △DFE 和Rt △FGE 中，FD 2+DE 2=FG 2+GE 2=FE 2， ∴(√3―x )2+(√3―1)2=x 2+(2―√3)2， 解得x =1，∴FG =AF =1，
∴FE =√FG 2+GE 2=√12+(2−√3)2=√8−4√3=√6―√2. ∵点M ，N 分别为BE ，BF 的中点， ∴MN 为△BEF 的中位线， ∴MN =EF 2=
√6−√2
2
.故选D .
10. B 第1个图形有6根小木棒，第2个图形有14根小木棒，第3个图形有22根小木棒，……，
第n 个图形有6n +2(n ―1)=(8n ―2)根小木棒. 令8n ―2=2 022，解得n =253.故选B . 11. 答案 乙
解析 ∵s 甲2=1.45，s 乙2
=0.85，1.45>0.85， 即s 甲2>s 乙2，
∴考核成绩更为稳定的是乙，故答案为乙. 12. 答案 3a (a ―7b ) 解析 3a 2―21ab =3a (a ―7b ). 故答案为3a (a ―7b ). 13. 答案 21
解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴OA =OC ，OB =OD ，BC =AD ， ∵AC +BD =22，
∴OB +OC =1
2(AC +BD )=1
2×22=11， ∵AD =10， ∴BC =AD =10，
∴△BOC 的周长为OB +OC +BC =11+10=21. 故答案为21.
14.答案x=3
解析3
2x =2
x+1
，
方程两边同乘2x(x+1)，得3(x+1)=2·2x，
解得x=3.
经检验，x=3是原分式方程的解，
∴x=3.
15.答案2π
解析连接OE，OD.
∵AB=AC，OE=OC，
∴∠B=∠OEC=∠C，
∴OE∥AB.
∵AB与☉O相切，
∴OD⊥AB，
∴∠ADO=90°，
∴∠DOE=∠ADO=90°.
∵OE=4，
∴l DE=90π×4
180
=2π.
故答案为2π.
16.答案120°；75°
解析当点P'落在边BC上时，B，P'，C三点共线，
∵BP=BP'，∠PBP'=60°，
∴△BPP'为等边三角形，∴∠BP'P=60°，∴∠PP'C=120°.
将线段AD绕点B顺时针旋转60°得到线段A'D'，易知线段A'D'为点P'的运动轨迹，设A'D'与BC交于点E.易知∠A'EB=60°.
当CP'⊥A'D'时，CP'有最小值. 易证△ABP ≌△A'BP'， ∴∠A =∠A'=90°，∴A'B ∥CP'， ∴∠P'CE =∠A'BE =30°.
设AB =A'B =a ，则BC =2a ，A'E =√3
3a ，BE =2√3
3
a ， ∴CE =2a ―
2√33a ，∴EP'=a ―√3
3
a. ∴A'P'=A'E +EP'=a ，∴A'B =A'P'，∴∠A'P'B =45°，又∵△BPP'为等边三角形，∴∠A'P'P =15°， ∴∠PP'C =90°―15°=75°. 17. 解析 3x ―2<4， 3x <4+2， 3x <6， x <2.
18. 解析 ∵∠B =∠C ， ∴AB =AC.
在△ABD 和△ACE 中，{AB =AC,∠B =∠C,BD =CE,
∴△ABD ≌△ACE (SAS). 19. 解析 (1)14；0.15；40.
详解：调查的总学生人数为n =4÷0.1=40， 所以a =40×0.35=14，b =6
40=0.15. ∴a =14，b =0.15，n =40. (2)补全的频数分布直方图如下.
(3)9+6
40×480=180(人).
答：估计该校九年级学生平均每天体育运动时间不低于120 min 的学生人数为180.
20. 解析 (1)由题意得V =20×500=10 000(m 3)， ∴储存室的容积V 的值为10 000 m 3. (2)由题意得S =V d =10 000
d
.
∵16≤d ≤25， ∴
10 00025
≤S ≤
10 00016
，
即400≤S ≤625，
∴储存室的底面积S 的取值范围为400≤S ≤625. 21. 解析 (1)T=a 2+6ab +9b 2+4a 2―9b 2+a 2=6a 2+6ab. (2)∵方程x 2+2ax ―ab +1=0有两个相等的实数根， ∴Δ=(2a )2―4×1×(―ab +1)=0， ∴4a 2+4ab ―4=0， ∴a 2+ab =1，
∴T=6a 2+6ab =6(a 2+ab )=6. 22. 解析 (1)如图所示.
(2)∵AB 是☉O 的直径， ∴∠ACB =90°.
在Rt△ABC中，AB=√AC2+BC2=√82+62=10，∴OA=OB=OD=5.
设AC的垂线与AC交于点E，则AE=EC=1
2
AC=4.∵点O是AB的中点，
∴OE=1
2
BC=3，则DE=OD―OE=2.
在Rt△DCE中，CD=√22+42=2√5，
∴sin∠ACD=DE
CD =
2√5
=√5
5
.
23.解析(1)∵CD=1.6 m，BC=5CD，
∴BC=5×1.6=8(m).
(2)若选择条件①，
连接DE、AC，则根据题意知，DE∥AC，∴∠DEC=∠ACB.
∵DC⊥BC，AB⊥BC，
∴∠DCE=∠ABC，
∴△DCE∽△ABC，
∴DC
EC =AB
BC
，即1.6
1
=AB
8
.
∴AB=1.6×8=12.8(m).
若选择条件②，过点D作DF⊥AB于点F，易得四边形DCBF为矩形，所以DF=BC=8 m，BF=DC=1.6 m，
在Rt △ADF 中，tan ∠ADF =tan α=AF
DF ， ∵tan α=tan 54.46°≈1.4， ∴AF
8≈1.4，∴AF =11.2 m ， ∴AB =AF +FB =11.2+1.6=12.8(m).
24. 解析 (1)将(0，7)和(1，6)代入y =kx +b ， 得{
b =7,k +b =6,解得{k =−1,
b =7,
∴直线l 的解析式为y =―x +7.
(2)①∵点P (m ，n )在直线l 上，∴n =―m +7，∴点P 的坐标为(m ，―m +7)，∵点P 为抛物线的顶点，∴设抛物线的解析式为y =a (x ―m )2―m +7，将(0，―3)代入，得―3=am 2―m +7，易知m ≠0， ∴a =
m−10m 2
，∵抛物线开口向下，∴a <0，∴
m−10m 2
<0，∴m <10且m ≠0.
∴m 的取值范围为m <10且m ≠0. ②联立抛物线G 与直线l 的解析式得，
{y =m−10
m 2(x −m)2−m +7,y =−x +7,
解得x 1=m ，x 2=10m 10−m . ∴点Q 的横坐标为10m
10−m ，
依题意知m +1
2=10m
10−m ，∴m 1=2，m 2=―5
2.
若m =2，则抛物线G 的解析式为y =―2(x ―2)2+5， ∵
4m 5
≤x ≤
4m 5
+1，即85≤x ≤13
5，∴当x =2时，y 的最大值为5，此时最高点的坐标为
(2，5).
若m =―5
2，则抛物线G 的解析式为y =―2(x +52)2+19
2，∵
4m 5
≤x ≤
4m 5
+1，即―
2≤x ≤―1，∴当x =―2时，y 的最大值为9，此时最高点的坐标为(―2，9). 综上，G 在
4m 5
≤x ≤
4m 5
+1的图象的最高点的坐标为(2，5)或(―2，9).
25. 解析 (1)过点A 作AG ⊥BD ，垂足为G.
∵∠BAD =120°， ∴∠ABG =∠ADG =30°. ∴BG =√3
2AB =3√3， ∴BD =2BG =6√3.
(2)①如图，延长CE 交AB 于点H ，连接AE.
∵CH ⊥AB ，∠ABC =60°，∴BH =1
2BC =1
2AB ， ∴CH 为AB 的垂直平分线，
∴AE =BE ，∴∠EAH =∠EBH =30°，∴∠DAE =90°. ∵BH =1
2AB =3，∴EH =√3
3BH =√3，∴AE =BE =2EH =2√3. ∵BE =√3DF ，∴DF =√3
3
BE =2，∴AF =4，
∴S 四边形ABEF =S △AEF +S △EAB =1
2AE ·AF +1
2AB ·EH =1
2×2√3×4+1
2×6×√3=7√3. ∴四边形ABEF 的面积为7√3.
②当四边形ABEF 的面积取得最小值时，CE +√3CF 的值也最小. 如图，过点E 作EP ⊥AD ，垂足为P.
设DF =x ，则BE =√3x ，DE =6√3―√3x ， ∴EP =1
2DE =3√3―√3
2x. ∴S △DEF =1
2DF ·EP =1
2x ·(3√3−
√32x)=―√34x 2+3√32x =―√34
(x ―3)2+9√3
4， ∴当x =3时，S △DEF 有最大值，即S 四边形ABEF 有最小值，此时点F 为AD 的中点. 连接CE ，EF ，CF.过点B 作射线BM ，使∠ABM =30°，连接CA 并延长交射线BM 于点M ，连接EM.
依题意知∠BMC =30°，∠MBC =90°，∴BM =√3BC =√3DC. ∵BE =√3DF ，∴BM DC =BE
DF =√3，∵∠MBE =∠CDF ， ∴△MBE ∽△CDF ，∴EM =√3CF ，∴CE +√3CF =CE +EM. 当C 、E 、M 三点共线时，CE +EM 有最小值，
∵(CE +EM )最小值=CM =2BC =12，∴CE +√3CF 的最小值为12.。