3命题逻辑的推理理论

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有效推理的等价定理 定理3.1 命题公式A 定理3.1 命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当 为重言式。 (A1∧A2∧…∧Ak )→B 为重言式。
说 明
该定理是判断推理是否正确的另一种方法。 该定理是判断推理是否正确的另一种方法。
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定理3.1的证明 定理3.1的证明 3.1 (1)证明必要性。 的推理正确， (1)证明必要性。若A1,A2,…,Ak推B的推理正确， 证明必要性 ,A 则对于A 中所含命题变项的任意一组赋值， 则对于A1,A2,…,Ak,B中所含命题变项的任意一组赋值，不会出 ,A ,B中所含命题变项的任意一组赋值 现A1∧A2∧…∧Ak为真，而B为假的情况， ∧A 为真， 为假的情况， 因而在任何赋值下，蕴涵式( 均为真， 因而在任何赋值下，蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak )→B均为真，故它 ∧A )→B均为真 为重言式。 为重言式。 (2)证明充分性。若蕴涵式( 为重言式， (2)证明充分性。若蕴涵式(A1∧A2∧…∧Ak)→B为重言式， 证明充分性 ∧A )→B为重言式 则对于任何赋值此蕴涵式均为真， 则对于任何赋值此蕴涵式均为真，因而不会出现前件为真后件 为假的情况， 为假的情况， 即在任何赋值下，或者A 即在任何赋值下，或者A1∧A2∧…∧Ak为假， ∧A 为假， 或者A 同时为真，这正符合推理正确的定义。 或者A1∧A2∧…∧Ak和B同时为真，这正符合推理正确的定义。 ∧A
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关于推理定律的几点说明 注意⇒ 的区别。 注意⇒ 与→ 的区别。 若一个推理的形式结构与某条推理定律对应的蕴涵式 一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 一致，则不用证明就可断定这个推理是正确的。 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理 2.1节给出的24个等值式中的每一个都派生出两条推理 节给出的24 定律。例如双重否定律A 定律。例如双重否定律A⇔¬ ¬A产生两条推理定律 A ⇒¬ ¬ A 和 ¬ ¬ A ⇒A 。 由九条推理定律可以产生九条推理规则, 由九条推理定律可以产生九条推理规则,它们构成了推 理系统中的推理规则。 理系统中的推理规则。
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说 明
判断推理是否正确的方法 真值表法 等值演算法 主析取范式法
说 明
当命题变项较少时,这三种方法比较方便 当命题变项较少时 这三种方法比较方便。
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判断下列推理是否正确。（等值演算法） 。（等值演算法 例3.2 判断下列推理是否正确。（等值演算法） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影， （1） 下午马芳或去看电影或去游泳。她没去看电影，所 她去游泳了。 以，她去游泳了。 解：设p:马芳下午去看电影，q:马芳下午去游泳。 p:马芳下午去看电影，q:马芳下午去游泳。 马芳下午去看电影 马芳下午去游泳 前提： 结论： 前提： p∨q，┐p 结论： q 推理的形式结构： ((p∨q)∧┐p)→ 推理的形式结构： ((p∨q)∧┐p)→q
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2．合式公式 3．推理规则 前提引入规则（ 规则）： ）：在证明的任何步骤上都 （1） 前提引入规则（P规则）：在证明的任何步骤上都 可以引入前提。 可以引入前提。 ）：在证明的任何步骤上所 结论引入规则（ 规则）： （2） 结论引入规则（T规则）：在证明的任何步骤上所 得到的结论都可以作为后继证明的前提。 得到的结论都可以作为后继证明的前提。 置换规则：在证明的任何步骤上， （3） 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的 子公式都可以用与之等值的公式置换， 子公式都可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的 又一个公式。 又一个公式。
1、从左到右 ┐p)→q ((p∨q)∧┐ ((p∨q)∧ p)→ (p∨q)∧┐p为1,则p∨q与 均为1,从而q 1,从而 设(p∨q)∧┐p为1,则p∨q与┐p均为1,从而q为1. ((p∨q)∧┐ ⇔ ┐((p∨q)∧┐p) ∨ q 2、从右到左 ((┐p∧┐q)∨ ⇔ ((┐p∧┐q)∨p) ∨ q p∨q与 等值，从而(p∨q)∧┐p (p∨q)∧┐p与 设q为0，则p∨q与p等值，从而(p∨q)∧┐p与 ⇔ ((┐ 3.1可知 可知， p∧┐p等值 ∨ 即)∧(┐ 等值， (p∨q)∧┐p为 q (p∨q)∧┐p为 p∧┐p((┐p，p )∧(┐q∨p)) ∨ 0。 由定理 3.1可知， 等值
⇔ (┐q∨p) ∨ q ⇔ 1 推理正确。 推理正确。
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推理定律-----重言蕴含式 推理定律-----重言蕴含式 ----(1) A ⇒ (A∨B) (A∧B) (2) (A∧B) ⇒ A (3) (A→B)∧A ⇒ B (A→B)∧┐B (4) (A→B)∧┐B ⇒ ┐A (5) (A∨B)∧┐B ⇒ A (A∨B)∧┐B (6) (A→B) ∧ (B→C) ⇒ (A→C) (B↔ (7) (A↔B) ∧ (B↔C) ⇒ (A ↔ C) (8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ⇒(B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ⇒ B (9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) (9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ⇒(┐A∨┐C) 附加律 化简律 假言推理 拒取式 析取三段论 假言三段论 等价三段论 构造性二难 构造性二难 破坏性二难
第三章
命题逻辑的推理理论
§3.1 推理的形式结构 §3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
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§3.1 推理的形式结构
数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 数理逻辑的主要任务是用数学的方法来研究数学中的 推理。 推理。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 推理是指从前提出发推出结论的思维过程。 是指从前提出发推出结论的思维过程 前提是已知命题公式集合。 前提是已知命题公式集合。 是已知命题公式集合 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式 证明是描述推理正确或错误的过程。 证明是描述推理正确或错误的过程。 是描述推理正确或错误的过程
பைடு நூலகம்
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在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (1)前提：┐p∨q, r∨┐q ,r→s (1)前提： 结论：p→s 结论： 前提 证明： 证明： ① ┐p∨q ② p→q ③ r∨┐q ④ q→r ⑤ p→r 论 ⑥ r→s ⑦ p→s P 前提引入 ①，T 置换 P 前提引入 ③，T 置换 ②④， ②④，T 假言三段 P 前提引入 ⑤⑥， ⑤⑥，T 假言三段论
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判断下列推理是否正确。（真值表法） 。（真值表法 例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法） {p,p→q}├ (1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 p∧(p→q) ∧ 0 0 0 1 正确 不正确 q 0 1 0 1 p∧(q→p) ∧ 0 0 1 1 q 0 1 0 1
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推理的形式结构
(1) 设Γ={ A1, A2, …, Ak}，记为Γ┣B。 ，记为Γ 。 (2) A1∧A2∧…∧Ak→B ∧ (3) 前提： A1, A2, … , Ak 前提： 结论： 结论： B 当推理正确时， 当推理正确时， 形式（ ）记为Γ 形式（1）记为Γ ╞ B。 。 形式（ ）记为A 形式（2）记为 1∧A2∧…∧Ak⇒B。 ∧ 。 表示蕴涵式为重言式。 ⇒表示蕴涵式为重言式。
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例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： 3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提 p→（q→r） 前提： 结论： (2)前提：p→（q→r）, p∧q 结论： ┐r→s 证明： 证明： p→（q→r） ① p→（q→r） ② p∧q ③ p ④ q ⑤ q→r ⑥ r ⑦ r∨s ⑧ ┐r→s P前提引入 P前提引入 ②T化简 ②T化简 ①③T假言推理 ④⑤T ④⑤T假言推理 ⑥T附加 ⑦T置换
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（4）假言推理规则 A →B A ∴ B （5）附加规则 A ∴ A∨ B （6）化简规则 A∧B ∴A
（4）若今天下雪,则将去滑雪。 若今天下雪,则将去滑雪。 今天下雪，所以去滑雪。 今天下雪，所以去滑雪。 （5）现在气温在冰点以下。因此， 现在气温在冰点以下。因此， 要么现在气温在冰点以下， 要么现在气温在冰点以下，要 么现在下雨。 么现在下雨。 （6）现在气温在冰点以下并且正 在下雨。因此， 在下雨。因此，现在气温在冰 点以下。 点以下。
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§3.2 自然推理系统P 自然推理系统P
判断推理是否正确的三种方法：真值表法、 判断推理是否正确的三种方法：真值表法、等值演算法 和主析取范式法。 和主析取范式法。 当推理中包含的命题变项较多时， 当推理中包含的命题变项较多时，上述三种方法演算量 太大。因此，有必要构造较为简洁的推理系统。 太大。因此，有必要构造较为简洁的推理系统。 定义3.3 自然推理系统P 定义3.3 自然推理系统P定义如下： 1．字母表 ． （1） 命题变项符号：p，q，r，…,pi，qi，ri，… ） 命题变项符号： ， ， ， （2） 联结词符号：┐,∧,∨,→, ↔ ） 联结词符号： ∧ ∨ （3） 括号和逗号：( )，， ） 括号和逗号： ，，
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研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。 研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或正确的。 定义3.1 定义3.1 都是命题公式，若对于A 设A1,A2,…,Ak和B都是命题公式，若对于A1,A2,…,Ak ,A ,A
和B中出现的命题变项的任意一组赋值， 中出现的命题变项的任意一组赋值， （1）或者A1∧A2 ∧…∧Ak为假; 或者A ∧A 为假; （2）或者当A1∧A2 ∧…∧Ak为真时，B也为真; 或者当A ∧A 为真时， 也为真; 则称由前提A1,A2,…,Ak推出B的推理是有效的或正确的，并称 则称由前提A ,A 推出B 推理是有效的或正确的， B是有效结论。 有效结论。
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关于有效推理的说明 中共出现n个命题变项， 设A1，A2，…，Ak，B中共出现n个命题变项，对于任何一组 ， 赋值α =0或者 或者1 i=1,2,…,n) ,n)， 赋值α1α2…αn(αi=0或者1，i=1,2, ,n)，前提和结论的 α 取值情况有以下四种： 取值情况有以下四种： (1) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为0。 ∧A …∧A (2) A1∧A2 ∧…∧Ak为0，B为1。 (3) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为0。 ∧A (4) A1∧A2 ∧…∧Ak为1，B为1。 ∧A 只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的， 只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断推理 (3)中的情况 是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。 (3)中的情况 是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。 推理正确，并不能保证结论B一定为真。 推理正确，并不能保证结论B一定为真。
A B ∴ A∧B
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在自然推理系统P中构造证明 在自然推理系统P P中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用P中的规 中构造证明就是由一组P中公式作为前提，利用P 推出结论。 则，推出结论。 构造形式结构A 的推理的书写方法 书写方法： 构造形式结构A1∧A2∧…∧Ak → B 的推理的书写方法： 前提： 前提： A1,A2,…,Ak 结论： 结论： B 证明方法： 证明方法： –直接证明法 直接证明法 –附加前提法 附加前提法 –归谬法（或称反证法） 归谬法（或称反证法） 归谬法
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（7）拒取式规则 A →B ¬B ∴ ¬A （8） 假言三段论规则 A →B B →C ∴ A →C （9）析取三段论规则 A∨ B ¬B ∴ A
（10）构造性二难推理规则 10） A →B C →D A∨ C ∴ B∨ D （11）破坏性二难推理规则 11） A →B C →D ¬B∨¬D ∴ ¬A∨¬C （12） 合取引入规则 12）
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关于有效推理的说明 由前提A 由前提 1，A2，…，Ak推结论 的推理是否正确与诸前提 ， 推结论B的推理是否正确与诸前提 的排列次序无关。 的排列次序无关。 Γ＝{A1，A2，…，Ak} ， 的推理记为Γ 由 Γ推B的推理记为Γ┣ B 的推理记为 若推理是正确的， 若推理是正确的，记为 Γ ╞ B 若推理是不正确的， B 若推理是不正确的，记为 Γ