艺术生高考数学专题讲义：考点28 等差数列

考点二十八 等差数列

知识梳理

1．数列的定义

按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．

2．数列的通项公式

如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式．

3．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧

S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 4．数列的分类

5．等差数列的定义

如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示．

6．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d .

说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列.

7．等差数列的前n 项和公式

设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则

S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2

d . 说明：数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项.

8．等差中项

如果A ＝a ＋b 2，那么A 叫作a 与b 的等差中项．

9．等差数列的常用性质

(1)通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＋)．

(2)若{a n}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)，则a k＋a l＝a m＋a n.

(3)若{a n}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.

(4)若{a n}，{b n}是等差数列，则{pa n＋qb n}也是等差数列．

(5)若{a n}是等差数列，公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＋)是公差为md的等差数列．

(6) 若{a n}是等差数列，则S k，S2k－S k，S3k－S2k，…(k∈N＋) 也是等差数列．

10．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{a n}中，a1>0，d<0，则S n存在最大值；若a1<0，d>0，则S n存在最小值．

典例剖析

题型一基本量法在等差数列中的运用

例1设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3＝3，S9－S6＝27，则该数列的首项a1等于________．变式训练等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a5＝8，S3＝6，则S10－S7的值是________．

题型二利用等差数列的性质解题

例2(1)设数列{a n}，{b n}都是等差数列．若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，则__________.

(2) 等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为________．

变式训练(1)在等差数列{a n}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11等于________．

(2) 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S10＝10，S20＝30，则S30＝________.

题型三等差数列的前n项和

例3设S n为等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.

变式训练在等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.

(1)求数列{a n}的通项公式；

(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．

题型四等差数列的前n项和的最值问题

例4在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n取何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．

当堂练习

1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝________．

2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8＝4S 4，则a 10等于________．

3. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 5＝8，S 3＝6，则S 10－S 7的值是________．

4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－9，a 3＋a 7＝－6，则当S n 取得最小值时，n ＝________．

5．等差数列中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则该数列前13项的和是________．

课后作业

一、 填空题

1． 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5等于________．

2．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________．

3．在等差数列{}a n 中，a 2＝2，a 10＝15，则a 18的值为________．

4．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为________．

5．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d 等于________．

6．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 4－a 5＋a 6＝8，则S 7＝________．

7．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12

a 8的值为________． 8．已知等差数列{a n }满足a 1>0,5a 8＝8a 13，则前n 项和S n 取最大值时，n 的值为________．

9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12

(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________． 10．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.

11．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．