2018-2019北京高二数学下学期期末汇编：导数(教师版)

19．（2018 春•海淀区校级期末）若 f（x）＝xsinx+cosx，则 f（﹣3），f（ ），f（2）的大小关系为 ．
20．（2Baidu Nhomakorabea18 春•西城区期末）设函数
，其中 a＞0．若对于任意 x∈R，f'（x）≥0，则实数 a 的取值范
围是 21．（2019 春•丰台区期末）已知函数 f（x）＝xex﹣m，则 f（x）的单调递减区间是 ；若 f（x）有两个不同
2018-2019 北京高二数学下学期期末汇编：导数
一．选择题（共 15 小题）
1．（2019 春•西城区期末）已知 f（x）＝cosx，则 f'（x）＝（ ）
A．cosx
B．﹣cosx
C．sinx
D．﹣sinx
2．（2019 秋•海淀区校级期末）已知 f（x）＝x•sin2x，则 f'（ ）为（ ）
三．解答题（共 14 小题） 27．（2019 春•海淀区校级期末）已知函数 f（x）＝x3﹣x2+1．
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（1）求函数 f（x）在（1，f（1））处的切线方程； （2）求函数 f（x）的单调区间和极值． 28．（2019 春•西城区期末）已知函数 f（x）＝ x3﹣x2+bx，且 f'（2）＝﹣3．
B．对于任意 x＞0，f（x）≥g（x）恒成立
C．f（x），g（x）的图象有且只有一个交点
D．f（x），g（x）的图象有且只有两个交点
13．（2018 春•东城区期末）已知函数 f（x）的导函数 f'（x）是二次函数，且 y＝f'（x）的图象关于 y 轴对称，f' （3）＝0，若 f（x）的极大值与极小值之和为 4，则 f（0）＝（ ）
（Ⅰ）求 b； （Ⅱ）求 f（x）的单调区间． 29．（2019 春•丰台区期末）已知函数 f（x）＝x3﹣3x+6． （Ⅰ）求 f（x）的极值； （Ⅱ）求 f（x）在[0，2]上的最大值与最小值，并写出相应的 x 的值． 30．（2019 春•密云区期末）已知函数 f（x）＝（1+x﹣x2）ex． （Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求函数 f（x）的极值； （Ⅲ）求函数 f（x）在区间[﹣3，2]上的最大值和最小值． 31．（2019 春•西城区期末）已知函数 f（x）＝（x+a）ex． （Ⅰ）求 f（x）的单调区间； （Ⅱ）求 f（x）在区间[0，4]上的最小值． 32．（2019 春•东城区期末）已知函数 f（x）＝x3+ax2+bx 的图象与直线 15x﹣y﹣28＝0 相切于点（2，2）． （Ⅰ）求 a，b 的值； （Ⅱ）求函数 f（x）的单调区间．
A．﹣π
B．﹣
C．
D．π
3．（2019 春•密云区期末）已知函数
，则函数 f（x）的导函数 f'（x）等于（ ）
A．cosx
B．
C．
D．
4．（2019 春•西城区期末）曲线 y＝x3+x 在点（0，0）处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣x
C．y＝2x
D．y＝x
5．（2019 春•东城区期末）已知曲线 y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程是 x+y﹣8＝0，且 f（x）的导函数 为 f'（x），那么 f'（5）等于（ ）
38．（2019 春•密云区期末）已知函数 f（x）＝（m+1）x+lnx（m∈R）． （Ⅰ）当 m＝﹣2 时，求函数 f（x）的单调区间和函数的最大值；
（Ⅱ）若函数
在区间（1，2）内有且只有一个极值点，求 m 的取值范围．
39．（2019 春•朝阳区期末）已知函数 f（x）＝ex+（a﹣e）x﹣ax2（a≤0）． （Ⅰ）当 a＝0 时，求 f（x）的最小值； （Ⅱ）证明：当 a＜0 时，函数 f（x）在区间（0，1）内存在唯一零点．
在 R 上不是单调增函数，那么实数 m 的取值范围
25．（2018 春•东城区期末）若曲线 y＝f（x）上存在唯一的点 P，使得在点 P 的切线与曲线 y＝f（x）有且只有一 个公共点，则称曲线 y＝f（x）存在“真切”线，给出下列曲线：①y＝x2；②y＝x3；③y＝lnx；④y＝﹣x2﹣lnx
则存在“真切”线的所有曲线的序号为
故选：D．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
5．（2019 春•东城区期末）已知曲线 y＝f（x）在点（5，f（5））处的切线方程是 x+y﹣8＝0，且 f（x）的导函数 为 f'（x），那么 f'（5）等于（ ）
A．2
B．0
C．﹣2
D．﹣4
14．（2018 春•海淀区校级期末）如图，已知直线 y＝kx+m 与曲线 y＝f（x）相切于两点，则 F（x）＝f（x）﹣kx
有（ ）
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A．1 个极大值点，2 个极小值点 B．2 个极大值点，1 个极小值点 C．3 个极大值点，无极小值点 D．3 个极大值点，2 个极小值点 15．（2019 秋•丰台区期末）某同学解答一道导数题：“已知函数 f（x）＝sinx，曲线 y＝f（x）在点（0，0）处的 切线为 l．求证：直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象．” 该同学证明过程如下： 证明：因为 f（x）＝sinx， 所以 f'（x）＝cosx． 所以 f'（0）＝1． 所以曲线 y＝f（x）在点（0，0）处的切线方程为 y＝x． 若想证直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象， 只需证 g（x）＝f（x）﹣x＝sinx﹣x 在 x＝0 两侧附近的函数值异号． 由于 g'（x）＝cosx﹣1≤0， 所以 g（x）在 x＝0 附近单调递减． 因为 g（0）＝0， 所以 g（x）在 x＝0 两侧附近的函数值异号． 也就是直线 l 在点（0，0）处穿过函数 f（x）的图象． 参考该同学解答上述问题的过程，请你解答下面问题： 已知函数 f（x）＝x3﹣ax2，曲线 y＝f（x）在点 P（1，f（1））处的切线为 l．若 l 在点 P 处穿过函数 f（x）的 图象，则 a 的值为（ ）
A．4
B．0
C．2
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D．﹣2
8．（2019 春•东城区期末）函数
在
上的最小值和最大值分别是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2019 春•丰台区期末）用边长为 18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的 小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（ ）
36．（2019 春•密云区期末）已知函数 f（x）＝xex﹣x﹣ax2． （Ⅰ）若曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线 y＝﹣x+1 平行，求实数 a 的值； （Ⅱ）当 x≥0 时，f（x）≥0．求实数 a 的取值范围．
37．（2019 春•西城区期末）已知函数 f（x）＝ex﹣alnx﹣x． （Ⅰ）当 a＝﹣1 时，求曲线 y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）若 f（x）在区间（0，1）上存在极值点，求 a 的取值范围．
的零点，则实数 m 的取值范围是 ． 22．（2019 春•丰台区期末）已知函数 f（x）＝x3+ax 在 R 上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ．
23．（2019 春•西城区期末）能说明“若 f'（0）＝0，则 x＝0 是函数 y＝f（x）极值点”为假命题的一个函数是 ．
24．（2019 春•东城区期末）已知 是 ．
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（1）当 a＞0 时，求 f（x）的单调区间 （2）若存在 x∈[ ，e2]，使得不等式 f（x）≥g（x）成立，求 a 的取值范围．
35．（2019 春•东城区期末）已知函数 f（x）＝ex，g（x）＝lnx． （Ⅰ）当 x＞0 时，证明：g（x）＜x＜f（x）； （Ⅱ）f（x）的图象与 g（x）的图象是否存在公切线（公切线：同时与两条曲线相切的直线）？如果存在，有几 条公切线，请证明你的结论．
A．1cm
B．2cm
C．3cm
D．4cm
10．（2019 春•朝阳区期末）已知函数 f（x）＝ksinx+2x+1（k∈R），当 k∈（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）时，f（x） 在（0，2π）内的极值点的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
11．（2019 春•西城区期末）已知函数 f（x）在 R 上有导函数，f（x）图象如图所示，则下列不等式正确的是 （ ）
3．（2019 春•密云区期末）已知函数
，则函数 f（x）的导函数 f'（x）等于（ ）
A．cosx
B．
C．
D．
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【分析】根据题意，由导数的计算公式可得 f′（x）＝
，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，函数
，
则 f′（x）＝
＝
；
故选：D．
【点评】本题考查导数的计算，关键是掌握导数的计算公式，属于基础题． 4．（2019 春•西城区期末）曲线 y＝x3+x 在点（0，0）处的切线方程为（ ）
一．选择题（共 15 小题）
参考答案与试题解析
1．（2019 春•西城区期末）已知 f（x）＝cosx，则 f'（x）＝（ ）
A．cosx
B．﹣cosx
C．sinx
D．﹣sinx
【分析】进行基本初等函数的求导即可．
【解答】解：∵f（x）＝cosx；
∴f′（x）＝﹣sinx．
故选：D．
【点评】考查基本初等函数的求导公式．
33．（2019 春•丰台区期末）已知函数
，g（x）＝ax，a∈R．
（Ⅰ）求曲线 y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程； （Ⅱ）若不等式 f（x）＜g（x）对 x∈（0，+∞）恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）若直线 y＝﹣a 与曲线 y＝f（x）﹣g（x）相切，求 a 的值． 34．（2019 春•海淀区校级期末）已知函数 f（x）＝ax﹣（2a+1）lnx﹣ ，g（x）＝﹣2alnx﹣ ，其中 a∈R．
A．y＝﹣2x
B．y＝﹣x
C．y＝2x
D．y＝x
【分析】求出原函数的导函数，在分别求得函数在 x＝0 处的函数值与导数值，再由直线方程的点斜式求解． 【解答】解：由 y＝x3+x，得 y′＝3x2+1，
则 y′|x＝0＝1， 又当 x＝0 时，y＝0． ∴曲线 y＝x3+x 在点（0，0）处的切线方程为 y＝x．
A．3
B．1
C．﹣8
D．﹣1
6．（2019 春•丰台区期末）已知函数 f（x）的定义域为（m，n），导函数 f'（x）在（m，n）上的图象如图所示， 则 f（x）在（m，n）内的极小值点的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
7．（2019 秋•兴庆区校级期末）函数 f（x）＝x3﹣3x2+2 在[﹣1，1]上的最大值是（ ）
A．f'（a）＜f'（b）＜f'（c）
B．f'（b）＜f'（c）＜f'（a）
C．f'（a）＜f'（c）＜f'（b）
D．f'（c）＜f'（a）＜f'（b）
12．（2019 春•西城区期末）已知函数 f（x）＝x2﹣1，g（x）＝lnx，下列说法中正确的是（ ）
A．f（x），g（x）在点（1，0）处有相同的切线
26．（2018 春•西城区校级期末）定义方程 f（x）＝f'（x）的实数根 x0 叫做函数 f（x）的“新驻点”． （1）设 f（x）＝cosx，则 f（x）在（0，π）上的“新驻点”为 ．
（2）如果函数 g（x）＝x 与 h（x）＝ln（x+1）的“新驻点”分别为 α、β，那么 α 和 β 的大小关系是 ．
40．（2019 春•西城区期末）已知函数 f（x）＝ +a（x﹣1）．
（Ⅰ）若 a＝0，求 f（x）的极值； （Ⅱ）若在区间（1，+∞）上 f（x）＜0 恒成立，求 a 的取值范围； （Ⅲ）判断函数 f（x）的零点个数．（直接写出结论）
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2018-2019 北京高二数学下学期期末汇编：导数
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A．3
B．
C．0
D．﹣3
二．填空题（共 11 小题）
16．（2019 春•西城区期末）已知函数 y＝ ，则 f'（1）＝ ．
17．（2018 春•西城区期末）函数
的图象在 x＝4 处的切线的斜率为 ．
18．（2018 春•西城区期末）函数 f（x）＝sinx 在
处的切线的斜率为 ．
2．（2019 秋•海淀区校级期末）已知 f（x）＝x•sin2x，则 f'（ ）为（ ）
A．﹣π
B．﹣
C．
D．π
【分析】先对 f（x）求导，再求出结论即可． 【解答】解：f'（x）＝sin2x+x•2cos2x＝sin2x+2xcos2x， f'（ ）＝sinπ+πcosπ
＝0﹣π ＝﹣π， 故选：A． 【点评】考查对函数求导，和求导函数的值，基础题．