高中数学 模块综合测评2 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题

模块综合测评(二)
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设命题p ：∃n ∈N ，n 2
＞2n
，则綈p 为( )
A ．∀n ∈N ，n 2＞2n
B ．∃n ∈N ，n 2≤2n
C ．∀n ∈N ，n 2
≤2n
D ．∃n ∈N ，n 2＝2n
【解析】 依据含有一个量词的命题的否定判定即可．
因为“∃x ∈M ，p (x )”的否定是“∀x ∈M ，綈p (x )”，所以命题“∃n ∈N ，n 2
>2n
”的
否定是“∀n ∈N ，n 2≤2n
”．故选C.
【答案】 C
2．设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为y ＝±1
2x ，则该双曲线的离心率e 的值为
( )
A ．5
B ． 5
C ．
52
D ．54
【解析】 由焦点在x 轴上的渐近线方程为y ＝±12x ，可得b a ＝1
2
，
所以e ＝c a ＝a 2＋b 2
a
＝
a 2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 2
2
a
＝
52
. 【答案】 C
3．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α，“m ∥β ”是“α∥β ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】 结合平面与平面平行的判定与性质进行判断．
当m ∥β时，过m 的平面α与β可能平行也可能相交，因而m ∥β
α∥β；当α
∥β时，α内任一直线与β平行，因为m ⊂α，所以m ∥β.综上知，“m ∥β ”是“α∥
β ”的必要而不充分条件．
【答案】 B
4．已知a ＝(1－t,1－t ，t )，b ＝(2，t ，t )，则|b －a |的最小值为( ) A.5
5
B ．
555
C.
35
5 D ．115
【解析】∵b －a ＝(1＋t,2t －1,0)， ∴|b －a |＝
1＋t
2
＋2t －1
2
＝5t 2
－2t ＋2 ＝
5⎝ ⎛⎭⎪⎫t －152＋95
， 当t ＝15时，|b －a |min ＝355.
【答案】 C
5．已知F 是抛物线y 2
＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段
AB 的中点到y 轴的距离为( )
A.34 B ．1 C.54
D ．74
【解析】∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝5
2
.线段AB 的中点到y 轴的距离为
x A ＋x B 2
＝5
4
.
【答案】 C
6．下列四个条件中，使a ＞b 成立的充分不必要条件是( )
【导学号：32550103】
A ．a ＞b ＋1
B ．a ＞b －1
C ．a 2
＞b 2
D ．a 3
＞b 3
【解析】 要求a ＞b 成立的充分不必要条件，必须满足由选项能推出a ＞b ，而由a ＞b 不能推出选项．在选项A 中，a ＞b ＋1能使a ＞b 成立，而a ＞b 时，a ＞b ＋1不一定成立，故正确；在选项B 中，a ＞b －1时，a ＞b 不一定成立，故B 错误；在选项C 中，a 2
＞b 2
时，
a ＞
b 也不一定成立，因为a ，b 不一定同为正数，故C 错误；在选项D 中，“a 3＞b 3”是“a
＞b ”成立的充要条件，故D 错误．
【答案】 A
7．与两圆x 2
＋y 2
＝1和x 2
＋y 2
－8x ＋12＝0都外切的圆的圆心在( ) A ．一个椭圆上 B ．双曲线的一支上 C ．一条抛物线上
D ．一个圆上
【解析】 将x 2
＋y 2
－8x ＋12＝0配方，得(x －4)2
＋y 2
＝4，设所求圆心为P ，设两圆的圆心分别为O 1，O 2，则由题意知||PO 2|－|PO 1||＝|R －r |＝1，根据双曲线的定义可知其轨迹
是双曲线的一支．
【答案】 B
8．点M 在z 轴上，它与经过坐标原点且方向向量为s ＝(1，－1,1)的直线l 的距离为6，则点M 的坐标是( )
A ．(0,0，±2)
B ．(0,0，±3)
C ．(0,0，±3)
D ．(0,0，±1)
【解析】 设M (0,0，z )，直线的一个单位方向向量s 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3
3
，－33，33，故点M 到
直线l 的距离d ＝
|OM →|2－|OM →
·s 0|2
＝
z 2－13
z 2＝6，解得z ＝±3.
【答案】 B
9．如图1，已知过抛物线y 2
＝2px (p ＞0)的焦点F 的直线x －my ＋m ＝0与抛物线交于A 、
B 两点，且△OAB (O 为坐标原点)的面积为22，则m 6＋m 4的值是( )
图1
A ．1
B ． 2
C ．2
D ．4
【解析】 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意可知，p
2＝－m ，将x ＝my －m 代入抛物线方
程y 2
＝2px (p ＞0)中，整理得y 2
－2pmy ＋2pm ＝0，由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝2pm ，∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝(2pm )2－8pm ＝16m 4＋16m 2
，又△OAB 的面积S ＝12×p 2|y 1
－y 2|＝12
(－m )×4m 4＋m 2＝22，两边平方即可得m 6＋m 4
＝2.
【答案】 C
10．在三棱锥P ­ABC 中，PA ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面DEF 所成角正弦值为( )
A.15 B ．255
C.55
D ．25
【解析】 以A 为原点，AB 、AC 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，由AB ＝AC ＝1，PA ＝2，得A (0，0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，P (0,0,2)，
D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12
，0，0，
E ⎝
⎛⎭
⎪⎫12，12，0，F ⎝
⎛⎭
⎪⎫0，1
2，1， ∴AP →＝(0,0,2)，DE →
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0， DF →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，12
，1，
设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则由⎩⎨⎧
n ·DE →＝0，n ·DF →
＝0，
得⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝0，－x ＋y ＋2z ＝0，
取z ＝1，则n ＝(2,0,1)，设PA 与平面
DEF 所成角为θ，则sin θ＝|PA →
·n ||PA →|·|n |＝55，∴PA 与平面DEF 所成角的正弦值为5
5，故
选C.
【答案】 C
11．设O 为坐标原点，F 1、F 2是x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的焦点，若在双曲线上存在点P ，
满足∠F 1PF 2＝60°，|OP |＝7a ，则该双曲线的渐近线方程为( )
A ．x ±3y ＝0
B ．3x ±y ＝0
C ．x ±2y ＝0
D ．2x ±y ＝0
【解析】 如图所示，∵O 是F 1F 2的中点，
∴PF 1→
＋PF 2→
＝2PO →
，
∴(PF 1→＋PF 2→
)2
＝(2PO →
)2
.
即|PF 1→
|2
＋|PF 2→|2
＋2|PF 1→|·|PF 2→
|·cos 60°＝4|PO →|2
.
又∵|PO |＝7a ，
∴|PF 1→
|2
＋|PF 2→
|2
＋|PF 1→|·|PF 2→
|＝28a 2
.① 又由双曲线定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ， ∴(|PF 1|－|PF 2|)2
＝4a 2
.
即|PF 1|2
＋|PF 2|2
－2|PF 1||PF 2|＝4a 2
.② 由①－②得|PF 1|·|PF 2|＝8a 2
， ∴|PF 1|2
＋|PF 2|2
＝20a 2
. 在△F 1PF 2中，由余弦定理得 cos 60°＝|PF 1|2
＋|PF 2|2
－|F 1F 2|
2
2|PF 1||PF 2|，
∴8a 2
＝20a 2
－4c 2
.即c 2
＝3a 2
. 又∵c 2
＝a 2
＋b 2
，∴b 2
＝2a 2
.
即b 2a 2＝2，b
a
＝ 2. ∴双曲线的渐近线方程为2x ±y ＝0. 【答案】 D
12．正△ABC 与正△BCD 所在平面垂直，则二面角A ­BD ­C 的正弦值为
( )
A.55 B ．
33 C.25
5
D ．
63
【解析】
取BC 中点O ，连结AO ，DO .建立如图所示坐标系，设BC ＝1， 则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，
32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，0，D ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0，0.
∴OA →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，0，32，BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，32，BD →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，12，0.
由于OA →＝⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，0，32为平面BCD 的一个法向量，可进一步求出平面ABD 的一个法向量n
＝(1，－3，1)，
∴cos 〈n ，OA →〉＝5
5，
∴sin 〈n ，OA →〉＝25
5.
【答案】 C
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的逆否命题是________．
【解析】 根据逆否命题的定义知“若p 则q ”与“綈q 则綈p ”互为逆否命题． 【答案】 若A
B ，则A ∪B ≠B
14．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝________. 【解析】a ＋b ＝(－2,1，x ＋3)， ∵(a ＋b )⊥c ，∴(a ＋b )·c ＝0， 即－2×1＋1×(－x )＋(x ＋3)×2＝0. 解得x ＝－4. 【答案】 －4
15．如图2，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，点M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使MG ＝2GN ，则用向量OA →，OB →，OC →表示向量OG →
为________．
图2
【解析】OG →＝OM →＋MG →＝12OA →＋23MN →
＝12OA →＋23⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12OA →＋OB →＋12OC →－12OB → ＝16OA →＋13OB →＋13
OC →.
【答案】16OA →＋13OB →＋13
OC →
16．已知F 是双曲线C ：x 2
－y 2
8
＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66)．当△
APF 周长最小时，该三角形的面积为________．
【导学号：32550104】
【解析】 根据双曲线的定义等价转化|PF |，分析何时△APF 的周长最小，然后用间接法计算S △APF .由双曲线方程x 2
－y 2
8＝1可知，a ＝1，c ＝3，故F (3,0)，F 1(－3，0)．当点P
在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF |－|PF 1|＝2，所以|PF |＝|PF 1|＋2，从而△APF 的周长＝|AP |＋|PF |＋|AF |＝|AP |＋|PF 1|＋2＋|AF |.
因为|AF |＝32
＋66
2
＝15为定值，
所以当(|AP |＋|PF 1|)最小时，△APF 的周长最小，由图像可知，此时点P 在线段AF 1与双曲线的交点处(如图所示)．
由题意可知直线AF 1的方程为y ＝26x ＋66，
由⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝26x ＋66，x 2－y 2
8＝1，
得y 2
＋66y －96＝0，
解得y ＝26或y ＝－86(舍去)， 所以S △APF ＝S △AF 1F －S △PF 1F ＝12×6×66－1
2×6×26＝12 6. 【答案】 12 6
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知p ：x 2
－8x －20＞0，q ：x 2
－2x ＋1－a 2
＞0.若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值X 围．
【解】 解不等式x 2
－8x －20＞0得p ：A ＝{x |x ＞10或x ＜－2}．
解不等式x 2－2x ＋1－a 2
＞0得q ：B ＝{x |x ＞1＋a 或x ＜1－a ，a ＞0}． 依题意，p ⇒q 但q
p ，说明A B .
于是，有⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＞0，1＋a ≤10，
1－a >－2，
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a >0，1＋a <10，1－a ≥－2.
解得0＜a ≤3.
∴正实数a 的取值X 围是0＜a ≤3.
18．(本小题满分12分)已知p ：－2＜m ＜0,0＜n ＜1；q ：关于x 的方程x 2
＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根．试分析p 是q 的什么条件．
【解】 若关于x 的方程x 2
＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1，
有0＜x 1＋x 2＜2且0＜x 1x 2＜1.
根据根与系数的关系⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 1＋x 2＝－m ，
x 1x 2＝n ，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
0＜－m ＜2，
0＜n ＜1，
即－2＜m ＜0,0＜n ＜1，故有q ⇒p .
反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12＜0，方程x 2
＋mx ＋n ＝0无实根，
所以p
q .
综上所述，p 是q 的必要不充分条件．
19．(本小题满分12分)在如图3所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC ＝BC ＝BD ＝2AE ，M 是AB 的中点，建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
图3
(1)求证：CM ⊥EM ；
(2)求CM 与平面CDE 所成角的大小．
【解】 (1)证明：分别以CB ，CA 所在直线为x ，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设AE ＝a ，则M (a ，－a ，0)，E (0，－2a ，a )，
所以CM →＝(a ，－a,0)，EM →
＝(a ，a ，－a )， 所以CM →·EM →
＝a ×a ＋(－a )×a ＋0×(－a )＝0， 所以CM ⊥EM .
(2)CE →
＝(0，－2a ，a )，CD ＝(2a,0,2a )，设平面CDE 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
则有⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2ay ＋az ＝0，2ax ＋2az ＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
z ＝2y ，
x ＝－z ，
令y ＝1， 则n ＝(－2,1,2)， cos 〈CM →，n 〉＝CM →
·n |CM →||n |
＝
a ×－2＋－a ×1＋0×22a ×3
＝－2
2，
所以直线CM 与平面CDE 所成的角为45°.
20．(本小题满分12分)学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图4，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 2
25＝1，变轨(即航天器运行轨迹由
椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴、
图4
M ⎝
⎛⎭
⎪⎫
0，647
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)．观测点A (4,0)、B (6,0)同时
跟踪航天器．
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
【解】 (1)设所求曲线方程为y ＝ax 2
＋647，
由题意可知，0＝a ·64＋647，解得a ＝－1
7
.
所以曲线方程为y ＝－17x 2＋64
7.
(2)设变轨点为C (x ，y )，根据题意可知
⎩⎪⎨⎪⎧
x 2100＋y 2
25＝1，
y ＝－17x 2
＋647，
得4y 2
－7y －36＝0，
解得y ＝4或y ＝－9
4(不合题意，舍去)．
所以x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． 所以C (6,4)，|AC |＝25，|BC |＝4.
故当观测点A ，B 测得AC ，BC 距离分别为25，4时应向航天器发出变轨指令． 21．(本小题满分12分)如图5所示，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝30°，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E .
图5
(1)证明：CF ⊥平面ADF ； (2)求二面角D ­AF ­E 的余弦值．
【解析】 (1)由题意可知DA ⊥DC ，DA ⊥DP ，DC ⊥DP ，则以D 为原点，DP 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．
设正方形ABCD 的边长为a ， 则C (0，a,0)，且A (0,0，a )， 由平面几何知识可求得F ⎝
⎛⎭
⎪⎫
34a ，34a ，0， 所以CF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，0，DA →
＝(0,0，a )，
所以CF →·DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0·⎝ ⎛⎭⎪⎫
34a ，34a ，0＝0，
CF →
·DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
34a ，－14a ，0·(0,0，a )＝0，
故CF ⊥DF ，CF ⊥DA ；又DF ∩DA ＝D ，
所以CF ⊥平面ADF . (2)易得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，0，则AE →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34a ，0，－a ， 又AF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34a ，34a ，－a ， 设平面AEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则n ·AE →
＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，0，－a ＝34ax －az ＝0，n ·AF →＝(x ，y ，z )·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，34a ，－a ＝34
ax ＋34ay －az ＝0， 取x ＝1，得n ＝⎝ ⎛
⎭
⎪⎫1，0，34. 由(1)知平面ADF 的一个法向量为CF →＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫34a ，－14a ，0， 故cos 〈n ，CF →
〉＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，34·⎝ ⎛⎭⎪⎫34a ，－14a ，0194×12a ＝257
19，
由题图可知二面角D ­AF ­E 为锐二面角，所以其余弦值为25719
. 22．(本小题满分12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的半焦距为c ，原点O 到经过两点(c,0)，(0，b )的直线的距离为12
c .
图6
(1)求椭圆E 的离心率；
(2)如图6，AB 是圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝52
的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的方程．
【导学号：32550105】
【解】 (1)过点(c,0)，(0，b )的直线方程为bx ＋cy －bc ＝0，
则原点O 到该直线的距离d ＝bc b 2＋c 2＝bc a ， 由d ＝12c ，得a ＝2b ＝2a 2－c 2，解得离心率c a ＝32
. (2)法一：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.①
依题意，圆心M (－2,1)是线段AB 的中点，且|AB |＝10.
易知，AB 与x 轴不垂直，设其方程为y ＝k (x ＋2)＋1，代入①得 (1＋4k 2)x 2＋8k (2k ＋1)x ＋4(2k ＋1)2－4b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 2k ＋11＋4k 2，x 1x 2＝42k ＋12－4b 21＋4k
2. 由x 1＋x 2＝－4，得－
8k 2k ＋11＋4k 2＝－4，解得k ＝12. 从而x 1x 2＝8－2b 2.
于是|AB |＝
1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122|x 1－x 2| ＝5
2x 1＋x 22－4x 1x 2＝10b 2
－2. 由|AB |＝10，得10b 2－2＝10，解得b 2＝3.
故椭圆E 的方程为x 2
12＋y 2
3
＝1. 法二：由(1)知，椭圆E 的方程为x 2＋4y 2＝4b 2.②
依题意，得点A ，B 关于圆心M (－2,1)对称，且|AB |＝10. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则
x 2
1＋4y 21＝4b 2，x 22＋4y 22＝4b 2， 两式相减并结合x 1＋x 2＝－4，y 1＋y 2＝2，得
－4(x 1－x 2)＋8(y 1－y 2)＝0.
易知AB 与x 轴不垂直，则x 1≠x 2，
所以AB 的斜率k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝12
. 因此直线AB 的方程为y ＝12
(x ＋2)＋1，代入②得 x 2＋4x ＋8－2b 2＝0.
所以x 1＋x 2＝－4，x 1x 2＝8－2b 2.
于是|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫122|x 1－x 2|
＝
5
2
x1＋x22－4x1x2＝10b2－2.
由|AB|＝10，得10b2－2＝10，解得b2＝3.
故椭圆E的方程为x2
12＋
y2
3
＝1.。