人教版九年级数学上册弧、弦、圆心角

∠AOB=∠A1O1B1 ，连接AB和A1B1 ，则 与
， 弦AB与A1B1还相等吗？
AB A1B1
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
∵ OA，OB，OA1，OB1是 O的半径，
∠AOB=∠A1OB1，
∴ AB = A1B1，AB=A1B1 ．
α
α
思考：如图，两同心圆中，
例3 如图，AB、CD是 O的两条直径，BE=BD，
求证： AC． BE 证明：连接AC． ∵AB，CD是 O的两条直径， ∴∠AOC=∠BOD． ∴AC=BD，又BE=BD， ∴AC=BE． ∴ AC BE ．
探究 如图，AB，CD是 O的两条弦，OE⊥AB 于E，OF⊥CD于F． （1）如果AB=CD， OE与OF相等吗？为什么？ （2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？
即
， AB=A1B1 ．
∠AOB为 O的圆心角，
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 ∴∠AEO=∠CFO=90°，
∠AOB=120°，C是 的中点．
对的两条弧． ∴点A与A1重合，点B与B1重合．
（2） 与 是否相等？
例3 如图，AB、CD是 O的两条直径，BE=BD，
（2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？
例2 已知：如图所示，在 O中， AD=BC． 探究 如图，AB，CD是 O的两条弦，OE⊥AB
课后作业
A、B两点关于点O对称，
因此 与 重合，AB与A1B1重合，
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
（1） 与 是否相等？
∴∠AOD=∠BOC． 求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
思考2．把 O绕圆心O旋转任意一个角度后，还能和原来的图形重合吗？
圆具有旋转不变性．
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
∠AOB为 O的圆心角， 圆心角∠AOB所对的弦为AB， 所对的弧为AB ．
思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1 时，它们所对的 AB 和A1B1 、弦AB和A1B1相等吗？ 为什么？ 将∠AOB 连同AB 绕圆心O旋转，
24.1.3 弧、弦、圆心角 （1）
思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时，它们所对的 和 、弦AB和A1B1相等吗？为什么？
又 ∠ACB=60°, 因此 与 重合，AB与A1B1重合， OE=OF，OA=OC，∠AEO=∠CFO=90°
复习回顾
（2）如果
，那么________，______________.
A、B两点关于点O对称，
∠AOB为 O的圆心角，
1．如图， O中，
，∠C=75°.
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∴ = ，AB=A1B1 ．
于E，OF⊥CD于F．
探究 如图，AB，CD是 O的两条弦，OE⊥AB
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．
∴∠AOD=∠BOC．
∴∠AOC=∠BOD．
思考1．圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
证法二：连接OA，OD，OB，OC．
例2 已知：如图所示，在 O中， AD=BC．
1．如图， O中，
，∠C=75°.
∴∠AOD=∠BOC．
∵ OE⊥AB ， OF⊥CD ，
（2） 与 是否相等？
做一做：在纸上画两个等圆，点A，B在 O上，A1，B1在 O１上，使∠AOB=∠A1O1B1 ，连接AB和A1B1 ，则 与
OE与OF相等． 证明:
∵ OE⊥AB ， OF⊥CD ，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
AE= 1 AB ， CF= 1 CD ．
2
2
∵AB=CD ， ∴AE=CF．
∵OA=OC ，
∴Rt△AOE≌ Rt △COF．
∴OE=OF．
探究 如图，AB，CD是 O的两条弦，OE⊥AB 于E，OF⊥CD于F． （2）如果OE=OF， AB与CD相等吗？为什么？ 分析：
（1）如果AB=CD，那么AB___C_D___∠_，AOB=∠COD （2）_如__果__A_B___C_D_，__那_．么_A_B_=__C_D__，∠__A__O_B_=__∠__C_O_D__. （3）如果∠AOB=∠COD，那么A__B_=_C__D_，_A_B____C_D__.
∵ OE⊥AB ， OF⊥CD ，
、弦AB和A1B1相等吗？为什么？
求证：四边形OACB是菱形． ∴点A与A1重合，点B与B1重合．来自例1 如图，在 O中，
，∠ACB=60°.
同学们，再见！
什么是中心对称图形？
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重
合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
探究新知
思考1．圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？
OA =OB， A、B两点关于点O对称， 圆是中心对称图形， 它的对称中心是圆心．
∴∠AOB=∠DOC．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
1．如图， O中，
，∠C=75°.
求证: ∠AOB=∠BOC=∠AOC.
B
A
O， 弦AB与A1B1还相等吗？ C
证明： ⸪ AB AC ，
∴AB=AC，△ABC是等腰三角形． 又 ∠ACB=60°,
A ∴△ABC是等边三角形，AB=BC=CA． ∴∠AOB=∠BOC=∠AOC．
例1 如图，在 O中，
，∠ACB=60°.
（1）如果AB=CD， OE与OF相等吗？为什么？
例题讲解
思考1．圆是中心对称图形吗？如果是，你能指出它的对称中心吗？
∠AOB=120°，C是 的中点．
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
1．如图，
O中，
，A∠B C=7A5C°.
即
， AB=A1B1 ．
证法一： ∵AD=BC，
求∠A的度数．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
因此 与 重合，AB与A1B1重合，
∵AB，CD是 O的两条直径，
证法二：连接OA，OD，OB，OC．
（1） A与B （2） AB与
是A否B相等 ？
A是否B相 等？
AO，B问： AOB
不相等
不相等
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相 等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣 弧也分别相等．
知一推二
圆心角等
弧等
弦等
概念巩固
如图，AB，CD是 O的两条弦．
使射线OA与OA1重合，
∵ ∠AOB=∠A1OB1， ∴射线OB与OB1重合．
又OA=OA1 ，OB=OB1 ，
∴点A与A1重合，点B与B1重合． 因此 AB 与 A1B1 重合，AB与A1B1重合，
即 AB A1B1 ， AB=A1B1 ．
， 做一做：在纸上画两个等圆 ，点A，B在 O上，A1，B1在 O１上 使
O
B
C
例2 已知：如图所示，在 求证：AB=CD． 证法一： ∵AD=BC， AD BC ．
AD+BD BC BD , AB CD ．
∴AB=CD．
O中， AD=BC．
例2 已知：如图所示，在 O中， AD=BC．
求证：AB=CD． 证法二：连接OA，OD，OB，OC．
∵AD=BC， ∴∠AOD=∠BOC． ∴∠AOD+∠BOD=∠BOC+ ∠BOD, ∴∠AOB=∠DOC． ∴AB=CD．
2．如图，A，B是 O上两点， 1．如图， O中，
，∠C=75°.
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等．
∠AOB=120°，C是 AB 的中点． ∴∠AEO=∠CFO=90°，
∴∠AEO=∠CFO=90°， 思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时，它们所对的 和
° （2）如果OE=OF， AB与C例D相1 等吗如？图为什，么在？ O 中 ，
，∠ACB=60 .
AB AC 思考：如图，在 O中，当圆心角∠AOB=∠A1OB1时，它们所对的 和 、弦AB和A1B1相等吗？为什么？
AE= AB ， CF= CD ．
3 弧、弦、圆心角（1）求证: ∠AOB= ∠BOC = ∠ AOC .
OE=OF，OA=OC，∠AEO=∠CFO=90°
Rt △AOE≌ Rt △COF
AB=CD
课堂小结
圆是中心对称图形，圆具有旋转不变性；
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所对的弦也相等．
圆心角等
弧等
弦等
通过观察、操作、推理、归纳等活动，提高了分析 问题解决问题的能力．
（2） 与 是否相等？