采样与调制

信号与系统
第五章
8
离散信号可以通过对连续信号抽样得到；连 续信号可以通过抽样转化为离散信号，从而可 以用离散时间系统进行处理。但是，这牵涉到 两个问题： 1. 用什么方法进行抽样？ 2. 如何抽样才能不损失原来信号中的信息？
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第五章
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§5.0 引言 §5.1 连续时间信号的时域采样定理 §5.2 信号的欠采样 §5.3 离散时间信号的时域采样定理 §5.4 连续时间系统的离散时间实现 §5.5 正弦载波幅度调制
n
x(nT ) (t nT )
–c

H ( j)
T
c

xr (t )
图5-4 恢复系统
内插：用样本来重建某一连续时间（某一变量）函数的过程。 这一重新过程结果既可以是近似的，也可以是精确的。 我们可以用上图所示的恢复系统来考虑上述问题。如果图中 的 H ( j) 为满足抽样定理的理想低通滤波器，则所得结果是 精确重建。
信号与系统 第五章


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原始连续的图像
采样和量化后的结果
第五章
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信号与系统
第五章
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§5.0 引言 §5.1 连续时间信号的时域采样定理 §5.2 信号的欠采样 §5.3 离散时间信号的时域采样定理 §5.4 连续时间系统的离散时间实现 §5.5 正弦载波幅度调制
§5.6 脉冲幅度调制（PAM） §5.7 离散时间信号正弦幅度调制
T –c 0 c
x(t)
。
图5-3 用于恢复的低通滤波器
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
（2）当 s M M ，即 s 2 M 时 X p ( j ) 中各移位 X p ( j ) 就不能重显原信 X ( j) 之间存在重叠，这样在重叠处，
cT xr (t ) x(nT ) Sa(c (t nT )) n N
N
只要N足够大，就可以获得足够精度。
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Matlab:用带限内插公式重建信号
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第五章
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Matlab:用带限内插公式重建信号
信号与系统
第五章
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Matlab:用带限内插公式重建信号

1
h0(t)
T
hr (t ) H r ( j )
xr(t)
图5-9 零阶保持的恢复系统
若 H ( j)为理想低通滤波器
T , M c s M H ( j ) H 0 ( j ) H r ( j ) 0, 其它
那么 xr (t ) x(t )。
号的频谱。这种现象称为频谱的褶叠。当 s 2 M 时，由于这种 褶叠，X ( j)在 | | s / 2 部分的高频成份将叠加到 X p ( j ) 的 s 上去，从而导致所谓的假频现象，不能恢复原信号。 | | 2
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
k


2 s ( k s )， T
由傅里叶变换的相乘性质：
2 1 1 X p ( j ) [ X ( j ) * P( j )] X ( j ( k s ))， s T 2 T k
X p ( j ) 是频域上的周期函数，满足 X p ( j ) X p ( j ( s )) ，
n
x(nT ) (t nT )


抽样频谱
原信号频谱
当满足 s 2 M时，X (e j ) 频谱没有重叠，只要将 X (e j ) 乘以T 倍和作 T 的线性映射，就可以精确重现原信号的频谱结构。 因此，在 s 2 M 条件下， x(t ) 的样值序列 x[n] 保留了其原始 信号的所有信息。
现在进一步考查 x(t ) 的样值序x[n] x(nT )的频谱，即
x[n] X (e )
F
j
n
x[n]e

jn

n
jn x ( nT ) e

由于 X p (t )
n
x(nT ) (t nT ) ，
n jnT x ( nT ) e
通的单位冲激响应
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第五章
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
零阶保持重建信号是在某采样时刻 上，将该采样值在下一个采样时刻到 来之前保持一段时刻。因此，该重建 方法是一种很粗糙的方近似。

通过和理想滤波器的频响比较， 也可以得出该结论。

图5-8 零阶保持和理想滤波器的频响特性
信号与系统 第五章
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
设图中H ( j) 为一低通滤波器，可以是理想低通，也可以 是非理想低通。设该低通滤波器的单位冲激响应为 h[t ] ，以及系 统的输出为 xr (t ) 。
xr (t ) x p (t ) * h(t ) ( x(nT ) (t nT )) * h(t )
且由一组移位的 X ( j) 的叠加而成，但在幅度上有1/T的变化。
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
| | M ， 假设被采样信号 x(t )是一带限信号，即 X ( j ) 0， M 为信号 x(t )的最高频率。
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
信号与系统
第五章
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
（2）零阶保持 如果 h(t ) 取以下的矩形窗函数，即
h0 (t )
1
1, h(t ) h0 (t ) 0,
0 t 和 T 其它

T
t
这样得到的重建方法，称为零阶保持。 图5-6 零阶保持重建时，低
因此，当采样频率大于信号最高频率两倍时，即 s 2 M
时， x(t ) 就能够完全用一个低通滤波器从 x p (t ) 中恢复出来，其
中要求该低通滤波器的截止频率 c 满足：
M c ( s M )
和增益为T。
H ( j)
c 一般 c 可取值为：
s
2
xp(t)
x(nT )h(t nT ) n
n
所以可由某一基本信号 h(t ) 的移位信号 h(t nT ) 的线性组合 来重建信号，而线性组合中的加权系数为信号的样值序列，该 基本信号为恢复系统中低通滤波器的单位冲激响应。 选择不同的 h(t ) ，即不同的低通滤波器，可得不同的内插公式。
§5.6 脉冲幅度调制（PAM） §5.7 离散时间信号正弦幅度调制
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• 抽样器及其数学模型 • 抽样是通过一定的装置（等间隔地）抽取原来连 续信号中的很小的一段。其等效电路
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
用冲激串采样来获取信号等间隔上的采样值:
x p (t ) x(t ) p(t )
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
采样定理：设 x(t ) 某一带限信号，即 X ( j ) 0 ， 。 | | M 如果采样频率 s 2 M ，其中 s 2 / T ，T为抽样周期。那么 x(t ) 就唯一地由其样本值序列 x[n] x(nT )，n 0,1,2, 所确 定。 奈奎斯特率：信号最高频率的两倍，即 2M。 恢复系统：
第五章 采样与调制
信号与系统
第五章
1
5.0 引言

本章将介绍傅里叶变换的典型应用：采样与调制。
根据采样定理，在一定的条件下，连续时间信号可由其样 值来表示，并可恢复原来的信号。在离散时间情况下也有 类似结果。在满足采样定理的条件下，可以用离散化的方 法来处理和产生连续时间信号。 将某一个载有信息的信号嵌入另一个信号的过程一般称为 调制。调制也可理解为用一个信号去控制另一个信号的某 一参量，如幅度、频率、角度等。其中控制信号通常为需 要传送的载有信息的信号，称为调制信号，被控信号称为 载波。将上述载有信息的信号提取出来的过程称为解调。
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
（1）带限内插
当 h(t ) 为理想滤波器时，即
c h(t ) T Sa( c t )

内插公式为
cT xr (t ) x(nT ) Sa( c (t nT )) n
当 c 满足 M c s M 时，重建是精确的。
n


式中， x[n] x(nT )
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
图5-1 冲激串采样
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
如果假设 x(t ) 的频谱为 X ( j) ，p(t )的频谱为P( j)。
2 冲激串的频谱 P( j ) T
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5为什么要研ຫໍສະໝຸດ 离散时间信号？气象站记录温度变化值 语音信号的传递

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第五章
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离散时间信号与离散时间系统
✓离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信
号。 这些离散的时间点之间的间隔可以相等 , 也可以 不等； 一般情况下都是讨论等间隔的信号。 本课程中的离散信号都是等间隔离散时间信号。
（1）当 s M M ，即 s 2 M 时，在 X p ( j )中，相邻移 位的 X ( j( k s )) 频谱之间，并无重叠现象出现，从而在 k s 频率点上精确重现原信号的频谱，仅在幅度上有 1 的变化。
T
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
x[n] x(nT )
x p (t )
序列至冲 激串的转换
n
x(nT ) (t nT )
–c
H ( j)
T
c

xr (t )
图5-4 恢复系统
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
x[n] x(nT )
x p (t )
序列至冲 激串的转换
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连续信号与离散信号的关系 ✓连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或 数字信号处理系统）进行处理： 为什么这么做?
➢因为要使用计算机、数字电路或者数字信号处理器处理我们在
实际应用中遇到的信号； ➢而计算机、数字电路或者数字信号处理器只能处理离散的时间
序列。
➢离散处理方式可以得到很多连续系统难于达到的效果，例如精 度，抗干扰能力等

x p (t ) 频谱又可表示为 X p ( j ) 因此，
从而可得 X (e j ) X p ( j

T
)
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5.1.1 冲激串采样：采样定理
X (e ) X p ( j
j

T
)
X p (t )
利用X p ( j ) 的频谱，可得信号样值序列 x[n] x(nT )的频 谱与原信号频谱之间的关系： 1 j X (e ) X ( j ( 2k ) / T ) T k
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24
5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
对这种内插而言，只要 x(t )是带限的，且采样频率又满 足采样定理，就能实现信号的真正重建。
) 由于h(t 表示的是非因果的理想滤波器。因此是非因果内插。 对无限长的信号，这样做是有困难的，在实际中，经常的做 法是截取 h(t )的一段用于计算，即
图524连续时间信号的离散时间处理其中x信号与系统第五章70图525采样系统的等效模型54连续时间系统的离散时间实现信号与系统第五章71图526重建系统的等效模型54连续时间系统的离散时间实现信号与系统第五章7254连续时间系统的离散时间实现由于取上式主值周期则有信号与系统第五章7354连续时间系统的离散时间实现替换为则上式可改写为将上式代入a式有其它信号与系统第五章7454连续时间系统的离散时间实现上式表明对于输入信号是带限并满足采样定理和离散时间处理系统为lti条件下整个系统等效于一个频率响应为的连续时间系统而的频域特性完全由离散时间系统的频率响应的特性所决定它们之间的关系由b式所关联
其中 p(t )
n
(t nT )

T
(t )
该周期冲激串 p(t )称作采样函数，周期T称为采样周期，p(t )的 2 基波频率称为采样频率 s 。
T
所以 x p (t )
n
x(nT ) (t nT ) x[n] (t nT )
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
j / 2 2 sin( / 2) H ( j ) e 因为 0
信号与系统 第五章
图5-7 零阶保持
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5.1.2 用样值序列重建或表示连续时间信号
零阶保持的优点是工程上很容易实现。重建 x(t 仍然可用 ) 低通滤波方法来实现。
H ( j)
x0(t)
t
x[n]=x(nT)
x p (t )
序列至冲 激串的转换
n
x(nT ) (t nT )