2011年全国高中数学联赛模拟题2(最新)

3. 已知函数 f x
2 x 1, x 0 , 若关于 x 的方程 f x x a 有且只有两个不相等
f x 1, x 0 ,
的实数根，则实数 a 的取值范围是
。
4. 计算器上有一个特殊的按键，在计算器上显示正整数 n 时按下这个按键，会等可能的将
其替换为 0~n 1 中的任意一个数。如果初始时显示2011，反复按这个按键使得最终显示 0，
种映射的个数．
A ，都有 fB C
min f B , f C
，求这
加试
一、（本题满分 40 分）
设
A、B、C、D、E
为直线
l上顺次排列的五点，
A C
C E
BC
CD
，
F
在直线 外的一点，连结
l
F C 并延长至点 G ，恰使 F A C
AG D， FE C EGB 同时成立.
求证： FA C FEC 。
0
没有实数根的点
(x,y) 所成的集合记为
N，则由点集
N
所成区域的面积为
。
二、解答题（本题满分 56 分）
9.（本小题满分 16 分）对正整数n
2 ，记
a
n
n1 n 1
n
k1
k 2k 1 ，求数列 an 中的最大值．
x2 10.（本小题满分 20 分）已知椭圆 a 2
y2 b2
1
过定点 A（1，0），且焦点在 x 轴上，椭
d
2
3＋…＋dk
d
1
k=n2｛1/(dk
d
1
k)＋1/(dk－2d
那么这个过程中，9、99、999 都出现的概率是
。
5.
已知椭圆
x2 4
y2 3
1的左、右焦点分别为 F 、F ，过椭圆的右焦点作一条直线 l 交椭圆 12
于点
P、 Q ，则△
FP 1
Q
内切圆面积的最大值是
．
6. 设 a 为一 个整数 数列 ，并 且满足 ： n 1 a n 1 a 2 n
n
n1
n
2008 a ，则满足2008 a 且 n 2 的最小正整数 n 是
，于是 a
n
nn 1 2 a2
由 2008 a2007 ，得 2008
2007
2006 2
a2
2006 2005 ，化简得 a
2
a
n
1
，则有
nn
n 1n 2 。
6 m od 2008 。
nn 1
由 2008 a ，得
n
2
a2
n 1 n 2 0 mod2008
，将上述关于 a 2 的结果代入得
，于是质数
Q
面积的最大值。设直线
l 方程为 x
my
3m2
4 y2
6 my
9
0
，设
P
x ,y
11
，
Q
x ,y
22
，则
1，与椭圆方程联立得
yy
12
6m ，
3m 2 4
yy
12
9
1
3m2
，于是 S
4
F1P Q
2
1
F
F2
y1 y2
y y 2 4y y
12
12
12
m2 1 。
3m2 4 2
因为
m2 1 3m2 4 2
1
全国高中数学联赛模拟题
一试
一、填空题（本题满分 64 分，每小题 8 分）
1. 已知a
2 ，且
A
x
2x a
，B
yy
若 C B ，则 a 的取值范围是
。
2x 3,x
AC
，
t t x2,x A
，
2. 在 ABC 中 ， 若 A B A O A B B，C则
2 ， AC
3 ， BC
.
4，O
为
AB C
的内心，且
IBA 因为
FAC
AGD
于
，故I 、 B 、 D 、 G 共圆；
JDE 因为
FEC
EGB ，故 J 、 D 、 B 、 G 共圆，
∴ 、 B 、 D 、 J 、 G 五点共圆，故 HB C DJI 。
I
∵ IH
A F ， JH
EF
GI ，∴ G A
GH GF
GJ GE
，故 IJ
AE ，
DJI
EDJ ，
AC CD
5 4
，所以
A
O
5 9
AD 1 3
A B2 9
A C1 3
A B2 9
AB B C
5 AB 9
2 9
AC
，因此
7 9。
3. 答：
,1
利用函数图象进行分析易得结果。
4.
1 答： 106
若计算器上显示 n 的时候按下按键，因此时共有 1~n 1 共 n 种选择，所以产生给定的
数 m 的概率是 1 。如果计算器上的数在变化过程中除了2011，999，99，9 和 0 以外，还产 n
(ii) 确定所有的 n，使得 D 整除 n2。
四、（本题满分 50 分） 设圆周上有一些红点和蓝点，可以进行如下操作：加上一个红点，并改变其相邻两点的
颜色；或去掉一个红点，并改变原先与之相邻的两点颜色．已知开始时只有两个点，均为红 点，那么是否有可能经过若干次操作，使得圆周上只有两个点，且均为蓝点．
/
/
知f B C
min f B , f C
综上所述，由于确定 f
Af 1,
A,
2
,f
A
20
的值有1020 种选择，所。以这种映射的个
数也为1020 。
加试
一、证法一：过
B
作
B H∥AF，交C F
于
H
，则
CH CF
CB
C B C D CH CD
C A ，又由 C A C E ，故 CF CE
。
连结 H D ，知 H D ∥ FE ，延长 H B, H D 分别交 A G, E G I.J ，连结IJ 。
。 n 3 53 3
10 所以数列 an 中的最大值是 a4 a5 3 。
10.（本小题满分 20 分）
解：椭圆过定点 A（1，0），则 a 1,c 1 b2 , e 1 b2 ,
2 ∵3
e2 1，∴0
b
3 3。
由对称性知，所求抛物线只要过椭圆与射线 y x(x 0)的交点，就必过椭圆与射线
y x(x 0)的交点。
20
, ,f A
，
下面证明这样的映射满足条件。, ,f A 的值完全确定。
对任意 B, C
A ，有 f B
fC
f
Ai
i A/ B
f
A
i
i A/ C
min f A
i A/ B
i
，
min f A
i A/ C
i
，
fB C
A f i A/ B C i
min f A
i A/ B C
i，
由/ AB
AC A B C
∴ FA C HB C DJI EDJ FE C 。
证法二：作
EB G
外接圆 C 1 ，交射线 C F
于
P
BC
，则
CE
G C CP
。
又由 B C CE AC CD ，知 A C CD G C CP
圆为C 。
，所以 P 、 A 、 G 、 D 共圆，记该
2
下证 P 必在C F 内.用反证法，假设 P 不在C F 内。
n
3 ，下面用数学归纳法证明：当 5 时，有
a
10 。
n3
假设 a
n
10 n 3
5
，则 a
n
1
n1 n
n n
11 12
n1 1
n
2
2
2
n1 1 1 2n 1
n1n1 n n 1 n 2n n 1 n 2 2
n1 1 2n 2
n1n1 a
n 2n n
n 1 n 1 10 n 1 8 6 8 10
n
2n 3
y x (x 0)
联立方程 x
y2
，解得 x 1
y
2 b2
b
1b 。
2
∵0 b
3 3
，∴0
x
1 2。
设抛物线方程为： y 2
2p(x m) p 0, m 1
，
。
p 又∵ 2
m
1 ，
∴
y 2 (1 m)(x
m)
①
把y
x ，0
x
1 2 代入①得 x 2
4(m 1)x 4 m (m 1) 0 m
，
10
，
x
参考答案
1
1. 答：
,3 2
一试
B
1,2a 3 ，要使
，只需 C 中的最大元素在 B 当中，所以
CB
2 2 2a 3, ，
a2 2a 3
1 得2
a
3。
7 2. 答： 9
设
AO
交
BC
于点
D，由角平分线定理知
BD DC
AB AC
2 3
，于是
A
D
3 AB 5
2 5
AC
，又
AO OD
AB BD
AC CD
AB BD
n 1 n 1 0 m od1004
251 n 1 n 1
的 n 是 501。
且 n 是奇数，所以满足条件的最小
7. 答：16
将题目所得几何体的上半部分与半径为 16 的半球作比较，将它们的底面置于同一水平
面，并考察高度为 h 的水平面与两个几何体所截的截面面积。与第一个几何体形成的截面是
圆环，外径是 202 h2 ，内径是12，所以面积是 202 h2 122
8
注意到
1 11 1 1 1 2011 2010 2009
11 1000
1 1 999
11 998
11
1 11 1 两式相除即得 p 1000 100 10 106 。
9 5. 答： 16
因为三角形内切圆的半径与三角形周长的乘积是面积的2 倍，且△ F1P Q 的周长是定值
8，所以只需求出△
F
P
1
二、（本题满分 40 分）
已知： a,b,c 0， a b c 2 ，
bc
ca
ab
1
求证： 1 abc a b 1 abc b c 1 abc c a 。
三、（本题满分 50 分）
设正整数
n
大于
1，它的全部正因数为
d1，d2，…，dk，满足
1=d 1
<d2<…<dk
=
n。再设
D = d1d2＋d2d3＋…＋d －d 。 (i) 证明：D<n2；k 1 k
．
2007
n
7. 如图，有一个半径为 20 的实心球，以某条直径为中心轴挖去
1 ，n
N ．若
一个半径为 12 的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心
球，那么新球的半径是
。
8. 在平面直角坐标系内，将适合 x
y, x 3, y
3,
且使关于
t
的 方 程 (x3
y 3 )t 4
(3x
y)t 2
1 xy
解：记 A A / i ，其中i 1,2, ,20 。 i
首先任意设定 f A f A , , f A 的值，则对于 A
B
1,
2
20
的任意真子集 ，记
A/ B a ,a , ,a ，则
i1 i2
in
fB fA A
i1 i2
in
i1
i2
in
因此，映射 f 可由 f
A1
,A
f A2
min f A , f A
x y,
x y,
x 3,
x 3,
y 3,
或 y 3,
(5x 3y)(x y) 0,
(5x 3y)(x y) 0 3
0.
xy
点集 N 所成区域为图中阴影部分，其面积为
SS S
AB O
BC O
1 24 1
81
2 5 3 2 6 3 5.
9. （本小题满分 16 分）
解：经计算知
a
2
2
，
a
3
3
，
a
4
a
5
10
。
那么将不等式左式的三个分母均放缩为其中最小的那个即可。
三、(i) 若 d1，d2，…，dk 是 n 的全部正因数，则n/d1，n/d2，…，n/dk 也是 n 的全部正因数，
且当
1=d <d <…<d =n
12
k
时，有
d =n/d
j
k
j
1。则
－＋
n2/d =n2/(d d )≤D
2
12
=
dd 1
2＋d
生了 ,a2,
,a
n
，则概率为
1 2011
1 a1
1 a2
11 a 999
n
p
1 11 2011 a a
12
1 1 11 a 999 99 9
n
11 2011
11 2010
1
1
2009
1
1
1000
11 99 9 ，所以所求概率为
11
999
998
1
1
100
1 11
1 1 1 1 1 11
99
98
10 9
1
1
9 m 2 15
1 m2 1
9m 2
9
1 m2 1
6 16 ， 所 以 内 切 圆 半 径
2S
r
8F1P Q
3
9
4 ，因此其面积最大值是 16 。
6. 答：501
当n bb
n1 n
2 时，将原式变形为
a
n1
n 1n
a
n
nn 1
n 2 1n ，令 b
n
2 n 1 n ，叠加可得 bn
b2
21 2
1 n
连结 PA、 PE，则
AFE APE AP G EPG AD G E B G 180 B G D
又 FAE AG D ，
∴180 AFE F A E 180 BGD AG D 180
，矛盾！
于是， F 在 G P 延长线上.
∵ FAC
AG D , FEC
E G B ，∴ F E 为 C 切线， FA为 C 切线，
162 h2 ，这正是
与第二个球体形成的截面圆的面积，由祖暅原理知两个几何体的体积是相等的。
81 8. 答： 5
令 u t2，原方程化为(x 3 y 3)u 2 (3x y)u
1 xy
0.
①
(3x y)2 4(x3 y3) 1 xy
5x2 2xy 3y2 (5x 3y)(x y).
所给方程没有实根等价于方程①无实根或有实根但均为负根，所以，
1 2。
令 f (x)
x2
4(m 1)x 4 m( m