2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年真题试题及答案

全国2012年4月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题 课程代码：04184
说明：在本卷中,A T
表示矩阵A 的转置矩阵，A *
表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式
11
121321222331
32
33
a a a a a a a a a =2,则
11121321222331
32
33
232323a a a a a a a a a ------=( )
A.-12
B.-6
C.6
D.12
2.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,则A *中位于第1行第2列的元素是(
)
A.-6
B.-3
C.3
D.6
3.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则
1
()A --=( )
A.-3
B.1
3
-
C.
13
D.3
4.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1
B.2
C.3
D.4
5.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
,则用P 左乘A ，相当于将A ( )
A.第1行的2倍加到第2行
B.第1列的2倍加到第2列
C.第2行的2倍加到第1行
D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123
234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩
的基础解系所含解向量的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
7.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.12
12
c
ηηη-+ B.
12
12c ηηη-+ C.12
12
c
ηηη++ D.
12
12c ηηη++
8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53
-
B.3
5
-
C.
35
D.
53
9.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
相似，则A 3
=( )
A.E
B.D
C.A
D.-E
10.二次型f 123(,,)x x x =222
123
32x x x +-是( ) A.正定的
B.负定的
C.半正定的
D.不定的
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式
1
11
246
41636
=____________.
12.设3阶矩阵A 的秩为2，矩阵P =001010100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，Q =100010101⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，若矩阵B =QAP ,
则r (B)=_____________.
13.设矩阵A =1414-⎛⎫ ⎪-⎝⎭，B =4812⎛⎫
⎪⎝⎭
，则AB =_______________.
14.向量组1α=(1,1,1,1),2α=(1,2,3,4),3α=(0,1,2,3)的秩为______________. 15.设1η,2η是5元齐次线性方程组Ax =0的基础解系，则r (A)=______________.
16.非齐次线性方程组Ax =b 的增广矩阵经初等行变换化为10002010020012-2⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，
则方程组的通解是__________________________________.
17.设A 为3阶矩阵，若A 的三个特征值分别为1，2，3，则|A |=___________.
18.设A 为3阶矩阵，且|A |=6，若A 的一个特征值为2，则A *必有一个特征值为_________. 19.二次型f 123(,,)x x x =2
22
1
23
3x x x -+的正惯性指数为_________. 20.二次型f 123(,,)x x x =2
22
1
2323224x x x x x --+经正交变换可化为标准形______________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D =
3
5124533
12012034
----
22.设A =130210002-⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
，矩阵X 满足关系式A+X=XA ,求X. 23.设234αβγγγ，，，，均为4维列向量，A =（234αγγγ，，，）和B =（234βγγγ，，，）为4阶方阵.若行列式|A |=4，|B |=1，
求行列式|A+B |的值.
24.已知向量组1α=(1,2,-1,1)T ,2α=(2,0,t ,0)T ,3α=(0,-4,5,-2)T ,4α=(3,-2,t+4,-1)T （其中t 为参数），求向量组的秩和一个极大无关组.
25.求线性方程组1234123412
3423
222547
x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪
++-=⎨⎪+++=⎩的通解..
（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）
26.已知向量1=α(1,1,1)T ，求向量23αα，,使123ααα，，两两正交.
四、证明题（本题6分）
27.设A 为m ⨯n 实矩阵，A T A 为正定矩阵.证明：线性方程组A x =0只有零解.
全国2012年1月自考 《线性代数(经管类)》试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A -1表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，||α||表示向量α的长度，αT 表示向量α的转置，E 表示单位矩阵，|A |
表示方阵A 的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设行列式11
121321
222331
3233a a a a a a a a a =2，则1112
13
31323321312232
2333
333a a a a a a a a a a a a ------=（ ） A ．-6 B ．-3 C ．3
D ．6
2．设矩阵A ，X 为同阶方阵，且A 可逆，若A （X -E ）=E ，则矩阵X =（ ） A ．E +A -1
B ．E -A
C ．E +A
D ．
E -A -1
3．设矩阵A ，B 均为可逆方阵，则以下结论正确的是（ ）
A ．⎛⎫
⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1
⎛⎫
⎪⎝⎭
A B B ．⎛⎫
⎪⎝⎭
A B 不可逆 C ．⎛⎫
⎪
⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫
⎪⎝⎭B A D ．⎛⎫
⎪⎝⎭A B 可逆，且其逆为-1-1⎛⎫
⎪⎝
⎭
A B 4．设α1，α2，…，αk 是n 维列向量，则α1，α2，…，αk 线性无关的充分必要条件是
（ ）
A ．向量组α1，α2，…，αk 中任意两个向量线性无关
B ．存在一组不全为0的数l 1，l 2，…，l k ，使得l 1α1+l 2α2+…+l k αk ≠0
C ．向量组α1，α2，…，αk 中存在一个向量不能由其余向量线性表示
D ．向量组α1，α2，…，αk 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示
5．已知向量2(1,2,2,1),32(1,4,3,0),T T
+=---+=--αβαβ则+αβ=（ ） A ．（0，-2，-1，1）T
B ．（-2，0，-1，1）T
C ．（1，-1，-2，0）T
D ．（2，-6，-5，-1）T
6．实数向量空间V ={(x , y , z )|3x +2y +5z =0}的维数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．设α是非齐次线性方程组Ax =b 的解，β是其导出组Ax =0的解，则以下结论正确的是
（ ）
A ．α+β是Ax =0的解
B ．α+β是Ax =b 的解
C ．β-α是Ax =b 的解
D ．α-β是Ax =0的解
8．设三阶方阵A 的特征值分别为
11
,,324
，则A -1的特征值为（ ） A ．12,4,
3 B ．
111,,243
C ．
11,,324
D ．2,4,3
9．设矩阵A =1
21
-，则与矩阵A 相似的矩阵是（ ）
A ．1112
3
--
B ．0110
2
C ．
2
11
- D ．
1
2
1
-
10．以下关于正定矩阵叙述正确的是（ ） A ．正定矩阵的乘积一定是正定矩阵 B ．正定矩阵的行列式一定小于零 C ．正定矩阵的行列式一定大于零 D ．正定矩阵的差一定是正定矩阵
二、填空题（本大题共10小题，每空2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分。

11．设det (A )=-1，det (B )=2，且A ，B 为同阶方阵，则det ((AB )3
)=__________．
12．设3阶矩阵A =122
43311
t --，B 为3阶非零矩阵，且AB =0，则t =__________．
13．设方阵A 满足A k
=E ，这里k 为正整数，则矩阵A 的逆A -1
=__________． 14．实向量空间R n
的维数是__________．
15．设A 是m ×n 矩阵，r (A )=r ,则Ax =0的基础解系中含解向量的个数为__________． 16．非齐次线性方程组Ax =b 有解的充分必要条件是__________．
17．设α是齐次线性方程组Ax =0的解，而β是非齐次线性方程组Ax =b 的解，则(32)+A αβ=__________． 18．设方阵A 有一个特征值为8，则det （-8E +A ）=__________．
19．设P 为n 阶正交矩阵，x 是n 维单位长的列向量，则||Px ||=__________．
20．二次型2
2
2
123123121323(,,)56422f x x x x x x x x x x x x =+++--的正惯性指数是__________．
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算行列式
1112114
12461124
2
-----． 22．设矩阵A =
2
35
，且矩阵B 满足ABA -1=4A -1+BA -1
，求矩阵B ．
23．设向量组1234(3,1,2,0),(0,7,1,3),(1,2,0,1),(6,9,4,3),===-=αααα求其一个极大线性无关组，并将其余向量通过极大
线性无关组表示出来．
24．设三阶矩阵A =143
253242
----，求矩阵A 的特征值和特征向量．
25．求下列齐次线性方程组的通解．
1341241
23450230
20
x x x x x x x x x x +-=⎧⎪
+-=⎨⎪+-+=⎩ 26．求矩阵A =
2242030
611
0300111
210
----的秩．
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27．设三阶矩阵A =11
1213
21
2223313233
a a a a a a a a a 的行列式不等于0，证明： 131112121222323313233,,a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ααα线性无关．
全国2011年10月高等教育自学考试
线性代数(经管类)试题 课程代码：04184
说明：在本卷中，A T
表示矩阵A 的转置矩阵，A *
表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵。

A 表示方阵A 的行列式，r(A )表示矩
阵A 的秩。

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设3阶方阵A 的行列式为2，则
1
2
A -
=( )
A.-1
B.14
-
C.
14
D.1
2.设
2
12
()222122,323235
x x x f x x x x x x x ---=------则方程()0f x =的根的个数为（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
3.设A 为n 阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得到方阵B ，若
,≠A B 则必有（ ）
A.
0=A B.
0+≠A B
C. 0A ≠
D. 0-≠A B
4.设A ,B 是任意的n 阶方阵，下列命题中正确的是（ ） A.2
22()
2+=++A B A AB B
B.22()()+-=
-A B A B A B
C.()()()()-+=+-A E A E A E A E
D.2
22()
=AB A B
5.设11121321
222331
32
33,a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
A 其中0,0,1,2,3,i i a b i ≠≠=则矩阵A 的秩为（ ） A.0 B.1 C.2
D.3
6.设6阶方阵A 的秩为4，则A 的伴随矩阵A *的秩为（ ） A.0 B.2 C.3
D.4
7.设向量α=（1，-2，3）与β=（2，k ，6）正交，则数k 为（ ） A.-10 B.-4 C.3
D.10
8.已知线性方程组1231231
243224
x x x x ax x x ax ++=⎧⎪
++=⎨⎪+=⎩无解，则数a =( )
A.1
2
-
B.0
C.
12
D.1
9.设3阶方阵A 的特征多项式为
2(2)(3),λλλ-=++E A 则=A ( )
A.-18
B.-6
C.6
D.18
10.若3阶实对称矩阵()ij a =A 是正定矩阵，则A 的3个特征值可能为（ ）
A.-1，-2，-3
B.-1，-2，3
C.-1，2，3
D.1，2，3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.设行列式30
4
222,532
D
=-其第3行各元素的代数余子式之和为__________. 12.设,,a a b b a a b b -⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
A B 则=AB __________.
13.设A 是4×3矩阵且103()2,020,103r ⎛⎫ ⎪
== ⎪ ⎪-⎝⎭
A B 则()r =AB __________.
14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为__________.
15.设线性无关的向量组α1，α2，…，αr 可由向量组β1，β2，…,βs 线性表示，则r 与s 的关系为__________.
16.设方程组12312312
30
00
x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，且数0,λ<则λ=__________.
17.设4元线性方程组x =A b 的三个解α1
，α2
，α3
，已知T 1(1,2,3,4),=αT 23(3,5,7,9),r() 3.+==A αα则方程组的通解
是__________.
18.设3阶方阵A 的秩为2，且2
50,+=A
A 则A 的全部特征值为__________.
19.设矩阵21100413a -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭A 有一个特征值2,λ=对应的特征向量为12,2x ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
则数a =__________.
20.设实二次型
T 123(,,),f x x x x x =A 已知A 的特征值为-1，1，2，则该二次型的规范形为__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.设矩阵2323(,2,3),(,,),αγγβγγ==A B 其中23,,,αβγγ均为3维列向量，且
18, 2.==A B 求.-A B
22.解矩阵方程11101110221011.1104321--⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
X 23.设向量组α1=（1，1，1，3）T
，α2=（-1，-3，5，1）T
，α3=（3，2，-1，p+2）T
，α4=（3，2，-1，p+2）T
问p 为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个极大无关组.
24.设3元线性方程组1231231
2321
24551
x x x x x x x x x λλ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=-⎩,
（1）确定当λ取何值时，方程组有惟一解、无解、有无穷多解？
（2）当方程组有无穷多解时，求出该方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）. 25.已知2阶方阵A 的特征值为1
1λ=及21
,3
λ=-方阵2.=B A
（1）求B 的特征值； （2）求B 的行列式. 26.用配方法化二次型
222
1231231223(,,)22412f x x x x x x x x x x =---+为标准形，并写出所作的可逆线性变换.
四、证明题(本题6分) 27.设A 是3阶反对称矩阵，证明
0.=A
全国2011年7月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A T
表示方阵A 的转置钜阵，A *
表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．设101350041A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，则T
AA =（ ）
A ．-49
B ．-7
C ．7
D ．49
2．设A 为3阶方阵，且
4A =，则2A -=（
）
A ．-32
B ．-8
C ．8
D ．32
3．设A ，B 为n 阶方阵，且A T
=-A ，B T
=B ，则下列命题正确的是（ ） A ．（A +B ）T
=A +B B ．（AB ）T
=-AB C ．A 2
是对称矩阵
D ．B 2
+A 是对称阵
4．设A ，B ，X ，Y 都是n 阶方阵，则下面等式正确的是（ ） A ．若A 2
=0，则A =0 B ．（AB ）2=A 2B 2
C ．若AX =AY ，则X =Y
D ．若A +X =B ，则X =B -A
5．设矩阵A =11310
21400050
00
0⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则秩（A ）=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．若方程组02020kx z x ky z kx y z +
=⎧⎪
++=⎨⎪-+=⎩
仅有零解，则k =（
）
A ．-2
B ．-1
C ．0
D ．2
7．实数向量空间V={（x 1，x 2，x 3）|x 1 +x 3=0}的维数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
8．若方程组12323232132(3)(4)(2)x x x x x x x λλλλλλ+-=-⎧⎪
-=-⎨⎪-=--+-⎩
有无穷多解，则λ=（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
9．设A =100010002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则下列矩阵中与A 相似的是（ ）
A ．100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B ．110010002⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ C ．100011002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
D ．101020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
10．设实二次型22
12323
(,,)f x x x x x =-，则f （ ）
A ．正定
B ．不定
C ．负定
D ．半正定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．设A =(-1,1,2)T
，B =(0,2,3)T
,则|AB T
|=______.
12．设三阶矩阵[]123,,A ααα=
，其中(1,2,3)i i α=为A 的列向量，且|A |=2，则
[]122123,,αααααα++-=______.
13．设0100
102A a c b ⎡
⎤⎢⎥⎢
⎥
=⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
，且秩(A )=3，则a,b,c 应满足______. 14
．矩阵1212
Q ⎤-⎥
⎢
=⎢⎢⎣
的逆矩阵是______. 15．三元方程x 1+x 3=1的通解是______. 16．已知A 相似于1002-⎡⎤
Λ=⎢⎥
⎣⎦
，则|A -E |=______.
17．矩阵001010100A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
的特征值是______. 18．与矩阵1221A ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
相似的对角矩阵是______.
19．设A 相似于100010001⎡⎤⎢⎥Λ=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则A 4
______. 20．二次型f (x 1,x 2,x 3)=x 1x 2-x 1x 3+x 2x 3的矩阵是______. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算4阶行列式D=
12342
34134124123
.
22．设A =101020161⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，而X 满足AX +E =A 2
+X ，求X . 23．求向量组：123412532101,,,327512532341αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量
表示成该极大无关组的线性组合.
24．当λ为何值时，齐次方程组123123123
220
2030x x x x x x x x x λ+-=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩有非零解？并求其全部非零解.
25．已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A 的三个特征值，向量1
(1,1,1)T α=、2(2,2,1)T α=是A 的对应于121λλ==的特征向量，
求A 的属于3
1λ=-的特征向量.
26．求正交变换Y =PX ，化二次型f (x 1,x 2,x 3)=2x 1x 2+2x 1x 3-2x 2x 3为标准形. 四、证明题（本大题6分）
27．设123ααα，，线性无关，证明1121323ααααα++，，也线性无关.
全国2011年4月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：A T
表示矩阵A 的转置矩阵，A *
表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列等式中，正确的是（ ）
A．B．3=
C．5D．
2．下列矩阵中，是初等矩阵的为（）
A．B．
C．D．
3．设A、B均为n阶可逆矩阵，且C=，则C-1是（）
A．B．
C．D．
4．设A为3阶矩阵，A的秩r (A)=3，则矩阵A*的秩r (A*)=（）
A．0 B．1
C．2 D．3
5．设向量，若有常数a,b使，则（）A．a=-1, b=-2 B．a=-1, b=2
C．a=1, b=-2 D．a=1, b=2
6．向量组的极大线性无关组为（）
A．B．
C．D．
7．设矩阵A=，那么矩阵A的列向量组的秩为（）
A．3 B．2
C．1 D．0
8．设是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于（）
A．B．
C ．
D ．
9．设矩阵A =，则A 的对应于特征值的特征向量为（ ）
A ．（0，0，0）T
B ．（0，2，-1）T
C ．（1，0，-1）T
D ．（0，1，1）T
10．二次型2
2212
13212),,(x x x x x x x f +-=的矩阵为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11．行列式__________.
12．行列式
2
23500101
1
1104
03--中第4行各元素的代数余子式之和为__________. 13．设矩阵A =，B =（1，2，3），则BA =__________.
14．设3阶方阵A 的行列式|A |=
2
1，则|A 3
|=__________. 15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1
B =B -1
A =E ，则A 2
+B 2
=__________.
16．已知3维向量=（1，-3，3），
（1，0，-1）则+3=__________.
17．设向量=（1，2，3，4），则的单位化向量为__________.
18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________. 19．设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为
4
1
,31,21，则行列式|B -1|=__________. 20．设A =是正定矩阵，则a 的取值范围为__________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．已知矩阵A =，B =，
求：（1）A T
B ；
（2）|A T
B |.
22．设A =，B =，C =，且满足AXB =C ，求矩阵X .
23．求向量组
=（1, 2, 1, 0）T
，
=（1, 1, 1, 2）T
，
=（3, 4, 3, 4）T
，
=（4, 5, 6, 4）T
的秩与一个极大线性无关
组.
24．判断线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧-=+-=+--=-+-1
542421
3431
43214321x x x x x x x x x x x 是否有解，有解时求出它的解.
25．已知2阶矩阵A 的特征值为
=1，
=9，对应的特征向量依次为
=（-1，1）T
，
=（7，1）T
，求矩阵A .
26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=，求行列式|A -E |的值.
四、证明题（本大题共6分）
27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵.证明：
（1）AB -BA 为对称矩阵； （2）AB +BA 为反对称矩阵.
全国2011年1月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：04184
说明：本卷中，A -1
表示方阵A 的逆矩阵，r (A )表示矩阵A 的秩，（βα,）表示向量α与β的内积，E 表示单位矩阵，|A |表示方阵
A 的行列式.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.设行列式33
3231
232221
131211
a a a a a a a a a =4，则行列式33
32
312322
21
13
1211333222a a a a a a a a a =（ ） A.12 B.24 C.36
D.48
2.设矩阵A ，B ，C ，X 为同阶方阵，且A ，B 可逆，AXB =C ，则矩阵X =（ ）
A.A -1
CB -1
B.CA -1B -1
C.B -1A -1C
D.CB -1A -1
3.已知A 2
+A -E =0，则矩阵A -1
=（ ） A.A -E B.-A -E C.A +E
D.-A +E
4.设54321,,,,ααααα是四维向量，则（ ）
A.54321,,,,ααααα一定线性无关
B.54321,,,,ααααα一定线性相关
C.5α一定可以由4321,,,αααα线性表示
D.1α一定可以由5432,,,αααα线性表出
5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则（ ） A.A =0 B.A =E C.r (A )=n
D.0<r (A )<(n )
6.设A 为n 阶方阵，r (A )<n ，下列关于齐次线性方程组Ax =0的叙述正确的是（ ） A.Ax =0只有零解
B.Ax =0的基础解系含r (A )个解向量
C.Ax =0的基础解系含n -r (A )个解向量
D.Ax =0没有解
7.设21,ηη是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，则（ ） A.21ηη+是Ax =b 的解 B.21ηη-是Ax =b 的解 C.2123ηη-是Ax =b 的解
D.2132ηη-是Ax =b 的解
8.设1λ，2λ，3λ为矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡200540093的三个特征值，则321λλλ=（ ）
A.20
B.24
C.28
D.30
9.设P 为正交矩阵，向量βα,的内积为（βα,）=2，则（βαP P ,）=（ ）
A.
21
B.1
C.2
3 D.2
10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=3231212
32
22
1222x x x x x x x x x +++++的秩为（ ） A.1 B.2 C.3
D.4
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

11.行列式
1
22
1---k k =0，则k =_________________________. 12.设A =⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡1101，k 为正整数，则A k
=_________________________. 13.设2阶可逆矩阵A 的逆矩阵A -1
=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡4321，则矩阵A =_________________________. 14.设向量α=（6，-2，0，4），β=（-3，1，5，7），向量γ满足βγα32=+，则γ=_________________________. 15.设A 是m ×n 矩阵，A x =0,只有零解，则r (A )=_________________________. 16.设21,αα是齐次线性方程组A x =0的两个解，则A （3217αα+）=________. 17.实数向量空间V ={（x 1,x 2,x 3）|x 1-x 2+x 3=0}的维数是______________________. 18.设方阵A 有一个特征值为0，则|A 3
|=________________________.
19.设向量=1α（-1，1，-3），=2α（2，-1，λ）正交，则λ=__________________.
20.设f (x 1,x 2,x 3)=31212
322212224x x x tx x x x ++++是正定二次型，则t 满足_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式
b
a c c c
b
c a b b a
a c
b a ------222222 22.设矩阵A =⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---16101512211λλ，对参数λ讨论矩阵A 的秩.
23.求解矩阵方程⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100152131X =⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--315241 24.求向量组：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=21211α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=56522α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11133α，⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=37214α的一个极大线性无关组，并将其余向量通过该极大线性无关组表示出来.
25.求齐次线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++--=-++-=++-0
32042305324321
43214321x x x x x x x x x x x x 的一个基础解系及其通解.
26.求矩阵⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3142281232
的特征值和特征向量. 四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.设向量1α，2α，….,k α线性无关，1<j ≤k . 证明：1α+j α，2α，…,k α线性无关.
答案部分
全国2011年1月高等教育自学考试
线性代数（经管）试题参考答案
课程代码：04184
三、计算题解：原行列式
全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管）试题参考答案
课程代码：04184
三、计算题解：原行列式。