三角函数的图像和变换以及经典习题和答案

3.4函数sin()y A x ωϕ=+的图象与变换
【知识网络】1．函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义；
２．函数sin()y A x ωϕ=+图象的变换（平移平换与伸缩变换） 【典型例题】 ［例1］(1)函数3sin()226
x y π
=
+的振幅是 ；周期是 ；频率是 ；相位是 ；初相是 ．
（１）
32； 14π；26x π+；6
π （2）函数2sin(2)3
y x π
=-
的对称中心是 ；对称轴方程是
；单调增区间是 ． （２）(
,0),26k k Z ππ+∈；5,212
k x k Z ππ=+∈； ()5,1212k k k z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
(3) 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图
象所对应函数的解析式是（ ）
A ．sin()6y x π
=+ B ．sin()6
y x π
=- C ．sin(2)3y x π=+
D ．sin(2)3
y x π
=- （３）C 提示：将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量
,06a π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，
73()1262
πππ
ω+=，所以2ω=． (4) 为了得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像
上所有的点 （ ）
（A ）向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31
倍（纵坐标不变）
（C ）向左平移6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）
（D ）向右平移
6
π
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变） （４）C 先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移
6
π
个单位长度，得到函数2sin(),6
y x x R π
=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标
不变）得到函数R x x y ∈+=),6
3sin(2π
的图像
(5)将函数x x f y sin )(= 的图象向右平移
4
π
个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数x y 2sin 21-=的图象，则)(x f 的表达式是 （ ）
（A ）x cos （B ）x cos 2 （C ）x sin （D ）x sin 2 （５）B 提示: 2
12sin cos 2y x x =-=的图象关于x 轴对称的曲线是cos 2y x =-,向左平
移4
π
得cos 2()sin 24
y x x π
=-+=2sin cos x x =
［例2］已知函数2()2cos 2,(01)f x x x ωωω=+<<其中，若直线3
x π=
为其一条
对称轴。

（1）试求ω的值 （2）作出函数()f x 在区间[,]ππ-上的图象．
解：（1）2
()2cos 21cos 22f x x x x x ωωωω==++
2s i n (2)1
6
x π
ω=++
3x π
=
是()y f x =的一条对称轴2s i n (
)1
36ωππ
∴+=± 2,362k k Z ωππππ∴+=+∈13
()22
k k Z ω∴=+∈
1
012
ωω<<∴=
（2）用五点作图
［例3］已知函数2
()sin ()(0,0,0)2
f x A x A π
ωϕωϕ=+>><<，且()y f x =的最大值
为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）． （I ）求ϕ；
（II ）计算(1)(2)(2008)f f f ++
+．
解：（I ）2
sin ()cos(22).22
A A
y A x x ωϕωϕ=+=
-+()y f x =的最大值为2，0A >.
2, 2.22A A A ∴
+==又其图象相邻两对称轴间的距离为2，0ω>，12()2,.224
ππωω∴== 22()cos(2)1cos(2)2222f x x x ππ
ϕϕ∴=-+=-+.()y f x =过(1,2)点，
cos(2) 1.2πϕ∴+=-22,,2k k Z πϕππ∴+=+∈22,,2k k Z π
ϕπ∴=+∈
,,4
k k Z π
ϕπ∴=+
∈又0,2
π
ϕ<<
4
π
ϕ∴=
.
（II ）
4
π
ϕ=
，1cos(
)1sin .222
y x x π
ππ
∴=-+=+
(1)(2)(3)(4)21014f f f f ∴+++=+++=.
又
()y f x =的周期为4，20084502=⨯，
(1)(2)(2008)45022008.f f f ∴++⋅⋅⋅+=⨯=
［例4］设函数2
()sin cos f x x x x a ωωω=++
（其中0,a R ω>∈）。

且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是
6
π
． （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）如果()f x 在区间5[,
]36ππ
-
a 的值．
解：（I ）1()2sin 2sin(2)23f x x x x a πωωαω=
+++=+++ 依题意得 1
26
3
2
2
π
π
π
ωω⋅
+
=
⇒=
．
（II ）由（I ）知，()sin()3f x x π
α=+
+．又当5[,]36
x ππ
∈-时， 7[0,
]3
6x π
π+
∈，故1sin()123x π-≤+≤，从而()f x 在区间π5π36⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
122a =-
++，故1
.2
a =
【课内练习】
1.若把一个函数的图象按a =（3
π-
，－2）平移后得到函数x y cos =的图象，则原图
象的函数解析式是 （ ）
（A ）2)3
cos(-+=πx y （B ）2)3
cos(--=πx y （C ）2)3
cos(++=πx y （D ）2)3
cos(+-=π
x y
１．D 提示：将函数x y cos =的图象按a -平移可得原图象的函数解析式
2．为了得到函数y =sin （2x －
6
π
）的图象，可以将函数y =cos2x 的图象 （ ） A.向右平移6π个单位长度 B.向右平移3π
个单位长度
C.向左平移6π个单位长度
D.向左平移3
π
个单位长度
２．B 提示：∵y =sin （2x －6π）=cos ［2π－（2x －6π）］=cos （3
π
2－2x ）=cos （2x
－3π2）=cos ［2（x －3π）］，∴将函数y =cos2x 的图象向右平移3π个单位长度
3．若函数f （x ）=sin （ωx +ϕ）的图象（部分）如下图所示，则ω和ϕ的取值是 （ ）
A.ω=1，ϕ=
3π B.ω=1，ϕ=－3π C.ω=21，ϕ=6π D.ω=21，ϕ=－6
π
３．C 提示：由图象知，T =4（3π2+3π）=4π=ω
π2，∴ω=21
.
又当x =3π2时，y =1，∴sin（21×3
π
2+ϕ）=1，
3π+ϕ=2k π+2π，k ∈Z ，当k =0时，ϕ=6
π
. 4．函数sin 2y x =的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到的图象关于直线6
x π
=对称，
则ϕ的最小值为 （ ）
()
A 512π ()
B 116π ()
C 1112
π
()D 以上都不对 ４．A 提示：平移后解析式为sin(22)y x ϕ=-，图象关于6
x π
=对称，
∴226
2
k π
π
ϕπ⋅
-=+
（k Z ∈），∴2
12
k
π
ϕπ=--
（k Z ∈），
∴当1k =-时，ϕ的最小值为
512
π
． 5．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移
2
π
个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，
则()f x = ．
５．()f x =
11
sin(2)3cos 23222
x x π++=+． ６．函数sin(),(0,0)y A x A ωϕω=+>>为奇函数的充要条件是 ；
为偶函数的充要条件是 ． ６．()k k Z ϕπ=∈ ；()2
k k Z π
ϕπ=+
∈
7．一正弦曲线的一个最高点为1(,3)4
，从相邻的最低点到这最高点的图象交x 轴于
1
(,0)4
-，最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为 . ７．3sin()4
y x π
π=+
８．已知方程sinx+cosx=k 在0≤x ≤π上有两解，求k 的取值范围
解：原方程sinx+cosx=k ⇔2sin （x+4π）=k ，在同一坐标系内作函数y 1=2sin （x+4π
）
与y 2=k 的图象.对于y=2sin （x+4
π
），令x=0，得y=1.
∴当k ∈［1，2
在［0，π］上有两交点，方程有两解
9．数)2
||,0,0(),sin(π
<ϕ>ω>ϕ+ω=A x A y 的最小值是-2，其图象相邻最
高点与最低点横坐标差是3π，又：图象过点(0,1)，求函数解析式。

解：易知：A = 2 半周期π=32T ∴T = 6π 即π=ω
π62 从而：31
=ω
设：)31
s i n (2ϕ+=x y 令x = 0 有1sin 2=ϕ
又：2||π<ϕ ∴6π
=ϕ ∴所求函数解析式为)631s i n (2π+=x y
10．已知函数f （x ）=A sin ωx +B cos ωx （A 、B 、ω是实常数，ω＞0）的最小正周期为2，
并当x =3
1
时，2)(max =x f .
（1）求f （x ）.
（2）在闭区间［421，4
23
］上是否存在f （x ）的对称轴?如果存在，求出其对称轴方程；
如果不存在，请说明理由. 解：（1）由22,T π
ωπω
=
==得 ()sin cos f x A x B x ππ∴=+
由题意可得
sin cos 2332
A B ππ⎧
+=
⎪= 解得 1A B ⎧=⎪⎨=⎪⎩()cos 2sin()6
f x x x x π
πππ∴=+=+
（2）令,62x k k Z ππππ+=+∈ 所以1
,3
x k k Z =+∈
由
21123434k ≤+≤ 得 5965
1212
k ≤≤
5k ∴= 所以在［421，4
23］上只有f （x ）的一条对称轴x =316
作业本
A 组
1．将函数5sin(3)y x =-的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象左移3
π
，得到图象对应解析式是 （ ）
()A 335sin(
)22x y π=- ()B 735sin()102x y π=- （C ） 35sin()22x
y π=- （D ） 5sin(26)y x π=--
１．A
２．已知函数sin()y A x ωϕ=+在同一周期内，当9
x π
=时，取得最大值
12，当49
x π
=时，取得最小值1
2
-
，则该函数的解析式是 （ ） ()A 12sin()36y x π=- ()B 1sin(3)26y x π
=+
()C 1sin(3)26y x π=- ()D 1sin(3)26
y x π
=-+
２．Ｂ 提示：代入验证 3．要得到函数x y cos 2=
的图象，只需将函数)4
2sin(2π
+
=x y 的
图象上所有的点的( )
A ．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动4π
个单位长度 B ．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平行移动8
π
个单位长度
C ．横坐标缩短到原来的21倍，再向右平行移动4π
个单位长度
D ．横坐标缩短到原来的21倍, 再向左平行移动8
π
个单位长度
３．Ａ
４．函数y =
21sin （4π－3
2x ）的单调减区间是 ． ４．［3k π－8π3，3k π+8
π
9］，()k Z ∈
5．已知函数sin()y A x ωϕ=+（0,||A ϕπ><
下图所示，则函数的解析式为 ．
５．32sin(2)4
y x π=+
提示：由图得32,()2882
T A πππ
==--=，∴T π=，∴ω=∴2sin(2)y x ϕ=+，又∵图象经过点(,2)8
π
-，
∴22sin()4
π
ϕ=-
+，∴242
k π
π
ϕπ-
=+
（k Z ∈），
∴324
k π
ϕπ=+，∴34πϕ=
6、已知函数2()2cos sin()sin cos 23
f x x x x x x π
=+
-++（x R ∈）
，该函数的图象可由sin y x =（x R ∈）的图象经过怎样的变换得到？ 解：21
()2cos (sin )sin cos 22f x x x x x x x =+
-++ 222sin cos sin )2x x x x =+-+sin 2222sin(2)23
x x x π
=++=++
①由sin y x =的图象向左平移
3
π
个单位得sin()3y x π=+图象，
②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的12得sin(2)3
y x π
=+图象，
③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得2sin(2)3
y x π
=+图象，
④最后将所得图象向上平移2个单位得2sin(2)23y x π
=++的图象．
说明：（1）本题的关键在于化简得到2sin(2)23
y x π
=++的形式；（2）若在水平方向先伸
缩再平移，则要向左平移6
π
个单位了．
７．求函数22
7()4sin cos ()424
f x x x x x x ππ=+-≤≤的最小值，求其
单调区间．
解：22
()4sin cos f x x x x x =+-22sin 2x x =-+ 4cos(2)6
x π
=++因
74
24x π
π≤≤
，故232364
x πππ≤+≤，所以()f x 的最小值为
单调递减区间为7,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
８．若函数()2sin cos (sin cos )f x a x x x x a b =-+++的定义域为[0,]2
π，值域
为[5,1]-，求,a b 的值．
解：令sin cos x x t +=，则21sin cos 2t x x -=，又[0,]2
x π
∈，故t ∈
所以2
21
(2
y at b a t b a =-+=+-，由题意知：0a ≠
１．
当0,a t >∈得：(1)51
b b ⎧+=-⎪
⎨
=⎪⎩解之得1),1a b ==
２．
当0,a t <∈得：(1)1
5
b b ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩解之得1),5a b =-=-（舍
去）
综上知：1),1a b ==
B 组
1.下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( )
（A ）sin()6y x π=+ （B ）sin(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π=- （D ）cos(2)6
y x π=- １．Ｄ
2．已知函数sin()y x ωϕ=+，(0)ω> 与直线1
2
y =的交点中，距离最近的两点间距离为
3π
，那么此函数的周期是 （ ） A 3
π
B π
C 2π
D 4π
２．B 提示：2()6x k k Z πωϕπ+=+∈或52()6
x k k Z π
ωϕπ+=
+∈， 212()()3x x πωϕωϕ+-+≥，2123x x πω-≥，令233
ππ
ω=得2ω=
3．若04
π
αβ<<<
，sin cos a αα+=，sin cos b ββ+=，则 （ ）
()A a b < ()B a b > ()C 1ab < ()D 2ab >
３．A 提示：
sin cos )4a πααα=+=+
，sin cos )4
b π
βββ=+=+
4
4
4
2
π
π
π
π
αβ<+
<
+
<
))44
π
π
αβ+
<+
４．把y =cos （x +
3
π
4）图象向左平移(0)ϕϕ>个单位，所得函数为偶函数，则ϕ的最小值是 ．
４．3
π2
５．①函数tan y x =在它的定义域内是增函数；②若α、β是第一象限角，且αβ>，则
tan tan αβ>；③函数sin()y A x ωϕ=+一定是奇函数；④函数|cos(2)|3
y x π
=+的最
小正周期为
2
π
．上列四个命题中，正确的命题是 ． ５．④
6．如图为某三角函数图象的一段
（1）用正弦函数写出其中一个解析式；
（2）求与这个函数关于直线π2=x 对称的函数解析 式，并作出它在[0，π4]内的简图。

解：（1）,3,2
1
2,43313====-=
A T T 又πϖπππ )
21
sin(3ϕ+=x y 令由图它过6
)321sin(30),0,3(π
ϕϕππ-=+⨯=∴（为其中一个值） 所以13sin()26
y x π
=-
（2）令(x,y)是所求函数图象上任意一点，该点关于直线π2=x 对称点为),4(y x -π
该点在函数13sin()26y x π=-的图象上，所以13sin[(4)]26
y x π
π=--
即所求函数解析式为)6
21sin(3π
+-=x y
7．如图，函数2sin()y x πϕ=+，x ∈R,(其中02
π
ϕ≤≤
)的图象与y 轴交于点（0，1）.
(Ⅰ)求ϕ
的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM 余弦。

值
解：（I ）因为函数图像过点(0,1)，所以2sin 1,ϕ=即1
sin .2
ϕ=
因为02
π
ϕ≤≤
，所以6
π
ϕ=
.
（II ）由函数2sin()6y x π
π=+
及其图像，得115
(,0),(,2),(,0),636M P N - 所以11(,2),(,2),2
2
PM PN =--=-从而cos ,||||PM PN
PM PN PM PN ⋅<>=⋅1517
=
8.已知函数sin cos y a x b x c =++的图象上有一个最低点 11,16π⎛⎫
⎪⎝⎭
，将图象上每个点的纵坐标不变，横坐标缩小到原来的
3
π
，然后将所得图象向左平移一个单位得到()y f x =的图象，若方程()3f x =的所有正根依次成为一个公差为3的等差数列，求 ()y f x =
的解析式。

解：原函数可化为)y
x c ϕ=
++（其中ϕ为辅助角，满足
cos ϕ=
sin ϕ=
且），因为11,1
6π⎛⎫
⎪⎝⎭
是它的最低点，所以 112621
k c π
πϕπ⎧+=-⎪
⎨
⎪=-⎩
解得 72()3k k Z c πϕπ=-∈=+1 所以(1)sin()3
y c x c π
=+-
+ 按题给变换后得()(1)sin
3
f x c x c π
=++
方程()3f x =的的正根就是直线3y =与()y f x =的图象交点的横坐标，它们成等差数列，即3y =与()y f x =相邻交点间的距离都相等。

直线3y =满足以上要求只能有三个位置：一是过图象最高点且和x 轴平行的直线1l ，二是
.
. 过图象最低点且和x 轴平行的直线2l ，三是和1l 、2l 平行且等距的直线3l ，而图象最低点为11,16π⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故不可能是2l ．假若直线3y =在1l ，交点间隔为一个周期６，即正根的公差为６，不合题意，所以3y =只能在3l 位置，所以3c =，()2sin 33f x x π
=+，此时由
sin
03x π=得3x k =，正根可组成一个公差为3的等差数列，符合题意。