圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系

圆——垂径定理及圆心角、圆周角等关系
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讲授破解 知识点
一、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出
其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ ①② ③④⑤或①③ ②④⑤或……
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

即：在⊙O 中，∵AB ∥CD ∴ 二、圆心角定理：圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆
心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等
此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论 也即：①∠AOB=∠DOE ②AB=DE ③OC=OF ④ ① ②③④或②
①③④……
② 三、圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是
所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角
∴∠C=∠D
BC BD =AC AD
=⇒⇒
AC BD
=D B
BA ED
=⇒⇒
BA ED =
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠C=90° ∴AB 是直径
推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 即：在△ABC 中，∵OC=OA=OB
∴△ABC 是直角三角形或∠C=90°
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。

四、圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。

即：在⊙O 中， ∵四边形ABCD 是内接四边形 ∴∠C+∠BAD=180° B+∠D=180° ∠DAE=∠C
例题（讲授）
【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA=30°，求CD 的长． 【例2】已知A,B 是⊙O 上的两点,∠AOB=1200,C 是 的中点,试确定四边形OACB 的形状,并说明理由. 【例3】如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦
AC 、EB 、DF 是否相等？为什么？ 【例4】如图，弦DC 、FE 的延长线交于⊙O 外一点P ，直线PAB 经过圆心
O ，请你根据现有圆形，添加一个适当的条件： ，使∠1=∠2．
【例5】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
【例6】如图，已知⊙O
中，AB 为直径，AB=10cm ，弦AC=6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC 、AD 和BD 的长．
B A
B A O
E D
C
B
A
【例7】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．（1）求证：AC⊥OD；
（2）求OD的长；
（3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例8】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图3-3-15，求BD的长．
【例9】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB2．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？请说明理由．
（2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB2= ．参照（1）填写相应结论，并证明
你填写结论的正确性．
练题
1、判断：
⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）
⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）
⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）
⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）
⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）
2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,
直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.
图中相等的线段有 .
图中相等的劣弧有 .
3、判断题（1）相等的圆心角所对弦相等（）（2）相等的弦所对的弧相等（）
4、填空题：⊙O中，弦AB的长恰等于半径，则弦AB所对圆心角是________度．
5、选择题
如图，O为两个同圆的圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，OE⊥AB，垂足为E，
若AC＝2.5 cm，ED＝1.5 cm，OA＝5 cm，则AB长度是___________．
A、6 cm
B、8 cm
C、7 cm
D、7.5 cm
6．在⊙O中，同弦所对的圆周角（）
A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．都不对
7．如图，在⊙O中，弦AD=弦DC，则图中相等的圆周角的对数是（）
A．5对 B．6对 C．7对 D．8对
8．下列说法正确的是（）
A．顶点在圆上的角是圆周角
B．两边都和圆相交的角是圆周角
C．圆心角是圆周角的2倍
D．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半
9．下列说法错误的是（）
A．等弧所对圆周角相等 B．同弧所对圆周角相等
C．同圆中，相等的圆周角所对弧也相等． D．同圆中，等弦所对的圆周角相等
10．如图4，AB是⊙O的直径，∠AOD是圆心角，∠BCD是圆周角．若∠BCD=25°，则∠AOD= ．
检验破解
1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，求证：
AC＝BD
2、已知AB、CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦
AB的距离
3．下列命题中，正确的有（）
A．圆只有一条对称轴 B．圆的对称轴不止一条，但只有有限条
C．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴D．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴
4．下列说法中，正确的是（）
A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等
5．下列命题中，不正确的是（）
A．圆是轴对称图形B．圆是中心对称图形C．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形D．以上都不对6、⊙O的弦AB等于半径，那么弦AB所对的圆周角一定是（）．
（A）30°（B）150°（C）30°或150°（D）)60°
7、△ABC中，∠B＝90°，以BC为直径作圆交AC于E，若BC=12，AB=12，则
的度数为（）．
（A）60°（B）80°（C）100°（D）)120°
8、如图，△ABC是⊙O的内接等边三角形，D是AB上一点，AB与CD交于E点，则图中60°
的角共有( )个．（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
9、如图，△ABC 内接于⊙O，∠OBC=25°，则∠A 的度数为（ ） （A ）70° （B ）65° （C ）60° （D ）)50°
10、圆内接三角形三个内角所对的弧长为3:4:5，那么这个三角形内角的度数分别为_______． 11．如图，AB 是半圆的直径，AC 为弦，OD ⊥AB ，交AC 于点D ，垂足为O ，⊙O 的半径为4，OD=3，求CD 的长．
12．如图，⊙O 的弦
AD
⊥
BC ，垂足为E ，∠BAD=∠α，∠CAD=∠β，且sin α=，cos β=，AC=2，求（1）
EC 的长；（2）AD 的长．
13．如图，在圆内接△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点．（1）求证：AB 2
=AD ·AE ；（2）当D 为BC 延长线上一点时，第（1）小题的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
归纳解法
5331。