补集及综合应用

开 关
数范围内有什么不同？通过这个问题你得到什么启示？
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第2课时
本 答 方程在有理数范围内的解集为{2}，在实数范围内的解集
课 栏
为{2， 3，－ 3}．数学学科中很多问题都是在某一范围内进
目
开 行研究．如本问题中在有理数范围内求解与在实数范围内求
关
解是不同的．类似这些给定的集合就是全集．
第2课时
2．补集
对于一个集合A，由全集U中__不__属__于__集__合__A__
本 自然语言 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集
课 栏
U的补集，记作___∁_U_A_____
目
开 关
符号语言 ∁UA＝___{_x_|x_∈__U_，__且__x_∉__A_}___
图形语言
填一填·知识要点、记下疑难点
第2课时
跟踪训练 1 已知 A＝{0,2,4,6}，∁SA＝{－1，－3,1,3}，∁SB
本 课
＝{－1,0,2}，用列举法写出集合 B.
栏
目 开
解
∵A＝{0,2,4,6}，∁SA＝{－1，－3,1,3}，
关 ∴S＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}．
而∁SB＝{－1,0,2}，∴B＝∁S(∁SB)＝{－3,1,3,4,6}．
求：(1)(∁SA)∩(∁SB)；(2)∁S(A∪B)；(3)(∁SA)∪(∁SB)； (4)∁S(A∩B)．
本 解 如图所示，可得
课 栏 目 开 关
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁SA＝{x|1<x<2，或 5≤x≤7}， ∁SB＝{x|1<x<3}∪{7}． 由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．
第2课时
3.补集与全集的性质
本 课
(1)∁UU＝__∅__；(2)∁U∅＝_U___；(3)∁U(∁UA)＝__A___；
栏 目
(4)A∪(∁UA)＝__U___；(5)A∩(∁UA)＝__∅___.
开
关
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第2课时
本 问题探究一 全集、补集概念
课
栏 目
问题 1
方程(x－2)(x2－3)＝0 的解集在有理数范围内与在实
研一研·问题探究、课堂更高效Fra bibliotek第2课时
本 小结 根据补集定义，借助 Venn 图，可直观地求出补集，
课
栏 目
此类问题，当集合元素个数较少时，可借助 Venn 图；当集
开 关
合中元素无限个时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
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第2课时
跟踪训练 2 设全集 U≠∅，已知集合 M、P、S 之间满足关
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第2课时
(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
本 (3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3，或
课 栏
5≤x≤7}；
目
开 关
(4)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7}＝{x|1<x<3，或
5≤x≤7}．
合 A 在全集 U 中的补集？
答 (1)全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研
本
课 究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通
栏
目 开
常记作 U.
关 (2)补集的定义：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集
合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的
补集，简称为集合 A 的补集，记作∁UA，即∁UA＝{x|x∈
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第2课时
本 问题 2 U＝{全班同学}、A＝{全班参加足球队的同学}、B＝
课 栏
{全班没有参加足球队的同学}，则 U、A、B 有何关系？
目 开
答 U＝A∪B，集合 B 是集合 U 中除去集合 A 之后余下
关
来的集合．
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第2课时
问题 3 全集和补集是怎样定义的？怎样用 Venn 图表示集
系：M＝∁UP，P＝∁US，则集合 M 与 S 之间的正确关系是
(B )
本 课
A．M＝∁US
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第2课时
问题探究二 全集、补集的性质
本
课 栏
问题 集合 A 与∁UA 之间有什么关系？
目 开
答 A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A，∁UU＝∅，
关
∁U∅＝U.
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第2课时
例 2 已知集合 S＝{x|1<x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3≤x<7}．
第2课时
高中数学必修一优质学案高效专题
第 2 课时 补集及综合应用
【读一读学习要求，目标更明确】
1．了解全集、补集的意义；
本
课 栏
2.正确理解补集的概念，正确理解符号“∁UA”的涵义；
目 开
3.会求已知全集的补集，并能正确应用它们解决一些具体问题．
关
【看一看学法指导，学习更灵活】
通过观察和类比，借助 Venn 图理解集合的补集及集合的综合
目 开
(2)根据三角形的分类可知 A∩B＝∅，A∪B＝{x|x 是锐角三
关 角形或钝角三角形}，
∁U(A∪B)＝{x|x 是直角三角形}．
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第2课时
本
课 栏
小结 研究补集必须是在全集的条件下研究，而全集因研究
目
开 问题不同而异，全集常用 U 来表示．
关
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开 关
(2)设全集 U＝{x|x 是三角形}，A＝{x|x 是锐角三角形}，
B＝{x|x 是钝角三角形}，求 A∩B，∁U(A∪B)．
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第2课时
解 (1)根据题意可知，U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以∁UA＝
本
课 栏
{4,5,6,7,8}，∁UB＝{1,2,7,8}．
运算，进一步树立数形结合的思想；进一步体会类比的作用；
感受集合作为一种语言在表示数学内容时的简洁和准确.
填一填·知识要点、记下疑难点
第2课时
本
课
栏 1．全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元
目 开 关
素，那么就称这个集合为__全__集______，通常记作__U___.
填一填·知识要点、记下疑难点
U，且 x A}．
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第2课时
(3)用 Venn 图表示：(空白部分即为 A 在全集 U 中的补 本 集)
课 栏 目 开 关
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第2课时
本 例 1 (1)设 U＝{x|x 是小于 9 的正整数}，A＝{1,2,3}，
课
栏 目
B＝{3,4,5,6}，求∁UA，∁UB.