空间曲线及其方程

给定空间曲线 C ，称以 C 为准线、母线// z 轴的柱 面为 C 关于 xOy 面的投影柱面，此柱面与 xOy 面的 交线为 C 在xOy面上的投影（曲线）。
F ( x, y, z ) 0 投影曲线 的求法： 设 C ： G ( x , y , z ) 0 消去 z ， 得 H ( x, y ) 0 — —关于 xOy 面的投影柱面在此柱面 上。
2 2 2
t
o
x A
M

M
x a cos t , y a sin t , z vt t 0. x a cos , 若取 ( t )为参 y a sin , y v 数，得参数方程 z .
{
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三、空间曲线在坐标面上的投影
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z a2 x2 y2 2 表示怎样的曲线？ 例2 方程组 a 2 a 2 ( x ) y 2 4
解
z a x y
2 2
2
上半球面,
a 2 a 2 (x ) y 圆柱面, 2 4
交线如图.
2
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2 2
面 z 3( x y )所围成, 求它在 xOy 面上的投影 .
2 2 z 4 x y , 解 上半球面和锥面的交线为 C : 2 2 z 3( x y ) , 2 2 消去 z ，得投影柱面 x y 1,
x 2 y 2 1, 则交线 C 在 xOy 面上的投影为 z 0.
所求立体在 xOy 面上的投影为 x y 1.
2 2
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H ( x, y) 0 与 xOy 面的方程联立 z 0
C 关于 xOy 面的投影曲线在此曲线 上。
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如图，投影曲线的求解过程：
空间曲线
投影柱面
投影曲线
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x2 y2 z2 1 例4 求曲线 在各坐标面上的投影. 1 z 2
第四节
空间曲线及其方程
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一、一般方程
空间曲线C可看作两曲面S1与S2的交线.
若 S1：F ( x,y,z ) 0; S2：G ( x,y,z ) 0, 则 M ( x, y, z ) C M S 1 M S2
M的坐标满足
x
z
S1
S2
o
C
y
F ( x, y, z ) 0 ——空间曲线的一般方程。 G ( x , y , z ) 0
解 （1）消去变量z后得
3 x y , 4
2 2
在 xoy面上的投影为
3 2 2 x y , 4 z 0,
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1 （2）因为曲线在平面 z 上， 2 1 z , 2 所以在 xoz 面上的投影为线段 y 0,
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2 2 x y 1 例1 方程组 表示怎样的 曲线？ 2 x 3 y 3z 6
解
x y 1
2 2
表示圆柱面， 表示平面，
2 x 3 y 3z 6
2 2
x y 1 2 x 3 y 3z 6
表示它们的交线， 为椭圆。
（3）同理在 yoz 面上的投影也为线段
1 z , 2 x 0, 3 | y | . 2
3 | x | ; 2
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空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
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例5
设一个立体, 由上半球面 z 4 x 可看成由动点 M=M(t) 随着参数 t 的 变化而形成的运动轨迹，于是有如下形式的方程
x x( t ) y y( t ) ——空间曲线的参数方程。 z z(t )
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例 3 如果空间一点 M 在圆柱面 x y a 上以角速 度绕 z 轴旋转，同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正 方向上升（其中、v 都是常数），那么点 M 构成的图 形叫做螺旋线．试建立其参数方程． 解 取时间t为参数，并设 t=0 时动点M z 位于 A(a,0,0)点。 于是，在 t 时刻， M(x,y,z) 转过的弧度为 =t ，上升 的高度为 vt， 得螺旋线的参数方程