何锃版理论力学部分例题及习题答案

何锃版理论⼒学部分例题及习题答案
1-1-1是⾮题（正确的在括号内画√，错误在画×）。

1．作⽤于刚体上的⼒是滑动⽮量，作⽤于变形体上的⼒是定位⽮量。

（√）
2．⼆⼒构件的约束反⼒是其作⽤线的⽅位沿⼆受⼒点的连线，指向可假设。

（√）
3．加减平衡⼒系公理不但适⽤于刚体，还适⽤于变形体。

（×）
4．若两个⼒相等，则这个⼒就等效。

（×）
5．作⽤于A 点共线反向的两个⼒1F 和2F 且1F >2F ，则合⼒21F F R -=。

（×）
6．⼒F 可沿其作⽤线由D 点滑移到E 点。

（×）
7．两物体在光滑斜⾯m-n 处接触，不计⾃重，若⼒1F 和2F 的⼤⼩相等⽅向
相反，且共线，则两个物体都处于平衡状态。

（×）
1-1-2 选择题（将正确答案前⾯的序号写在括号内）
1．⼆⼒平衡公理适⽤于（1）
①刚体②变形体③刚体和变形体
2．作⽤与反作⽤公理适⽤于（3）
①刚体②变形体③刚体和变形体
3．作⽤于刚体上三个相互平衡的⼒，若其中任何两上⼒的作⽤线相交于⼀点，则其余的⼀个⼒的作⽤线必定。

（2）
①交于同⼀点②交于同⼀点，且三个⼒的作⽤线共⾯
③不⼀定交于同⼀点
4．作⽤于刚体上的平衡⼒系，如果作⽤到变形体上，则变形体（ 3 ）。

反之，作⽤于变形体上的平衡⼒系如果作⽤到刚体上，则刚体（ 1 ）。

①平衡②不平衡③不⼀定平衡
5．图⽰结构中，AC 、BC ⾃重分别为P 1和P 2，各杆受⼒如图①②③④。

（3、4）
1．3 画出下列指定物体的受⼒图、假定各接触处光滑，物体的重量除注明者匀均不计。

1．圆柱体O
2．杆AB 3．弯杆ABC 4．刚架 5．杆AB
6．杆AB 7．销钉A 8．杆AB
1．4试画出下列各物系中指定物体的受⼒图。

假定各接触处光滑，物体的重量除注明者外均不计。

1．起重机构整体：轮O 、杆AB 、杆BC
2．平衡构架整体：AB 部分、弯杆BC
3．三铰拱整体：AB 部分、BC 部分
4．A 形架整体，AB 部分、BC 部分，DE 杆及销钉B （⼒P 作⽤在销钉B
上）
5．⼆跨静定刚架整体、AD 部分、EC 梁。

6．构架整体，杆AB （连同滑轮），杆AB
7．整体，杆O 2B （包括滑块B ）、杆OA
8．整体，连杆AB 、圆盘O 、滑块B
9．整体，杆AB 、AC 、（均不包括销钉A 、C ）、销钉A 、销钉C
10．上题中，若销钉A 、C 均与AC 杆固连，画出AC 杆受⼒图，⼜若销钉A 与AB 杆固连，画出AB 杆受⼒图。

2．0思考题
1．汇交⼒系（1F 、2F 、3F ）作⽤，这四个⼒构成的⼒多边形分别如图（1）、
（2）、（3）试说明哪种情况不平衡，如果不平衡，⼒系的合⼒是怎样的？
2．⽤解析法求汇交⼒系的平衡问题，需选定坐标系再建⽴平衡⽅程∑=0X F ，∑=0Y F ，∑=0Z F 。

所选的X 、Y 、Z 各轴是否必须彼此垂直？
不！在空间，X 、Y 、Z 不共向；在平X 、Y 不共线。

4．圆轮在⼒偶距为M 的⼒偶和⼒的共同作⽤下平衡，这是否说明⼀个⼒偶可⽤⼀个合适的⼒与之平衡。

不。

O 处的约束反⼒F ' 必须与F 等相反向、平⾏，构成与M 反向的⼒偶。

3．平⾯汇交⼒系、空间汇交⼒系、平⾯⼒偶系、空间⼒偶系的独⽴平衡⽅程数各为多少？
分别：2、3、1、3
5．在刚体上A 、B 、C 、D 四点各作⽤⼀⼒如图所⽰，其⼒多边形封闭，问刚体是否平衡？
不。

四个⼒构成两个同向边偶，不可能平衡。

2-1-2 判断题
1．质量为m 的圆球，以绳索挂在墙上，若绳长等于球的半径，则球对墙的压⼒⼤⼩为（3）
（1）mg （2）21mg （3）33mg （4）2mg
2．图⽰两绳AB 、AC 悬挂⼀重为W 的重物，已知 90=<<γβα，则绳的张⼒AB T 、AC T 与重⼒W 三⼒之间的关系为（2）。

（1）AB T 最⼤（2）AB T 最⼩（3）AC T 最⼤（4）AC T 最⼩
3．图⽰三铰拱架中，若将作⽤⽤于构件AC 上的⼒偶m 搬移到构件BC 上，则A 、B 、C 各处的约束⼒（3）。

（1）都不变
（2）中有C 处的不改变（3）都改变（4）中有C 处的改变
4．若矩形平板受⼒偶矩为cm N m ?=60的⼒偶作⽤，则直⾓弯杆ABC 对平衡的约束⼒为（3）。

（1）15N （2）20N （3）12N （4）60N
2.3如图中平⾯汇交系F 1=173N ，F 2=50N ，F 3之⼤⼩未知，此三⼒的合⼒R
的⽅位已知如图⽰，试求R 的⼤⼩和指向，若2F 的⼤⼩未知，但R =0，试求此
情况下⼒2F 的⼤⼩。

解：（1）321F F F R ++=上式向2F 所在⽅向投影得：
3021212ωF F R -= ∴N F F R 2002
31732100232212??-=?-= ∴R 的⼤⼩为200N ，指向与假设相反。

（2）0='∑Z ，030212=- ωF F N F F 15030cos 12==
2.4 长⽅体的顶⾓A 和B 处分别作⽤有⼒P 和Q ，P=500N ，Q=700N 。

求此
⼆⼒在x 、y 、z 轴上的投影。

0xyz 坐标系如图所⽰。

解：由⼏何关系，得：β +-=i AC 2
β +-=j i BC 32 ∴)2(
51500β +-?==i P )(6.2232.44751005200N i k i β +-=+-=
)(187561374)32(
141100N j i k j i Q β +--=+--?== 2.4图⽰四连杆机构，各杆⾃重不计，Q=1000N 。

求：（1）保持机构在所⽰位置平衡时所需的铅垂⼒P 的⼤⼩；（2）保持机构平衡所需作⽤于C 的最⼩⼒的⽅向和⼤⼩。

解：（1）[取钉B]
0=∑B Z ；045cos 65cos =- Q N BC Q N BC
65cos 45cos = [取销钉C]
0=∑C Z ：045cos 25cos =- P N BC Q N P BC
65cos 25cos 45cos 25cos == N Qtg 5.214465==
（2）BC N 不变，与上同。

[取销钉C]0=∑C Z ：0sin 25cos =?-P N BC Q tg P ?
=sin 6545cos
当 90=?时，即CD P ⊥时，P 最⼩，N Q tg P 2.15166545cos min =+=
2.5液压式压紧机构如图所⽰，已知⼒P 及⾓α，试分别画出轮B 、铰链C 滑块E 的受⼒图，并求出滑块E 加于⼯件H 的压⼒。

解：[取轮B] 0=∑Z ：0sin =P N BC α，α
sin P N BC =
[取铰C]0='∑Z ：02sin =-αCE BC N N α
α2sin sin P N CE = [取滑块E]0=?∑：0cos =-αEC E N F αα23sin 2cos P N F EC == 3.4有⼀重量为P 、边长为2a 的正⽅形匀质钢板，以三根绳⼦AD 、BD 、CD 悬挂于⽔平位置如图⽰。

设D 点与板的重⼼O 在同⼀铅垂线上，OA=a ，求绳⼦
的拉⼒。

解：[取板
ABC])(3k j i T AD T T A A A ++==
)(3k j T BD T T B A B +-==
)(3k i T CD T T C C C +-== k P P -= ∴023:0=-=∑C A T T Z 023:
0=-=∑ΓB A T T 02
23:0=-+=∑Z C B A T T T 解得：P T T P T C B A 3
2,33=== 3.5 计算图⽰⼿柄上的⼒F 对于x 、y 、z 轴之矩。

已知F=500N ，AB=20cm ，BC=40cm ， 45,60==βα。

解：j i AD 3540+-= k j i F 325021232123--=
2
250212521250
3540---=?=k j i F AD M A k j i 25.8835.1732015155+--=
∴Ncm M X 15155-= Ncm M Y 5.17320-= Ncm M Z 25.883=
3.6 图中P=10N ， 30=α，A 点的坐标为（3m ，4m ，-2m ）。

求⼒P 对x 、y 、z 各轴之矩。

解：k j i OA 243-+=
k j i P 3543+--== β O j i k j i P M O +-+-=---=?=)3156()8320(3
543243 ∴Nm M x 64.268320=-= Nm M x 98.193156-=-=
0=z M
3.7 将图⽰三⼒偶合成。

已知F 1=F 2=F 3=F 4=F 5=F 6=100N ，正⽅体每边长L=1m 。

解：三个⼒偶为：()21,F F ，()43,F F ，()
65,F F 令k j k j F F m m 100100)45cos 45cos (2100),(211+=+-==
j i j i F F m m 100100)45cos 45cos (2100),(432+-=+-==
j i j i F F m m 25050)45cos 45cos (100),(653-=-==
∴合⼒偶矩321m m m M ++= 即k j i k j i M 1007.703.29100250)250100(+--=+-+-=
3.8 ⼀物体由三圆盘A 、B 、C 和轴组成。

圆盘半径分别是cm r A 15=，cm r B 10=，cm r C 5=。

轴OA 、OB 、OC 在同⼀平⾯内，且 90=∠BOA 在这三个
圆盘的边缘上各⾃作⽤有⼒偶()11,'P P 、()22,'P P 和()
33,'P P ⽽使物体保持平衡。

已知P1=100N ，P2=200N ，求3P 和⾓α。

解：1m 、2m 、3m 共⾯，由1m +2m +3m =0，得
0sin :013=-=∑m m m x α 0)cos(:023=--=∑m m m y απ得：250022
213=+=m m m 53sin 31==?m m 5
4cos 31-=-=m m α∴N r m P c
500233== παπ<<2，即)53arcsin(2+=πα 2.6 图⽰AB 杆上有导槽，套在CD 杆的销⼦E 上，在AB 和CD 杆上各有⼀⼒偶作⽤，已知m N m ?=10001，求平衡时作⽤在CD 杆上的⼒偶矩2m 。

不计杆重以及所有的摩擦阻⼒。

⼜问，如果导槽在CD 杆上，销⼦E 在AB 杆上，则结果⼜如何。

解：（1）⼒偶()
E A N N ,与1m 平衡
∴010001=-?E N 1000=E N
⼒偶()
E A N N ,与2m 平衡∴Nm N m E 100012=?= （2）类似（1）有
0100045cos 1=-?? E N 21000=E N
Nm N m E 200022=?=
2-2-11 两块相同的长⽅板，⽤铰链C 彼此相连接，且由铰座A 、B 固定。

在每⼀板平⾯内都作⽤有其矩的⼤⼩为M 的⼒偶，它们的转向如图所⽰。

如a>b ，忽略板重，试求铰座A 、B 的约束⼒。

解：分析整体可知，A 、B 两处的约束反⼒必在AB 连线上。

且等值反向。

[取AC 物块]同样有A N 、C N 等值反向。

∴有：045cos )(=--?M b a N A
b a M N A -=2 故亦有：b a M N B -=
2 3.9 长⽅体各边长分别为a=10cm ，b=10cm ，c=5cm 。

作⽤于顶⾓A 处的作
⽤⼒F=25N 。

求：（1）⼒F 在x 、y 、z 各轴上的投影，（2）⼒F 对x 、y 、z 各
轴的矩，（3）⼒F 对ξ轴之矩。

解：（1）)5510(
150125k j i AB F F +--?== k i i 6
25625650+--= ∴N F x 4.20650-=-=，N F y 2.106
25-=-=N F z 2.10+= （2）j i 1010+=
Ncm k j i k
j i F OA F M o 1021021022
.102.104.2001010)(+-=--=?=
或Ncm k j i M o )(12
65 +-= ∴Ncm m x 102=，Ncm m y 102-=，Ncm m z 102=
（2）Ncm k i M
M M O O 85.136********)2(51=+=+?== ξ或Ncm M 4
30=ξ 3.10杆系由铰链连接，位于⽴⽅体的边和⾓线上，如图⽰。

在节点D 作⽤⼒Q ，沿对⾓线LD ⽅向。

在节点C 作⽤⼒P ，沿CH 边铅垂向下。

如铰链B 、L 、H 是固定的，求⽀座的约束⼒和杆的内⼒。

各杆重量不计。

解：⽤621,,,N N N 表⽰1，2，…，6杆的内⼒。

⽅向均设为拉⼒；B 、H 、
L 处的约束⼒分别设为：k F i F i F F Bz By Bx B ++= k F i F i F F Hz Hy Hx H ++=
k F i F i F F Lz Ly Lx L ++=
对于D 点：0631=+++Q N N N
02222:0631=++=∑N N N Z ，02
222:01=+-=∑ΓQ N 02222:06=-=∑Z N Q
得：Q N =1，Q N 23-=，Q N =6
对于C 点：05432=++++P N N N N ，向x 、y 、z 投影，得：
03134=--N N ，03142=--N N ，03
154=---P N N ，解得： Q N 22-=，Q N 64=，Q P N 25--=
对B 点：021=++N N F B ，向轴投影得：
0221=-N F Bx ，02
221=+-N N F By ，0=Dz F
∴Q F Bx 22=，Q F By 2
23=，0=Dz F 对H 点；065=++N N F H ，向轴投影，得：
0226=-N F Hx ，0=H y F ，02
265=++N N F Hz ，解得： Q p F F Q F Hz Hy Hx 2
2,0,22+=== 3.11 正四⾯体的三个侧⾯上各作⽤有⼀个⼒偶。

设各⼒偶矩的⼤⼩是：m 1=m 2=m 3=m,求合⼒偶。

⼜如在第四
个⾯上施加m 4=m 的另⼀⼒偶，试问此⼒偶能否平衡前⾯的的三个⼒偶。

解：设正四⾯体每边长为。

m a a m a m a AB AD m 60sin ///2321=
=?=?= a a m m //)(21?=-?=+
()
a a //?=+?=
∴合⼒偶M 的⼤⼩为：m a M ==/60sin 2
合⼒偶M 的⽅向为：垂直于BCD ⾯指向正四⾯体内部。

如果在BCD ⾯上施加⼀个⼤⼩为m ，⽅向垂直于BCD ⾯指向四⾯体外部的⼒偶4m ，则四⾯体平衡。

3-1-1为求图⽰结构中A 、B 两外反⼒，可将P ⼒与矩为M 的⼒偶先合成为
虚线所⽰的⼒P '以简化计算，对否？试说明理由。

产对。

原因：要使M 能在各构件间任意移转，必须将整体取为研究对象，⽽A 、B 两处的反⼒共有四个未知数，故仅取整体作研究对象，不能解出A 、B 两处的反⼒，因此，还需求解各构件的平衡条件，但这时AC 杆、BC 杆的受⼒与其原受⼒不等价，这样求出的结果当然不可能正确。

3-1-2 从桁架中截取图⽰部分，指出内⼒必为零的杆件：
3-1-3 下列问题中不计各杆重，试判断哪些结构是静定的？哪些结果是静不定的，为什么？
3-1-4试直接指出图标桁架中哪些杆件的内⼒为零，并说明理由。

2.10求下列各图中分布⼒的合⼒及作⽤线位置。

解：qa Q y 21=，qa Q x 21=，qa Q q R y x 2
522=+= 对A 点的合⼒矩22
3334qa a Q a Q M x y A -=?-?-= 合⼒作⽤线⽅程为：A x y M y R x R =-
即；A x y M y Q x Q =+-，（∵y y x x Q R Q R -=-=,）
即：a x y 32-=
解：易得；y r m 20π=
显然，分布⼒学在x 上的投影之和为零，所以合⼒R 铅垂向下。

qr R 20=，由合⼒矩定理，0m d R =?
2/0r
R m d π==，故合⼒作⽤线为过（0,2
r π）点，与y 轴平⾏的直线。

2.11图⽰复合梁ACB 上有⼀起重机重G=40KN ，重⼼在铅直线OK 上，⼒臂KL=4m ，所吊重物P=10KN ，试求A 、B 两端⽀座的反⼒。

图中长度单位是m 。

（要求平衡⽅程个数不能多于4个，且不解联⽴⽅程）。

解：[取起重机]
0512:0=?-?-?=∑P G N m E D 45=E N
[取CB 杆]
016:0=?-?=∑E B C N N m
KN N B 5.7=
[取整体] 0:0=--+?=?∑G P N B A KN A 5.42=?
08410:0=?-?-?+=∑P G N m m B A A
KNm m A 165=
==KNm
m KN
y A A 1655.42
KN N B 5.7=
2.12铰接⽀架由杆AB 和BC 组成，载荷P=20KN 。

已知AD=DB=1m ，AC=2m ，两个滑轮的半径都是r=30cm 。

求铰链B 对各杆的作⽤⼒。

解：[取AB 杆]
07.03.02:0=?-?-??=∑P P m AB A KN AB 10=?
[取销钉B]
0:0=+?+?=?∑P AB BC KN Z BC 23-= [取BC 杆]KN 3=∑Z ，
结果：=?=Z KN KN AB AB 103，-=?-=Z KN
KN BC AB 3023
2.13 A 形架由三杆铰接组成，P
、Q ⼆⼒作⽤在AE 杆A 端，求销钉A 对AD 、AE 两杆的约束⼒。

若P
、Q ⼆⼒作⽤在销钉A 上，其结果有何变化？
解：[取整体]()
a AE DE AD 2===
03332:0=?-?+==∑a P a Q a N E m D Q P N E 2
3
2-=
Q Z Z D ==∑:0
Q P P N D E D 2
320:0+=
=-+?=?∑ [AD 杆]
032:0=?-??+?=∑a Z a a Z m D D A H Q P Z A 4
1
43--
= 0:0=?+?=?∑D A 答：
--=--=Q P Q P Z A A 23241
43 解：显然，⽀座反⼒不变，即Q P N E 232-=
，Q Z D =，Q P D 2
3
2+=?
[取AD 杆]后，与左边⼀样的分析程序，⽴即得：
Q P Z AD 4
=
Q P AD 2
3
2--
=? [取销钉]
0:0=++=∑Q Z Z Z AD AB Q P Z AE 4343-=
0:0=+?+?=?∑P AE AD Q P AE 2
32+-
=? 答：
+-=?--=Q P Q P Z AE AD 2324143
+-=-=Q P Q P Z AE AE 23243
43 3-2-5结构尺⼨如图，杆重不计，C 、E 处为铰接，已知P=10KN ，
m KN M ?=12，试求A 、B 、D 处约束⼒。

（只许⽤五个平衡⽅程求解）。

解：[取整体]
0154
1532:0=-?+?-??=∑M P P m B A KN B 5=?
05
3
:0=-?+?=?∑P B A KN A 1=?
[取BC 杆]
015
3
15422:0=?-?-
+?=∑P P Z m B B C
KN Z B 2=
[取DE 杆]01:0=-?=∑M N m D E KN N D 12=
[取整体]05
4
:0=-
++=∑P N Z Z Z D B A
KN Z A 6-=
答：=?-=KN KN X A A 16，=?=KN
KN Z B B 52，KN N D 12=
2.14 已知图⽰结构由直杆CD 、BC 和曲杆AB 组成，杆重不计，且
m KN M ?=12，KN P 12=，m KN q /10=，试求固定铰⽀座D 及固定端A 处的约束反⼒。

解：[取BC 杆]
015
2:0=?-
=∑P B
m C B KN C 5.2=?
[取CD 杆]0:0=?-?=?∑C D ，KN D 5.2=?
034:0=-??+?=∑M Z m D D C KN Z D 125.1=
[取整体]013
12
:0=--
+=∑Q P Z Z Z D A KN Z A 825.25=
013
5
:0=-
+=∑P D A KN A 5.2= 01413
5
313121:0=?+-?-?+??+=∑Q M P P m m D A A
KNm m A 125.40-=
答：
-==∑=KNm m KN KN
Z A
A A 125.405.2875.25，=?=KN KN Z D
D 5.2125.1
2.15 AB 、AC 、BC 、AD 四杆连接如图⽰。

⽔平杆AB 上有铅垂向下的⼒P 作⽤。

求证不论P
的位置如何，AC 杆总是受到⼤⼩等于P 的压⼒。

（只允许列
三个⽅程求解）
说明：[取整体]
0:0=?-?=∑d P b N m D C P b
d
N D =
[取AB 杆]0:0=?-?=∑d P b N m B A ，P b
d N B =
[以AB 、AD 杆]02
)2(22:0=?--?+?+?=∑b
N d b P b N b N m AC B D E
得P N AC =
AC N 为AC 杆对销钉A 的压⼒，故AC 杆总受到销钉A 对其的压⼒P 。

2.16构架ABC 由三杆AB 、AC 和DF 组成，杆DF 上的销⼦E 可在杆AB 光滑槽内滑动，构架尺⼨和载荷如图⽰，已知m N m ?=2400，N P 200=，试求固定⽀座B 和C 的约束反⼒。

解：[取整体]
0128:0=-?-??=∑m P m C B N C 600=? 048:0=+?+??=∑m P m B C
N B 400-=?
[取DF 杆]0445
4
:
0=?-?=∑P N m E a 250=E N [取AB 杆]035
3
45486:04=?-?-??-?=∑E B B A N N Z m
N Z B 325-=
[取整体]0:0=+=∑C B Z Z Z ，得N Z C 325=
答：-=?-=N N Z B B 400325，=?=N
N
Z C C 600325
2.17⽤指定⽅法求图⽰桁架中标有数字的杆件的内⼒。

1．节点法
解：[取节点E] 05
1
:
02=+=?∑P N ，P N 52-= 0=∑Z ： 05
2
_
21=N N ，P N 21= [取节点D]05
2
:024=-
=∑N N Z ，P N 24-= 05
1
:023=+
=?∑N N ，P N =3 [取节点C]:0=∑Z
05
252156=-+N N N :0=?∑
05
151356=--N N N 05=N ，P N 56=
答：291=N ，592-=N ，93=N ，294-=N ，05=N ，596=N 2．截⾯法解：[取I-I 截⾯上部] 0=∑Z ：03=-N P ，P N =3
0=∑E m ；023=?
+?a N a N BF ，2
P
N BF -= [取整体]0=∑A m ：0=?-?a P a N B P N B =。