高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4.1 充分条件与必要条件精品练习(含解析)新人教A版必修

1．4.1 充分条件与必要条件
6．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值X围是________．
关键能力综合练
一、选择题
1．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的( ) A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
2．设集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，那么“m∈A”是“m∈B”的( ) A．充分条件
B．必要条件
C．既是充分条件也是必要条件
D．既不充分又不必要条件
3．设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．设集合M＝{x|x≥2}，P＝{x|x>1}，则“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．设x∈R，则“|x|<1”是“x3＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既是充分条件，也是必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．设x，y是两个实数，则“x，y中至少有一个大于1”的一个充分不必要条件是( ) A．x＋y＝2 B．x＋y＞2
1．4 充分条件与必要条件
1．4.1 充分条件与必要条件
必备知识基础练
1．解析：(1)若α为锐角，α不一定等于45°，因此p 不是q 的充分条件；反之，若
α＝45°，则α为锐角，因此p 是q 的必要条件．
(2)由x >1可以推出x 2
>1，因此p 是q 的充分条件；由x 2
>1，得x <－1，或x >1，不一定有x >1.因此，p 不是q 的必要条件．
(3)由(a －2)(a －3)＝0可以推出a ＝2或a ＝3，不一定有a ＝3，因此p 不是q 的充分条件；由a ＝3可以得出(a －2)(a －3)＝0.因此，p 是q 的必要条件．
(4)二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋c ，当Δ>0时，其图象与x 轴有交点，因此p 是q 的充分条件；反之若函数的图象与x 轴有交点，则Δ≥0，不一定是Δ>0，因此p 不是q 的必要条件．
2．解析：当a ＝1时，|a |＝1成立，但当|a |＝1时，a ＝±1，所以a ＝1不一定成立，∴“a ＝1”是“|a |＝1”的充分条件．故选A.
答案：A
3．解析：∵－2＜x ＜1
⇒x ＞1或x ＜－1，且x ＞1或x ＜－1⇒－2＜x ＜1.∴“－
2＜x ＜1”是“x ＞1或x ＜－1”的既不充分条件，也不必要条件．
答案：C
4．解析：当x >1时，1x <1成立；当x <0时，也满足1x <1，故“x >1”是“1
x
<1”的充分不
必要条件．
答案：A
5．解析：由于x ＝0⇒x 2
＝2x ，所以“x 2
＝2x ”是“x ＝0”的必要条件，“x ＝0”是“x
2
＝2x”的充分条件．
答案：必要充分
6．解析：因为x>1⇒x>a，所以a≤1.
答案：a≤1
关键能力综合练
1．解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件．
答案：B
2．解析：因为集合A＝{x|0≤x≤3}，集合B＝{x|1≤x≤3}，则由“m∈A”得不到“m∈B”，反之由“m∈B”可得到“m∈A”，故选B.
答案：B
3．解析：若(a－b)·a2<0，则必有a－b<0，即a<b；而当a<b时，不能推出(a－b)·a2<0，如a＝0，b＝1，所以“(a－b)·a2<0”是“a<b”的充分不必要条件．
答案：A
4．解析：因为M∪P＝{x|x＞1}，M∩P＝{x|x≥2}，所以“x∈M∪P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件．故选B.
答案：B
5．解析：由|x|<1，得－1<x<1，所以－1<x3<1；由x3<1，得x<1，不能推出－1<x<1.所以“|x|<1”是“x3<1”的充分不必要条件．故选A.
答案：A
6．解析：A项，x＋y＝2时，令x＝y＝1，不符合命题；而命题“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y≠2，所以是非充分非必要条件；B项，x＋y＞2时，若x，y 都不大于1，则x＋y≤2矛盾，可得x，y中至少有一个大于1；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，x＋y＜2，所以是充分不必要条件；C项，x2＋y2＞2时，令x＝－2，y＝0，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝1.1，y＝0，x2＋y2＜2，所以是非充分非必要条件；D项，xy＞1时，令x＝－1，y＝－2，不符合命题；若“x，y中至少有一个大于1”，令x＝－1，y＝2，xy＜1，所以是非充分非必要条件．
答案：B
7．解析：当a和b都是偶数时，则a＋b也是偶数；当a＋b为偶数时，a，b可以都为
奇数．故填“充分不必要”．
答案：充分不必要
8．解析：令A＝{x|1≤x＜4}，B＝{x|x＜m}，因为p是q的充分条件，所以A⊆B.所以m≥4.
答案：m≥4
9．解析：①ab＝0即为a＝0或b＝0，即a，b中至少有一个为0；②a＋b＝0即a，b 互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；③由ab>0知a与b同号，即a，b都不为0.综上可知，“a，b都为0”能推出①②，③能推出“a，b都不为0”，所以使a，b都为0的必要条件是①②，使a，b都不为0的充分条件是③.
答案：(1)①②(2)③
10．解析：(1)数a能被6整除，则一定能被3整除，反之不一定成立．即p⇒q，q
⇒p，∴p是q的充分不必要条件．
(2)当a＝－2，b＝－1时，a
b
＝2>1；当a＝2，b＝－1时，
a
b
＝－2<1，所以p既不是q
的充分条件，也不是必要条件．
(3)△ABC中，有两个角相等时为等腰三角形，不一定为正三角形，即p
⇒q，且q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．
学科素养升级练
1．解析：由x2－x－2<0，解得－1<x<2.
又x2－x－2<0是－2<x<a的充分不必要条件，
∴(－1,2)(－2，a)，则a≥2.
∴实数a的值可以是2,3,4.
故选BCD.
答案：BCD
2．解析：因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．
又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，
所以丙⇒乙，但乙⇒丙，
如图．
综上，有丙⇒甲，但甲
⇒丙，
即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件． 答案：A
3．解析：若a ＝－1，b ＝12
，则Δ＝a 2－4b <0，关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0无实根，故
p
⇒q .
若关于x 的方程x 2
＋ax ＋b ＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x 1，x 2，且
0<x 1<x 2<1，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝b .
于是0<－a <2,0<b <1，即－2<a <0,0<b <1，故q ⇒p . 所以p 是q 的必要条件，但不是充分条件．。