表格积分法

表格积分法
表格法是指，求解不定积分时，需要多次使用分部积分时的简化运算方法。

亦可认为是分部积分法的推广公式。

推导
分部积分法基本公式
∫udv=uv−∫vdu+C
表格法的推导
(1)∫udv=uv−∫vdu=uv−∫u′vdx=uv−∫u′d(∫v)(2)=uv−[u′(∫v)−∫(∫v)du′]=uv−u′(∫v)+∫(∫v)du′=uv−u′(∫v)+[∫u″
d(∬v)]=uv−u′(∫v)+[u″(∬v)−∫(∬v)du″](3)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−∫(∬v)du″=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−∫u‴d(∭v)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−[u‴(∭v)−∫(∭v)du‴](4-1)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫(∭v)du‴(4-2)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫u⁗d(⨌v)=…
观察特点
可以注意到一个特点：∫u(n)d(∫…∫⁗nv)=∫(∫…∫⁗n−1v)du(n−1) ，如∫vdu=∫u′d(∫v) ，即我们可以交换 u,v ，交换后 u 多求一阶导数， v 则做一次积分。

我们可以看到，进行 n 次分部积分的等式，实际上是从 uv 为起点，每次进行变号，函数 u(x) 进行单向求导，函数 v(x) 进行单项积分，最后一项总为∫(∫…∫⁗n−1v)du(n−1)=∫u(n)d(∫…∫⁗nv) ，符号由第一项开始往后正负交替得到。

使用举例
通过上述推导式，可以看出，同一种积分，根据最后一项可以写出两种结果，而这两种结果，哪种比较“好”呢？
∫udv=uv−∫vdu(1)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫(∭v)du‴(2)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫u⁗d(⨌v)=…
式子(1)在一般运算中没啥毛病，式子(2)除了一般计算，还用在循环积分法中。

•例1
∫(x3+2x+6)e2xdx
第一步，把原式写为∫udv=∫(x3+2x+6)d(12e2x) ，列出表格。

u′u″u‴u⁗⋯u=x3+2x+63x2+26x60⋯v=12e2x14e2x18e2x116e2x132e2x⋯∫v∬v∭v⨌v⋯
第二步，根据∫udv=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫(∭v)du‴
∫(x3+2x+6)d(12e2x)=(x3+2x+6)(12e2x)−(3x2+2)(14e2x)+(6x)(18e2x)−(6)(116e2x)+∫
(116e2x)d(6)=(x3+2x+6)(12e2x)−(3x2+2)(14e2x)+(6x)(18e2x)−(6)(116e2x)+∫0d(116e2x)=(x3+2x+6)(12e2x)−(3x2+2)(14e2x)+(6x)(18e2x)−(6)(116e2x)+C
•例2
∫e2xsin⁗xdx
第一步，把原式写为∫udv=∫sin⁗xd(12e2x) ，列出表格。

u′u″u‴u⁗⋯u=sin⁗xcos⁗x−sin⁗x−cos⁗xsin⁗x⋯v=12e2x14e2x18e2x116e2x132e2x⋯∫v∬v∭v⨌v⋯
循环积分时，需要复现得到与原式相同的式子形式。

回看表格法的推导式：
∫udv=uv−∫vdu(1)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫(∭v)du‴(2)=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫u⁗d(⨌v)=…
显然，用式子(1)，无论怎样，都不会出现与原式相同的∫(∭v)du‴⇎∫udv形式，也就是说，如果需要循环积分成立， u,v 必须与原式的 u,v 保持同一位置，即 u 在积分号里面， v 在微分符号 d 之后。

所以这就是为什么循环积分时，我们需要用式 (2) 才行。

如何找到合适的积分停止位置呢？通过表格，我们看到，在 u″第一次出现 sin⁗x 的位置就可以停止积分。

∫sin⁗xd(12e2x)=(12e2x)(sin⁗x)−(14e2x)(cos⁗x)+∫u″d(∬v)=(12e2x)(sin⁗x)−(14e2x)(cos⁗x)+∫(−sin⁗x)d(18e2x)⇒∫sin⁗xd(12e2x)=(12e2x)(sin⁗x)−(14e2x)(cos⁗x)+14∫(−sin⁗x)d(12e2x)54∫sin⁗xd(12e2x)=e2x(12sin⁗x−14cos⁗x)∫sin⁗xd(12e2x)=15e2x(2sin⁗x−cos⁗x)+C
•例3
∫e−xsin⁗nxdx
第一步，把原式写为∫udv=∫sin⁗(nx)d(−e−x) ，列出表格。

这里需要注意，“反对幂指三”和“反对幂三指”，使用后者。

u′u″u‴u⁗⋯u=sin⁗nxncos⁗nx−n2sin⁗nx⋯⋯⋯v=−e−xe−x−e−xe−x−e−x⋯∫v∬v∭v⨌v⋯
令 I=∫e−xsin⁗nxdx ，则有 I=−e−xsin⁗nx+ne−xcos⁗nx+∫n2sin⁗nxd(e−x)
即 I=−e−xsin⁗nx+ne−xcos⁗nx−n2I
所以原式 I=−e−xsin⁗nx+ne−xcos⁗nx1+n2+C=−e−x(sin⁗nx+ncos⁗nx)1+n2+C
结论
在进行表格法计算时，知道分部积分的三个公式：
(1)∫udv=uv−∫vdu(2)∫udv=uv−u′(∫v)+u″(∬v)−u‴(∭v)+∫u⁗d(⨌v)(3)∫u(n)d(∫…∫⁗nv)=∫(∫…∫⁗n−1v)du(n−1)在使用表格法时，直接用式子 (2) ，列好表格
u′u″u‴u⁗⋯u=u(x)1234v=v(x)1234∫v∬v∭v⨌v⋯
直接根据表格，以 uv 为第一项，上下对应相乘后，正负交替进行加和，最后一项为∫u(n)d(∫…∫⁗nv) ，正负号由正负交替决定。