高中数学基本不等式 PPT

【变式2】 已知x>0,y>0,且x＋2y＋xy＝30,求xy得最大值、 解 由 x＋2y＋xy＝30，得 y＝320＋－xx (0<x<30)， xy＝302x＋－xx2＝－2＋x2＋2＋34x2＋x－64 ＝34－x＋2＋x＋642， 注意到(x＋2)＋x＋642≥2 x＋2·x＋642＝16， 可得 xy≤18，当且仅当 x＋2＝x＋642，即 x＝6 时等号成立．代 入 x＋2y＋xy＝30 中可得 y＝3.故 xy 的最大值为 18.
那么甲公司两次购电脑芯片的平均价格为
10 0200000a0＋b＝a＋2 b(元/片)；
乙公司两次购芯片的平均价格为
10
20 000 a000＋10
b000＝1a＋2 1b(元/片)．
∵a>0，b>0 且 a≠b，∴a＋2 b> ab，
1a＋1b>2
a1b＝ 2ab，∴1a＋2 1b< ab，
∴a＋2 b>1a＋2 1b，∴乙公司的平均成本比较低．
[思维启迪] 解答本题可灵活使用“1”得代换或对条件进 行必要得变形,再用基本不等式求得与得最小值、
解 法一 ∵x＞0，y＞0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16. 当且仅当yx＝9yx，又1x＋9y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号．
故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16. 法二 由1x＋9y＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)， 可 知 x ＞ 1 ， y ＞ 9 ， 而 x ＋ y ＝ (x － 1) ＋ (y － 9) ＋ 10≥2 x－1y－9＋10＝16. 所以当且仅当 x－1＝y－9＝3， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号， 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
解 设铁栅长为 x 米，一堵砖墙长为 y 米， 则有 S＝xy，由题意得： 40x＋2×45y＋20xy＝3 200. (1)由基本不等式，得 3 200≥2 40x·90y＋20xy＝120 xy＋20xy ＝120 S＋20S， ∴S＋6 S≤160，即( S＋16)( S－10)≤0.
∵ S＋16>0，∴ S－10≤0，从而 S≤100. ∴S 的最大允许值是 100 m2. (2)S 取最大值的条件是 40x＝90y， 又 xy＝100，由此解得 x＝15. ∴正面铁栅的长度应设计为 15 米．
规律方法 (1)用基本不等式证明不等式时,应首先依据不等式 两边式子得结构特点进行恒等变形,使之具备均值不等式得结 构与条件,然后合理地选择均值不等式或其变形形式进行证明 、
(2)本题证明过程中多次用到基本不等式,然后利用同向不等 式得可加性或可乘性得出所证得不等式,要注意不等式性质得 使用条件,对“当且仅当……时取等号”这句话要搞清楚、
题型三 基本不等式得实际应用
【例3】 甲、乙两公司在同一电脑耗材厂以相同价格购进电 脑芯片、甲、乙两公司分别购芯片各两次,两次得芯片价 格不同,甲公司每次购10 000片芯片,乙公司每次购10 000 元芯片、哪家公司平均成本较低？请说明理由、
[思维启迪] 先建立数学模型,再用基本不等式求解、
解 设第一次、第二次购电脑芯片的价格为每片 a 元和 b 元，
误区警示 忽视基本不等式应用条件致误 【示例】 函数 y＝x＋x－1 1(x≠1)的值域是________．
[错解] 由 y＝x＋x－1 1＝x－1＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1 ＋1＝3，得出 y∈[3，＋∞)．
答案 [3,＋∞)
本题易出现得错误有两个方面:一就是不会“凑 ”,不能根据函数解析式得特征适当变形凑出两式之积为定值 ;二就是利用基本不等式求解最值时,忽视因式得取值范围,直 接套用基本不等式求最值、
∴a＋2 b≥ ab.
3．关于用不等式求函数最大、最小值
(1)若 x≥0，y≥0，且 xy＝p(定值)，则当 x＝y 时，x＋y
有最小值 2 p .
(2)若 x≥0，y≥0，且 x＋y＝s(定值)，则当 x＝y 时，xy s2
有最大值 4 .
想一想：利用基本不等式a＋2 b≥ ab求最值的条件是什么？ 提示 “一正、二定、三相等”，即：(1)各项或各因式为正； (2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．
规律方法 在应用基本不等式求最值时,分以下三步进行:(1)首 先瞧式子能否出现与(或积)得定值,若不具备,需对式子变形, 凑出需要得定值; (2)其次,瞧所用得两项就是否同正,若不满足,通过分类解决,同 负时,可提取(－1)变为同正; (3)利用已知条件对取等号得情况进行验证、若满足,则可取 最值,若不满足,则可通过函数单调性或导数解决、
高中数学基本不等式
自学导引
1、定理1(重要不等式):如果a,b∈R,那么a2＋b2≥2ab,当且仅当 时,等号成立、
a＝b
2．定理 2(基本不等式)：如果 a，b 是 正数 ，那么a＋2 b≥ ab，
当且仅当 aa＝＋bb时，等号成立． 我们常把 2 叫做正数 a，b 的算术平均，把 ab 叫 做正数 a，b 的几何平均，所以基本不等式又可叙述为：
答案 (－∞,－1]∪[3,＋∞)
B．a＋b
()
C．2ab
D．2 ab
答案 B
3．下列不等式不成立的是 A．x＋1x≥2 C．x＜0，x＋1x≤－2
答案 A
( )． B．x2＋x12≥2 D．x＞0，x＋1x≥2
4．函数 y＝3x2＋x2＋6 1的最小值是________． 答案 6 2－3
题型一 利用基本不等式证明不等式 【例 1】 已知 a，b，c 为正实数，
求证：(1)a＋bba＋bccc＋a≥8. (2)a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca.
[思维启迪] 解答本题可先对a＋b,b＋c,c＋a分别使用均值不等 式,再把它们相乘或相加得到、
证明 (1)∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab＞0， b＋c≥2 bc＞0， c＋a≥2 ca＞0，
由上面三式相乘可得 (a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8 ab· bc· ca＝8abc. 即a＋bba＋bccc＋a≥8. (2)∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab，b＋c≥2 bc，c＋a≥2 ca， 由上面三式相加可得(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2 ab＋2 bc ＋2 ca. 即 a＋b＋c≥ ab＋ bc＋ ca.
[正解] 当 x＞1 时，y＝x＋x－1 1 ＝x－1＋x－1 1＋1≥2 x－1·x－1 1＋1 ＝3，当且仅当 x－1＝x－1 1；即 x＝2 时等号成立； 当 x＜1 时，－y＝－x＋1－1 x ＝1－x＋1－1 x－1≥2 1－x·1－1 x－1＝1
即 y≤－1，当且仅当 1－x＝1－1 x，即 x＝0 时等号成立． ∴原函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
基础自测
1．下列不等式中，正确的是 A．若 a，b∈R，则a＋2 b≥ ab
B．若 x∈R，则 x2＋2＋x2＋1 2≥2
C．若 x∈R，则 x2＋1＋x2＋1 1≥2
D．若 a，b＞0，则
a＋ 2
b≥
ab
答案 C
( )．
2．设 0＜a＜1,0＜b＜1，且 a≠b，下列各式中值最大的是
A．a2＋b2
【变式 1】 若 a、b∈R＋，且 a＋b＝1，
求证：1＋1a1＋1b≥9. 证明 法一 1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋a1b ＝1＋a2b≥1＋a＋2 b2＝9.
2 法二 1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥9.
Байду номын сангаас
题型二 利用基本不等式求最值 【例 2】 已知 x＞0，y＞0，且1x＋9y＝1，求 x＋y 的最小值．
两个正数的算术平均值不小于(即大于或等于)它们的几
何平均值．
试一试：证明不等式： (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)a＋2 b≥ ab(a＞0，b＞0)．
提示 (1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
(2)∵a＋2 b－
ab＝a＋b－2 2
ab＝
a－ 2
b2≥0(a＞0，b＞0)，
规律方法 应用不等式解决问题时,关键就是如何把等量关系 、不等量关系转化为不等式得问题来解决,也就就是建立数学 模型就是解应用题得关键,最后利用不等式得知识来解、
【变式3】 某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状),高度 恒定,它得后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米造价40 元,两侧砌砖墙,每米造价45元,顶部每平方米造价20元、 试问: (1)仓库底面积S得最大允许值就是多少？ (2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁 栅应设计为多长？