上海市南洋模范中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试卷
2015-2016年上海市南洋模范中学高二(上)期中数学试卷和答案
2015-2016学年上海市南洋模范中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）已知方程组，则其增广矩阵为．2．（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为．3．（4分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则||等于．4．（4分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影为．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为；6．（5分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为．7．（5分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）．8．（5分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x﹣y+1=0切与点P（2，﹣1）的圆的标准方程．9．（5分）设n∈N*，圆C n：（x﹣）2+（y﹣1）2=的面积为S n，则=．S10．（5分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6与圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为．11．（5分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是．12．（5分）如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为．二、选择题（满分19分）13．（3分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件14．（3分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣1﹣，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）15．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．+y2=116．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（）A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣1612017．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）18．（4分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R三、解答题（本大题满分75分）19．（12分）设A（﹣1，0），B（1，4），动点P满足•=4，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x﹣4的对称点，求动点Q的轨迹方程．20．（16分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．21．（13分）（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC 的面积．（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．22．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（﹣，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB 的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．2015-2016学年上海市南洋模范中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）1．（4分）已知方程组，则其增广矩阵为．【解答】解：由题意，方程组可化为∴其增广矩阵为故答案为2．（4分）在三阶行列式中，5的余子式的值为﹣21．【解答】解：由题意，去掉5所在行与列得：故答案为﹣21．3．（4分）已知向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），则||等于．【解答】解：因为向量=（x，y），=（﹣1，2），且+=（1，3），所以=（2，1），所以||=；故答案为：．4．（4分）已知向量，则向量在向量的方向上的投影为．【解答】解：因为向量，而向量在向量的方向上的投影为：，∵又=，∴向量在向量的方向上的投影为：=．故答案为：．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的S值为0；【解答】解：模拟执行程序，可得S=1，i=1S=3，i=2，不满足条件i＞4，S=4，i=3不满足条件i＞4，S=1，i=4不满足条件i＞4，S=0，i=5满足条件i＞4，退出循环，输出S的值为0．故答案为：0．6．（5分）经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量的直线l的点方向式为．【解答】解：∵直线l经过点P（3，2）且以=（1，﹣2）为方向向量，故直线l的点向式方程为：，即，故答案为：7．（5分）已知两条直线的方程分别为l1：x﹣y+1=0和l2：2x﹣y+2=0，则这两条直线的夹角大小为arctan（结果用反三角函数值表示）．【解答】解：这两条直线的斜率分别为1和2，设这两条直线的夹角大小为θ，则由tanθ=||=||=，∴θ=arctan，故答案为：．8．（5分）圆心在直线2x+y=0上，且与直线x﹣y+1=0切与点P（2，﹣1）的圆的标准方程（x﹣1）2+（y+2）2=2．【解答】解：设圆的标准方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，∵圆心在2x+y=0上，∴2a+b=0，（1）∵CM与切线垂直，∴=1，（2），由（1）、（2），得a=1，b=﹣2，又∵M点在圆上，代入圆的方程得r2=2，∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+（y+2）2=2．故答案为：（x﹣1）2+（y+2）2=2．9．（5分）设n∈N*，圆C n：（x﹣）2+（y﹣1）2=的面积为S n，则S n=π．【解答】解：根据圆的标准方程得圆的面积；∴==．故答案为：π．10．（5分）（理）若圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6与圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的两个交点始终为圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的直径两个端点，则动点M（a，b）的轨迹方程为（a+1）2+（b+1）2=1．【解答】解：过圆M：（x﹣a）2+（y﹣b）2=6的圆心坐标M（a，b），圆N：（x+1）2+（y+1）2=5的圆心（﹣1，﹣1），∴圆心距为：，∴；即：（a+1）2+（b+1）2=1．动点M（a，b）的轨迹方程为：（a+1）2+（b+1）2=1．故答案为：：（a+1）2+（b+1）2=111．（5分）已知实数x、y满足|x|≥|y|+1，则的取值范围是[﹣2，2] ．【解答】解：画出满足条件|x|≥|y|+1的平面区域，如图示：，设z=，则y=zx+2，当直线过（﹣1，0）时，z最大为：2，当直线过（1，0）时，z最小为：﹣2，∴﹣2≤z≤2，故答案为：[﹣2，2]．12．（5分）如图，已知点P（2，0），且正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=1，M、N分别为边AB、BC的中点．当正方形ABCD绕圆心O旋转时，的取值范围为[﹣，] ．【解答】解：设M（cosα，sinα），∵⊥，∴•=0，∴N（﹣sinα，cosα），∴=（﹣sinα，cosα），=（cosα，sinα），∴=（cosα﹣2，sinα），∴•=﹣sinα（cosα﹣2）+sinαcosα=sinα，∵sinα∈[﹣1，1]，∴sinα∈[﹣，]，∴•的取值范围是[﹣，]．故答案为：[﹣，]．二、选择题（满分19分）13．（3分）已知直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．D=0是两条直线l1与直线l2平行的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：∵直线l1：3x﹣（k+2）y+6=0与直线l2：kx+（2k﹣3）y+2=0，记．∴3（2k﹣3）+（k+2）k=0k2+8k﹣9=0，k=﹣9或k=1，当k=1时，直线l1：x﹣y+2=0，直线l2：x﹣y+2=0，∴l1l2重合，当k=9时，直线l1：3x+7y+6=0，直线l2：﹣9x﹣21y+2=0，∴l1∥l2，根据充分必要条件的定义得出：D=0是两条直线l1与直线l2平行的必要不充分条件．故选：B．14．（3分）P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，欲使不等式x+y+c≥0恒成立，则实数c的取值范围是（）A．[﹣1﹣，﹣1]B．[﹣1，+∞）C．（﹣1﹣，﹣1）D．（﹣∞，﹣﹣1）【解答】解：设圆上任一点P的坐标为（cosα，sinα+1），即x=cosα，y=sinα+1，则x+y+c=cosα+sinα+1+c=[cosα+sinα]+1+c=sin（）+1+c≥0，即c≥﹣1﹣sin（），又因为﹣1≤sin（）≤1，所以得到：﹣1﹣≤﹣1﹣sin（）≤﹣1+，则c≥﹣1+．故选：B．15．（3分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B．若|BF2|=|F1F2|=2，则该椭圆的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．+y2=1【解答】解：∵|BF2|=|F1F2|=2，∴a=2c=2，∴a=2，c=1，∴b=，∴椭圆的方程为+=1．故选：A．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式，则=（）A．﹣16096 B．﹣16104 C．﹣16112 D．﹣16120【解答】解：∵数列{a n}的通项公式，∴=（a1a4﹣a2a3）+（a2a5﹣a3a4）+（a3a6﹣a4a5）+…+（a2012a2015﹣a2013a2014）==（﹣8）×2012=﹣16096．故选：A．17．（3分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l 的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A．（0，]B．（0，]C．[，1）D．[，1）【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．18．（4分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0＜r≤||≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（）A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，不妨令=（1，0），=（0，1），则=（+）=（，），=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），故P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，∵|OQ|=2，故1＜r＜R＜3，故选：A．三、解答题（本大题满分75分）19．（12分）设A（﹣1，0），B（1，4），动点P满足•=4，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）若点Q是关于直线P关于直线y=x﹣4的对称点，求动点Q的轨迹方程．【解答】解：（1）设P（x，y），∵•=4，∴（﹣1﹣x，﹣y）•（1﹣x，4﹣y）=4，∴（﹣1﹣x）（1﹣x）+（﹣y）（4﹣y）=4，∴x2+y2﹣4y﹣5=0，（2）设Q（a，b），则∵点Q是点P关于直线y=x﹣4的对称点，∴，∴x=b+4，y=a﹣4，∴（b+4）2+（a﹣4）2﹣4（a﹣4）﹣5=0，即（y+4）2+（x﹣4）2﹣4（x﹣4）﹣5=0为Q的轨迹方程．20．（16分）已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求圆C1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M的轨迹C的方程；（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵圆C1：x2+y2﹣6x+5=0，整理，得其标准方程为：（x﹣3）2+y2=4，∴圆C1的圆心坐标为（3，0）；（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x1，y1）、B（x2，y2），联立方程组，消去y可得：（1+k2）x2﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k2）×5＞0，可得k2＜由韦达定理，可得x1+x2=，∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．理由如下：联立方程组，消去y，可得：（1+k2）x2﹣（3+8k2）x+16k2=0，令△=（3+8k2）2﹣4（1+k2）•16k2=0，解得k=±，又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为[﹣，]∪{﹣，}．21．（13分）（1）已知△ABC的顶点A（1，1），B（3，2），C（2，4），求△ABC 的面积．（2）若△ABC的顶点A在直线y=x上运动，顶点B（6，8），顶点C在线段y=2x （3≤x≤5）上运动，且A、C、B三点的横坐标成等差数列，问△ABC的面积是否存在最大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由．【解答】解：（1）由两点间的距离公式可得，AB=，BC=，AC=∴AB2+BC2=AC2即AB⊥BC=（2）由题意可设A（a，a），C（b，2b）（3≤b≤5）A、C、B三点的横坐标成等差数列可得2b=a+6∴b=且由3≤b≤5可得0≤a≤4即C（）设C，A到直线OB：y=的距离分别为h1，h2，点C到直线y=x的距离为h3则，S△ABC=S△OAB+S△OBC﹣S△OAC====的面积最大值当a=1时，S△ABC22．（16分）已知F1（﹣2，0），F2（2，0）分别是椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，且椭圆C过点（﹣，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l过椭圆C的右焦点F2且斜率为1与椭圆C交于A，B两点，求弦AB 的长；（3）以第（2）题中的AB为边作一个等边三角形ABP，求点P的坐标．【解答】解：（1）由已知可得，解得a2=6，b2=2．∴椭圆C的方程的方程为；（2）由（1）知，F2（2，0），则直线l的方程为y=x﹣2，联立，得2x2﹣6x+3=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴|AB|==；（3）设AB的中点为M（x0，y0）．∵x1+x2=3=2x0，∴，∵y0=x0﹣2，∴．线段AB的中垂线l1斜率为﹣1，∴l1：y=﹣x+1，设P（t，1﹣t），∴|MP|==|，当△ABP为正三角形时，|MP|=|AB|，得=，解得t=0或3．∴P（0，1），或P（3，﹣2）．23．（18分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n+a n=4，n∈N*（1）求数列{a n}的通项公式；（2）已知c n=2n+3（n∈N*），记d n=c n+log C a n（C＞0，C≠1），是否存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，若存在，求出C的值；若不存在，请说明理由．（3）若数列{b n}，对于任意的正整数n，均有成立，求证：数列{b n}是等差数列．【解答】解：（1）∵S n+a n=4，n∈N*．∴当n≥2时，S n﹣1+a n﹣1=4，=0，即a n=a n﹣1．∴a n+a n﹣a n﹣1当n=1时，2a1=4，解得a1=2．∴数列{a n}是等比数列，a n=2•（）n﹣1=22﹣n．（2）d n=c n+log C a n=2n+3+log C22﹣n=2n+3+（2﹣n）log C2=（2﹣log C2）n+3+2log C2，假设存在这样的常数C，使得数列{d n}是常数列，则2﹣log C2=0，解得C=．∴存在这样的常数C=，使得数列{d n}是常数列，d n=3+2=7．（3）证明：∵对于任意的正整数n，均有b1a n+b2a n﹣1+b3a n﹣2+…+b n a1=（）n﹣成立（*），∴b1a n+1+b2a n+…+b n a2+b n+1a1=（）n+1﹣．①（*）两边同乘以可得：b1a n+1+b2a n+…+b n a2=（）n+1﹣．②．a1=﹣=，①﹣②可得b n+1=，∴b n+1∴b n=，（n≥3）．又2b1=﹣，解得b1=﹣．b1a2+b2a1=﹣，∴﹣×1+b2×2=﹣，解得b2=﹣．当n=1，2时，b n=，也适合．∴b n=，（n∈N*）是等差数列．。
【全国百强校】上海市上海师范大学附属中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题解析(解析版)
第Ⅰ卷（共60分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1.直线230x y --= 关于x 轴对称的直线方程为________． 【答案】230x y +-=考点：直线关于点，直线对称的直线方程.【方法点睛】直线关于x 轴对称直线方程求法有多种（1）可利用函数的观点，直线)(x f y =关于x 对称的直线方程为)(x f y -=；（2）可设关于x 轴对称的直线的点为),(y x ，其关于x 轴对称的点),(y x -在原直线上；（3）可在原直线上任找两点，找出其与x 轴对称点的坐标，利用两点式写出直线方程. 2.向量(3,4)a =在向量(1,0)b =方向上的投影为____ __. 【答案】3 【解析】试题分析：由数量积的定义||||=⋅，所以.3010413||||22=+⨯+⨯==b考点：向量的数量积.3.已知向量(1,2),(,2)a b x =-=，若a b ⊥，则b ＝________．【答案】【解析】试题分析：因为a b ⊥，所以0=⋅，所以04=-x 解得4=x ， b ＝522422=+考点：向量模的运算.4.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -=_______．【答案】2考点：二元线性方程组的增广矩阵的含义.5.若2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y += ．【答案】2 【解析】试题分析：因为2021310x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以⎩⎨⎧=+--=10322y x x 解得⎩⎨⎧=-=31y x ，所以x y +=2考点：矩阵的含义.6.若a 、b 、c 是两两不等的三个实数，则经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为 __ ____．(用弧度制表示) 【答案】4π 【解析】试题分析：设经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的倾斜角为α,由题意经过(,)P b b c +、(,)Q a c a +两点的直线的斜率为1=---+=a b a c c b k ，即角α正切值为1， πα<≤0 ，4πα=∴考点：直线的倾斜角及斜率. 7. 若行列式212410139x x =-，则=x．【答案】2或3- 【解析】试题分析：由题意得0|311|4|911|2|93|22=-⨯+⨯+-xx x x ，所以062=+-x x ，解得=x 2或3-.考点：三阶行列式的应用.8.直线Ax ＋3y ＋C ＝0与直线2x －3y ＋4＝0的交点在y 轴上，则C 的值为________. 【答案】-4 【解析】试题分析：直线2x －3y ＋4＝0与y 轴的交点是)34,0(，由题意得点)34,0(也在直线Ax ＋3y ＋C ＝0上，所以0343=+⨯c ，解得4-=c . 考点：两直线的交点.9.已知平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，AM mAB =，AN nAD = (0m n ⋅≠), 若//MN BE ，则nm=______________. 【答案】2 【解析】试题分析：由题意()(n m -=+==+-=+=λλλ,所以,21,λλ==m n 所以n m =2考点：向量的加法运算10.已知直线022=-+y x 和01=+-y mx 的夹角为4π，则m 的值为 .【答案】31-或3考点：两直线的夹角.11.下面结论中，正确命题的个数为_____________． ①当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2. ②如果两条直线l 1与l 2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.③已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 1、B 1、C 1、A 2、B 2、C 2为常数)，若直线l 1⊥l 2，则A 1A 2＋B 1B 2＝0.④点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b.⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.⑥若点A ，B 关于直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0)对称，则直线AB 的斜率等于1k-，且线段AB 的中点在直线l 上.【答案】3考点：命题的真假判断.12.直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是_____________．【答案】50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：直线023cos =++y x θ的斜率为3cos θ-，所以333cos 33≤-≤-θ，直线023cos =++y x θ的倾斜角的取值范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：直线的倾斜角及斜率.13.如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC =AO BC ⋅=________.【答案】52考点：向量在几何中的应用.【方法点睛】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积.运用向量的几何运算求BC AO ⋅，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积几何意义计算A A ⋅-⋅，体现了数学几何意义的运用，.是思维能力与计算能力的综合体现.14.设A 是平面向量的集合，a 是定向量，对A x ∈ ，定义a x a x x f⋅⋅-=)(2)(．现给出如下四个向量：①)0,0(=a ，②⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=42,42a ，③⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22,22a ，④⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23,21a ． 那么对于任意x 、A y ∈ ，使y x y f x f ⋅=⋅)()(恒成立的向量a的序号是_______（写出满足条件的所有 向量a的序号）． 【答案】①③④ 【解析】考点：向量的数量积的运算律.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B 铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分15.“2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的【 】 （A ）充要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】试题分析：若“a=2”成立，则两直线2x+2y-1=0与直线2x+2y=-2平行；反之，当“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行，可得2±=a ，所以““2a =”是“直线210x ay +-=与直线220ax y +-=平行”的充分不必要条件. 考点：两直线平行的条件和性质.【方法点睛】判定p 是q 的什么条件，需要从两方面去理解：一是由条件P 能否推得q ；二是由条件q 能否推得p .对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可以利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；16.已知关于x y 、的二元一次线性方程组的增广矩阵为111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，记121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是【 】(A) 0a b c ++= (B) a b c 、、两两平行 (C) a b // (D) a b c 、、方向都相同【答案】B 【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例121212(,),(,),(,)a a a b b b c c c ===，所以a b c 、、两两平行，答案为B.考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义.17.如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是【 】（A ）①是循环变量初始化，循环就要开始 （B ）②为循环体（C ）③是判断是否继续循环的终止条件（D ）输出的S 值为2，4，6，8，10，12，14，16，18. 【答案】D考点：程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断 .【名师点睛】本题是已知程序框图问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，输出结果，主要考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义.识别运行算法流程图和完善流程图是高考的热点．解答这一类问题，第一，要明确流程图的顺序结构、条件结构和循环结构；第二，要识别运行流程图，理解框图所解决的实际问题；第三，按照题目的要求完成解答．对流程图的考查常与数列和函数等知识相结合，进一步强化框图问题的实际背景．18.如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为6321,,,,A A A A ，则j i A A A A ⋅21，（}6,,3,2,1{, ∈j i ）的值组成的集合为【 】)(A {}21012、、、、-- )(B ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---212102112、、、、、、)(C ⎭⎬⎫⎩⎨⎧---23121021123、、、、、、)(D ⎭⎬⎫⎩⎨⎧----2231210211232、、、、、、、、【答案】D考点：相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点.三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19.（本题满分12分）中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）． 三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明． 【答案】见解析.考点：行列式知识的应用.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知ABC ∆的顶点(1,3)A ，AB 边上的中线所在的直线方程是1y =，AC 边上的高所在的直线方程是210x y -+=．求：（1）AC 边所在的直线方程； （2）AB 边所在的直线方程．【答案】(1)2x+y －5=0;(2)20x y -+=.考点：直线方程的求法.【方法点睛】在求直线方程时，应先选择恰当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直的直线或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况21.在直角坐标系中，已知两点),(11y x A ，),(22y x B ；1x ，2x 是一元二次方程042222=-+-a ax x 两个不等实根，且A 、B 两点都在直线a x y +-=上． （1）求OA OB ；（2）a 为何值时与夹角为3π． 【答案】(1) 42-a ;(2) 6± 【解析】考点：一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算.【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第,3小题满分6分. 已知O 为ABC ∆的外心，以线段OB OA 、为邻边作平行四边形，第四个顶点为D ，再以OD OC 、为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H ．(1) 若,,,OA a OB b OC c OH h ====，试用a 、b 、c 表示h ；(2) 证明：AH BC ⊥；(3) 若ABC ∆的60A ∠=，45B ∠=，外接圆的半径为R ，用R 表示h ．【答案】(1) h a b c =++;(2)证明见解析；（3）(2h ==-考点：向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义. 【方法点睛】（1)当向量与是坐标形式给出时，若证明⊥，则只需证明02121=+=⋅y y x x b a ；（2）当,是非坐标形式时，要把,用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明0=⋅；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.23.（本题满分18分）本题共有3个小题，每小题满分6分.如图，射线OA 、OB 所在的直线的方向向量分别为),1(1k d =、),1(2k d -=（0>k ），点P 在AOB∠内，OA PM ⊥于M ，OB PN ⊥于N .（1）若1=k ，⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23P ，求||OM 的值； （2）若()1,2P ，△OMP 的面积为56，求k 的值； （3）已知k 为常数，M 、N 的中点为T ，且k S MON 1Δ=，当P 变化时，求||OT 的取值范围． 【答案】x（3）设),(y x T ，),(ka a M 、),(kb b N -（0>a ，0>b ，0>k ）， 根据题意可知：21||k a OM +=，21||k b ON +=其中212sin kk MON +=∠ k MON ON OM S MON 1sin ||||21Δ=∠⋅=，即21kab =……（*） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=2)(2b a k y b a x ， =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222)(2b a k b a OT ()()()222212121k ab k b a -+++考点：三角形面积公式与基本不等式 .：。
上海师大附中高二数学上学期期中试卷(含解析)
2015-2016学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为__________．2．向量在向量方向上的投影为__________．3．已知向量，若，则=__________．4．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=__________．5．若=，则x+y=__________．6．a、b、c是两两不等的实数，则经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点的直线的倾斜角为__________．7．若行列式=0，则x=__________．8．直线Ax+3y+C=0与直线2x﹣3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为__________．9．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=__________．10．已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为__________．11．下面结论中，正确命题的个数为__________．①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2．②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1．③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为．⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上．12．直线的倾斜角α的取值范围是__________．13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=__________．14．设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是__________（写出满足条件的所有向量的序号）．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件16．已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同17．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，1818．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A 2 1 0 10小组B 1 3 1 10小组C 0 5 2 30为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．20．（14分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．21．（14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上．（1）求；（2）a为何值时与夹角为．22．（16分）已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，试用表示；（2）证明：；（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．23．（18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．2015-2016学年上海师大附中高二（上）期中数学试卷一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程为2x+y﹣3=0．【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】计算题；转化思想；构造法；直线与圆．【分析】欲求直线2x﹣y﹣3=0关于x轴对称的直线方程，只须将原直线方程中的y用﹣y 替换得到的新方程即为所求．【解答】解：∵直线y=f（x）关于x对称的直线方程为y=﹣f（x），∴直线y=2x﹣3关于x对称的直线方程为：y=﹣2x+3，即2x+y﹣3=0，故答案为：2x+y﹣3=0．【点评】本题考查直线关于点，直线对称的直线方程问题，需要熟练掌握斜率的变化规律，截距的变化规律．2．向量在向量方向上的投影为3．【考点】平面向量数量积的含义与物理意义．【专题】计算题．【分析】先求向量，的夹角，再求向量在向量方向上的投影；【解答】解：∵向量在向量，∴cos（，）===，∴向量在向量方向上的投影为：cos（，）=5×=3，故答案为3；【点评】此题主要考查平面向量数量积的定义及其性质，注意向量积公式，是一道基础题；3．已知向量，若，则=．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．【专题】平面向量及应用．【分析】利用斜率的垂直求出x，得到向量，然后求模即可．【解答】解：向量，若，∴，∴x=4，==．故答案为：．【点评】本题考查斜率的数量积的应用，向量的模的求法，考查计算能力．4．已知一个关于x，y的二元一次方程组的增广矩阵为，则x﹣y=2．【考点】二阶矩阵．【专题】矩阵和变换．【分析】由增广矩阵写出原二元线性方程组，再根据方程求解x，y即可．【解答】解：由二元线性方程组的增广矩阵可得到二元线性方程组的表达式，解得 x=4，y=2，故答案为：2．【点评】本题考查增广矩阵，解答的关键是二元线性方程组的增广矩阵的涵义，属于基础题．5．若=，则x+y=2．【考点】矩阵与矩阵的乘法的意义．【专题】矩阵和变换．【分析】根据矩阵的乘法运算计算即可．【解答】解：∵=，∴，解得，故答案为：2．【点评】本题考查矩阵的乘法运算，矩阵的相等，注意解题方法的积累，属于基础题．6．a、b、c是两两不等的实数，则经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点的直线的倾斜角为．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；对应思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点，能求出直线AB的斜率，从而能求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵直线经过P（b，b+c）、C（a，c+a）两点，∴直线AB的斜率k==1，∴直线AB的倾斜角α=；故答案为：．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．7．若行列式=0，则x=2或﹣3．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先将三阶行列式化为二阶行列式，即可求得结论【解答】解：由题意，﹣2×+4×=0∴x2+x﹣6=0∴x=2或﹣3故答案为：2或﹣3【点评】本题考查三阶行列式，考查学生的计算能力，属于基础题．8．直线Ax+3y+C=0与直线2x﹣3y+4=0的交点在y轴上，则C的值为﹣4．【考点】两条直线的交点坐标．【专题】计算题；函数思想；直线与圆．【分析】直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点坐标，代入直线Ax+3y+C=0，求出可求C．【解答】解：直线2x﹣3y+4=0与y轴的交点（0，），代入直线Ax+3y+C=0，可得4+C=0，解得C=﹣4．故答案为：﹣4．【点评】本题考查直线的交点坐标的求法，考查计算能力．9．已知平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，=m，=n（m•n≠0），若∥，则=2．【考点】平行向量与共线向量．【专题】平面向量及应用．【分析】由平面向量基本定理用和表示和，由向量的共线可得=λ，代入比较系数可得．【解答】解：由题意可得==n﹣m，====，∵∥，∴∃λ∈R，使=λ，即n﹣m=λ（），比较系数可得n=λ，﹣m=λ，解得=2故答案为：2【点评】本题考查向量的平行于共线，涉及平面向量基本定理，属基础题．10．已知直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，则m的值为或3．【考点】两直线的夹角与到角问题．【专题】直线与圆．【分析】由条件利用两条直线的夹角公式，求得m的值．【解答】解：由直线2x+y﹣2=0和mx﹣y+1=0的夹角为，它们的斜率分别为﹣2、m，可得tan=1=||，求得m=或3，故答案为：或3．【点评】本题主要考查两条直线的夹角公式的应用，属于基础题．11．下面结论中，正确命题的个数为3．①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2．②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1．③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0．④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为．⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】综合题；探究型；运动思想；直线与圆；简易逻辑．【分析】举例说明①②错误；由两直线垂直与系数的关系说明③正确；由点到直线距离公式说明④错误；由点到直线的垂直距离最小说明⑤正确，由点关于直线的对称点的求法说明⑥正确．【解答】解：①当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1=k2⇒l1∥l2，错误，l1与l2．也可能重合；②如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于﹣1，错误，还有是一条直线的斜率为0，而另一条直线的斜率不存在；③已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0（A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数），若直线l1⊥l2，则A1A2+B1B2=0，正确；④点P（x0，y0）到直线y=kx+b的距离为，错误，应化直线方程为一般式，由点到直线的距离公式可得距离为；⑤直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离，正确；⑥若点A，B关于直线l：y=kx+b（k≠0）对称，则直线AB的斜率等于﹣，且线段AB的中点在直线l上，正确．∴以上正确的命题是③⑤⑥．故答案为：3．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了两直线的位置关系，考查了点到直线距离公式，训练了点关于直线的对称点的求法，是基础题．12．直线的倾斜角α的取值范围是[0，]∪[，π）．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】将直线化成斜截式得斜率k=﹣cosα．设直线的倾斜角为θ，由cosα∈[﹣1，1]得﹣≤tanθ≤，结合直线倾斜角的范围和正切函数的单调性加以讨论，可得本题答案．【解答】解：将直线化成斜截式，得y=﹣xcosα﹣．∴直线的斜率k=﹣cosα，设直线的倾斜角为θ，可得tanθ=﹣cosα，由cosα∈[﹣1，1]，得﹣≤tanθ≤当0≤tanθ≤时，0≤θ≤；当﹣≤tanθ＜0时，≤θ＜π．综上所述，直线的倾斜角θ∈[0，]∪[，π）．故答案为：[0，]∪[，π）【点评】本题给出直线的方程，求直线倾斜角的取值范围．着重考查了正弦函数的值域、直线的斜率与倾斜角等知识，属于中档题．13．已知△ABC的外接圆的圆心为O，AB=2，AC=3，BC=，则=﹣．【考点】向量在几何中的应用．【专题】计算题．【分析】根据，将向量的数量积转化为：=，如图，再根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：由于，∴==如图，根据向量数量积的几何意义得：=﹣3|AE|+2|AF|=﹣×3+2×1=﹣故答案为：﹣．【点评】本小题主要考查向量在几何中的应用等基础知识，解答关键是利用向量数量积的几何意义．属于基础题．14．设A是平面向量的集合，是定向量，对属于集合A，定义．现给出如下四个向量：①，②，③，④．那么对于任意、，使恒成立的向量的序号是①③④（写出满足条件的所有向量的序号）．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；阅读型．【分析】由于①是零向量代入f（x）检验是否满足要求即可；对于一般情况，利用向量的数量积的运算律求出f（x）f（y）；要满足条件得到，再判断②③④哪个满足即可．【解答】解：对于①当时，满足当时，=要满足需∴对于③④故答案为①③④【点评】本题考查向量的数量积的运算律：满足交换量不满足结合律但当向量与实数相乘时满足结合律．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．必须用2B铅笔将正确结论的代号涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．15．“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的( )A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．【解答】解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，故选B．【点评】本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．16．已知关于x，y的二元一次线性方程组的增广矩阵为，记，则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( )A．B．两两平行C．D．方向都相同【考点】二元一次方程组的矩阵形式；充要条件．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例，由此即可得到结论．【解答】解：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例∵，∴两两平行故选B．【点评】本题考查二元线性方程组的增广矩阵的涵义，考查向量知识，属于基础题．17．如图所示是一个循环结构的算法，下列说法不正确的是( )A．①是循环变量初始化，循环就要开始B．②为循环体C．③是判断是否继续循环的终止条件D．输出的S值为2，4，6，8，10，12，14，16，18【考点】循环结构；程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s的值，结合各部分的功能即可得出答案．【解答】解：这个程序框图中，①是循环变量初始化，循环将要开始，正确；②为不满足条件n＞10时执行的语句，是循环体，故B正确；③是判断是否继续循环的终止条件，正确；④满足执行程序框图，可得i=1s=2，输出2，i=2s=4，输出4，i=3s=6，输出6，i=4s=8，输出8，i=5s=10，输出10，i=6s=12，输出12，i=7s=14，输出14，i=8s=16，输出16，i=9s=18，输出18，i=10s=20，输出20，i=11满足条件i＞10，退出循环．故D错．故选：D．【点评】本题考查的知识点是程序框图，循环结构，循环语句，程序功能的判断，是对算法知识点的综合考查，熟练掌握算法的基础知识是解答本题的关键．18．如图，由四个边长为1的等边三角形拼成一个边长为2的等边三角形，各项点依次为，A1，A2，A3，…A n则的值组成的集合为( )A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】通过观察图形知道向量分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下的值，从而求得答案．【解答】解：对向量分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形A1A2A4，它其它小三角形边上的向量相等；大三角形A1A3A6边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：，，，，，，，，，，，，，，，；∴所有值组成的集合为{1，﹣1，}．故选：D．【点评】考查相等向量，相反向量的概念，向量数量积的计算公式，等边三角形中线的特点．三.解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤，答题务必写在答题纸上规定位置．19．中秋节前几天，小毛所在的班级筹划组织一次中秋班会，热心的小毛受班级同学委托，去一家小礼品店为班级的三个小组分别采购三种小礼物：中国结、记事本和笔袋（每种礼物的品种和单价都相同）．三个小组给他的采购计划各不相同，各种礼物的采购数量及价格如下表所示：中国结（个）记事本（本）笔袋（个）合计（元）小组A 2 1 0 10小组B 1 3 1 10小组C 0 5 2 30为了结账，小毛特意计算了各小组的采购总价（见上表合计栏），可是粗心的小毛却不慎抄错了其中一个数字．第二天，当他按照自己的记录去向各小组报销的时候，有同学很快发现其中有错．发现错误的同学并不知道三种小礼物的单价，那么他是如何作出判断的呢？请你用所学的行列式的知识对此加以说明．【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设列出方程组，由系数行列式D=0，得方程组有无穷多组解或无解，再由D x，D y，D z均不为0，得到该方程组无解．【解答】（本题满分12分）解：设中国结每个x元，记事本每本y元，笔袋每个z元，由题设有，∵，∴方程组有无穷多组解或无解，又，，，∴该方程组无解．【点评】本题考查行列式知识的应用，是基础题，解题时要注意系数行列式在解线性方程组时的合理运用．20．（14分）已知△ABC的顶点A（1，3），AB边上的中线所在直线的方程是y=1，AC边上的高所在直线的方程是x﹣2y+1=0．求（1）AC边所在直线的方程；（2）AB边所在直线的方程．【考点】直线的一般式方程．【专题】计算题．【分析】（1）根据AC边的高所在的直线方程，设出AC所在的直线方程，再代入点A的坐标，求参数即可（2）由中点坐标公式表示出点B的坐标，再根据点B在AC的高线上，可求出中点坐标，从而可确定直线AB的斜率，又由点A的坐标，即可表示出直线的方程【解答】解：（1）由题意，直线x﹣2y+1=0的一个法向量（1，﹣2）是AC边所在直线的一个方向向量∴可设AC所在的直线方程为：2x+y+c=0又点A的坐标为（1，3）∴2×1+3+c=0∴c=﹣5∴AC所在直线方程为2x+y﹣5=0．（2）y=1是AB中线所在直线方程设AB中点P（x P，1），B（x B，y B）∴∴点B坐标为（2x P﹣1，﹣1），且点B满足方程x﹣2y+1=0∴（2x P﹣1）﹣2•（﹣1）+1=0得x P=﹣1，∴P（﹣1，1）∴AB所在的直线的斜率为：∴AB边所在直线方程为y﹣3=1（x﹣1），即x﹣y+2=0【点评】本题考查直线方程的求法，要熟练应用直线垂直的关系和中点坐标公式．属简单题21．（14分）在直角坐标系中，已知两点A（x1，y1），B（x2，y2）；x1，x2是一元二次方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，且A、B两点都在直线y=﹣x+a上．（1）求；（2）a为何值时与夹角为．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；方程思想；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上求得；（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线y=﹣x+a上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出，与（1）中的结合得到关于a的方程，求解方程得答案．【解答】解：（1）∵x1、x2是方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0两个不等实根，∴△=4a2﹣8（a2﹣4）＞0，解得：，且x1+x2=a，，又∵A、B两点都在直线y=﹣x+a上，∴y1y2=（﹣x1+a）（﹣x2+a）==，∴=；（2）求解方程2x2﹣2ax+a2﹣4=0，得，，∴，同理y2=x1，∴==．当与夹角为时，，∴a2﹣4=2，解得：．∴．【点评】本题考查一元二次方程的根与系数关系，考查了平面向量的数量积运算，训练了灵活变形能力，是中档题．22．（16分）已知O为△ABC的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC、OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，试用表示；（2）证明：；（3）若△ABC的∠A=60°，∠B=45°，外接圆的半径为R，用R表示．【考点】平面向量的综合题．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量，只要证明，利用O是三角形的外心，可得，然后用向量表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径【解答】解：（1）由平行四边形法则可得：即（2）∵O是△ABC的外心，∴||=||=||，即||=||=||，而，∴．（）=|2﹣||2=0，∴（3）在△ABC中，O是外心A=60°，B=45°∴∠BOC=120°，∠AOC=90°于是∠AOB=150°||2=（=+2°+2=（）R2∴【点评】本题主要考查向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义，综合运用向量的知识，解决问题的关键是熟练掌握向量的基本知识．23．（18分）如图，射线OA，OB所在的直线的方向向量分别为，，点P在∠AOB内，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N；（1）若k=1，，求|OM|的值；（2）若P（2，1），△OMP的面积为，求k的值；（3）已知k为常数，M，N的中点为T，且，当P变化时，求|OT|的取值范围．【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；直线与圆．【分析】（1）求出|OP|，点P到直线的距离，利用勾股定理，求|OM|的值；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，求出P（2，1）到直线的距离，利用勾股定理求出|OM|，利用△OMP的面积为，求k的值；（3）设直线OA的倾斜角为α，求出|OM|，|ON|，利用S△MON=，可得P变化时，动点T轨迹方程，求出|OT|，即可求|OT|的取值范围．【解答】解：（1）∵，∴|OP|=，∵OA的方程为y=x，即x﹣y=0，点P到直线的距离为=，∴|OM|==；（2）直线OA的方程为kx﹣y=0，P（2，1）到直线的距离为d=，∴|OM|=，∴△OMP的面积为××=，∴；（3）设M（x1，kx1），N（x2，﹣kx2），T（x，y），x1＞0，x2＞0，k＞0，设直线OA的倾斜角为α，则，根据题意得，代入化简得动点T轨迹方程为．∴，当且仅当时，|OT|取得最小值．∴|OT|的取值范围是．【点评】本题考查三角形面积的计算，考查轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
6.关于x，y的二元线性方程组nx−3y=2的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为22tanθ−sinθ=0有两个不等实根a和b，那么过点A a,a2，B b,b2的直线与圆2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.已知A4,6，B−3,−1，C5,−5三点，则经过点A且与BC平行的直线l的点斜式方程为．2.已知a=1，b=2，且λa+b⊥2a−λb，a与b的夹角为60∘，则实数λ=3.直线x+3y+2=0与直线x+1=0的夹角为．y≥0,4.设变量x，y满足约束条件x−y+1≥0,则z=2x+y的最大值为．x+y−3≤0,5.圆心为1,2且与直线5x−12y−7=0相切的圆的方程为．．2x+my=5,103011则m=．n7.对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为．，2x74x8.在行列式4−34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f x，则y=1+f x的零65−1点是．9.已知定点A0,−5，P是圆x−22+y+32=2上的动点，则当PA取到最大值时，P点的坐标为．10.已知P是△ABC内的一点，且满足PA+3PB+5PC=0，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1:S2:S3=．11.若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则实数b的取值范围是．12.已知a>1，x≥1，y≥1，且loga x+logay=logaa4x4+logaa4y4，则logaxy的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）x y113.已知直线方程为351=0，则下列各点不在这条直线上的是 −231A.−2,3B.4,7C.3,5D.0.5,414.直线2x+3y−6=0关于点1,−1对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 C.2x+3y+8=0B.3x−2y+2=0 D.3x−2y−12=015.若O为△ABC的内心，且满足OB−OC⋅OB+OC−2OA=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对16.已知方程x2+x1x2+y2=1的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.随θ值的变化而变化三、解答题（共5小题；共65分）mx+y=−1,17.利用行列式解关于x，y的二元一次方程组3mx−my=2m+3.18.设两个向量a，b满足a=2，b=1，a，b的夹角为60∘，若向量2t a+7b与向量a+t b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．19.已知直线l过点1,3，且与x轴、y轴都交于正半轴，求：（1）直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值及此时直线l的方程；（2）直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．20.已知A0,2是定圆C:x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为−3的直线与曲线E交于M，N两点，求线段MN的长度．421.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，r（r>0）为半径的定圆C，与过原点且斜率为k1（k≠0）的动直线交于P，Q两点，在x轴正半轴上有一个定点R m,0，P，Q，R三点构成三角形，求：（1△）PQR的面积S1的表达式，并求出S1的取值范围；（2△）PQR的外接圆C2的面积S2的表达式，并求出S2的取值范围．3− 2 2【解析】关于 x ，y 的二元线性方程组 nx − 3y = 2 的增广矩阵经过变换可化为：2x + my = 5, x = 3, 6 + m = 5,答案第一部分1. y − 6 = − 1 x − 42【解析】k BC = −1+5 = − 1，利用点斜式可得：y − 6 = − 1 x − 4 ．2. −1 ± 3【解析】因为 λa + b ⊥ 2a − λb ， 所以 λa + b ⋅ 2a − λb = 0，所以：2λa 2 + 2 − λ2 a ⋅ b − λb 2 = 0，所以 2λ × 1 + 2 − λ2 × 1 × 2 × 1 − λ × 22 = 0， 2所以 λ2 + 2λ − 2 = 0，解得 λ = −1 ± 3． 3. 60∘【解析】因为直线 x + 3y + 2 = 0 的斜率为 − 13= − 3 ，故它的倾斜角为 150∘，3因为直线 x + 1 = 0 的斜率不存在，故它的倾斜角为 90∘，故直线 x + 3y + 2 = 0 与直线 x + 1 = 0 的夹角为 150∘ − 90∘ = 60∘．4. 6y ≥ 0,【解析】由约束条件 x − y + 1 ≥ 0, 得如图所示的三角形区域，x + y − 3 ≤ 0三个顶点坐标为 A 1,2 ，B −1,0 ，C 3,0 ，由 z = 2x + y 可得 y = −2x + z ，则 z 表示直线 y = −2x + z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大，直线 z = 2x + y 过点 C 3,0 时，z 取得最大值为 6． 5. x − 1 2 + y − 2 2 =4【解析】所求圆的半径就是圆心 1,2 到直线 5x − 12y − 7 = 0 的距离：d = 所以圆的方程： x − 1 2 + y − 2 2 = 4． 5×1−12×2−7 52+ −12 2= 2，6. − 352x + my = 5, 1 0 3 0 1 1m = −1,故 y = 1 是方程组 nx − 3y = 2 的解，即 3n − 3 = 2, 解得： n = 5 ,3，A 32 = − 2 93所以 m = − 3．n57. 1,1 或 1 , 75 5【解析】x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 6m − 2 = 0，所以 x 2 + y 2 − 2 = 2x + 4y − 6 m ，所以x 2 + y 2 − 2 = 0,2x + 4y − 6 = 0,解得 x = 1，y = 1 或 x = 1，y = 7．55所以定点的坐标是 1,1 或1 , 7 5 5．8. −1【解析】第 3 行第 2 列的元素的代数余子式x 4x4 4= −4 × 2x + 4 × 4x = −2x +2 1 − 2x . 所以 f x = −2x +2 1 − 2x ，y = 1 + f x= 1 − 2x +2 1 − 2x .令 y = 0，即 2x +2 1 − 2x = 1，解得：x = −1．9. 3, −2【解析】由题意，当 PA 取到最大值时，直线 PA 过圆心 2, −3 ，则直线 PA 的斜率为 1，直线方程为 y = x − 5，与圆的方程联立，可得 x − 2 2 + x − 2 2 = 2，所以 x = 3 或 1，根据题意，当 PA 取到最大值时，P 点的坐标为 3, −2 ．10. 5: 1: 3【解析】记 △ ABC 的面积为 S ，因为 PA + 3PB + 5PC = 0，所以 − 1 PA = 3 PB + 5 PC = PD ，888则 D 在 BC 上，且 BD : CD = 5: 3，故 PD : AD = 1: 9，即当以 BC 为底时，△ BCP 的高是 △ ABC 的 1，9所以 S 2 = 1 S ，9同理：S 1 = 5 S ，S 3 = 1 S ， 所以 S 1: S 2: S 3 = 5: 1: 3． 11. 1 − 2 2, 3【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线 y = 3 − 4x − x 2（注：该曲线是以点 C 2,3 为圆心、 2 为半径的圆不在直线 y = 3 上方的部分）与直线 y = x 的图象如图所示，2=2，b=1−22．2222平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点0,3的过程中的任何位置，相应的直线与曲线y=3−4x−x2都有公共点；注意到与y=x平行且过点0,3的直线的方程是y=x+3；当直线y=x+b与以点C2,3为圆心、2为半径的圆（圆不在直线y=3上方的部分）相切时，有2−3+b结合图形可知，b的取值范围是1−22,3．12.23+2,4+42【解析】由题意：logax+logay=logaa4x4+logaa4y4，化简可得：logax−4logax+logay−4logay=8，令m=log a x，n=log a y，则有：n2+m2−4m−4n=8，且log a xy=n+m．因为a>1，x≥1，y≥1，所以n≥0，m≥0，因为n2+m2−4m−4n=8⇒n−22+m−22=42表示为2,2为圆心，半径为4的圆．令m+n=Z Z≥0，则n+m−Z=0．数形结合法：如图：当直线m+n−Z=0过B点或A点时最小．当直线m+n−Z=0过C点时最大．可知：A23+2,0，故得Z min=23+2，即为log a xymin=23+2．当过C点时，直线与圆相切，d=r=4=4−Z2，解得：Zmax=4+42，即为logaxymax=4+42．所以：logaxy的取值范围是23+2,4+42．第二部分22+32 ．化简得： c − 1 = 7．即 c = −6 或 c = 8． sin θ = 0的两个不等的实根，得到 a + b = −tan θ −tan θ，sin θ ，所以直线 l AB : y = b + a x − a +b + a +b ．x y 113. B 【解析】 3 5 1 = 5x − 2y + 9 + 10 − 3y − 3x = 0，整理得：2x − 5y + 19 = 0．−2 3 1由当 x = −2，y = 3 时，2x − 5y + 19 = −2 × 2 − 5 × 3 + 19 = 0，故 −2,3 在直线上，当 x = 4，y = 7 时，2x − 5y + 19 = 8 − 35 + 19 = 8 ≠ 0， 所以 4,7 不在直线上，当 x = 3，y = 5 时，2x − 5y + 19 = 6 − 25 + 19 = 0， 所以 3,5 在直线上，当 x = 0.5，y = 4 时，2x − 5y + 19 = 1 − 20 + 19 = 0， 所以 0.5,4 在直线上． 14. C 【解析】解法一：因为直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程 l ʹ 为 2x + 3y + c = 0， 又因为点 1, −1 到两直线距离相等．所以 2−3+c 22+32= 2−3−6所以 l ʹ 方程为 2x + 3y − 6 = 0（舍）或2x + 3y + 8 = 0， 直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线方程是 2x + 3y + 8 = 0． 解法二：在直线 2x + 3y − 6 = 0 上任选两点，比如 A 0,2 ，B 3,0 ， 所以点 A ，B 关于点 1, −1 对称的点 Aʹ，Bʹ 在所求直线上． 因为 A 与 Aʹ 的中点为点 1, −1 ，所以点 Aʹ 2, −4 ，同理可得 Bʹ −1, −2 ． 由两点式得直线 AʹBʹ 方程为：2x + 3y + 8 = 0．15. A【解析】由已知得 CB ⋅ AC + AB = 0，即 BC 边的中线即为高，所以 AB = AC ．16. B 【解析】由 a 和 b 为方程 x 2 + x 1 1ab = −1又 A a , a 2，B b , b 2 ， 得到直线 AB 的斜率 k = a2−b 2a−b= a + b ，线段 AB 的中点坐标为a +b , a 2+b 2 2 2，2 22 2由圆 x 2 + y 2 = 1，得到圆心坐标为 0,0 ，半径 r = 1，则圆心到直线 AB 的距离a 2+b 2 − −3m −m = −m 2 − 3m = −m m + 3 ，= −m − 3，D y = 1 设 2t a + 7b ≠ −k ⋅ a + t b （k > 0），则 7 ≠ −kt , 得 t ≠ ± 14，d==a +b 2 2 2 12 + a + b 2a +b 2−2ab a +b 22 2 12 + a + b 2===1 = r .ab12 + a + b1 sin θ1 1+tan 2θ2所以直线 AB 与圆的位置关系是相切．第三部分17. 由题意得，D = m 1则 D x = −1 1 m −1 2m + 3 −m 3m 2m + 3= 2m 2 + 6m = 2m m + 3 ，（1）当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，D ≠ 0，原方程组有唯一组解，所以 x =1 D × D x = m ，y =1 D× D y = −2，（2）当 m = 0 时，D = 0，D x = −3 ≠ 0，原方程组无解；（3）当 m = −3 时，D = 0，D x = 0，D y = 0，原方程组有无穷组解．综上，当 m = 0 时，无解；当 m = −3 时，无穷解；当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，有唯一解，x = 1 ， my = −2．18. 由题意可得 a ⋅ b = 2 × 1 × cos60∘ = 1，设向量 2t a + 7b 与向量 a + t b 的夹角为 θ，则 θ ∈ 90∘, 180∘ ，则有 cos θ < 0，且 cos θ ≠ −1．即 2t a + 7b 与向量 a + t b 的不能反向共线，且向量数量积 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，2t ≠ −k , 2由 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，得 2t a 2 + 7t b 2 + 2t 2 + 7 a ⋅ b < 0， 所以 2t 2 + 15t + 7 < 0，解得 −7 < t < − 1 且 t ≠ ±14， 22故实数 t 的取值范围为 t− 7 < t < − 1 , 且t ≠ −214 2．19. （1） 设直线 l 的方程为：y − 3 = k x − 1 k < 0 ，可得与坐标轴的交点分别为 A 0,3 − k ，B 1 − 3 , 0 ．k所以第7页（共9页）−k ≥4+2−k−k=3+3=1．，2所以△PQR的外接圆C2的半径的平方=m+4k2，4k2=m2π1+k2>1，所以S2>mπ．13△??ABO=3−k1−2k19=−k++62−k19≥2−k×+62−k=6,当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值为6，此时直线l的方程为：y−3=−3x−1，化为3x+y−6=0．（2）由（Ⅰ）知直线l与两坐标轴截距之和=3−k+1−3=4+−k+k4+23，当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴截距之和的最小值为4+23，所以此时直线l的方程为：x+y1+33⋅320.（1）设AD中点为P x,y，由中点坐标公式可知，D点坐标为2x,2y−2，因为D点在圆x2+y2=16上，所以2x2+2y−22=16．故线段AD中点的轨迹方程为x2+y−12=4．（2）过点A且斜率为−3的直线方程为3x+4y−8=0，由（1）知，曲线E是以0,1为圆心，42为半径的圆，所以圆心到直线3x+4y−8=0的距离d=所以线段MN的长度为24−16=421．2554−832+42=4，521.（1）由题意，设tanα=k，则sinα=kk2+1所以△PQR的面积S1=2×1×因为0<k<1，1+k2kk2+1rm=k rm，k2+1所以0<S1<mr．（2）由题意得，PQ的垂直平分线方程为y=−1x，OR的垂直平分线方程为x=m，k2联立可得△PQR的外接圆C2的圆心坐标为m2,−m，2k24m2所以S2=π⋅m2+m21．4第8页（共9页）第9页（共9页）。
上海市南洋模范中学2016-2017学年高二上学期期中考试化学试题 Word版含答案
2016学年第一学期南模中学高二年级化学学科期中考试卷（等级考）可能用到的相对原子质量：Na-23 C-12 H-1 O-16 Na-23 Al-27一、选择题（本题共40分，每小题2分，只有一个正确选项）1、符号“3P x”没有给出的信息是（）A、电子层B、电子亚层C、电子云的伸展方向D、电子的自旋2、某元素的离子带2个单位正电荷，它的核外电子排布为此元素在周期表中的位置是（）A、第二周期零族B、第三周期ⅡA族C、第二周期ⅥA族D、第三周期IIA3、下列有关金属的描述正确的是（）A、金属都是银白色、都有金属光泽，能导电、导热，有延展性B、金属在常温下都是固体C、短周期中，导电导热性最好的金属是AlD、在周期表中就是的种类比非金属少4、下列各项中，能得到氢氧化铝的是（）A、氧化铝加到热水中B、NaAlO2溶液中加入足量CO2C、铝投入氨水中D、NaOH溶液中滴入少量AlCl3溶液5、化学与生产、生活息息相关,下列叙述错误的是（）A、铝罐久盛食醋B、氢氧化铝可做胃酸的中和剂C、铁表而镀锌可以增强其抗腐蚀性D、含重金属离子的电镀废液不能随意排放6、元素性质呈现周期性变化的根本原因是（）A、元素原子电子层数增大B、元素的化合价呈现周期性变化C、元素原子最外层电子数呈现周期性变化D、核电荷数依次增大7、上海世博园地区的一座大型钢铁厂搬迁后，附近居民将不再受到该厂产生的棕红色烟雾的困扰。
你估计这一空气污染物可能含有（）A、FeO粉尘B、Fe2O3粉尘C、Fe粉尘D、碳粉8、最近，科学家冶炼出了纯度高达99.999 9%的铁，你估计它不会具有的性质是()A、硬度比生铁低B、与4 mol·L-1的HCl反应时速率比生铁快C、在冷的浓硫酸中可钝化D、在潮湿的空气中不易生锈9、在下列混合溶液中,加入过量的氨水产生沉淀,再加入过量的氢气化钠溶液,沉淀消失的是()A、NaCl和MgCl2B、NaNO3和AgNO3C、K2SO4和Al2(SO4)3D、MgCl2和AlCl310、要从含Al3+、Fe3+、Ba2+、Ag+的溶液中分别沉淀出Fe3+、Ba2+、Ag+，加入试剂的顺序正确的是（）A、HCl、H2SO4、NaOHB、NaOH、HCl、H2SO4C、HCl、H2SO4、NH3·H2OD、HCl、NaOH、H2SO411、在前一种分散系中慢慢滴加后一种试剂，能观察到先有沉淀生成后变澄清的是()①氯化铝溶液中滴加氢氧化钠溶液②偏铝酸钠溶液中滴加盐酸③氢氧化钠溶液中滴加氯化铝溶液④氯化铝溶液中滴加氨水A．①②B．②③④C．①②④D．③④12、人体正常的血红蛋白中应含Fe2＋。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分 得分值一、填空题：(本题共14小题，每小题4分，满分56分) 1．若1225PP PP =-，设121PP PP λ=，则λ的值为 。
2．已知{n a }是等比数列，则方程组124568a x a y a a x a y a +=⎧⎨+=⎩的解的个数是 。
3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，3)，则行列式sin tan 1cos ααα的值为 。
4．等边△ABC 边长为1，则AB BC BC CA CA AB ++= 。
5．向量x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭经矩阵0110⎛⎫ ⎪⎝⎭变换后得到矩阵23⎛⎫⎪⎝⎭，则x y -= 。
6．执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是7，则输出S 的值是 。
7．如果131lim 3(1)3n n n x a +→∞=++，那么a 的取值范围是 。
8．用数学归纳法证明“(1)(2)...()213...(21)nn n n n n +++=-”，从“k 到1k +”左端需增乘的代数式为 。
9．已知等差数列{n a }前n 项和为n S ，若10071008OB a OA a OC =+，且A ，B ，C 三点共线(不过原点)，则2014S = 。
10．已知a 与b 均为非零向量，给出下列命题：①22()()()a b a b =； ②2||()a a a =； ③若a c b c =，则a b =； ④()()a c b a c b =， 上述命题中，真命题的个数是 。
11．在等差数列{n a }中，113a =，前n 项和为n S ，且311S S =，则使得n S 最大的正整数n 为 。
12．已知A ，B ，C ，D 四点的坐标分别为A(-1，0)，B(1，0)，C(0，1)，D(2，0)，P 是线段CD 上的任意一点，则AP BP 的最小值是 。
2015-2016学年上海市金山中学高二(上)数学期中试卷带解析答案
2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）已知向量，．若，则实数k=．2．（3分）行列式中，6的代数余子式的值是．3．（3分）若向量=（1，x），=（2，1），且⊥，则|+|=．4．（3分）直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，则直线l的方程为．5．（3分）执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为．6．（3分）已知直线l：x+2y=0，圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，直线l被圆所截得的线段长为．7．（3分）如图||=1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，||=5，则=．（用表示）8．（3分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y 0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是．9．（3分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，2），若直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，则实数a的取值范围是．10．（3分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b+1，a﹣1），则圆C：x2+y2﹣6x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的方程为．11．（3分）已知向量，满足||=1，（+）•（﹣2）=0，则||的最小值为．12．（3分）在圆x2+y2=25上有一点P（4，3），点E，F是y轴上两点，且满足|PE|=|PF|，直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）“a=2”是直线“ax﹣2y=0与直线x﹣y+1=0平行的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要14．（3分）如果命题“坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是（）A．坐标满足方程F（x，y）=0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不都满足方程F（x，y）=0C．坐标满足方程F（x，y）=0的点，有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足F（x，y）=0．15．（3分）直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，]B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[，]16．（3分）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8分）已知，向量满足：，求：（1）向量在向量上的投影；（2）向量的坐标．18．（8分）已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1．（1）求圆C的标准方程；（2）求过原点且被圆C截得的弦长最短时的直线l的方程．19．（10分）设2阶方矩阵A=，则矩阵A所对应的矩阵变换为：=，其意义是把点P（x，y）变换为点Q（x′，y′），矩阵A叫做变换矩阵．（1）当变换矩阵A1=时，点P1（﹣1，1），P2（﹣3，1）经矩阵变换后得到点分别是Q1，Q2，求过点Q1，Q2的直线的点向式方程．（2）当变换矩阵A2=时，若直线上的任意点P（x，y）经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线方程．20．（12分）设直线l为公海的分界线，一巡逻艇在A处发现了北偏东60°的海面B处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮C航行，以便上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，A与公海相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜，请回答下列问题：（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？（2）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”．21．（14分）现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）．在直角坐标平面内，我们定义A（x 1，y1）、B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义：“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3），B（1，1），C（3，3），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；≤1的点P所组成的集合，（3）设P（x，y），集合B表示的是所有满足D（PO）点集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，求集合Q={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积．2015-2016学年上海市金山中学高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．（3分）已知向量，．若，则实数k=．【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，故答案为：．2．（3分）行列式中，6的代数余子式的值是6．【解答】解：6的代数余子式A23=﹣=﹣（1×8﹣2×7）=6，故答案为：6．3．（3分）若向量=（1，x），=（2，1），且⊥，则|+|=．【解答】解：∵向量=（1，x），=（2，1），且⊥，∴•=2+x=0，∴x=﹣2，∴=（1，﹣2）；∴+=（1+2，﹣2+1）=（3，﹣1），∴|+|==．故答案为：．4．（3分）直线l经过点P（﹣2，1），且点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，则直线l的方程为x=﹣2或4x+3y+5=0．【解答】解：设直线l的方程为y﹣1=k（x+2），即kx﹣y+2k+1=0∵点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，∴=1，解之得k=﹣，得l的方程为4x+3y+10=0．当直线与x轴垂直时，方程为x=﹣2，点A（﹣1，﹣2）到l的距离为1，∴直线l的方程的方程为x=﹣2或4x+3y+5=0．故答案为：x=﹣2或4x+3y+5=0．5．（3分）执行如图的程序框图，如果输入i=6，则输出的S值为21．【解答】解：由程序框图知：程序第一次运行S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行S=1+2=3，n=2+1=3；第三次运行S=1+2+3=6，n=3+1=4；…直到n=7时，不满足条件n≤6，程序运行终止，输出S=1+2+3+…+6=21．故答案为：21．6．（3分）已知直线l：x+2y=0，圆C：x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，直线l被圆所截得的线段长为．【解答】解：过点A作AC⊥弦BD，垂足为C，连接AB，可得C为BD的中点．由x2+y2﹣6x﹣2y﹣15=0，得（x﹣3）2+（y﹣1）2=25．知圆心A为（3，1），r=5．由点A（3，1）到直线x+2y=0的距离AC==．在直角三角形ABC中，AB=5，AC=，根据勾股定理可得BC==2，则弦长BD=2BC=．故答案为：．7．（3分）如图||=1，与的夹角为120°，与的夹角为30°，||=5，则=+．（用表示）【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．由与的夹角为30°，||=5，可得C（，），||=1，与的夹角为120°，可得B（﹣，），A（1，0），设=m+n，则（，）=m（1，0）+n（﹣，）∴=m﹣n，=n．解得n=，m=．∴=+．故答案为：+．8．（3分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y 0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是﹣1≤y0≤1．【解答】解：y0=0，设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，∴k=；∠OMN≥，则≥，∴OM≤2，∴3+≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：；﹣1≤y0≤1．9．（3分）在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：ax+y+3=0，点A（0，2），若直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，则实数a的取值范围是{a|或} ．【解答】解：设M（x，﹣ax﹣3），∵直线l：ax+y+3=0，点A（0，2），直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，∴x2+（﹣ax﹣5）2+x2+（﹣ax﹣3）2=10，整理，得（a2+1）x2+8ax+12=0，∵直线l上存在点M，满足|MA|2+|MO|2=10，∴（a2+1）x2+8ax+12=0有解，∴△=（8a）2﹣4×12×（a2+1）＞0，解得a，或a．故答案为：{a|或}．10．（3分）已知点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b+1，a﹣1），则圆C：x2+y2﹣6x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的方程为（x﹣2）2+（y﹣2）2=10．【解答】解：∵点P（a，b）关于直线l的对称点为P'（b+1，a﹣1），故圆上的任一点（x，y）关于直线l的对称点为（y+1，x﹣1），故圆C：x2+y2﹣6x﹣2y=0关于直线l对称的圆C'的方程为（y+1）2+（x﹣1）2﹣6（y+1）﹣2（x﹣1）=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，故答案为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10．11．（3分）已知向量，满足||=1，（+）•（﹣2）=0，则||的最小值为．【解答】解：由条件得=0，记＜＞=θ，||=t，则2t2+tcosθ﹣1=0，即，从而||≤1，4t4﹣5t2+1≤0，，故t min=，即的最小值为．故答案为：．12．（3分）在圆x2+y2=25上有一点P（4，3），点E，F是y轴上两点，且满足|PE|=|PF|，直线PE，PF与圆交于C，D，则直线CD的斜率是．【解答】解：过P点作x轴平行线，交圆弧于G，连接OG，则：G点坐标为（﹣4，3），PG⊥EF．∵PEF是以P为顶点的等腰三角形，∴PG就是角DPC的平分线，∴G就是圆弧CD的中点，∴OG⊥CD．设CD与y轴交于点A，PG与CD交与点M，PG与y轴交与点N，∴∠DAO+∠GOA=90°，又∠AMP+∠DAO=90°，∴∠CMP=∠GOA．∴直线CD的斜率等于tan∠CMP=tan∠GOA．直角三角形GON中，tan∠GOA==，故答案为．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分．13．（3分）“a=2”是直线“ax﹣2y=0与直线x﹣y+1=0平行的”（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：若“a=2”成立，则两直线x﹣y=0与直线x﹣y+1=0平行；反之，当“直线ax﹣2y=0与直线x﹣y+1=0平行”成立时，可得a=2；所以“a=2”是“直线ax+2y=0与直线x+y=1平行”的充要条件，故选：C．14．（3分）如果命题“坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题正确的是（）A．坐标满足方程F（x，y）=0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标不都满足方程F（x，y）=0C．坐标满足方程F（x，y）=0的点，有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足F（x，y）=0．【解答】解：∵命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点都在曲线C上”不正确，∴命题“坐标满足方程f（x，y）=0的点不都在曲线C上”正确，即“至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足方程f（x，y）=0”．因此D正确．故选：D．15．（3分）直线xcosα+y+2=0的倾斜角范围是（）A．[，）∪（，]B．[0，]∪[，π）C．[0，] D．[，]【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ=﹣cosα．又﹣1≤cosα≤1，∴﹣≤tanθ≤．∴θ∈[0，]∪[，π）．故选：B．16．（3分）已知A、B、C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆外一点．若，其中m，n∈R．则m+n的取值范围是（）A．（0，1） B．（﹣1，0）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：∵|OC|=|OB|=|OA|，，∴1=m2+n2+2mncos∠AOB当∠AOB=60°时，m2+n2+mn=1，m＜0，n＞0，即（m+n）2﹣mn=1，即（m+n）2=1+mn＜1，所以（m+n）2＜1，∴﹣1＜m+n＜1，当，趋近射线OD，由平行四边形法则=+=m+n，此时显然m＜0，n＞0，且|m|＞|n|，∴m+n＜0，所以m+n的取值范围（﹣1，0）．故选：B．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（8分）已知，向量满足：，求：（1）向量在向量上的投影；（2）向量的坐标．【解答】解：（1）向量在向量上的投影为．（2）设，由，可得，∴．18．（8分）已知圆C在x轴上的截距为﹣1和3，在y轴上的一个截距为1．（1）求圆C的标准方程；（2）求过原点且被圆C截得的弦长最短时的直线l的方程．【解答】解：（1）设A（﹣1，0），B（3，0），D（0，1），则AB中垂线为x=1，AD中垂线为y=﹣x，∴圆心C（x，y）满足∴C（1，﹣1），半径，∴圆C的标准方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．（2）l⊥OC时，截得的弦长最短，l：x﹣y=0．19．（10分）设2阶方矩阵A=，则矩阵A所对应的矩阵变换为：=，其意义是把点P（x，y）变换为点Q（x′，y′），矩阵A叫做变换矩阵．（1）当变换矩阵A1=时，点P1（﹣1，1），P2（﹣3，1）经矩阵变换后得到点分别是Q1，Q2，求过点Q1，Q2的直线的点向式方程．（2）当变换矩阵A2=时，若直线上的任意点P（x，y）经矩阵变换后得到的点Q仍在该直线上，求直线方程．【解答】解：（1），则，∴点Q1（1，﹣1）．同理点．=（，﹣），直线Q1Q2的点向式为，即．（2），．设l1：ax+by+c=0（a，b不全为0），即（a+8b）x+（3a﹣b）y+25c=0由题知l1与l2重合得，∴a=2b或，，得c=0，D y==0，∴2bx+by=0或，即2x+y=0或4x﹣3y=0．20．（12分）设直线l为公海的分界线，一巡逻艇在A处发现了北偏东60°的海面B处有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接应的走私海轮C航行，以便上海轮后逃窜．已知巡逻艇的航速是走私船航速的2倍，A与公海相距约为20海里，走私船可能向任一方向逃窜，请回答下列问题：（1）如果走私船和巡逻艇都是沿直线航行，那么走私船能被截获的点是哪些？（2）根据截获点的轨迹，探讨“可截获区域”和“非截获区域”．【解答】解：以A为原点，以正东方向为x轴，并以海里为单位建立直角坐标系，如图所示；设|AB|=2t，（t＞0），则；（1）设截获点为P（x，y），则|PA|=2|PB|，即，化简得；所以，截获点的轨迹是以为圆心，为半径的圆；（2）设点Q（x，y）在圆D内部，则，化简得，即|QA|＞2|QB|；所以，可截获区域为领海上的圆D外部，非截获区域为领海上的圆D内部．21．（14分）现代城市大多是棋盘式布局（如上海道路几乎都是东西和南北走向）．在这样的城市中，我们说的两点间的距离往往不是指两点间的直线距离（位移），而是实际路程（如图）．在直角坐标平面内，我们定义A（x1，y1）、B（x2，y2）两点间的“直角距离”为：D（AB）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．（1）在平面直角坐标系中，写出所有满足到原点的“直角距离”为2的“格点”的坐标；（格点指横、纵坐标均为整数的点）（2）定义：“圆”是所有到定点“直角距离”为定值的点组成的图形，点A（1，3），B（1，1），C（3，3），求经过这三个点确定的一个“圆”的方程，并画出大致图象；（3）设P（x，y），集合B表示的是所有满足D≤1的点P所组成的集合，（PO）点集A={（x，y）|﹣1≤x≤1，﹣1≤y≤1}，求集合Q={（x，y）|x=x1+x2，y=y1+y2，（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}所表示的区域的面积．【解答】解：（1）（0，2）、（1，1）、（2，0）、（1，﹣1）、（0，﹣2）、（﹣1，﹣1）、（﹣2，0）、（﹣1，1）；（2）设定点坐标为（a，b），定值为r，则“圆”的方程为|x﹣a|+|y﹣b|=r．则．“圆”的方程为|x﹣2|+|y﹣2|=2．作其图象如下，．（3）B={（x，y）||x|+|y|≤1}，∵，∴，∵（x2，y2）∈B，∴|x2|+|y2|≤1，即|x﹣x1|+|y﹣y1|≤1，∵点集A表示以原点为中心，边长为2的正方形及其内部，∴点集Q表示以点A内的点为定点，1为定长的“圆”及其内部．面积．。
上海市南洋模范中学2016-2017学年高二下学期期中考试数学试卷(word版含答案)
2016年南模中学高二第二学期期中考试试卷2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 两两平行的三条直线，最多可以确定 个平a 面.2. 若()()12z i a i =--（i 为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为 .3.若()()1,,2,2,1,1a b λ==- ，a 与b 的夹角为60 ，则λ的值为 .4.若复数z 满足()2z i z =-（i 为虚数单位），则z = .5．若一个长方体顶点的三个面的面对角线分别是a,b,c ，则长方体的体对角线长是 . （用a,b,c 表示）6.关于x 的方程()220x mx m R ++=∈的一个根是()1m m R ++∈，则m n += .7.若圆锥的底面周长是2π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为 .8.一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形ABCD,如图所示，45,1,ABC AB AD DC BC ∠===⊥ 则原平面图形的周长为 .9.设甲、乙两个圆柱的底面面积分别为12,S S ，体积分别为12,V V ，若它们的侧面积相等，且1294S S =，则12V V = . 10.如图，直三棱柱111ABC A B C -的六个顶点都在平面上，AB=AC=1，侧面11BCC B 是半球底面圆的内接正方形，则半球（不含底面）的面积为 .11.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中最大的面积为 .12.课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法.祖暅原理也可以用来求螺旋体的体积.现介绍用祖暅原理求球体体积的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式.请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为221425x y +=，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 .二、选择题：13．若,a b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题是A. 若,a a b α⊥⊥，则//b αB. 若//,a a b α⊥，则b α⊥C.若,a b αα⊥⊆，则a b ⊥D. 若//,//a b αα，则//a b14．已知命题：“若,a b 为异面直线，平面α过直线a 且与直线b 平行，则直线b 与平面α的距离等于异面直线,a b 之间的距离”为真命题.根据上述命题，若,a b 为异面直线，且它们之间的距离为d ，则空间中与,a b 均异面且距离也为d 的直线的条数为A. 0条B. 1条C. 多于1条，但为有限条D.无数多条15．如图，在正方体ABCD 中，,E F 分别为线段,AD BC 上的点，20,30ABE CDF ∠=∠=,将ABE ∆绕直线BE ，将CDF ∆绕直线CD 各自独立旋转一周，则在所有旋转的过程中，直线AB 与直线DF 所成角的最大值为A. 40B. 50C. 60D. 7016．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是1AA 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设1,PD PE 与底面ABCD 所成角分别是12,θθ（12,θθ均不为0），若12θθ=，则动点P 的轨迹是那种曲线的一部分A. 直线B. 圆C. 椭圆D.抛物线三、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17.（本题满分14分）在北纬30 线上有A,B 两点，它们分别在东经50 与东经140 的经线上，又有点C 在东经50 ，南纬15 线上，设地球半径为R ，求（1）A,C 两地的球面距离；（2）A,B 两地的球面距离（用R 表示）.18.（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,1,.4AB AC AA AB AC ABC π⊥===∠=,,D M N 分别是111,,CC A B BC 的中点.（1）求异面直线MN 与AC 所成角的大小；（2）求点M 到平面AND 的距离.19.（本题满分14分）已知z C ∈，且满足()252.z z z i i ++=+（1）求z ；（2）若m R ∈，zi m ω=+，求证：1ω≥.20.（本题满分16分）如图，在直角梯形PBCD 中，PB//DC,DC BC ⊥,PB=BC=2CD=2，点A 是PB 的中点，现沿AD 将平面PAD 折起，设PAD θ∠=.（1）当θ为直角时，求直线PC 与平面PAD 所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P-ABD （3）在（2）的条件下，求此时二面角D PB A --的大小.21.（本题满分16分）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O xyz -中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程(),,0F x y z =.（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点()000,,P x y z ，法向量为(),,n A B C = 的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在,,x y z 轴上的截距分别为a,b,c 的平面的截距式方程（不需要证明）；（2）设12,F F 为空间中的两个定点，122F F C =，我们将曲面Γ定义为满足122()PF PF a a c +=>的动点P 的轨迹，试建立适当的空间直角坐标系O xyz -，求曲面Γ的方程；（3）对（2）中的曲面Γ，指出和证明曲面C的对称性，并画出曲面Γ的直观图.。
上海市南洋模范中学2015-2016学年高一下学期期末数学试卷Word版含解析
2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q 点，则Q点的坐标为．2．已知，则sin2x+3sinxcosx﹣1=．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是．5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=．6．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．8．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．9．，则a=．10．若函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，则θ的值是．11．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，a n，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为．12．定义N*在上的函数f（x），对任意的正整数n1，n2，都有f（n1+n2）=1+f（n1）+f（n2），且f（1）=1，若对任意的正整数n，有，则a n=．二、选择题：13．f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则x＜0时，f（x）=（）A．arccos（sinx）B．π+arccos（sinx）C．﹣arccos（sinx）D．﹣π﹣arccos（sinx）14．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是（）①函数f（x）的最小正周期为②函数f（x）的振幅为③函数f（x）的一条对称轴方程为④函数f（x）的单调递增区间是⑤函数f（x）的解析式为．A．③⑤B．③④C．④⑤D．①③15．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470 B．490 C．495 D．51017．已知二次函数y=a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得线段长依次为d1，d2，…，d n，…，则（d1+d2+…+d n）=（）A．1 B．2 C．3 D．418．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①；②；则[a n，b n]为区间套，下列可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．三、解答题：19．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．=2a n+1（n∈N*）．若数列{b n}满足：4•4 21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•…4=（a n+1）bn（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：{b n}是等差数列．22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n年内（本年度为第1年）总投人为a n万元，旅游业总收入为b n万元，写出a n，b n的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收人才能超过总投入？23．（1）若对于任意的n∈N*，总有成立，求常数A，B的值；（2）在数列{a n}中，，（n≥2，n∈N*），求通项a n；（3）在（2）题的条件下，设，从数列{b n}中依次取出第k1项，第k2项，…第k n项，按原来的顺序组成新的数列{c n}，其中，其中k1=m，k n﹣k n=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使且+1成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．2015-2016学年上海市南洋模范中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为（﹣，）．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由题意可得OQ恰好是角的终边，利用任意角的三角函数的定义，求得Q点的坐标．【解答】解：点P从点（﹣1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动弧长到达Q点，则OQ恰好是角的终边，故Q点的横坐标x=1•cos=﹣，纵坐标为y=1•sin=，故答案为：（﹣，）．2．已知，则sin2x+3sinxcosx﹣1=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知结合同角三角函数基本关系式可得sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x=，然后分子分母同时除以cos2x求解．【解答】解：∵，∴sin2x+3sinxcosx﹣1=3sinxcosx﹣cos2x====．故答案为：．3．已知sin（﹣x）=，则sin2x的值为．【考点】二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式和两角和公式对sin2x化简整理，然后把sin（﹣x）=代入即可得到答案．【解答】解：sin2x=cos（﹣2x）=1﹣2sin2（﹣x）=故答案为4．方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内解的个数是4．【考点】三角方程．【分析】方程即sinx=0或cosx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π），分别求得x的值，可得结论【解答】解：方程sin2x=sinx，即2sinxcosx=sinx，即sinx=0或cosx=．由sinx=0，x∈[0，2π），可得x=0或π；由cosx=，x∈（0，2π），可得x=或x=．综上可得，方程sin2x=sinx在区间[0，2π）内的解的个数是4，故答案为：4．5．用数学归纳法证明等式：1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），验证n=1时，等式左边=1+a+a2．【考点】数学归纳法．【分析】根据题目意思知：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”在验证n=1时，左端计算所得的项．把n=1代入等式左边即可得到答案．【解答】解：用数学归纳法证明：“1+a+a2+…+a n+1=（a≠1）”时，在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故答案为：1+a+a26．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升．【考点】数列的应用．【分析】由题设知，先求出首项和公差，然后再由等差数列的通项公式求第5节的容积．【解答】解：由题设知，解得，∴=．故答案为：．7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{a n}的公比为．【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴a n=a1q n﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为8．设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n +1=S n S n +1，则S n = ﹣ ． 【考点】数列的求和．【分析】a n +1=S n S n +1，可得S n +1﹣S n =S n S n +1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n +1=S n S n +1，∴S n +1﹣S n =S n S n +1， ∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n ﹣1）=﹣n ，解得S n =﹣．故答案为：．9．，则a= 28 ．【考点】极限及其运算．【分析】由等差数列的前n 项和公式，把等价转化为=6，进而得到=6，所以，由此能求出a ．【解答】解：∵，∴=6，=6，∴，解得a=28．故答案为：28．10．若函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，则θ的值是．【考点】三角函数的最值．【分析】利用同角三角函数平方关系，易将函数化为二次型的函数，结合余弦函数的性质，及函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，易求出θ的值．【解答】解：∵函数f（x）=sin2x+2cosx=﹣cos2x+2cosx+1=﹣（cosx﹣1）2+2又∵函数f（x）=sin2x+2cosx在上的最大值为1，∴cosθ的最大值为0又∵x∈∴cosθ∈0即θ=故答案为：11．如图，在Rt△ABC内有一系列的正方形，它们的边长依次为a1，a2，…，a n，…，若AB=a，BC=2a，则所有正方形的面积的和为．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意可知，可得，依次计算，…，不难发现：边长依次为a 1，a 2，…，a n ，…构成是公比为的等比数列，正方形的面积：依次S 1=，…，不难发现：边长依次为a 1，a 2，…，a n ，…正方形的面积构成是公比为的等比数列．利用无穷等比数列的和公式可得所有正方形的面积的和．【解答】解：根据题意可知，可得，依次计算，…，是公比为的等比数列，正方形的面积：依次S 1=，…，边长依次为a 1，a 2，…，a n ，正方形的面积构成是公比为的等比数列．所有正方形的面积的和．故答案为：12．定义N *在上的函数f （x ），对任意的正整数n 1，n 2，都有f （n 1+n 2）=1+f （n 1）+f （n 2），且f （1）=1，若对任意的正整数n ，有，则a n = 2n +1 ．【考点】数列与函数的综合．【分析】根据条件求出a n =f （2n ）+1的表达式，利用等比数列的定义即可证明{a n }为等比数列，即可求出通项公式．【解答】解：令n 1=n 2=1，得f （2）=1+f （1）+f （1）， 则f （2）=3，a 1=f （2）+1=4，令n 1=n 2=2，得f （4）=1+f （2）+f （2），则f （4）=7，a 2=f （4）+1=8， 令n 1=n 2=2n ，得f （2n +2n ）=1+f （2n ）+f （2n ）， 即f （2n +1）=1+2f （2n ），则f （2n +1）+1=2[1+f （2n ）]，a n +1=2a n所以，数列{a n }是等比数列，公比q=2，首项a 1=4．所以a n=4×2n﹣1=2n+1，故答案为：2n+1二、选择题：13．f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）=π﹣arccos（sinx）则x＜0时，f（x）=（）A．arccos（sinx）B．π+arccos（sinx）C．﹣arccos（sinx）D．﹣π﹣arccos（sinx）【考点】反三角函数的运用．【分析】利用奇函数的定义，结合反三角函数，即可得出结论．【解答】解：∵sin（﹣x）=﹣sinx∴，﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos （﹣sinx）），又arccos（﹣α）=π﹣arccosα，∴﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣（π﹣arccos（﹣sinx））=﹣（π﹣（π﹣arccos （sinx）））=﹣arccos（sinx），∴x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣f（x）=﹣（π﹣arccos（sin（﹣x））=﹣arccos （sinx），故选：C．14．如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π），x∈R的部分图象，则下列命题中，正确的命题序号是（）①函数f（x）的最小正周期为②函数f（x）的振幅为③函数f（x）的一条对称轴方程为④函数f（x）的单调递增区间是⑤函数f（x）的解析式为．A．③⑤B．③④C．④⑤D．①③【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据图象求出函数解析式，根据三角函数型函数的性质逐一判定．【解答】解：由图象可知T=2（，∴ω=2，最大值为，∴，φ）因为图象过点（），2×+φ=π，⇒φ=﹣，∴即可判定①②错，⑤正确，由2x﹣=kπ+得对称轴方程为x=，k∈Z，故③正确；由2kπ﹣2x﹣，⇒kπ+≤x，k∈Z，函数f（x）的单调递增区间是[kπ+，kπ+]，故④错；故选：A15．设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．【解答】解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．16．数列{a n}的通项a n=n2（cos2﹣sin2），其前n项和为S n，则S30为（）A．470 B．490 C．495 D．510【考点】数列的求和．【分析】利用二倍角的公式化简可得一个三角函数，根据周期公式求出周期为3，可化简S30，求出值即可．【解答】解：由于{cos2﹣sin2}以3为周期，故S30=（﹣+32）+（﹣+62）+…+（﹣+302）=∑ [﹣+（3k）2]=∑ [9k﹣]=﹣25=470故选A17．已知二次函数y=a（a+1）x2﹣（2a+1）x+1，当a=1，2，3，…，n，…时，其抛物线在x轴上截得线段长依次为d1，d2，…，d n，…，则（d1+d2+…+d n）=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】数列与函数的综合；数列的极限．【分析】当a=n时，y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，运用韦达定理得d n=|x1﹣x2|====﹣，运用裂项相消求和可得d1+d2+…+d n．由此能求出（d1+d2+…+d n）．【解答】解：当a=n时，y=n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1，由n（n+1）x2﹣（2n+1）x+1=0，可得x1+x2=，x1x2=，由d n=|x1﹣x2|====﹣，∴d1+d2+…+d n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣．∴（d1+d2+…+d n）=（1﹣）=1．故选：A．18．对数列{a n}，{b n}，若区间[a n，b n]满足下列条件：①；②；则[a n，b n]为区间套，下列可以构成区间套的数列是（）A．B．C．D．【考点】数列的极限．【分析】直接利用已知条件，判断选项是否满足两个条件即可．【解答】解：由题意，对于A，，a n+1＜a n，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以A不正确；对于B，a n+1＜a n，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以B不正确；对于C，∵a n+1＞a n，b n＞b n+1，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）成立，并且，所以C正确；对于D，∵a n+1＜a n，b n＞b n+1，∴[a n+1，b n+1]⊊[a n，b n]（n∈N*）不成立，所以D不正确；故选：C．三、解答题：19．已知函数f（x）=2cos2ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小值正周期是．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最大值，并且求使f（x）取得最大值的x的集合．【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．【分析】（1）先用二倍角公式和两角和公式对函数解析式进行化简，进而根据函数的最小正周期求得ω．（2）根据正弦函数的性质可知时，函数取最大值2+，进而求得x的集合．【解答】解：（Ⅰ）解：=sin2ωx+cos2ωx+2==由题设，函数f（x）的最小正周期是，可得，所以ω=2．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．当，即时，取得最大值1，所以函数f（x）的最大值是，此时x的集合为．20．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）如果cosB=，b=2，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知等式变形后代入求出cosA的值，即可确定出A的大小；（Ⅱ）由cosB的值，求出sinB的值，利用正弦定理求出a的值，将a与b的值代入已知等式中求出c的值，由b，c，sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC面积．【解答】解：（Ⅰ）∵b2+c2=a2+bc，即b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，又A∈（0，π），∴A=；（Ⅱ）∵cosB=，B∈（0，π），∴sinB==，由正弦定理=，得a==3，∵b2+c2=a2+bc，即4+c2=9+2c，整理得：c2﹣2c﹣5=0，解得：c=1±，∵c＞0，∴c=+1，=bcsinA=．则S△ABC=2a n+1（n∈N*）．若数列{b n}满足：4•4 21．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1•…4=（a n+1）bn（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：{b n}是等差数列．【考点】数列递推式．【分析】（1）数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）．变形为a n+1+1=2（a n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．（2）数列{b n}满足：…•==，n≥2时，…=，可得=，化为：2（b n﹣1）=nb n ﹣（n ﹣1）b n ﹣1，可得：2（b n +1﹣1）=（n +1）b n +1﹣nb n ，相减化简即可证明．【解答】解：（1）数列{a n }满足a 1=1，a n +1=2a n +1（n ∈N *）． ∴a n +1+1=2（a n +1），∴数列{a n +1}是等比数列，首项为2，公比为2． ∴a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1．（2）证明：数列{b n }满足：…•==n=1时， =，解得b 1=2．n ≥2时，…=，可得=，化为：2（b n ﹣1）=nb n ﹣（n ﹣1）b n ﹣1，可得：2（b n +1﹣1）=（n +1）b n +1﹣nb n ，相减可得：（n ﹣1）b n +1+（n ﹣1）b n ﹣1=2（n ﹣1）•b n ， 化为：b n +1+b n ﹣1=2•b n ， ∴{b n }是等差数列．22．从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．（1）设n 年内（本年度为第1年）总投人为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n 的表达式；（2）至少经过几年，旅游业的总收人才能超过总投入？ 【考点】数列的应用．【分析】（1）依次写出第1年投入量，第2年投入量，等等，第n 年投入量，从而求出n 年内的总投入量a n ，进而求出a n ，b n 的表达式．（2）先设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由b n ﹣a n ＞0，解得n 的取值范围即可．【解答】解：（1）第1年投入为800万元，第2年投入为万元，第n年投入为万元，所以n年内的总投入为=．第1年旅游业收入为400万元，第2年旅游业收入为400×万元．第n年旅游业收入为400×万元，所以n年内的旅游业总收入为=万元．（2）设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n﹣a n＞0，即，化简得，设t=（）n，则不等式等价为5t2﹣7t+2＞0，解得．即，去对数得nlg＜lg，则n＞=====4.103，解得n≥5，即至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入．23．（1）若对于任意的n∈N*，总有成立，求常数A，B的值；（2）在数列{a n}中，，（n≥2，n∈N*），求通项a n；（3）在（2）题的条件下，设，从数列{b n}中依次取出第k1项，第k2项，…第k n项，按原来的顺序组成新的数列{c n}，其中，其中k1=m，k n﹣k n=r∈N*．试问是否存在正整数m，r使且+1成立？若存在，求正整数m，r的值；不存在，说明理由．【考点】数列递推式；数列的极限．【分析】（1）由题设得（A+B）n+A=n+2恒成立，所以A=2，B=﹣1．（2）由（n≥2）和知，，且，由此能推导出．（3）假设存在正整数m，r满足题设，由，，又得，．于是=，由此能推导出存在正整数m，r满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．【解答】解：（1）由题设得A（n+1）+Bn=n+2即（A+B）n+A=n+2恒成立，所以A=2，B=﹣1．（2）由题设（n≥2）又得，，且，即是首项为1，公比为2的等比数列，所以．即为所求．（3）假设存在正整数m，r满足题设，由（2）知显然，又得，即{c n}是以为首项，为公比的等比数列．于是=，由得，m ，r ∈N *，所以2m ﹣2m ﹣r =14或15， 当2m ﹣2m ﹣r =14时，m=4，r=3； 当2m ﹣2m ﹣r =15时，m=4，r=4；综上，存在正整数m ，r 满足题设，m=4，r=3或m=4，r=4．2017年3月27日。
上海南洋模范高三数学期中考试题
上海南洋模范高三年级数学学科期中考试题（时间120分钟，满分150分）一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分）1、已知3sin 25πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()cos πα-=________________.2、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ=_________________.3、函数41y x x =+-的值域为__________________, 4、若1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的第4项含3x ,则n 的值为____________.5、设(),0,ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则12g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______________.6、某班委由4名男生和3名女生组成，现从中选出2人担任正副班长，其中至少有一名女生当选的概率________________（用分数作答）。
7、若偶函数()f x 在(],0-∞上为增函数，则不等式()()212f x f x +>-的解集____. 8、函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于y 轴对称，若()1y f x -=是()y f x =的反函数，则()122y f x x -=-的单调递增区间是____________________.9、将函数2log y x =的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的(0)m m >倍，得到图象C ，若将2log y x =的图象向上平移2个单位，也得到图象C ，则m =_____. 10、如果4x π≤，那么函数()2cos sin f x x x =+的最小值是_______________.11、设()(),22x x x xe e e ef xg x --+-==，计算()()()()()13134f g g f g +-=______，()()()()()32325f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是此等式的特例，这个等式是_________________. 12、函数21y x =-的图象与函数y x k =+的图象交点恰为3个，则实数k =_______. 13、已知函数()[]23,1,8f x x x =∈-，函数()[]2,1,8g x ax x =+∈-，若对任意[]11,8x ∈-，总存在[]21,8x ∈-使()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是______. 14、（文）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若集合[]{}2110,242x A x x x B x ⎧⎫=--==<<⎨⎬⎩⎭，则A B =______________.14、（理）设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-，若函数()()0,11x x a f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_________. 二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）15、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =（ ）A 、5B 、5-C 、15D 、15-16、设(),a -∞为()122xf x x -=-反函数的一个单调递增区间,则实数a 的取值范围为( )A 、2a ≤B 、2a ≥C 、2a ≤-D 、2a ≥- 17、如果一个函数()f x 满足：（1）定义域为R ；（2）任意12,x x R ∈,若120x x +=，则()()120f x f x +=；（3）任意x R ∈，若0t >,则()()f x t f x +>，则()f x 可以是( )A 、 3y x =B 、 3x y =C 、 31y x =+D 、 2y x = 18、现有两个命题：（1）若()lg lg lg x y x y +=+，且不等式2y x t >-+恒成立，则t 的取值范围是集合P ； （2）若函数()(),1,1xf x x x =∈+∞-的图像与函数()2g x x t =-+的图像没有交点，则t 的取值范围是集合Q 。
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
上海市南洋模范中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题一、填空题1．空间两直线所成的角大小的取值范围是.2．如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==，则平面11A B C 与平面ABC 所成的锐二面角的大小为.3．已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图.若直线OA 与BC 所成角的大小为π6，则l r =.4．以下四个命题中，所有真命题的序号为.①三角形（及其内部）绕其一边所在的直线旋转一周所形成的几何体叫圆锥；②正棱柱的侧棱垂直于底面；③棱锥的各侧棱和底面所成的角相等；④圆锥的轴截面一定是等腰三角形.5．正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为11A B 的中点，则异面直线AM ，1BD 所成的角的大小为.6．已知在圆锥SO 中，底面圆O 的直径2AB =，SAB △的面积为，点M 在母线SB 上，且13SM SB =，一只蚂蚁若从A 点出发，沿圆锥侧面爬行到达M 点，则它爬行的最短距离为.7．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12BB =，1AB AD ==，E 为1AA 的中点，则1A 点到平面DCE 的距离为.8．已知αβ､是两个相交平面，空间两条直线12l l ､在α上的射影是直线1212,,S S l l ､在β上的射影是直线12t t ､.用1S 与2S ，1t 与2t 的位置关系，写出一个总能确定1l 与2l 是异面直线的充分条件：.9．已知某商品的形状为圆台，上下底面圆的半径分别为34R 和R ，高为2R ，将两个这样完全相同的商品水平放入形状为长方体的外包装盒中（不考虑外包装的厚度），则外包装盒的表面积的最小值为.10．已知正四面体ABCD 中，2AB =，1P ，2P ，L ，n P 在线段AB 上，且112AP PP ==1n n n PP P B -⋅⋅⋅==，过点()1,2,,k P k n =⋅⋅⋅作平行于直线AC ，BD 的平面，截面面积为k a ，则所有截面积之和为.（公式：()()222121126n n n n ++++⋅⋅⋅+=）11．在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，M 是棱1CC 的中点，N 是侧面11B BCC 内的动点，且满足直线1//A N 平面1AD M ，当直线1A N 与平面11B BCC 所成角最小时，记过点D M N ，，的平面截正方体1111—ABCD A B C D 所得到的截面为Ω，所有Ω的面积组成的集合记为S ，则S =．12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,F P 分别为线段1AC 和平面1111D C B A 上的动点，点G 为线段1B C 的中点，则PGF 周长的最小值为.二、单选题13．如图、用斜二测画法作△ABC 的直观图得△111A B C ，其中1111A B B C =，11A D 是11B C 边上的中线，由图形可知，在△ABC （D 是BC 的中点）中，下列结论中正确的是（）A ．AB BC AC ==B ．AD BC⊥C ．AC AD AB BC>>>D ．AC AD AB BC>>=14．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P Q R S ､､､分别为棱1AB BC BB CD ､､､的中点，连接11A S B D ､，对空间任意两点M N ､，若线段MN 与线段11A S B D ､都不相交，则称M N ､两点可视，下列选项中与点1D 可视的为（）A ．点PB ．点QC ．点RD ．点B15．分别以直角三角形的斜边和两直角边所在直线为轴，将三角形旋转一周所得旋转体的体积依次为1V ､2V ､3V ，则（）A ．123V V V =+B ．222123V V V =+C ．222123111V V V =+D ．123111V V V=+16．已知P 是正方体1111ABCD A B C D -的中心，过点P 的直线l 与该正方体的表面交于E 、F 两点，现有如下命题：①线段EF 在正方体6个表面的投影长度为()1,2,,6i t i =⋅⋅⋅，则61i i t =∑为定值；②直线l 与正方体12条棱所成的夹角的()1,2,,12i i α=⋅⋅⋅，则1212cos i i α=∑为定值.下列判断正确的是（）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题三、解答题17．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AD AB ==，12AA =，E ，F 分别是AB ，11A D 的中点.（1）求证：直线//EF 平面11BB D D ；（2）求直线EF 与平面11BCC B 所成角的正弦值.18．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，点A 的曲率为2π3，N ，M分别为AB ，1CC 的中点，且AB AC =，12AA AB =.(1)求异面直线CN 和1B M 所成角；(2)求二面角11A MB C --的正切值.19．如图，一矩形ABCD 的一边AB 在x 轴上，另两个顶点C 、D 在函数()21xf x x =+，()0x >的图像上，设C 、D 的纵坐标为t .(1)求此矩形绕x 轴旋转而成的几何体的体积()V t 和表面积()S t 关于t 的表达式；(2)求()V t 、()S t 的取值范围.20．对于函数()y F x =和数列、，若()n a F n =，()n F b n =，则称为函数=的“影数列”，为函数=的一个“镜数列”.已知()2f x x =，()2log g x x =，()2x h x x =+.(1)若为=的“影数列”，为=的“镜数列”，求24a b +的值；(2)在（1）的条件下，当5n ≥，n ∈N 时，比较n a 和n b 的大小，并说明理由；(3)若{}n c 为函数()y h x =的“影数列”，{}n d 为函数()y h x =的“镜数列”，现将{}n c 与{}n d 的公共项按从小到大的顺序重新构成数列{}n e ，试问在数列{}n e 中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由.21．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AD =，2CD =，1A D ⊥平面ABCD ，1AA 与底面ABCD 所成角为θ，设直线1AC 与平面11AA D D ､平面ABCD ､平面11AA B B 所成角的大小分别为α，β，γ.(1)若2ADC θ∠=，求平行六面体1111ABCD A B C D -的体积V 的取值范围；(2)若2ADC θ∠=且4πθ=，求α，β，γ中的最大值；(3)若2ADC π∠=，()(){g max θαθ=，()βθ，()}γθ，（其中{max a ，}b 是指a ，b 中的最大的数），求()g θ的最小值.。
上海市高二上学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市行知中学第一学期期中考试高二年级 数学试卷题类 一 二 19 20 2l 22 23 总分得分值一、填空题： (本题共 14 小题，每小题 4 分，满分 56 分)21. 若 P 1PPP 2 ，设 5P 1P 2 PP 1 ，则 的值为 。
a 1x a 2 y a 42. 已知 { a n } 是等比数列，则方程组的解的个数是 。
a 5 x a 6 y a 83. 已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，终边经过点P(-3，sintan 3 )，则行列式1cos的值为。
4. 等边△ ABC 边长为 1，则 AB BC BC CA CA AB =。
5. 向量x 经矩阵y0 1 变换后得到矩阵1 02 ，则 x y。
36. 执行如图所示的程序框图，若输入P 的值是 7，则输出 S 的值是。
7. 如果 3nlimn 11 n，那么 a 的取值范围是。
x3(a 1)38. 用数学归纳法证明 “ (n1)(n 2)...(n n) 2n1 3...(2 n 1) ”，从“ k到 k1 ”左端需增乘的代数式为。
9. 已知等差数列 { a n } 前 n 项和为S n ，若 OB a 1007 OA a 1008 OC ，且 A ， B ， C 三点共线 (不过原点 )，则S 2014 =。
10. 已知 a 与 b 均为非零向量， 给出下列命题： ①( a b) ( a) 2(b)2；② | a | a (a)2； ③若 a c b c ，则 a b ；④ (a c) b a (c b) ，上述命题中，真命题的个数是。
11. 在等差数列 { a n } 中， a 113 ，前 n 项和为 S n ，且 S 3 S 11 ，则使得 S n 最大的正整数 n 为。
12. 已知 A ， B ， C ， D 四点的坐标分别为 A(-1 ， 0)， B(1 ， 0)，C(0 ， 1)， D(2 ， 0)， P 是线段 CD 上的任意一点，则 AP BP 的最小值是。
2016-2017年上海市徐汇区南洋模范中学高二(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）两两平行的三条直线最多可以确定个平面．2．（5分）若z=（1﹣2i）（a﹣i）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为．3．（5分）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为．4．（5分）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=．5．（5分）若一个长方体顶点的三个面的面对角线分别是a，b，c，则长方体的体对角线长是．（用a，b，c表示）6．（5分）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），则m+n=．7．（5分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．8．（5分）一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则原平面图形的周长为．9．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．10．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在平面上，AB=AC=1，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则半球（不含底面）的面积为．11．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中，面积最大的那个面的面积是．12．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．二、选择题：13．（4分）若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b 14．（4分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条15．（4分）如图，在正方体ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，∠ABE=20°，∠CDF=30°，将△ABE绕直线BE，将△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转的过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为（）A．40°B．50°C．60°D．70°16．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是的AA1中点，P为地面ABCD 内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1=θ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）在北纬30°线上有A，B两地，它们分别在东经50°与东经140°的经线上，又有点C在东经50°，南纬15°线上，设地球半径为R，求：（1）A，C两地的球面距离；（2）A，B两地的球面距离（用R表示）．18．（14分）（理）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离．19．（14分）已知z∈C，且满足．（1）求z；（2）若m∈R，w=zi+m，求证：|w|≥1．20．（16分）如图，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，PB=BC=2CD=2，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设∠PAB=θ．（1）当θ为直角时，求直线PC与平面PAD所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P﹣ABD的体积为；（3）在（2）的条件下，求此时二面角D﹣PB﹣A的大小．21．（16分）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O﹣xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点P（x0，y0，z0），法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（不需要证明）；（2）设F1，F2为空间中的两个定点，|F1F2|=2C，我们将曲面Γ定义为满足|PF1|+|PF2|=2a（a＞c）的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系O﹣xyz，求曲面Γ的方程；（3）对（2）中的曲面Γ，指出和证明曲面C的对称性，并画出曲面Γ的直观图．2016-2017学年上海市徐汇区南洋模范中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共70分）1．（5分）两两平行的三条直线最多可以确定3个平面．【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【解答】解：∵两条平行线能确定一个平面，∴两两平行的三条直线最多可以确定=3个平面．故答案为：3．2．（5分）若z=（1﹣2i）（a﹣i）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为2．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：化简可得z=（1﹣2i）（a﹣i）=a﹣i﹣2ai+2i2=（a﹣2）﹣（1+2a）i，由纯虚数的定义可得a﹣2=0且1+2a≠0，解得a=2故答案为：23．（5分）若=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），与的夹角为60°，则λ的值为﹣17或1．【考点】M7：空间向量的夹角与距离求解公式．【解答】解：∵=（1，λ，2），=（2，﹣1，1），∴||=，||=，•=4﹣λ，又与的夹角为60°，∴cos60°===，解得：λ=﹣17或1．故答案为：﹣17或14．（5分）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|=．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，∴z===1+i，故|z|=，故答案为．5．（5分）若一个长方体顶点的三个面的面对角线分别是a，b，c，则长方体的体对角线长是．（用a，b，c表示）【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：设同一顶点的三条棱分别为x，y，z，则x2+y2=a2，y2+z2=b2，x2+z2=c2得x2+y2+z2=（a2+b2+c2），则对角线长为：．故答案为：．6．（5分）关于x的方程x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），则m+n=﹣1．【考点】51：函数的零点．【解答】解：∵x2+mx+2=0（m∈R）的一个根是1+ni（n∈R+），∴（1+ni）2+m（1+ni）+2=0整理可得，（3﹣n2+m）+（m+2）ni=0∵n＞0根据复数相等的条件可得，m+2=0，3+m﹣n2=0∴m=﹣2，n=1则m+n=﹣1故答案为：﹣17．（5分）若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为：．8．（5分）一个水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形ABCD，如图所示，∠ABC=45°，AB=AD=1，DC⊥BC，则原平面图形的周长为4+2．【考点】LD：斜二测法画直观图．【解答】解：如图，直观图四边形的边BC在x′轴上，在原坐标系下在x轴上，长度不变，点A在y′轴上，在原图形中在y轴上，且BE长度为AB长的2倍，过E作EF∥x 轴，且使EF长度等于AD，则点F为点D在原图形中对应的点．∴四边形EBCF为四边形ABCD的原图形．在直角梯形ABCD中，由AB=1，AD=1，得BC=．∴四边形EBCF的BE=2，EF=1，故CF=，故四边形EBCF周长为：4+2，故答案为：4+29．（5分）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且=，则的值是．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵=，∴，它们的侧面积相等，∴，∴===．故答案为：．10．（5分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六个顶点都在平面上，AB=AC=1，侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形，则半球（不含底面）的面积为2π．【考点】LR：球内接多面体．【解答】解：设球心为O，取BC的中点为E，连OE，OA，AE，因为AB=AC，E 为BC的中点，∴AE⊥BC，则OE=BE，AE=AE，所以Rt△AEO≌Rt△AEB，所以AO=AB=1，即球的半径R=1，所以半球的面积为：2πR2=2π，故答案为2π11．（5分）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中，面积最大的那个面的面积是．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为D ﹣BD1C1，由直观图可知，最大的面为BDC1．在正三角形BDC1中，BD=2，所以面积S=×（2）2×=．故答案为：12．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题：13．（4分）若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥αC．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b【考点】LP：空间中直线与平面之间的位置关系．【解答】解：选项A中，由a⊥α，a⊥b，则b可能在平面α内，故该命题为假命题；选项B中，由a∥α，a⊥b，则b⊥α或b∥α，故该命题为假命题；选项C中，由线面垂直的判定定理可知，该命题为真命题；选项D中，由a∥α，b∥α可得到a，b相交或平行，故该命题是假命题，故选：C．14．（4分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．15．（4分）如图，在正方体ABCD中，E，F分别为线段AD，BC上的点，∠ABE=20°，∠CDF=30°，将△ABE绕直线BE，将△CDF绕直线CD各自独立旋转一周，则在所有旋转的过程中，直线AB与直线DF所成角的最大值为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【考点】LM：异面直线及其所成的角．【解答】解：AB不动，由于AB∥CD，故无论直线DF运动到那里，其与CD的夹角不变，与AB的夹角也不变为30°．若DF不动，AB转动，两者的夹角在旋转过程中先变小再变大，大小不超过固定时的夹角；当AB转动到BF的另一侧且与原始位置共面时，若DF不动，可计算出两者的夹角是10°，若DF转动同一平面的另一边，此时两线的夹角为70°，取到最大值．故选：D．16．（4分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是的AA1中点，P为地面ABCD 内一动点，设PD1、PE与地面ABCD所成的角分别为θ1、θ2（θ1、θ2均不为0），若θ1=θ2，则动点P的轨迹为哪种曲线的一部分（）A．直线B．圆C．椭圆D．抛物线【考点】NF：平面与圆柱面的截线．【解答】解：建系如图，设正方体的边长为1，则E（2，0，1），D1（0，0，2），设P（x，y，0），则=（2﹣x，﹣y，1），=（﹣x，﹣y，2），∵θ1=θ2，=（0，0，1），∴cosθ1=cosθ2，即=，代入数据，得：=，整理得：x2+y2﹣x+=0，变形，得：+y2=，即动点P的轨迹为圆的一部分，故选：B．三、解答题：本大题共5小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17．（14分）在北纬30°线上有A，B两地，它们分别在东经50°与东经140°的经线上，又有点C在东经50°，南纬15°线上，设地球半径为R，求：（1）A，C两地的球面距离；（2）A，B两地的球面距离（用R表示）．【考点】L*：球面距离及相关计算．【解答】解：（1）由图可知，，则A，C两地的球面距离为；（2）由已知可得，∠AOO′=60°，则，同理，而∠AO′B=90°，∴AB=，在△AOB中，由OA=OB=R，AB=，可得cos，则．∴A，B两地的球面距离为arccos．18．（14分）（理）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AA1=AB=AC=1，∠ABC=，D、M、N分别是CC1、A1B1、BC的中点．（1）求异面直线MN与AC所成角的大小；（2）求点M到平面ADN之间的距离．【考点】LM：异面直线及其所成的角；MK：点、线、面间的距离计算．【解答】解：（1）设AB的中点为E，连接EN，则EN∥AC，且，所以∠MNE或其补角即为异面直线MN与AC所成的角．…3分连接ME，在Rt△MEN中，…5分所以异面直线MN与AC所成的角为arctan2．…6分（2）因为AB=AC=1，，所以AB⊥AC，以点A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，则：，，…8分设平面AND的一个法向量为则所以平面ADN的一个法向量为．…10分又，所以点M到平面OAD的距离．…12分．19．（14分）已知z∈C，且满足．（1）求z；（2）若m∈R，w=zi+m，求证：|w|≥1．【考点】A5：复数的运算；A8：复数的模．【解答】解：（1）设z=a+bi（a，b∈R），则|z|2=a2+b2，，由得a2+b2+2ai=5+2i关键复数相等的定义可得解得或．∴z=1+2i或z=1﹣2i．（2）当z=1+2i时，≥1，当z=1﹣2i时，≥1，综上可得：|w|≥1．20．（16分）如图，在直角梯形PBCD中，PB∥DC，DC⊥BC，PB=BC=2CD=2，点A是PB的中点，现沿AD将平面PAD折起，设∠PAB=θ．（1）当θ为直角时，求直线PC与平面PAD所成角的大小；（2）当θ为多少时，三棱锥P﹣ABD的体积为；（3）在（2）的条件下，求此时二面角D﹣PB﹣A的大小．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】解：（1）当θ为直角时，有PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∵AB∥CD，∴CD⊥平面PAD，则∠CPD为PC与平面PAD所成角，在Rt△PAD中，由PA=1，AD=2，得PD=，在Rt△PCD中，由PD=，CD=1，得tan∠CPD=．∴直线PC与平面PAD所成角的大小为arctan；（2）P到平面ABCD的距离h=PAsinθ=sinθ．S△ABD=AB×AD=1，∴V P=S△ABD•h=×1×sinθ=．﹣ABD∴sinθ=．∴θ=或；（3）设二面角D﹣PB﹣A的大小为θ，由AD⊥PA，AD⊥AB，PA∩AB=A，可得AD⊥平面PAB，则△PAB为斜面三角形PBD的射影，过A作PB的垂线AG，连接DG，当时，，AG=，PB=1，DG=，，∴cosθ=，则二面角D﹣PB﹣A的大小为arccos；当时，，AG=，PB=，DG=，，cosθ=，则二面角D﹣PB﹣A的大小为arccos．21．（16分）和平面解析几何的观点相同，在空间中，空间平面和曲面可以看作是适合某种条件的动点的轨迹，在空间直角坐标系O﹣xyz中，空间平面和曲面的方程是一个三元方程F（x，y，z）=0．（1）类比平面解析几何中直线的方程，写出①过点P（x0，y0，z0），法向量为的平面的点法式方程；②平面的一般方程；③在x，y，z轴上的截距分别为a，b，c的平面的截距式方程（不需要证明）；（2）设F1，F2为空间中的两个定点，|F1F2|=2C，我们将曲面Γ定义为满足|PF1|+|PF2|=2a（a＞c）的动点P的轨迹，试建立一个适当的空间直角坐标系O﹣xyz，求曲面Γ的方程；（3）对（2）中的曲面Γ，指出和证明曲面C的对称性，并画出曲面Γ的直观图．【考点】F3：类比推理．【解答】解：（1）①A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）=0，②Ax+By+Cz+D=0；③++=1；（2）以两个定点F1，F2的中点为坐标原点O，以F1，F2所在的直线为y轴，以线段F1F2的垂直平分线为x轴，以与xoy平面垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示，设F1（0，c，0），F2（0，﹣c，0），设P的坐标为（x，y，z），可得|F1F2|=2c＞0，||+||=2a（a＞c），∴+=2a，移项得=2a﹣，两边平方，得a =a2﹣cy，两边平方，整理得++=1，令=b，得++=1．①因此，可得曲面Γ的方程为++=1．（3）由于点（x，y，z）关于坐标原点O的对称点（﹣x，﹣y，﹣z）也满足方程①，说明曲面Γ关于坐标原点O对称；由于点（x，y，z）关于x轴的对称点（x，﹣y，﹣z）也满足方程①，说明曲面Γ关于x轴对称；同理，曲面Γ关于y轴对称；关于z轴对称．由于点（x，y，z）关于xOy平面的对称点（x，y，﹣z）也满足方程①，说明曲面Γ关于xOy平面对称；同理，曲面Γ关于xOz平面对称；关于yOz平面对称．由以上的讨论，可得曲面Γ的直观图如右上图所示．。
[推荐学习]高二数学上学期期中试卷(含解析)2
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2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷一、填空题1．计算： = ．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．3．方程的解为．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= ．6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．413．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．2015-2016学年上海市华师大二附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．计算： = ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题．【分析】先分子分母同除以n2，再利用极限的运算性质可求．【解答】解：由题意，，故答案为．【点评】本题主要考查极限的运算及性质，属于基础题．2．关于x，y的方程组的增广矩阵是．【考点】矩阵的应用．【专题】计算题；规律型；矩阵和变换．【分析】先把方程组方程组改写为，再由增广矩阵的概念进行求解．【解答】解：二元一次方程组，即，∴二元一次方程组的增广矩阵是，故答案为：【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式，是基础题，解题时要认真审题，注意熟练掌握增广矩阵的概念．3．方程的解为x1=2，x2=log25 ．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】可以用三阶矩阵的化简方法把方程左边化简，得到一个关于2x的一元二次方程，解出x即可【解答】解：由，化简得：方程﹣20×2x+4x+11×2x+20=0则方程同解于（2x）2﹣9×2x+20=0得2x=4或2x=5，x1=2，x2=log25故方程的解为x1=2，x2=log25．故答案为：x1=2，x2=log25【点评】考查学生转化三阶矩阵的方法，掌握三阶矩阵的计算方法．4．已知M（2，5），N（3，﹣2），点P在直线上，且满足=3．则点P的坐标为（，）．【考点】线段的定比分点．【专题】计算题．【分析】由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式求出点P的坐标．【解答】解：由题意可得点P分成的比为λ==3，由定比分点坐标公式可得x==，y==﹣，故点P的坐标为（，）．故答案为：（，）．【点评】本题主要考查线段的定比分点分有向线段成的比的定义，线段的定比分点坐标公式的应用，属于基础题．5．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5，则= 1 ．【考点】数列的极限；等差数列的通项公式．【专题】综合题；方程思想．【分析】由题意，可先由数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5得出数列{log2（a n﹣1）}的首项为1，公差为1，由此解出log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，从而求出a n=1+2n，再研究a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n即可得出=，结合等比数列的求和公式计算出所求的极限即可【解答】解：数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a2=5数列的公差为log24﹣log22=1，故log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n﹣1=2n，a n=1+2n，∴a n+1﹣a n=2n+1+1﹣2n﹣1=2n∴=故答案为1【点评】本题考查数列与极限的综合，考查了等差数列的性质，通项公式，对数的运算，等比数列的求和等，涉及到的知识点多，综合性强，解题的关键是由题设条件求出a n=1+2n，难度较高6．已知无穷等比数列{a n}的所有项的和为3，则a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．【考点】等比数列的通项公式．【专题】分类讨论；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由题意可得： =3，0＜|q|＜1，解出即可得出．【解答】解：由题意可得： =3，0＜|q|＜1，∴a1=3（1﹣q）∈（0，6），且a1≠3．∴a1的取值范围为{x|0＜x＜6，且x≠3}．故答案为：{x|0＜x＜6，且x≠3}．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式性质、极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．直线过（﹣1，3）且在x，y轴上的截距的绝对值相等，则直线方程为3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0 ．【考点】直线的截距式方程．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】当直线经过原点时，斜率为﹣3，可得要求的直线方程．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入求得k的值，可得要求的直线方程，综合可得结论．【解答】解：当直线经过原点时，斜率为=﹣3，要求的直线方程为y=﹣3x，即3x+y=0．当直线不经过原点时，设要求的直线方程为x±y=k，再把点（﹣1，3）代入可得﹣1﹣3=k，或﹣1+3=k，求得k=﹣4，或k=2，故要求的直线方程为x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．综上可得，要求的直线方程为 3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0，故答案为：3x+y=0、x﹣y+4=0，或x+y﹣2=0．【点评】本题主要考查求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．8．在△ABC中，A（2，4），B（1，﹣3），C（﹣2，1），则边BC上的高AD所在的直线的点斜式方程为y=x+．【考点】直线的点斜式方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出BC所在直线的斜率，根据垂直得出BC边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式．【解答】解：BC边上的高所在直线过点A（2，4），斜率为=﹣=，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为y﹣4=（x﹣2），即y=x+故答案为：y=x+．【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．9．设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是 5 ．【考点】点到直线的距离公式．【专题】直线与圆．【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．【解答】解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5【点评】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．10．已知，α∈（0，π），β∈（π，2π），与的夹角为θ1，与的夹角为θ2，且= ﹣．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】转化思想；向量法；三角函数的求值；平面向量及应用．【分析】由α∈（0，π），可得的范围．利用向量的夹角公式化简可得θ1=，同理可得θ2=﹣，再利用θ1﹣θ2=，即可得出sin的值．【解答】解：α∈（0，π），∴∈（0，）．∵•=1+cosα，||==，||=1，∴cosθ1=====cos，∴θ1=．∵β∈（π，2π），∴∈（，π），∴∈（0，）．∵•=1﹣cosβ，||==，∴cosθ2====sin=cos（﹣），∴θ2=﹣，∵θ1﹣θ2=，∴﹣（﹣）=，化为=﹣，sin=sin（﹣）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了向量的夹角公式、数量积运算、倍角公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．二、选择题11．如图给出了一个算法流程图，该算法流程图的功能是（）A．求三个数中最大的数B．求三个数中最小的数C．按从小到大排列D．按从大到小排列【考点】程序框图．【专题】图表型；分类讨论；分析法；算法和程序框图．【分析】本题主要考查了条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作，结合流程图进行判断即可．【解答】解：条件结构叠加，程序执行时需依次对“条件1”、“条件2”、“条件3”…都进行判断，只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作．根据流程图可知当a＞b时取b，当b＞c时取c可知求三个数中最小的数故选：B．【点评】本题主要考查了选择结构，根据流程图计算运行结果是算法这一模块的重要题型，算法和流程图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．12．下列有关平面向量分解定理的四个命题中：①一个平面内有且只有一对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基；②一个平面内有无数多对不平行向量可作为表示该平面内所有向量的基；③平面向量的基向量可能互相垂直；④一个平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内三个互不平行向量的线性组合．正确命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】向量的物理背景与概念．【专题】对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的基本定理，作为平面内所有向量的一组基底是两个向量不共线，由此对四个选项作出判断即可．【解答】解：一个平面内有无数多对不平行的向量可作为表示该平面所有向量的基，∴①错误，②正确；平面向量的基向量可能互相垂直，如正交基，∴③正确；平面内任一非零向量都可唯一地表示成该平面内两个互不平行向量的线性组合，如果是三个不共线的向量，表示法不唯一，∴④错误．综上，正确的命题是②③．故选：B．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用问题，解题的关键是理解作为基底的两个向量不共线，是基础题目．13．对于向量（i=1，2，…n），把能够使得||+||+…+||取到最小值的点P称为A i（i=1，2，…n）的“平衡点”．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点．下列结论中，正确的是（）A．A、C的“平衡点”必为OB．D、C、E的“平衡点”为D、E的中点C．A、F、G、E的“平衡点”存在且唯一D．A、B、E、D的“平衡点”必为F【考点】向量在几何中的应用；平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】利用平面向量知识求解．【解答】解：A、C的“平衡点”为线段上的任意一点，故A错误；D、C、E的“平衡点”为三角形内部对3边张角均为120°的点，故B错误；A、F、G、E的“平衡点”是线段FG上的任意一点，故C错误；∵矩形ABCD的两条对角线相交于点O，延长BC至E，使得BC=CE，联结AE，分别交BD、CD于F、G两点，∴A、B、E、D的“平衡点”必为F，故D正确．故选：D．【点评】本题考查“平衡点”的求法，是中档题，解题时要注意平面向量知识的合理运用．14．在平面直角坐标系中定义两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的交通距离为d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．若C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，其中实数x，y 满足0≤x≤10，0≤y≤10，则所有满足条件的点C的轨迹的长之和为（）A．1 B． C．4 D．5（+1）【考点】轨迹方程．【专题】新定义．【分析】根据已知条件可推断出|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9|，对y≥9，y≤3和3≤y≤9时分类讨论求得x和y的关系式，进而根据x的范围确定线段的长度，最后相加即可．【解答】解：由题意得，C（x，y）到点A（1，3），B（6，9）的交通距离相等，所以|x﹣1|+|y﹣3|=|x﹣6|+|y﹣9| (1)当y≥9时，（1）化为|x﹣1|+6=|x﹣6|，无解；当y≤3时，（1）化为|x﹣1|=6+|x﹣6|，无解；当3≤y≤9时，（1）化为2y﹣12=|x﹣6|﹣|x﹣1|．若x≤1，则y=8.5，线段长度为1；若1≤x≤6，则x+y=9.5，则线段长度为5；若x≥6，则y=3.5，线段长度为4．综上可知，点C的轨迹构成的线段长度之和为1+5+4=5（1+），故选：D．【点评】本题主要考查了新定义，两点间的距离公式的应用，以及分类讨论思想化简绝对值方程，考查了学生分析问、解决问题的能力．三、解答题（共5题，满分44分）15．用在矩阵行列式中所学的知识和方法，解方程组：．【考点】二元一次方程组的矩阵形式．【专题】计算题；方程思想；综合法；矩阵和变换．【分析】先求出D==﹣m2﹣3m，当D≠0时，原方程组有唯一的解；当D=0时，原方程组无解或有无数个解．【解答】解：∵，∴D==﹣m2﹣3m，当D=﹣m2﹣3m≠0，即m≠0且m≠﹣3时，方程组有唯一的解=，y==﹣2．当D=﹣m2﹣3m=0，即m=0或m=﹣3时，原方程无解或有无数个解．【点评】本题考查二元一次方程组的矩阵形式的解法及应用，是基础题，解题时要注意系数矩阵的性质的合理运用．16．已知命题P：，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），且函数f（x）在上单调递增．若命题P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】先由已知命题P是真命题，得：c为常数，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出f（x）=﹣x2+cx﹣4，结合函数f（x）在上单调递增．求得c的取值范围，最后即可解决问题．【解答】解：由已知命题P：，其中c为常数，是真命题，得：c为常数三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式记为f（x），则f（x）=﹣x2+cx﹣4，且函数f（x）在上单调递增．∴函数f（x）在上单调递增，≥⇒c≥，∵命题Q是假命题，∴c＜．∴命题P是真命题，而命题Q是假命题，实数c的取值范围是﹣1＜c＜．【点评】本题主要考查了极限及其运算、三阶矩阵等，解答的关键是条件：“复合命题的真假判断”的应用．17．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k+8=0和直线与两坐标轴围成一个四边形，求使这个四边形面积取最小时的k的值及最小面积的值．【考点】直线的一般式方程．【专题】综合题；函数思想；数形结合法；直线与圆．【分析】求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与x 轴的交点，与y 轴的交点，得到所求的四边形，求出四边形的面积表达式，应用二次函数的知识求面积最小时的k值与最小面积值．【解答】解：如图所示：直线L：kx﹣2y﹣2k+8=0 即k（x﹣2）﹣2y+8=0，过定点B（2，4），与y轴的交点C（0，4﹣k），直线M：2x+k2y﹣4k2﹣4=0，即 2x+k2（y﹣4）﹣4=0，过定点（2，4 ），与x轴的交点A（2k2+2，0），由题意，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形 OCBD的面积之和，∴所求四边形的面积为×4×（2 k2+2﹣2）+×（4﹣k+4）×2=4k2﹣k+8，∴当k=时，所求四边形的面积最小，最小面积的值为．【点评】本题考查了直线过定点问题，以及二次函数的最值问题，考查了数形结合思想的应用问题，是基础题．18．M为△ABC的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边AB，AC于点P，Q，设，记y=f（x）．（1）求函数y=f（x）的表达式；（2）求的取值范围．【考点】函数解析式的求解及常用方法；向量的线性运算性质及几何意义．【专题】转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；平面向量及应用．【分析】（1）由D为BC的中点，M为AD的中点，，结合平面向量的基本定理及三点共线的充要条件，可得关于xy的方程，进而可得函数y=f（x）的表达式；（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1），利用导数法，求出函数的值域，可得答案．【解答】解：（1）如图所示：∵D为BC的中点，M为AD的中点，∴==（）=，又∵PQM三点共线，故=λ+（1﹣λ）=，故，故=1，即y=f（x）=，（≤x≤1）（2）设△ABC的面积为1，则△APQ的面积S=xy=，（≤x≤1）故S′=，当≤x时，S′＜0，函数为减函数，当＜x≤1时，S′＞0，函数为增函数，故当x=时，S取最小值，当x=，或x=1时，S取最大值，故∈[，]．【点评】本题考查的知识点是函数的解析式的求解，向量的线性运算，向量共线的充要条件，三角形面积公式，难度中档．19．对于任意的n∈N*，若数列{a n}同时满足下列两个条件，则称数列{a n}具有“性质m”：①；②存在实数M，使得a n≤M成立．（1）数列{a n}、{b n}中，a n=n（n∈N*）、（n∈N*），判断{a n}、{b n}是否具有“性质m”；（2）若各项为正数的等比数列{c n}的前n项和为S n，且，，证明：数列{S n}具有“性质m”，并指出M的取值范围；（3）若数列{d n}的通项公式（n∈N*）．对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值M0=9，求整数t的值．【考点】数列的求和；数列的应用．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由于=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；由于=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，又＜1（n∈N*），即可判断出；（2）等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，由，，可得，解得c1，q．可得S n=2．进而验证即可证明．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，利用＜d n+1，化为：t＞，可得t＞1．另一方面：≤9，可得t≤3，即可得出．【解答】（1）解： ==n+1=a n+1，不满足条件①，因此 {a n}不具有“性质m”；==1﹣=1﹣＜1﹣＜1﹣=b n+1，因此{b n}满足条件①，又＜1（n∈N*），因此存在M=1，使得b n＜M，综上可得{b n}是否具有“性质m”．（2）证明：等比数列{c n}的公比为q＞0且q≠1，∵，，∴，解得c1=1，q=．∴S n==2．∵==2=2﹣＜2﹣=S n+1，∴数列{S n}满足条件①．又S n=2＜2，∴存在M=2，使得S n＜M，数列{S n}满足条件②．综上可得：数列{S n}具有“性质m”，M的取值范围是[2，+∞）．（3）对于任意的n≥3（n∈N*），数列{d n}具有“性质m”，∴＜d n+1，化为：t＞，∴t＞1．另一方面：≤9，∴=3+，∴t≤3，∴1＜t≤3，∴整数t=2，3．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、不等式的性质、新定义、有界数列，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
上海南洋模范初级中学数学高二上期中经典测试题(培优提高)
一、选择题1．(0分)[ID ：13027]如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A ．14B ．8π C ．12D ．4π 2．(0分)[ID ：12997]在本次数学考试中，第二大题为多项选择题.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，小明因某原因网课没有学习，导致题目均不会做，那么小明做一道多选题得5分的概率为（ ） A ．115B ．112C ．111D ．143．(0分)[ID ：12992]从区间[]0,2随机抽取4n 个数1232,,,...,n x x x x ，1232,,,...,n y y y y 构成2n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，()22,n n x y ，其中两数的平方和小于4的数对有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率疋的近似值为（ ） A ．2m nB ．2mnC ．4m nD ．16m n4．(0分)[ID ：12989]抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数是偶数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，则概率()P A B =（ ）A ．12B ．13C ．23D ．565．(0分)[ID ：12961]执行如图的程序框图，则输出x 的值是 ( )A ．2018B ．2019C ．12D ．26．(0分)[ID ：12957]A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30%，现用随机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生09-之间整数值的随机数，并用0，1，2，3，4，5，6表示没有强浓雾，用7，8，9表示有强浓雾，再以每3个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20组随机数：402 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( )A ．14 B ．25C ．710 D ．157．(0分)[ID ：12952]运行该程序框图，若输出的x 的值为16，则判断框中不可能填（ ）A ．5k ≥B ．4k >C ．9k ≥D ．7k >8．(0分)[ID ：12945]将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n)，q ＝(3,6)．则向量p 与q 共线的概率为( ) A ．13B ．14C ．16D ．1129．(0分)[ID ：12942]已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入i 个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为()1,2i p i =. 则A ．()()1212,p p E E ξξ><B ．()()1212,p p E E ξξC ．()()1212,p p E E ξξ>>D ．()()1212,p pE E ξξ<<10．(0分)[ID ：13021]抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”，事件B 表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概率为（ ） A ．23B ．13C ．1 2D ．5611．(0分)[ID ：13015]某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表： 广告费用（万元）4235销售额（万元）49263954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为 A ．63.6万元B ．65.5万元C ．67.7万元D ．72.0万元12．(0分)[ID ：13025]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A．203B．72C．165D．15813．(0分)[ID：13011]民间有一种五巧板拼图游戏.这种五巧板（图1）可以说是七巧板的变形，它是由一个正方形分割而成（图2），若在图2所示的正方形中任取一点，则该点取自标号为③和④的巧板的概率为（）A．518B．13C．718D．4914．(0分)[ID：13006]右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b分别为14,18，则输出的a （）A．0B．2C．4D．1415．(0分)[ID：12948]6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（）A．35B．13C．415D．15二、填空题16．(0分)[ID：13124]某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是______.17．(0分)[ID：13109]某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别为300，300，400通过分层抽样从中抽取40人进行问卷调查，高三抽取的人数是______．18．(0分)[ID：13106]某校连续5天对同学们穿校服的情况进行统计，没有穿校服的人数用茎叶图表示，如图，若该组数据的平均数为18，则x=_____________.19．(0分)[ID：13100]为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体1200名员工中抽80名员工做体检，现从1200名员工从1到1200进行编号，在115~中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从4660~这15个数中应抽取的数是__________．20．(0分)[ID：13096]如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M．则点M恰好取自阴影部分的概率是．21．(0分)[ID：13092]某校高一年级有600个学生，高二年级有550个学生，高三年级有650个学生，为调查学生的视力情况，用分层抽样的方法抽取一个样本，若在高二、高三共抽取了48个学生，则应在高一年级抽取学生______个.22．(0分)[ID：13082]如图所示，程序框图(算法流程图)的输出值x＝________.23．(0分)[ID：13058]若按右上图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是__________。
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南洋模范2015-2016年高二第一学期期中考试试卷
一、填空题（本大题满分56分）
1、已知方程组3512324266x y z x y x y x ++=⎧⎪
+=-⎨⎪-+-=⎩
，则其增广矩阵为 .
2、在三阶行列式1
23
456780
中，5的余子式的值为 .
3、已知向量()(),,1,2a x y b ==- ，若()1,3a b +=
，则a = .
4、已知向量()()2,3,4,7a b ==-
，则向量b 在向量a 的方向上
的投影为 .
5、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s 的值为 .
6、经过点()3,2P 且以()1,2d =-
为方向向量的直线l 的点方向 式为 .
7、已知两条直线的方程分别为1:10l x y -+=和2:220l x y -+=，则这两条直线的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）
8、圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y -+=切与点()2,1P -的圆的标准方程 .
9、设*
n N ∈，圆()2
121141:142n n n C x y n ++-⎛
⎫-+-= ⎪+⎝
⎭的面积为n S ，则lim n n S →∞= .
10、若圆()()22:6M x a y b -+-=与圆()()22
:115N x y +++=的两个交点始终为圆()()2
2
:115N x y +++=的直径两个端点，则动点(),M a b 的轨迹方程为 .
11、已知实数x y 、满1x y ≥+足，则
2
y x
-的取值范围是 . 12、如图，已知点()2,0P ，且正方形ABCD 内接于圆22:1O x y +=，M N 、分别为边AB BC 、的中点，当正方形ABCD 绕圆心O 旋转时，PM
第5题图
二、选择题（满分20分）
13.已知直线06)2(3:1=++-x k x l 与直线02)32(:2=+-+y k kx l ，记3
2)
2-3-+=
k k k D （，
0=D 是直线1l 与直线2l 平行的（ ）
A.充分不必要条件；
B.必要不充分条件；
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件.
14.设),y x （为圆1)1(22=-+y x 上的任一点，欲使不等式0≥++c y x 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A.[]1-22-1-，； B.
[)∞+，1-2 C.()1-21-2-
， D.()
1-2--，∞.
15.设椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 的左、右焦点分别为21F F 、，上顶点为B ，若
2212==F F BF ,则该椭圆的方程为（ ）
A.1222=+y x
B.132
2=+y x C.13422=+y x D.14
22=+y x 16.
已
知
数
列
{}
n a 的通
项
公
式
*
∈=N n n a n ,2，则
201
5
2
1
4
201
3
20126
5
435
4
324
3
21a a a a a a a a a a a a a a a a +
⋅⋅⋅++
+
= （ ）
A.16096-
B.16104-
C.16112-
D.16120-
17、已知椭圆)0(122
22>>=+b a b y a x E ：的右焦点为()0,c F ，短轴的一个端点为M ，直线
043:=-y x l 交椭圆E 于B A ，两点，若4=+BF AF ，点M 直线l 的距离不小于5
4
，则a
c
的取值范围是（ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡143， B.⎥⎦
⎤ ⎝⎛430， C.⎪⎪⎭⎫⎢
⎣⎡123， D.⎥⎦
⎤
⎝⎛230， 18.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅= 点Q
满)OQ a b =+。
曲
线{|cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤
，区域{|0||,}P r PQ R r R Ω=<≤≤< 。
若
C ⋂Ω为两段分离的曲线，则( )
A ．13r R <<<
B ．13r R <<≤
C ．13r R ≤<<
D ．13r R <<<
三、解答题（本大题满分74分）
19.设(1,0),(1,4)A B -,动点P 满足4PA PB ∙=
，求(1)动点P 的轨迹方程； (2)若点Q 是关于直线P 关于直线4y x =-的对称点，求动点Q 的轨迹方程。
20.已知过原点的动直线l 与圆P 相交于不同的两点,A B .
(1)求圆1C 的圆心坐标；
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；
(3)是否存在实数k ，使得直线:(4)L y k x =-与曲线C 只有一个公共点：若存在，求出k 的
取值范围；若不存在，说明理由.
21. (1)已知ABC ∆的顶点(1,1),(3,2),(2,4)A B C ,求ABC ∆的面积；
(2)若ABC ∆的顶点A 在直线y x =上运动，顶点(6,8)B ，顶点C 在线段
2(35)y x x =≤≤上运动，且,,A C B 三点的横坐标成等差数列，问ABC ∆的面积是否存在最
大值？若存在求出最大值，若不存在，说明理由.
22.已知12(2,0),(2,0)F F -分别是椭圆22
22:1(0,0)x y C a b a b
+=>>的左、
右焦点，且椭圆C 过
点(.(1)求椭圆C 的方程；
(2)直线l 过椭圆C 的右焦点2F 且斜率为1余椭圆C 交于,A B 两点，求弦AB 的长； (3)以第(2)题中的AB 为边作一个等边三角形ABP ，求点P 的坐标.
23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4,n n S a n N *+=∈
(1)求数列12132112
22n
n n n n n b a b a b a b a --+⎛⎫++++=-
⎪⎝⎭
的通项公式； (2)已知23()n c n n N *=+∈,记log (0,1)n n C n d c a C C =+>≠，是否存在这样的常数C ，
使得数列{}n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由.
(3)若数列{}n b ，对于任意的正整数n ，均有12132112
22n
n n n n n b a b a b a b a --+⎛⎫++++=-
⎪⎝⎭
成立，求证：数列{}n b 是等差数列.。