江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(二)答案

江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（二）数学试题参考答案与评分标准
数学Ⅰ部分
一、填空题：
1．22．3
43．15004．
1
35．46．1-7．3
8．
9．410．2π
3
11．－212．313．514．[2,3]
二、解答题：
15.解：(1)由正弦定理，得sin sin
a B
b A
=
……………………………２分因为b＝4，sin
a B=所以sin2
A=，……………………………４分又
π
2
A
<<，所以π
3
A=．………………………………６分
(2)若b＝4，c＝6，由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2
bc cos A＝16＋36－2×24×
1
2＝28，
所以a＝………………………………８分因为D为BC的中点，所以BD＝DC．
在ABD
∆与ACD
∆中，分别由余弦定理，得
222
222
2cos,
2cos,
AB BD AD BD AD ADB
AC CD AD
CD AD ADC
⎧=
+-⋅⋅∠
⎪
⎨
=+-⋅⋅∠
⎪⎩
即
2
2
367cos,
167cos,
AD ADB
AD ADC
⎧=+-⋅∠
⎪
⎨
=+-⋅∠
⎪⎩
………………………………12分又π
ADB ADC
∠+∠=，两式相加得,
52=14＋2
2AD，
解得，AD=．………………………………14分16．证明：(1)连结1交1
BD于N，则N为
1
AC中点，
又因为点M为1
AA的中点，所以//
MN AC，……………3分
又MN⊂
平面
1
BMD，AC⊄平面
1
BMD，
∴//
AC平面1
BMD.……………………………7分
(2) 四边形11
BDD B为矩形，∴1
BD BB
⊥，
又
11
//
BB AA
，∴
1
BD AA
⊥
底面ABCD是菱形，∴AC BD
⊥，………………9分
又
1
AC AA A
⋂=
，∴BD⊥平面
1
A AC．………12分
MC⊂
平面
1
A AC，∴BD MC
⊥，………………14分
17．解：⑴当1
n=时，2
111
2S a a
=+，解得
1
1
a=，或
1
a= M
A
D
B
A1
D1C1
B1
C
(第16题图)
N
（舍）.……………１分
当2n ≥时，2
1112n n n S a a ---=+，则有
22
11122()()n n n n n n S S a a a a ----=+-+，
即22
112()()n n n n n a a a a a --=-+-，
22
11n n n n a a a a --+=-，
………………………………………4分因为0n a >，所以11n n a a --=．
所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，
数列{}n a 的通项公式为,*n a n n N =∈．………………………………………7分
(2)因为111211111
((2)22n
n n
i i i i i a a i i i
i ===+==-++∑∑∑………………………………………9分＝1111(1)2212n n +--++………………………………………12分＝31113()42124
n n -+<++．故c 的取值范围为3
[,)4
+∞．
………………………………………14分18．解：(1)12()()sin(ωα)sin(ωβ)
f x f x A x A x +=+++＝(cosαcosβ)sin ω(sin αsinβ)cosωA x A x +++，……………2分
叠加后强度为A A ⋅
1，即1cos(αβ)2
-=-，……………………………5分
故|αβ|-的最小值
2π3
．………………………………………7分(2)设我方两个载波为1122()2sin(φ),()2sin(φ)g x x g x x =+=+，则1212()()()2sin 2sin(φ)2sin(φ)
g x g x g x x x x ++=++++＝12122[(1cos φcosφ)sin (sin φsin φ)cos ]x x ++++．…………9分
因为强度的最小值为零，所以
12121cos φcosφ0,
sin φsin φ0,
++=⎧⎨
+=⎩……………………………………12分即2121cosφ1cos φ,sin φsin φ,=--⎧⎨=-⎩，消去2φ得11cosφ2=-,………………………………14分
若取12πφ3=
，可取24πφ3=(或22π
φ3
=-等)，则122π4π()2sin(),g ()2sin()33g x x x x =+=+(或22π
()2sin()3
g x x =-等)．
此时1211()()()2[sin (sin cos )(sin cos )]02222
g x g x g x x x x x x ++=+-++--=．
…………………………16分
19．(1)解：设P (x 0,y 0),则2200221x y
a b
+=，①
又OP 的中点在直线AF :
1x y
c b +=上,所以002x y c b
+=，②……………2分
②代入①，得2
2002(2)1,
x x
a c
+-=即22200224
30a c x x a c c +⋅-⋅+=．
………………………………………4分
所以△＝22222
1612()0a c c a c +-≥，
即223a c ≥，
故离心率的取值范围为(0，
3
．………………………………………7分
(2)证明：若线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为cx
y b
=
，…………………………8分与直线AF 的方程1x y c b +=联立,解得两直线交点的坐标(22
22,b c bc a a
)．
因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为(22
2222,b c bc a a
)，………………11分
由点P 在椭圆上，得4224
642441b c b c a a b +=，
又222
b a
c =-,设22c t a
=，得224[(1)]1t t t -⋅+=．(＊)……………13分
令2232()4[(1)]14()1f t t t t t t t =-⋅+-=-+-，则
2
()4(321)0f t t t '=-+>/，
所以()f t 在区间(0,1)上单调递增，因为(0)10,(1)30f f =-<=>,
由函数零点存在性定理，知()0f t =在区间(0,1)上有解，即(＊)式方程有解，
故存在椭圆Ｃ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．…………………………16分
20．(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，
因为f (-x )=cos(-x )+a (-x )2-1=cos x +ax 2-1=f (x ),所以函数f (x )是偶函数.……………………………………3分
(2)解：当a =1时，f (x )=cos x +x 2-1，则f ´(x )=-sin x +2x ,
令g (x )=f ´(x )=-sin x +2x ,则g ´(x )=-cos x +2>0,所以f ´(x )是增函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≥0，所以f (x )在[0，π]上是增函数，又函数f (x )是偶函数，
故函数f (x )在[-π，π]上的最大值是π2-2，最小值为0.…………………………8分
(3)解：f ´(x )=-sin x +2ax ,
令g (x )=f ´(x )=-sin x +2ax ,则g ´(x )=-cos x +2a ,
①当a ≥1
2
时,g ´(x )=-cos x +2a ≥0,所以f ´(x )是增函数，
又f ´(0)=0，所以f ´(x )≥0，所以f (x )在[0，+∞)上是增函数，而f (0)=0，f (x )是偶函数，故f (x )≥0恒成立．………………………………………12分②当a ≤-1
2
,g ´(x )=-cos x +2a ≤0,所以f ´(x )是减函数，
又f ´(0)=0，所以f ´(x )≤0，所以f (x )在(0，+∞)上是减函数，
而f (0)=0，f (x )是偶函数，所以f (x )<0，与f (x )≥0矛盾，故舍去．………………14分③当-12<a <1
2
时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g ´(x 0)=0，
因为g ´(x )=-cos x +2a 在[0，π]上是增函数，
所以当x ∈(0,x 0)时，g ´(x )<0,即f ´(x )在(0,x 0)上是减函数，
又f ´(0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时f ´(x )≤0，即f (x )在(0，x 0)上是减函数，而f (0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时f (x )<0，与f (x )≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是[1
2
，+∞)．
………………………………………16分
数学Ⅱ部分
21．【选做题】
A ．(选修4—2：矩阵与变换)
解:由题意知111111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
,即11,11,a b +=⎧⎨+=-⎩,解得0,
2.a b =⎧⎨=-⎩所以1021M ⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，………………………………………5分()()0,2,1,3A C 在变换T 作用下变为()10,2A ，()11,1C ,
故△111A B C 的面积为1.………………………………………10分
B ．(选修4—4：坐标系与参数方程)
解：曲线Ｃ的普通方程为22(2)4x y -+=，
直线l 的方程为y x =，………………………………………5分
所以直线l 被曲线C 截得的弦长π
4cos 4
=分
C ．(选修4—5：不等式证明选讲)
证明：因为0,0,x y x y >>>，所以0x y ->，
因为
()()
()()()
2
2
1
1
23x y x y x y x y x y -+
=-+-+
--≥，
当且仅当1x y -=时等号成立，
………………………………8分所以22
1
2(1)12x y x xy y --+
-+≥．
…………………………………10分
【必做题】
22．解:(1)设X 为射手在3次射击中击中目标的次数,则X ～
在3次射击中,恰有2
次击中目标的概率
P (X ＝2)＝C 23
＝49
.
………………………………………5分(2)由题意可知
0,1,2,3,6.
P (X ＝0)＝127；P (X ＝1)＝12
3212()
33
9
C =；
P (X ＝2)＝2
×1×23＝427；P (X ＝3)×13＋13×＝8
27；
P (X ＝6)＝8
27
.
X 的分布列是
X
01236P
12729427827827
…………………………………8分
所以X 的数学期望()E X ＝248886
1236927272727
⨯+⨯+⨯+⨯=
．………………10分23．解：设1122(,),(,)A x y B x y (120y y ≠)，因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，
又22
11222,2y x y x ==，所以22121204
y y y y +=，解得124y y =-．………………………………………2分
(1)当12x x =时，直线AB 方程为2x =，AB 与x 轴的交点坐标为(2,0)．
当12x x ≠时，直线AB 方程为2
121122
12()222
y y y y y x y y --=--，令0y =，得1222
y y
x =-=，
故线段AB 与x 轴的交点坐标(2,0)．………………………………………5分
(2)设点A 处的切线方程为11()x―x m y―y =，代入22y x =，得
2211220y ―my my ―y +=，
由△22114840m ―my y +=＝，得1m y =，
所以点A 处的切线方程为11y y x x =+，………………………………………7分同理点B 处的切线方程为2
2y y x x =+所以两条切线交点P 的横坐标为122112
1222
x y x y y y x y y -===--，
故P 点的轨迹方程为2x =-．………………………………………10分。