2015年高考数学第一轮复习课件：7.4直线、平面平行的判定与性质

a_⊂__α_，___b⊄_ α， a_∥__b____
a∥α
b∥α
a∩α＝∅
a_∥__α_，___a_⊂_ β， _α_∩__β_＝__b___
a∥b
第二页，编辑于星期五：十一点 五十分。
2.面面平行的判定与性质
判定
定义
定理
图形
性质
条件 结论
α∩β＝∅ α∥β
a⊂__β_，__b_⊂__β， a∩__b_＝__P__，_
a_∥__α_，__b_∥__α_
α__∥__β_，__ α__∩__γ＝__a_， _β_∩__γ_＝__b_
α∥β，a⊂β
α∥β
a∥b
a∥α
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1．对直线与平面平行的判定与性质的理解 (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，
则这条直线平行于这个平面．( ) (2)若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的
证明 法一 如图，连接 B1D1，B1C. ∵P，N 分别是 D1C1，B1C1 的中点， ∴PN∥B1D1. 又 B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又 PN⊄平面 A1BD，∴PN∥平面 A1BD. 同理 MN∥平面 A1BD. 又 PN∩MN＝N， ∴平面 PMN∥平面 A1BD.
mn αβ
故 C 错误；故 D 正确．
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【例 1】(2)设 m，n 表示不同直线，α，β 表示 不同平面，则下列结论中正确的是( D )． A．若 m∥α，m∥n，则 n∥α B．若 m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则 α∥β C．若 α∥β，m∥α，m∥n，则 n∥β D．若 α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则 n∥β
巧妙的等积变换
求几何体的体积，要熟记特殊几何体的体积公式，对于不规则 的几何体,要能“割”善“补”.还要善于用等积转换法求解。特别是 四面体的体积问题，适当选择或变换底和高，有时会达到事半 功倍的效果。
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线面平行的判定与性质
考 点
判断或证明线面平行的常用方法：
b
β
aα
b
β
aα
b
β
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有关线面、面面平行的命题真假判断
考 点
【训练 1】(2)给出下列关于互不相同的直线 l，m， n 和平面 α，β，γ 的三个命题： ①若 l 与 m 为异面直线，l⊂α，m⊂β，则 α∥β； ②若 α∥β，l⊂α，m⊂β，则 l∥m； ③若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则 m∥n. 其中真命题的个数为( C )． A．3 A．2 C．1 D．0
三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化 为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与 已知平面相交,则该直线与交线平行,如(2)、(4).
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有关线面、面面平行的命题真假判断
考 点
【例 1】(1)(2013·广东卷)设 m，n 是两条不同
的直线，α，β 是两个不同的平面，下列命题中
证明（1） 法二 如图 2， 取 CD 的中点 N，连接 GN、HN. ∵G 为 DE 的中点，∴GN∥CE. ∵CE⊂平面 CEF，GN⊄平面 CEF，
∴GN∥平面 CEF.连接 FH，EN
∵F，E，H 分别是棱 AB，BD，AC 的中点， ∴FH∥12BC，EN∥12BC，∴FH∥EN， ∴四边形 FHNE 为平行四边形，∴HN∥EF.
图N（2 ）
∵EF⊂平面 CEF，HN⊄平面 CEF，∴HN∥平面 CEF.HN∩GN＝N， ∴平面 GHN∥平面 CEF.
∵GH⊂平面 GHN，∴直线 HG∥平面 CEF.
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考
面面平行的判定与性质
点
【例 3】 (2013·陕西卷)如图，四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝ 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1;(2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积．
规律方法
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【训练 2】如图，在四面体 A-BCD 中，F，E，H 分别是棱 AB， BD，AC 的中点，G 为 DE 的中点．证明：直线 HG∥平面 CEF.
证明（1） 法一
如图 1，连接 BH，BH 与 CF 交于 K， 连接 EK.
∵F，H 分别是 AB，AC 的中点， ∴K 是△ABC 的重心，
解析 ① 中，当 α 与 β 相交时，也能存在符合 题意的 l，m；
②中，l 与 m 也可能异面；
③中，l∥γ，l⊂ β，β∩γ＝m⇒ l∥m，
同理 l∥n，则 m∥n，正确． 答案(2)C
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线面平行的判定与性质
考 点
【例 2】如图，直三棱柱 ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°,AB＝AC＝ 2, AA′＝1,点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面 A′ACC′；(2)求三棱锥 A′-MNC 的体积．
P
如图，而 M，N 分别为 AB′与 B′C′的中点，
取 A′B′的中点 P，连接 MP，NP，AB′
所以 MP∥AA′，PN∥A′C′，
所以 MP∥平面 A′ACC′， PN∥平面 A′ACC′.
又 MP∩NP＝P，因此平面 MPN∥平面 A′ACC′. 而 MN⊂平面 MPN，因此 MN∥平面 A′ACC′.
(1)利用线面平行的定义，一般用反证法；
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α， a ∥b⇒a∥α)，其关键
是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言 的叙述；
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，∥α⇒a∥β)．
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线面平行的判定与性质
考 点
解（2） 法一 连接 BN，如图，
由题意 A′N⊥B′C′， 平面 A′B′C′∩平面 B′BCC′＝B′C′，
所以 A′N⊥平面 NBC.又 A′N＝12B′C′＝1，
故法二VA′-MNC＝VN-A′MC＝12VN-A′BC＝12VA′-NBC＝16. VA′-MNC＝VA′-NBC－VM-NBC＝12VA′-NBC＝16.
考 点
审题路线 (2)断定 A1O 为三棱 柱 ABD-A1B1D1 的高 ⇒用勾股定理求 A1O ⇒求 S△ABD ⇒求 VABD-A1B1D1.
(1)证明两个平面平行的方法有： ①用定义，此类题目常用反证法来完成证②明用；判定定理或推论(即“线线 平行⇒面面平行”)，通过线面平行来完成证明；
规律方法
a∥平面 α，则直线 b 与平面 α 的位置关系是( D )．
A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α 或 b∥α D．b 与 α 相交或 b⊂α 或 b∥α
aα
解析
(1)可以构造一草图来表示位置关系，
（看右图：a⊥β，a∥α，b⊂ β，α⊥β）
经验证，当 b 与 α 相交或 b⊂ α 或 b∥α 时，均满足直线 a⊥b，且直线 a∥平面 α 的 情况，故选 D.
③根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”这一性质进行
证明；④借助“传递性”来完成．
(2)面面平行问题常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线 线平行，需要注意转化思想的应用.
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面面平行的判定与性质
考 点
训练 3 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 C1C，B1C1， C1D1 的中点，求证：平面 PMN∥平面 A1BD.
平行或异面．( ) (7)(教材练习改编)设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面，
若 l∥α，l∥β，则 α∥β.( )
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三个防范
一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平 面外，一条直线在平面内，如(1)(3)．
二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的 两条相交直线平行于另一平面，如(5)．
证明（1） 法一 连接 AB′，AC′，如图， 由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱， 所以 M 为 AB′中点．
又因为 N 为 B′C′的中点，所以 MN∥AC′.
又 MN⊄平面 A′ACC′，AC′⊂平面 A′ACC′， 因此 MN∥平面 A′ACC′.
证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线， 可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平 行四边形、寻找比例式证明两直线平行．注意说明已知的直线不在平面内．
知识与方法回顾
知识梳理 辨析感悟
技能与规律探究
探究 一 有关线面、面面平行 的命题真假判断
探究二 线面平行的判定 与性质
探究三 面面平行的判定 与性质
例1 训练1
例2 训练2
例3 训练3
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1．直线与平面平行的判定与性质
判定
定义
定理
性质
图形
条件 a∩α＝∅
结论
a∥α
任一条直线．( ) (3)若直线 a 与平面α内无数条直线平行，则 a∥α.( ) (4)若直线 a∥α，P∈α，则过点 P 且平行于 a 的直线有无数条．( )
第四页，编辑于星期五：十一点 五十分。
2．对平面与平面平行的判定与性质的理解 (5)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，
那么这两个平面平行．( ) (6)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线
正确的是( D )． A．若 α⊥β，m⊂α，n⊂β，则 m⊥n
m n
B．若 α∥β，m⊂α，n⊂β，，则 m∥n C．若 m⊥n，m⊂α，n⊂β，则 α⊥β
mα
D．若 m⊥α，m∥n，n∥β，则 α⊥β 解（1 A 中，m 与 n 可垂直、可异面、可平行；
β
n
）B 中 m 与 n 可平行、可异面； C 中 若 α∥β，仍然满足 m⊥n，m⊂ α，n⊂ β，
第十二页，编考 点
【例 2】如图，直三棱柱 ABC-A′B′C′，∠BAC＝90°,AB＝AC＝ 2, AA′＝1,点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面 A′ACC′；(2)求三棱锥 A′-MNC 的体积．
证明（1） 法二
∴A1B∥D1C. 又 A1B⊄平面 CD1B1，
∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B＝B，
∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
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(2)解 ∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 又AB∵DA-AO1＝B112DA1 C的＝高1．，
AA1＝ 2， ∴A1O＝ AA12－OA2＝1. 又∵S△ABD＝12× 2× 2＝1， ∴VABD-A1B1D1＝S△ABD×A1O＝1.
证明（1） 由题设知，BB1∥DD1，
审题路线
∴四边形 BB1D1D 是平行四边形，
(1)判定四边形 BB1D1D 是
∴ ∴∴B四BDD边∥∥形平BA1面D1B1C.C又 DD11BB是1D.∵平⊄平A行1面D四1∥C边DB形11BC，11，∥BC，平 ⇒ 推⇒行 出 B面D四A∥A1边1B平B∥形D面∥平⇒C面面DB1CCDBDD∥1 ⇒11BBB同111.D理1
∴又B据BHK题＝设23.条件知，BBGE＝23，
（1 ）
∴BBHK＝BBGE，∴EK∥GH.
∵EK⊂平面 CEF，GH⊄平面 CEF，
∴直线 HG∥平面 CEF.
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【训练 2】如图，在四面体 ABCD 中，F，E，H 分别是棱 AB， BD，AC 的中点，G 为 DE 的中点．证明：直线 HG∥平面 CEF.
解（2） A 错误，n 有可能在平面 α 内； B 错误，平面 α 有可能与平面 β 相交； C 错误，n 也有可能在平面 β 内； D 正确，易知 m∥β 或 m⊂ β，若 m⊂ β， 又 n∥m，n⊄β，∴n∥β，若 m∥β，过 m 作平面 γ 交平面 β 于直线 l，则 m∥l，又 n∥m，∴n∥l，又 n⊄β，l⊂ β，∴n∥β. 答案(2)D
第八页，编辑于星期五：十一点 五十分。
考
有关线面、面面平行的命题真假判断
点
线面平行、面面平行的命题真假判断多以小题出现，
处理方法是数形结合，画图或结合正方体等有关模型来 解题．
规律方法
第九页，编辑于星期五：十一点 五十分。
有关线面、面面平行的命题真假判断
考 点
【训练 1】(1)(2014·长沙模拟)若直线 a⊥b，且直线