初三数学 代数几何综合题

初三数学 代数几何综合题2
Ⅰ、综合问题精讲：
代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型，近几年中考试题中的综合题大多以代数几何综合题的形式出现，其解题关键点是借助几何直观解题，运用方程、函数的思想解题，灵活运用数形结合，由形导数，以数促形，综合运用代数几何知识解题． Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（温州，12分）如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，A 是BDC 的中点，AE ⊥AC 于A ，与⊙O 及CB 的延长线分别交于点F 、E ，且BF AD =，EM 切⊙O 于M 。

⑴ △ADC ∽△EBA;⑵ AC2＝1
2
BC ·CE ； ⑶如果AB ＝2，EM ＝3，求cot ∠CAD 的值。

解:⑴∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠CDA ＝∠ABE ，
∵BF AD =，∴∠DCA ＝∠BAE ，
∴△CAD ∽△AEB
⑵ 过A 作AH ⊥BC 于H(如图)
∵A 是BDC 中点，∴HC ＝HB ＝12
BC ， ∵∠CAE ＝900，∴AC 2＝CH ·CE ＝12
BC ·CE ⑶∵A 是BDC 中点，AB ＝2，∴AC ＝AB ＝2，
∵EM 是⊙O 的切线，∴EB ·EC ＝EM 2
①
∵AC 2＝12
BC ·CE ，BC ·CE ＝8 ② ①＋②得：EC(EB ＋BC)＝17，∴EC 2＝17
∵EC 2＝AC 2＋AE 2，∴AE ＝17－22＝13
∵△CAD ∽△ABE ，∴∠CAD ＝∠AEC ，
∴cot ∠CAD ＝cot ∠AEC ＝AE AC ＝132
点拨：此题的关键是树立转化思想，将未知的转化为已知的．此题
表现的非常突出．如，将∠CAD 转化为∠AEC 就非常关键.
【例2】（自贡）如图 2－5－2所示，已知直线y=2x+2分别与x 轴、
y 轴交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC ，
∠BAC=90○。

过C 作CD ⊥x 轴，D 为垂足．
（1）求点 A 、B 的坐标和AD 的长；
（2）求过B 、A 、C 三点的抛物线的解析式。

解：（1）在y=2x+2中
分别令x=0，y=0．
得 A （l ，0），B （0，2）．
易得△ACD ≌△BAO ，所以 AD=OB=2．
（2）因为A(1，0），B （0，2），且由（1），得C （3,l ）．
设过过B 、A 、C 三点的抛物线为2y ax bx c =++
所以560172 69312a a b c c b a b c c ⎧=⎪++=⎧⎪⎪⎪==-⎨⎨⎪⎪++=⎩=⎪⎪⎩，解得 所以2517266
y x x =-+ 点拨：此题的关键是证明△ACD ≌△BAO ．
【例3】（重庆，10分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒．
(1) 求直线AB 的解析式；(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？
(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524
个平方单位？
解：（1）设直线AB 的解析式为y ＝k x ＋b
由题意，得b=680k b ⎧⎨+=⎩ 解得346k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以，直线AB 的解析式为y ＝－4
3x ＋6． （2）由AO ＝6， BO ＝8 得AB ＝10
所以AP ＝t ，AQ ＝10－2t
1° 当∠APQ ＝∠AOB 时，△APQ ∽△AOB ．
所以 6
t ＝10210t - 解得 t ＝1130(秒)
2° 当∠AQP ＝∠AOB 时，△AQP ∽△AOB ．
所以 10t ＝6210t - 解得
t ＝13
50(秒) （3）过点Q 作QE 垂直AO 于点E ．
在Rt △AOB 中，Sin ∠BAO ＝AB BO ＝5
4
在Rt △AEQ 中，QE ＝AQ ·Sin ∠BAO ＝(10-2t )·54＝8 －58t 所以，S △APQ ＝21AP ·QE ＝2
1t ·(8－5
8t )
＝－2
54t ＋4t ＝524 解得t ＝2（秒）或t ＝3（秒）．
（注：过点P 作PE 垂直AB 于点E 也可，并相应给分）
点拨：此题的关键是随着动点P 的运动，△APQ 的形状也在发生着变化，所以应分情况：①∠APQ ＝∠AOB ＝90○
②∠APQ ＝∠ABO ．这样，就得到了两个时间限制．同时第（3）问也可以过P 作 PE ⊥AB ．
【例4】（南充，10分）如图2－5－7，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，对角线AC 上有一个动点P （不包括点A 和点C ）．设AP ＝x ，四边形PBCD 的面积为y ．
（1）写出y 与x 的函数关系，并确定自变量x 的范围．
（2）有人提出一个判断：“关于动点P ，⊿PBC 面积与⊿PAD 面
积之和为常数”．请你说明此判断是否正确，并说明理由．
解：（1）过动点P 作PE ⊥BC 于点E ．
在Rt ⊿ABC 中，AC ＝10， PC ＝AC －AP ＝10－x ．
∵ PE ⊥BC ，AB ⊥BC ，∴⊿PEC ∽⊿ABC ． 故 AC
PC AB PE =，即.548,10108x PE x PE -=-= ∴⊿PBC 面积＝.512
2421x BC PE -=⋅
又⊿PCD 面积＝⊿PBC 面积＝.51224x -
即 y x 524
48-=，x 的取值范围是0＜x ＜10．
（2）这个判断是正确的．
理由： 由（1）可得，⊿PAD 面积＝.512x
⊿PBC 面积与⊿PAD 面积之和＝24．
点拨：由矩形的两边长6,8．可得它的对角线是10，这样PC ＝10－x ，而面积y 是一个不规则的四边形，所以可以把它看成规则的两个三角形：△PBC 、△PCD ．这样问题就非常容易解决了.
Ⅲ、综合巩固练习
（100分 90分钟）
1、如图2－5－8所示，在直角坐标系中，△ABC 各顶点坐标分别为
A （0， 3 ），
B （－1，0）、
C （0，1）中，若△DEF 各顶点坐标分
别为D （ 3 ，0）、E （0，1）、F （0，－1），则下列判断正确的是（ ）
A ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转90○
得到;
B ．△DEF 由△AB
C 绕O 点逆时针旋转90○得到;
C ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转60○得到;
D ．△DEF 由△ABC 绕O 点顺时针旋转120○得到
2．如图2－5－9,已知直线 y=2x ＋1与x 轴交于A 点，与y 轴交
于B 点，直线y=2x —1与x 轴交于C 点，与y 轴交于D 点，试判
断四边形ABCD 的形状．
3．如图2－5－10所示，在矩形ABCD 中，BD=20，AD ＞AB ，设∠ABD=
α，已知sin α是方程25z 2－35z+ 12=0的一个实根．点E 、F 分别
是BC 、DC 上的点，EC+CF=8，设BE=x ，△AEF 面积等于y.
⑴ 求出y 与x 之间的函数关系式；
⑵ 当E 、F 两点在什么位置时y 有最小值？并求出这个最小值．
4．（10分）如图2－5－11所示，直线y=－43
x+ 4与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ． （1）求M 、N 两点的坐标；
（2）如果点P 在坐标轴上，以点P 为圆心，125 为半径的圆与直线y=－43
x+ 4相切，求点P 的坐标．
5．（10分）如图2－5-12所示，已知等边三角形ABC 中，AB=2，点P 是AB 边上的任意一点（点P 可以与点A 重合，但不与点B 重合），过点P 作PE ⊥BC ．垂足为E ；过点E 作EF ⊥AC ，垂足为F ；过点F 作FQ ⊥AB ，垂足为Q ．设BP=x ，AQ=y ．
⑴ 写出y 与x 之间的函数关系式；
⑵ 当BP 的长等于多少时，点P 与点Q 重合；
⑶ 当线段 PE 、FQ 相交时，写出线段PE 、EF 、FQ 所围成三角形的周长的取值范围（不必写出解题过程）
6．（12分）如图2－5－13所示，已知A 由两点坐标分另为（28，0）和（0，28），动点P 从A 点开始在线段AO 上以每秒3个长度单位的速度向原点O 运动，动直线 EF 从 x 轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动(即EF ∥x 轴)并且分别交y 轴，线段AB 交于E 、F 点．连接FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒．
⑴ 当t ＝1秒时，求梯形OPFE 的面积，t 为何值时，梯形OPFE 的面积最大，最大面积是多少？
⑵ 当梯形OPFE 的面积等于△APF 的面积时，求线段 PF 的长．
⑶ 设t 的值分别取t 1，t 2时（t 1≠t 2），所对应的三角形分别为△AF 1P 1和△AF 2P 2 ，试判断这两个三角形是否相似，请证明你的判断．
7．（12分）如图2－5－14所示，在直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点，A 的坐标为(1，0)，
对角线的交点P 的坐标为（52
，1） ⑴ 写出B 、C 、D 三点的坐标；
⑵ 若在AB 上有一点 E 作，’入过 E 点的直线‘将矩形ABCD 的面积分为相等的两部分，求直线l 的解析式；
⑶ 若过C 点的直线l 将矩形ABCD 的面积分为4：3两部分，并与y 轴交于点M ，求过点C 、
D 、M 三点的抛物线的解析式．
8．（10分）已知矩形ABCD 在平面直角坐标系中，顶点A 、B 、D 的坐标分别为A （0，0），B （m ，0），D （0，4）其中m ≠0．
⑴ 写出顶点C 的坐标和矩形ABCD 的中心P 点的坐标（用含m 的代数式表示） ⑵ 若一次函数y=kx －1的图象l 把矩形ABCD 分成面积相等的两部分，求此一次函数的解析式（用含m 的代数式表示）
⑶ 在⑵的前提下，l 又与半径为1的⊙M 相切，且点 M （0，1），求此矩形ABCD 的中心P 点的坐标．
9．（10分）如图2－5－15所示，等边三角形ABC的边长为6，点D、E分别在边AB，AC上，且AD=AE=2，若点F从点B开始以每秒二个单位长度的速度沿射线BC方向运动，设点F运动的时间为t秒，当t＞0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交于点H，AB与GH相交于点O．
⑴设△EGA的面积为S，写出S与 t的函数解析式；
⑵当t为何值时，AB⊥GH；
⑶请你证明△GFH的面积为定值．
10. (10分)如图2－5-16，在矩形ABCD中，AB=10。

cm，BC=8cm．点P从A出发，沿A→B →C→D路线运动，到D停止；点Q从D出发，沿D→C→B→A路线运动，到A停止，若点P、点Q同时出发，点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，a s时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为bcm/s，点Q的速度变为d cm/s，图 2－5－17是点 P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（s）的函数关系图象；图2－5－18是点Q出发xs后面AQD的面积S2（cm2）与x（s）的函数关系图象．
⑴参照图2－5－17，求a、b及图中c的值；
⑵求d的值；
⑶设点P离开点A的路程为y1(cm)，点Q到点A还需走的路程为y2(cm)，请分别写出动点 P、Q改变速度后，y1、y2与出发后的运动时间x（s）的函数解析式，并求出P、Q相遇时x的值．
⑷当点Q出发_______s时，点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm．。