2018-2019学年上海市复附浦分高三下学期开学考数学试卷

复附浦分高三开学考数学试卷
2019.03
一. 填空题
1. 若复数z 满足(12i)1i z +=-，其中i 是虚数单位，则||z =
【答案】
5
2. 已知集合{1,2}A =，2{,3}B a a =-，若{1}A B =，则实数a 的值为
【答案】1或-2
3. 不等式22log ()1x x -<的解集为 【答案】(1,0)(1,2)x ∈-
4. 5(2x +
的展开式中，3x 的系数是 （用数字作答）
【答案】10
5. 设向量a 、b 满足||10a b +=，||6a b -=，则a b ⋅= 【答案】1
6. 已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若1a 、3a 是方程2
540
x x -+=的两个根，则6S = 【答案】63
7.
已知
2sin
12
2
cos 2cos
2
θ
θ
θ
=
，则tan θ= 【答案】3或13
-
8. 在平面直角坐标系中，M 为不等式组360200,0x y x y x y --≤⎧⎪
-+≥⎨⎪≥≥⎩
所表示的区域上一动点，已知点
(1,2)A -，则直线AM 斜率的最小值为
【答案】-2
9. 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名 志愿者，则甲、乙在同一路口的分配方案种数为 （用数字作答） 【答案】36
10. 在平面直角坐标系中，A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直 线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为
【答案】45
π
11. 在平面内定点A 、B 、C 满足||||||DA DB DC ==，2DA DB DB DC DC DA ⋅=⋅=⋅=-，
动点P 、M 满足||1AP =，PM MC =，则2
||BM 的最大值为
【答案】
494
【解析】ABCD 位置关系如图，长度为2，两两夹角均为120
︒
以点D 为原点，DA 为y 轴建系，则()()(
)
0,2,3,1,3,1A B C
---，设
()cos ,2sin P αα+，则3cos 1sin ,2M αα⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭，3cos 1sin 3,122BM αα⎛⎫
++=++ ⎪ ⎪⎝⎭
，故()
2
BM 的最大值为
49
4
12. 已知函数2(43)30
()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩
（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关
于x 的方程|()|2f x x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是
【答案】123[,]{}334
【解析】()f x 在R 上单调递减，∴分段均为单调递减，且前一段的最小值大于等于后一段
的最大值，34020131
a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩
，解得13
34a ≤≤，作出()y f x =与2y x =-的图像，由图像知，
()f x 与2y x =-在(),0-∞和[)0,+∞上均需要有一解。

联立()2
4332x a x a x +-+=-，则()()2
424320a a ∆=---=，解得34
a =
，故答案为123
[,]{}334.
二. 选择题
13. 若l 、m 是两条不同的直线，l 不垂直于平面α，则“l m ⊥”是“l ∥α”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D
14. 下列函数中，既是偶函数，又在(0,1)上单调递增的是（ ）
A. 3|log |y x =
B. 3y x =
C. ||2x y =
D. cos ||y x = 【答案】C
15. 设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++（0ω>，||2
π
ϕ<
）的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则（ ）
A. ()f x 在(0,)2
π上单调递减 B. ()f x 在3(,
)44
ππ
上单调递减
C. ()f x 在(0,)2
π上单调递增 D. ()f x 在3(,)44ππ
上单调递增
【答案】A
16. 以下数表的构造思路来源于我国南宋数学家所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角”
1 2 3 4 5 ⋅⋅⋅ 2014 2015 2016 2017 2018 3 5 7 9 ⋅⋅⋅ 4029 4031 4033 4035 8 12 16 ⋅⋅⋅ 8060 8064 8068 20 28 ⋅⋅⋅ 16124 16132 ⋅⋅⋅
该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）
A. 201720192⨯
B. 201620192⨯
C. 201720182⨯
D. 2016
20182⨯
【答案】D
【解析】当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为0
33132=⨯=⨯；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为1
84242=⨯=⨯；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为2
205452=⨯=⨯；归纳推理，当第一行为2018个数时，最后一行为2016
20192⨯
三. 解答题
17. 已知ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，且6DE =，2AF =. （1）求四棱锥B ADEF -的体积；（2）求二面角A BE C --的大小. 【答案】（1）12B ADEF V -=；（2）1
arccos 5
π-.
18. 已知向量(,cos 2)a m x =，(sin 2,)b x n =，函数()f x a b =⋅且()y f x =的图像过点
(12
π
和点2(,2)3π-.
（1）求m 、n 的值；
（2）将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像，若
()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求()y g x =的单调递增区间.
【答案】（1）m =1n =；（2）[,]2
k k π
ππ-
，k ∈Z .
【解析】()1由题意可得，函数()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，解方程组即可求,m n
()2已知()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭
，根据图像变换得到()2sin 226
g x x π
ϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，由函数
的一个最高点在y 轴上，求得6
π
ϕ=，可得()2cos2g x x =，即可求得增区间。

19. 某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低 于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和
营销策略改革，并提高价格到x 元，公司拟投入2
1(600)6
x -万元作为技改费用，投入50
万元作为固定宣传费用，投入1
5
x 万元作为浮动宣传费用，试问：该商品明年的销售量a 至 少达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件 商品的定价.
19. 【答案】（1）40元；（2）10.2a ≥，定价为30元. 【解析】（1）设定价为x 元，则提高后的销量为25
80.21
x --⨯，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价 （2）依题意，25x >时，不等式()212585060065
x ax x ≥⨯++
-+有解，等价于25x >时1501
65
x a x >
++有解，利用基本不等式，得出结论
20. 已知抛物线2:2C y px =（0p >）的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，与C 的 交点为Q ，且5
||||4
QF PQ =，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. （1）求C 的方程；
（2）设点(1,2)E -，且△ABE
的面积为l 的方程；
（3）若线段AB 的垂直平分线与C 相交于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求直线l 的方程. 【答案】
（1）24y x =；（2
）1x =+；（3）1x y =±+.
【解析】（1）8PQ p =，()008,4,22
p p Q x QF x p =+=+，又5
||||4QF PQ =解得2
p =（2p =-舍去）
（2）设直线斜率为k ，联立方程组()214y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，点到直线距离d =，根据弦长
公式，以及1
2
S AB d =
⋅
，即可解得k =（3）设l 的方程为()10x my m =+≠代入抛物线方程化简，利用韦达定理，中点公式，弦长公式求得弦长AB ，把直线的垂直平分线21
46x y m m
=-
++代入抛物线方程化简，用韦达定理，中点公式，弦长公式求得弦长MN ，由于MN 垂直平分AB ，故AMBN 四点
共圆等价于1
2
AE BE MN ==，于此解得m 的值。

21. 已知数列{}n a 是公差为正数的等差数列，数列{}n b 为等比数列，且11a =，22a b =，
53a b =，144a b =.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；
（2）设数列{}n c 是由所有{}n a 的项，且{}n n c b ∉的项组成的数列，且原项数先后顺序保持 不变，求数列{}n c 的前2019项的和2019T ；
（3）对任意给定的*k ∈N ，是否存在*,p r ∈N （k p r <<），使
1k a 、1p a 、1r
a 成等差数 列？若存在，用k 分别表示p 和r （只要写出一组即可），若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =；（2
）1x =+；（3）1x y =±+. 【解析】（1）8PQ p =，()008,4,22
p p Q x QF x p =+=+，又5
||||4QF PQ =解得2
p =（2p =-舍去）
（2）设直线斜率为k ，联立方程组()214y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，点到直线距离d =，根据弦长
公式，以及1
2
S AB d =
⋅
，即可解得2k =±
（3）设l 的方程为()10x my m =+≠代入抛物线方程化简，利用韦达定理，中点公式，弦长公式求得弦长AB ，把直线的垂直平分线21
46x y m m
=-
++代入抛物线方程化简，用韦达定理，中点公式，弦长公式求得弦长MN ，由于MN 垂直平分AB ，故AMBN 四点共圆等价于1
2
AE BE MN ==，于此解得m 的值。

参考答案
一. 填空题
1.
5
2. 1或2-
3. (1,0)(1,2)x ∈-
4. 10
5. 1
6. 63
7. 3或1
3
- 8. 2-
9. 36 10. 4
5
π
11.
494
【解析】ABCD 位置关系如图，长度为2
，两两夹角均为120︒ 以点D 为原点，DA 为y 轴建系，则()()(
)
0,2,3,1,3,1A B C
---，设
()cos ,2sin P αα+，则3cos 1sin ,2M αα⎛⎫
++ ⎪ ⎪⎝⎭，3cos 1sin 3,122BM αα⎛⎫
++=++ ⎪ ⎪⎝⎭
，故()
2
BM 的最大值为
49
4
12. 123[,]{}334
【解析】()f x 在R 上单调递减，∴分段均为单调递减，且前一段的最小值大于等于后一段
的最大值，34020131
a a a -⎧≥⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩
，解得13
34a ≤≤，作出()y f x =与2y x =-的图像，由图像知，
()f x 与2y x =-在(),0-∞和[)0,+∞上均需要有一解。

联立()2
4332x a x a x +-+=-，则()()2
424320a a ∆=---=，解得34
a =
，故答案为123
[,]{}334.
二. 选择题
13. D 14. C 15. A 16. B
【解析】当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为0
33132=⨯=⨯；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为1
84242=⨯=⨯；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为2
205452=⨯=⨯；归纳推理，当第一行为2018个数时，最后一行为2016
20192⨯
三. 解答题
17. （1）12B ADEF V -=；（2）1
arccos 5
π-.
18.（1）m =1n =；（2）[,]2
k k π
ππ-
，k ∈Z .
【解析】()1由题意可得，函数()y f x =的图像过点12π⎛ ⎝和点2,23π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，解方程组即可求,m n
()2已知()2sin 26f x x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝
⎭
，根据图像变换得到()2sin 226g x x πϕ⎛⎫
=++ ⎪⎝
⎭
，由函数
的一个最高点在y 轴上，求得6
π
ϕ=
，可得()2cos2g x x =，即可求得增区间。

20. （1）40元；（2）10.2a ≥，定价为30元. 【解析】（1）设定价为x 元，则提高后的销量为25
80.21
x --⨯，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价 （2）依题意，25x >时，不等式()212585060065
x
ax x ≥⨯++
-+有解，等价于25x >时
1501
65
x a x >
++有解，利用基本不等式，得出结论 20.（1）24y x =；（2
）1x =+；（3）1x y =±+. 【解析】（1）8PQ p =，()008,4,22
p p Q x QF x p =+=+，又5
||||4QF PQ =解得2
p =（2p =-舍去）
（2）设直线斜率为k ，联立方程组()214y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩
，点到直线距离d =，根据弦长
公式，以及1
2
S AB d =
⋅
，即可解得k =（3）设l 的方程为()10x my m =+≠代入抛物线方程化简，利用韦达定理，中点公式，弦长公式求得弦长AB ，把直线的垂直平分线21
46x y m m
=-
++代入抛物线方程化简，用韦达定理，中点公式，弦长公式求得弦长MN ，由于MN 垂直平分AB ，故AMBN 四点共圆等价于1
2
AE BE MN ==
，于此解得m 的值。

21.（1）21n a n =-，1
3n n b -=；（2）20194105448T =；（3）当21p k =-时存在，
此时2452r k k =-+，*k ∈N
【解析】（1）设等差数列和等比数列的公差公比分别为,d q ，由题意得
()()()()322231111d b b q b q a q d =-=-=-=-+，()()2421211d b b q d =-=-+，解
的2,3d q ==，故21n a n =-，13n n b -=
（2）7
6
3218720193=>>，故{}n C 数列由{}n a 的前2019+6项中减去{}n b 的前6项，
从而分组求和即可 （3）当1k =时，若存在，则
112121322121
r p k p
a a a p a p -=-=-=--，因为2p ≥，当0r a <，与数列{}n a 为正项数列矛盾。

当
2
k ≥时，设
,,k p r a x a y a z
===，则
112x z y
+=，所以
()()212211
z xy x x k ==-=--，
所
以
()()()221,214324521p k z k k k k =-=--=-+-，所以2452r k k =-+。