教学设计6：3.2.3 直线的一般式方程

3.2.3直线的一般式方程

教学目标

1.掌握直线的一般式方程(重点).

2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线.

3.会进行直线方程的五种形式之间的转化(重、难点)．

知识梳理

知识点1直线的一般式方程

教学评价

1．任何直线方程都能表示为一般式吗？

提示能．因为平面上任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．

2．当A，B同时为零时，方程Ax＋By＋C＝0表示什么？

提示当C＝0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；

当C≠0时，方程无解，方程不表示任何图象．

故方程Ax＋By＋C＝0不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2＋B2≠0时才代表直线．

知识点2直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系

教学评价

1．与x轴平行且过点(0，6)的直线的一般式方程为()

A．x－6＝0 B．y－6＝0

C．x＋y＝6 D．x－y＝6

【答案】B

2．已知直线的方程为2x －y ＋4＝0，则该直线的斜率为________．

【答案】2

教学案例

题型一 直线的一般式方程与其他形式的转化

【例1】 (1)下列直线中，斜率为－43

，且不经过第一象限的是( ) A ．3x ＋4y ＋7＝0 B ．4x ＋3y ＋7＝0

C ．4x ＋3y －42＝0

D ．3x ＋4y －42＝0

(2)直线3x －5y ＋9＝0在x 轴上的截距等于( ) A.3 B ．－5 C.95 D ．－33

【解析】(1)将一般式化为斜截式，斜率为－43

的有：B 、C 两项． 又y ＝－43

x ＋14过点(0，14)即直线过第一象限， 所以只有B 项满足要求．

(2)令y ＝0，则x ＝－3 3.

【答案】(1)B (2)D

规律方法 求直线的一般式方程的策略

(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋C B

＝0，只需确定A B ，C B

的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程． (2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．

【训练1】 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

(1)斜率是3，且经过点A (5，3)；

(2)斜率为4，在y 轴上的截距为－2；

(3)经过A (－1，5)，B (2，－1)两点；

(4)在x ，y 轴上的截距分别是－3，－1.

解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y －3＝3(x －5)，化为一般式为：3x －y ＋3－53＝0.

(2)由斜截式方程可知，所求直线方程为：y ＝4x －2，

化为一般式为：4x －y －2＝0.

(3)由两点式方程可知，所求直线方程为：y －5－1－5＝x －（－1）2－（－1）

. 化为一般式方程为：2x ＋y －3＝0.

(4)由截距式方程可得，所求直线方程为x －3＋y －1

＝1，化成一般式方程为：x ＋3y ＋3＝0.

方向1 由含参数的一般式求参数的值或取值范围

【例2－1】 (1)若方程(m 2＋5m ＋6)x ＋(m 2＋3m )y ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________．

(2)已知方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y ＝4m －1表示直线．当m ＝____________时，直线的倾斜角为45°；当m ＝____________时，直线在x 轴上的截距为1.

【解析】(1)若方程不能表示直线，则m 2＋5m ＋6＝0且m 2＋3m ＝0.

解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m 2＋3m ＝0，得m ＝－3， 所以m ≠－3时，方程表示一条直线．

(2)因为已知直线的倾斜角为45°，

所以此直线的斜率是1，

所以－2m 2＋m －3m 2－m

＝1， 所以⎩

⎪⎨⎪⎧m 2－m ≠0，2m 2＋m －3＝－（m 2－m ）， 解得⎩

⎪⎨⎪⎧m ≠0且m ≠1，m ＝－1或m ＝1.所以m ＝－1. 因为已知直线在x 轴上的截距为1，

令y ＝0得x ＝4m －12m 2＋m －3

， 所以4m －12m 2＋m －3

＝1， 所以⎩

⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3≠0，4m －1＝2m 2＋m －3， 解得⎩⎨⎧m ≠1且m ≠－32

，m ＝－12或m ＝2.

所以m ＝－12

或m ＝2. 【答案】(1)m ≠－3 (2)－1 －12

或2 方向2 一般式下直线的平行与垂直问题

【例2－2】 已知直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0，求满足下列条件的直线l ′的方程：

(1)过点(－1，3)，且与l 平行；

(2)过点(－1，3)，且与l 垂直．

解 l 的方程可化为y ＝－34

x ＋3， ∴l 的斜率为－34

. 法一 (1)∵l ′与l 平行，∴l ′的斜率为－34

. 又∵l ′过点(－1，3)，

由点斜式知方程为y －3＝－34

(x ＋1)， 即3x ＋4y －9＝0.

(2)∵l ′与l 垂直，∴l ′的斜率为43

，又l ′过点(－1，3)， 由点斜式可得方程为y －3＝43

(x ＋1)， 即4x －3y ＋13＝0.

法二 (1)由l ′与l 平行，可设l ′的方程为3x ＋4y ＋m ＝0.将点(－1，3)代入上式得m ＝－9. ∴所求直线的方程为3x ＋4y －9＝0.

(2)由l ′与l 垂直，可设l ′的方程为4x －3y ＋n ＝0.

将(－1，3)代入上式得n ＝13.

∴所求直线的方程为4x －3y ＋13＝0.

规律方法 1.已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤