第四章梁的内力剪力和弯矩PPT课件

M
M图（kN·m）
(c)
28
第28页/共59页
29
例题 4-8 解: 1. 校核剪力图
该梁的荷载及约束均与跨中对称，可得FA和FB为
y q
FA
1
F FB A
FB
100 2 2
100
kN
A
1m C
E 2m
D
B
AC段和DB段内无荷载
FS 100 kN
4m
(a) (b) +
FS 图
作用，剪力图均为水平线。
ql
l/2
C l/2
Bx
FB
1 8
ql
2. 分段建立剪力方程和弯矩方程
AC段：
Q( x) 3 ql qx 8
(0 x l ) 2
M ( x) 3 qlx 1 qx2 (0 x l )
8
2
2
CB段：
（以x截面右边
为分离）
Q( x) 1 ql 8
(l x l) 2
M( x) 1 ql(l x) ( l x l)
③外伸梁(overhanging beam)
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§4-2 梁的内力—剪力和弯矩
截面法求梁的内力
a
F11
m
例：求截面1-1上的内力。 A
B
解：(1)确定支反力RA和RB
RA
x1
(2)取左段梁为脱离体：
RB
F1
Fy 0 : RA F1 Q 0
CM
Q RA F1
RA
MC 0 :
M F1(x a) RA x 0
M RA x F1(x a)
x
Q
对截面形心C取矩！
m
M
Q
RB
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内力的正负规定:
①剪力Q(shear): 绕研究对象顺时针转为正 （使之左上右下错动）；反之为负。
Q(+)
Q(+)
Q(–)
Q(–)
②弯矩M (moment)：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。或者 说：使梁上侧纤维受压，下侧纤维受拉为正。
M(+)
M(+)
M(–)
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M(–)
[例4-1]：求图示梁1-1、2-2截面处的内力。
ql 1
2q
解：1-1截面:
Fy 0: Q1 ql
1a ql
2b
MC 0 : M1 qlx1
x1
O
Q1
M1
ql
x2
2-2截面:
O M2 Q2
Fy 0 :
Q2 qx2 a ql
mO 0 :
Q
ql
Fl
ql2 / 2
M
M
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例 4-7
列出剪力方程和弯矩方程，并作Q图和M图。
q A (a)
l/2 FA
1. 求支座的约束反力
C l/2
Bx FB
由 MB 0 和 MA 0 得
FA
3 8
ql,
FB
1 ql 8
(校核: F)y 0
17
第17页/共59页
q
A (a)
FA
3 8
②可动铰支座(hinge support） ： 1个约束
A
YA
A
A
A
XA
A
A
YA
③固定端（fixed-end support）：3个约束
XA MA
A
第5页/共59Y页A
梁的基本形式
静定梁：仅由静力平衡条件可唯一确定梁的全部 支反力和内力。
①简支梁 (simple supported beam)
②悬臂梁 (cantilever beam)
[例4-3q]
A
RA
x l
q
求图示简支梁的内力方程并画内力图。
B 解:(1)计算支反力：以整梁为
研究对象
RB
对称 ∴ RA RB ql / 2 ()
M(x)
RA
x Q(x)
ql /2 + Q
ql /2
(2)建立剪力、弯矩方程：
∑Fy 0：
Q( x) ql－qx0 x l
2
∑M C
0：M ( x)
dM 2( x)
弯矩图上一点处的凸凹方向可由
dx2 q( x) 梁上该点处荷载集度q(x)符号决定。
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1、几何关系
2、突变规律
外 无外力段 力
均布载荷段
集中力 P
集中力偶 m
q=0
q>0
q<0
C
C
水平直线
Q
图Q
Q
特
征
x
x
Q>0 Q<0
M
斜直线
图 特
x
x
征
M
M
增函数 降函数
斜直线 自左向右突变
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例题 4-8 y
q
FA
A
1m C
E 2m
4m
FS 100 kN
(a)
+
FS 图 (b)
100
+
FB x 一简支梁在其中间
D
B 部分受集度为
q=100 kN/m的均布
荷载作用，如图a所
示。试利用弯矩、剪
x 力与分布荷载集度间
-
的微分关系校核图b
100 kN
x 及图c所示的剪力图
100 150 和弯矩图。
AC段：
Q(x)
RA
Fb l
0
x
a
RA
x Fb /l
F
M(x)
M(x)
RA
x
Fb l
x0
x
a
Q(x)
CB段：
Q(x)
RA
F
Fa l
a
x
l
Q+ -
M(x)
RA
x
Fx
a
Fa l
l
xa
x
l
Fa /l (3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力F作用点处，Q图
Fab /l
发生突变，M图出现折点！
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A
mC B
x
RA
a
l
b
RB
解：(1)计算支反力：
MA 0 : RB m / l MB 0 : RA m / l
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、
M(x)
CB两段考虑，以A为原点。
RA RA
x Q(x) m
x
M(x) Q(x)
AC段：Q( x)
RA
m l
0
x
a
M(x)
RA
x
m l
x0
x
a
2. 剪力图(diagram of shearing force)和弯矩图(diagram of bending moment)：表示梁在各截面上剪力和弯矩的图形。
Q
计算步骤：
x
(1)确定支座反力；
(2)分段建立剪力、弯矩方程；
x
(3)作剪力图、弯矩图。
M
（弯矩图画在梁受拉的一侧！）
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(2) 某横截面上的弯矩M，在数值上等于该横截面左侧或 者右侧梁上外力对该横截面形心取矩的代数和。该横截 面左侧梁上的外力对截面形心取矩顺时针为正值，逆时 针为负值；该横截面右侧梁上的外力对截面形心取矩逆 时针为正值，顺时针为负值。
口诀：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。
10
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例题 4-2
计算1-1,2-2截面的剪力和弯矩。
注：若求得的支反力为负 值，则需按实际方向画出！
解：计算支反力
11:FA 50kN FB 10kN
FA
FB
Q1 (20 50100.5)kN
25kN
M1 (201.5 500.5 100.50.25)kN m 6.25kN m
22:
QQ22(（ 210050101001..55）)kNkN 15k1N5kN
8
2
2
CB段内弯矩方程是x
M( x) 1 ql(l x) 8
q
(l x l) 2
的一次函数，只需求出
两个端点的弯矩。
(a)
A
l/2
C l/2
Bx
MC
1 ql2 16
MB 0
Q 83ql
(b)
83l
x 81ql
梁的弯矩图如图c所示。(c)
x
M
标注单位、符号和特征值！
9 ql2 128
1 ql2 16
等于该点处的荷载集度。
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dQx qx
dx
M(x)
y
q(x) M(x)+d M(x)
A
MA 0 :
Q(x)
dx Q(x)+dFS(x)
Q( x)dx M ( x) 1 q( x)(dx)2 [M ( x) dM ( x)] 0 2
dM ( x) Q( x) dx
弯矩图上某点处的切线斜率等 于该点处剪力的大小。
其剪力值分别为
x 100 kN
FS FA 100 kN
FS FB 100 kN
x2q( x)dx
x1
即：剪力函数的增量等于对应梁段上分布载荷图的面积。
当两横截面间无集中力偶作用时：
dM ( x) Q( x) dx
M(x2) M(x1)
x2Q(x) dx
x1
即：弯矩函数的增量等于对应梁段上剪力图的面积。
若将载荷图、剪力、弯矩三图上下对齐，则下图函数 的增量等于上图的面积。
81ql
d M(x) 0 dx
(FS1( x) 0)
M ( x) 3 qlx 1 qx2 (0 x l )
8
2
2
M( x) 1 ql(l x) ( l x l)
8
2
得 x 3l 8
极值弯矩为:
M(3 l) 9 ql2 8 128
20
第20页/共59页
M ( x) 3 qlx 1 qx2 (0 x l )
q lx2
M2
1 2
q( x2
a)2
0
M2
1 2
q( x2
a)2
qlx2
第9页/共59页
直接法求梁的内力
Q Fi
i
M Mi
i
(1) 某横截面上的剪力Fs，在数值上等于该横截面左侧
或者右侧梁上外力(不包括力偶）的代数和。该横截面 左侧梁上的外力向上取正值，向下取负值；该横截面右 侧梁上的外力向上取负值，向下取正值。
无变化
Q
Q
Q Q1
Q
x
x
C
Q2
x
C x
增函数 降函数 Q1–Q2=P
曲线
自左向右折角 自左向右突变
x
x
x
M 上凸
M下凸
M 在C处有尖角
逆 时
M2
x
针
向 上 突 变
M
M1
M1
M2
m
24
第24页/共59页
积分关系（面积增量关系）
当两横截面间无集中力作用时：
dQx qx
dx
Q(x2) Q(x1)
第3页/共59页
梁的简化—计算简图的选取
计算简图 —表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。
一、梁本身的简化：以轴线代替梁，长度称为跨度。
二、载荷简化
1. 集中力(N，kN)
P
2. 集中力偶(Nm， kNm)
m
m
q
3. 分布载荷(N/m，kN/m)
第4页/共59页
三、 支座简化
①固定铰支座（fixed support） ：2个约束
m /l
Q
+
CB段：Q( x)
RA
m l
a
x
l
M(
x)
RA
xmຫໍສະໝຸດ m llxa
x
l
mb /l -
(3)绘制剪力图、弯矩图：
M
+
在集中力偶m作用点处，M图
ma /l
发生突变，Q图不受影响。 第15页/共59页
[例4-4] 求下列各悬臂梁的内力方程并画内力图。
q
l
F
l
从右往左取研究对象 F
Q
从左往右取研究对象
25
第25页/共59页
试画梁的内力图。
qa
q
A
Ba
Fs
–
qa
M
qa2
–
M
26
利用面积增量关系计 算各截面的FS、M
aC x
FSB qa； FSA qa； FSC 0；
3 2
q
a2
x
M A qa2；
MC
qa2
qa a 2
3 qa2 2
第26页/共59页
作图步骤： 1. 求支座反力。 2. 分段描述：判断各段形状（水平线、斜直线、曲线）， 分段原则：集中力、集中力偶、支座、分布荷载起点及终点处 3. 求每一段控制截面的Q、M值， 4. 按规律连线，确定|Q|max和|M|max 。
21
第21页/共59页
§4-4 荷载、剪力和弯矩间的关系
y
M(x) Q(x)
q(x)
对dx 段进行平衡分析：
x dx
Y 0:
Q(x) q(x)dx Q(x) dQ(x) 0
q(x)dx dQ(x)
q(x) M(x)+d M(x)
dQx qx
dx
剪力图上某点处的切线斜率
dx Q(x)+dQ(x)
4.1 工程实际中的受弯杆
1
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梁的受力与变形特点
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。 变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
第2页/共59页
平面弯曲的概念
P
q
对称轴 (symmetrical axis)
m
杆件轴线
纵向对称面
平面弯曲(plane bending)：当所有外力(或者外力的 合力)作用于纵向对称面内时，杆件的轴线在对称面内 弯曲成一条平面曲线。
1 QC左 8 ql
Q 83ql
(b)
CB段内剪力方程为常
3 8
l
数，剪力图为水平线。
x 81ql
19
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M图：
q
AC段内弯矩方程是x的二次
(a) A
l/2
Q 83ql
C l/2
B x 函数，为二次抛物线，需求出 三个截面的弯矩。
MA 0
MC
1 ql2 16
(b)
83l
x 尚需考察该段内弯矩有无极值：
8
2
18
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3．求控制截面的内力，绘Q 、M图
Q(x) 3 ql qx (0 x l ) Q(x) 1 ql ( l x l)
FS图：
8
2
82
AC段内剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，
计算A和C端截面的剪力值
q
3 QA右 8 ql