工程力学上课课件：弯曲

0
M
ql2/8 +
0
B
FQ图
－x
ql/2 M图
x
a
b
F
A
C
B
l
FQ
Fb/l +
0
FQ图
－
x
M 0
Fa/l
Fab/l +
M图
x
a
b
M
A
0 M
0
C
B
l
FQ图
－
x
M/l
Mb/l M图
－
+
x
Ma/l
从上节我们讲的剪力图和弯矩图的绘制结果我们可以得 到下列结论； １）若梁上无均布载荷，则剪力图为水平直线，
第一讲：平面弯曲内力——剪力与弯矩
目的要求：掌握弯曲内力及其计算。 教学重点：掌握指定截面弯矩、剪力的计算。 教学难点：利用外力直接计算指定截面的弯矩、剪力。
第一讲：平面弯曲内力——剪力与弯矩 一、弯曲的概念和工程实例
1、工程实例
工程实际中，存在大量的受弯曲的杆件，如火车轮轴、单 梁吊车等等。弯曲变形是工程实际中最常见的一种基本变形
BE段： FQ x 2kN 12 x 16
M x 3x 30 12 x 16 0
+6
－x
6
第三讲：弯矩、剪力与载荷集度间的关系
目的要求：掌握剪力图、弯矩图的绘制绘制。 教学重点：剪力图和弯矩图与荷载间的规律。 教学难点：弯矩图有极值的问题。
q
A
l
FQ
ql/2 +
３)画剪力图和弯矩图 如图所示
a
b
M
A
C
B
FQ 0
M
0
l
FQ图
－
x
M/l
Mb/l M图
－
+
x
Ma/l
2kN
2kN
1kN/m 10kN·m
外伸梁受载荷如图。试求其梁 A
C
D BE
的剪F力A=图7k和N弯↑ 矩，图FB=。5kN ↑
4m 4m 4m 4m
解 1)求支座A、B的约束力。
由列平衡方程可解得
q A
q
F
B
A
B
4、静定梁的基本形式 根据支承情况，可将梁简化为三种形式：
1.弯曲变形和平面弯曲
1）简支梁 一端为 固定铰支座，另一端 为可动铰支座的梁
A
B
q
A
B
2)悬臂梁 一端为固定端,另一端为自由端的梁
固
定
端
A
自
B由
端
FP q
A
B
3) 外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁
双杠横杆
C
A
A
q
BD
q
1q 2 3 4 5M
AC
D
a1
2

3

4

5

B
2a FA2a 2a F
B
FQ1=-qa 由1-1截面左段梁上外力对截面形心力矩
的代数和求得该截面的弯矩为
M1=-qaa/2= -qa2/2
2-2截面：取2-2截面左段梁计算，得 FQ2=-q2a=-2qa M2=-q2aa=-2qa2
1q 2 3 4 5M
归纳为口诀：“左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正”
计算表明：梁上某一截面的剪力大小等于截面之左（或 右）段上所有外力的代数和；弯矩大小等于截面之左（或右） 段上的所有外力对截面形心力矩的代数和。在实际计算中， 剪力和弯矩的符号一般皆设为正，如果计算结果为正，表明 实际的剪力和弯矩与图示方向一致；若结果为负，则与图示 方向相反。
AC
D
a1
2

3

4

5

B
3-3截面：取得3-3截面左段梁计算得 FQ3=-q2a+FA=-2qa+7qa/4= -qa/4
2a FA2a
2a F
B
M3=-q2aa= -2qa2
4-4截面：取4-4截面右段梁计算，得
FQ4=-FB = -qa/4 M4=FB2a–M= qa2/2- 3qa2=-5qa2/2
FB

Fa l
A FA
2)列剪力方程和弯矩方程
由于Ｃ点有集中力Ｆ的作用，则
ＡＣ段和ＢＣ段的剪力方程和弯
矩方程应分段列出
a
b
F
a
C
B b
lF
C
B FB
l
AC段：FQ(x) Fb(0 x a) l
M (x) Fb x(0 x a) l
CB段：FQ(x) Fa(a x l) l
y l
m A
xm F
m FQ A
OM
xm
F
m
MO
FQ m l-x
B MB x
FB
B MB FB
为使取左段或取右段得到的同一截面上的内力符号一致，特 规定如下：
FQ + FQ FQ － FQ M
+
MM － M
规定：当截面上的剪力FQ使研究对象有顺时针转向趋势时为正， 反之为负。
当截面上的弯矩M使研究对象产生向下凸的变形时（即上部 受压下部受拉）为正，反之为负。
第二讲：剪力图与弯矩图
若梁中间还有其他载荷，因各段的分离体的受力图不同， 应按载荷作用位置分段计算。故在一般情况下，所谓剪力方程 只是在梁的某一外载无变化的这段内，梁任意截面上的通式。
可记为： FQ ＝FQ(x) 该式称为梁的剪力方程。
弯矩方程也同样是梁的外载无变化的这段内，梁任意截 面上弯矩的通式。
3

4

5

2a FA2a 2a
B
F
B
近截面。试求梁各指定截面的剪力与
弯矩 。
解 1）求梁支座的约束力。取整个梁为
研究对象，画受力图。 列平衡方程求解得
∑MB(F)=0 -FA4a-M+q2a5a=0
得
FA=7qa/4
∑Fy＝0 FB +FA-q2a=0
得
FB=qa/4
2）求各指定截面上的剪力与弯矩 1-1截面：由1-1截面左段梁上外力 的代数和求得该截面的剪力为：
F
B
C
这些梁的计算简图确定后，其支座反力均可由静平衡条 件完全确定，故称静定梁。
如果梁的支反力数目多于静力平衡方程数目，支反力不 能完全由静力平衡方程确定，这种梁称为静不定或超静定梁 。
q
qF
A
C
BABFra bibliotek三、梁的内力（剪力与弯矩）计算
1．用截面法分析梁截面上的内力
图示悬臂梁，若已知梁长为
y
l，主动力为F，则该梁的约束反
2
2 (0 x l)


q 2

x

l 2

2

ql2 8
A
FQ
ql/2
３)画剪力图和弯矩图 如图所示
+
0
M
0
l
ql2/8 +
B
FQ图
－x
ql/2 M图
x
例３：如图所示简支梁，在Ｃ截 面作用一力偶矩为Ｍ的集中力偶，作
a
b
M
出此梁的剪力图和弯矩图
A
解 1)求支反力。以整体为研
究对象，由平衡方程可得
y
y
纵向对称面
F
q
M
y
y
轴线
FA
FB
如果作用于梁上的所有外力（包括约束力）都作用 于梁的纵向对称面内，则变形后的轴线将是在纵向对称 面内的一条平面曲线。这种弯曲变形称为平面弯曲。本 章只讨论梁的平面弯曲。
二、梁的力学模型与基本形式
1、梁的简化 不论梁的截面形状如何，通常取梁的轴线来代替实际的梁 。
5-5截面：取5-5截面右段梁计算，得 FQ5=-FB = -qa/4 M5=FB2a= qa2/2
由以上计算结果可以看出： 1）集中力作用处的两端临近截面上的弯矩相同，但剪 力不同，说明剪力在集中力作用处产生了突变，突变的幅值 等于集中力的大小。 2）集中力偶作用处的两侧临近截面上的剪力相同，但 弯矩不同，说明弯矩在集中力偶作用处产生了突变，突变的 幅值等于集中力偶矩的大小。
机械工程基础
第七章 弯 曲
第一讲：平面弯曲内力——剪力与弯矩 第二讲：剪力图与弯矩图 第三讲：弯矩、剪力与载荷集度间的关系 第四讲：纯弯曲梁的正应力 第五讲：常用截面二次矩 平行移轴公式 第六讲：弯曲正应力强度计算 第七讲：弯曲切应力简介 第八讲：梁的弯曲变形概述 第九讲：用叠加法求梁的变形 第十讲：提高梁强度和刚度的措施
2、载荷的简化 作用在梁上的外力，包括载荷和约束力（支座反力），一
律可简化为三种形式，即集中力F、集中力偶M和分布载荷q(x)。 分布载荷若分布均匀，则称为均布载荷，通常用载荷集度q表示。 其单位为N/m。
纵向对称面
F
q
M
轴线
FA
FB
3、支座的简化 按支座对梁的约束作用不同，可按照静力学分析，
用活动铰支座、固定铰支座及固定端支座进行简化。
利用剪力图和弯矩图很容易确定梁的最大剪力和最大弯 矩，以及确定危险截面的位置。
绘制剪力图和弯矩图的步骤： 1）求支座反力 2）列剪力方程和弯矩方程 3）作剪力图和弯矩图
例１简支梁受载如图所示。若已
知F、a、b，试作梁的FQ图和M图。 A
解 1)求支反力。以整体为研
究对象，由平衡方程可得
FA

Fb l
B MB x
FB
B MB FB
列出平衡方程，可得
∑Fy＝0 FQ ＝F
∑MO(F)＝0 M ＝Fx
F-FQ＝0 （a）
M- Fx ＝0
(b)
式中FQ称为剪力，它是与 横截面平行内力的合力。M称为 横截面上的弯矩，它是横截面上
垂直内力对其形心的合力矩。
式（a）称为剪力方程， 式（b ）即称为弯矩方程。
l m
力可由静力平衡方程求得，即 A
FB=F，MB=Fl。 欲求任意横截面m-m上的内力， 可在m-m处假想将梁截开。 留左半段为研究对象，因左右两 半本属固连，故其内力状况与静 力学中固定端的约束作用同，内 力向截面m-m的形心O简化，为 一力FQ与一力偶M。
xm F
m FQ A
OM
xm
F
m
MO
FQ m l-x
研究对象在截面的左边
FQ＝∑F左 M=∑MC(F左)
研究对象在截面的右边
FQ＝∑F右 M=∑MC(F右)
例： 外伸梁DB受力如图。已知均布载 荷集度为q，集中力偶M=3qa2。图中22与3-3截面称为A点处的临近截面，即
→0；同样4-4与5-5截面为C点处的临
1q 2 3 4 5M
AC
D
a1
2

3）由于集中力的作用截面上和集中力偶的作用截面上 剪 力和弯矩有突变，因此，应用截面法求任一指定截面上的 剪力和弯矩时，截面应分别取在集中力或集中力偶作用截面 的左右临近位置。
作业： 试求图示梁指定截面上的剪力和弯矩。
设q，a均为已知
(1)
(2)
第二讲：剪力图与弯矩图
目的要求：掌握剪力图弯矩图的绘制。 教学重点：利用剪力方程与弯矩方程绘制剪力图弯矩图 教学难点：剪力图弯矩图的绘制规律的理解。
FA=7kN ↑ ，FB=5kN ↑
2)列剪力方程和弯矩方程
由于Ｃ点有集中力,D点有集中力偶的作用，A和B有铰链支座， 则分别求出AC、CD、DB、BE段的剪力方程和弯矩方程
2）画剪力图和弯矩图。
AC段： FQ x 7 x 0 x 4
M x 7x 1 x2 0 x 4
可记为： M ＝M (x) 该式称为梁的弯矩方程。
一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置的不同 而变化，若以梁的轴线为x轴，坐标x表示横截面的位置，则 可将梁横截面上的剪力和弯矩表示为坐标x的函数，即
FQ ＝FQ(x) M ＝M (x)
以上两个函数表达式称为剪力方程和弯矩方程，根据这 两个方程，画出剪力和弯矩沿梁轴线变化的图形，这样的图 形称为剪力图与弯矩图。此法颇为繁琐。不过，在上述基本 方法的基础上进一步探索梁上载荷与由之而生的剪力图、弯 矩图的关系，发展成为一种方便的剪力与弯矩图的作法，下 节将讲述。
例2、如图所示简支梁，在AB上作 用了集度为q的均布载荷，作此梁的 剪力图和弯矩图
解 1)求支反力。以整体为研 A
究对象，由平衡方程可得
ql RA RB 2
FA
2)列剪力方程和弯矩方程
FQ( x)

RA

qx

ql 2

qx
(0 x l)
q
B
l
FB
q
M (x) q l x qx x
M (x) Fa (l x)(a x l) l
３)画剪力图和弯矩图 如图所示
a
b
F
A
C
B
l
FQ
Fb/l +
0
FQ图
－x
M 0
Fa/l
Fab/l +
M图
x
1）从剪力图和弯矩图可以看出，在集中力F作用处，剪力 发生 突变，突变值等于该集中力的大小。 2）在集中力作用处，弯矩出现最大值，若a=b，则最大弯 矩值出现在梁中点处。
2
CD段： FQ x 5 x 4 x 8
2kN 1kN/m 10kN·m
A
CH D
4m 4m 4m x
FQ/kN
2kN
BE 4m
M x 1 x2 5x 8 4 x 8
2
DB段： FQ x 3kN 8 x 12
7
0
+
3 1
2
+
－
x
33
M x 3x 30 8 x 12 M/kN·m20 20.516
RA

m l
RB

m l
2)列剪力方程和弯矩方程
C
B
l
由于Ｃ点有集中力偶Ｍ的作用，则ＡＣ段和ＢＣ段的剪力方程
和弯矩方程应分段列出 AC段：FQ(x) m(0 x a) l
M (x) m x(0 x a) l
CB段：FQ(x) m(a x l) l
M (x) m m (l x)(a x l) l
受力特点：通过杆轴线的面内，受到力偶或垂直于轴线的 外力作用
变形特点：使原有直线的轴变成了曲线
在杆的轴线平面内受到外力作用，使杆的轴线由原来直线变为 曲线，这种变形称为弯曲变形。凡以弯曲变形为主的杆件，通 常称为梁。
2、平面弯曲的概念
工程中使用的直梁，其横截面大多至少有一根对称轴（y 轴），如图。通过平面对称轴与梁轴线确定的平面，称为梁的 纵向对称面。