高等代数课件(北大版)第六章-线性空间§6.6

W1
W2
由 X W1, 有 x22 0
由 X W2 , 有 x12 x21 0
故，
X
x11 0
0 0
从而，W1
W2
x 0
0 0
xP
2024/3/7§6.6 子空间的交与和百度文库
再求 W1 W2 .
因为，W1
x
10 00
y
0 1
1 0
x, y P
L
1 0
0 0
,
0 1
bt 1
x1
bt
2
x2
btn xn 0
的解空间，则 W1 W2 就是齐次线性方程组③
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a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
ab1s11
x1 x1
as2 x2 b12 x2
asn xn 0 b1n xn 0
③
bt 1
x1
bt
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注： 从维数公式中可以看到，子空间的和的维数
往往比子空间的维数的和要小. 例如，在R3中，设子空间
V1 L(1, 2 ), V2 L( 2 , 3 ) 其中，1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0,0,1)
则， dimV1 2, dimV2 2
即 l11 l22 lmm q1 1 qn2m n2m 0
由于 1,2 , ,m , 1, 2 , , n2m 线性无关，得
l1 l2
lm q1
因而 0. 从而有
qn2m 0,
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k11 kmm p11 p n1m n1m 0 由于 1,2 , ,m , 1, 2 , , n1m 线性无关，得
任取 , V1 V2 , 设 1 2 , 1 2 , 其中，1, 1 V1,2 , 2 V2 , 则有
(1 2 ) (1 2 ) (1 1 ) (2 2 ) V1 V2
k k(1 2 ) k1 k2 V1 V2 , k P
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练习： 在 P 22中，令
W1
x y
y 0
x, y P
W2
x 0
0 y
x, y P
易知，W1,W2 皆为 P 22 的子空间. 求 W1 W2 及 W1 W2 .
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解：任取
X
x11 x21
x12 x22
但，V1 V2 L(1,2 ) L(2,3 ) L(1, 2, 3 ) R3
dim(V1 V2 ) 3 由此还可得到，dim(V1 V2 ) 1, V1 V2 是一直线.
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推论：设 V1,V2为n维线性空间V的两个子空间，
若 dimV1 dimV2 n ，则 V1,V2必含非零的公共 向量. 即 V1 V2中必含有非零向量.
证：由维数公式有
dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) 又 V1 V2 是V的子空间，∴ dim(V1 V2 ) n 若 dimV1 dimV2 n, 则 dim(V1 V2 ) 0.
故 V1 V2中含有非零向量.
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第六章 线性空间
§1 集合·映射
§5 线性子空间
§2 线性空间的定义 §6 子空间的交与和
与简单性质
§7 子空间的直和
§3 维数·基与坐标
§8 线性空间的同构
§4 基变换与坐标变换 小结与习题
2024/3/7
§6.6 子空间的交与和
一、子空间的交 二、子空间的和 三、子空间交与和的有关性质
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k1 k2 km p1 pn1m 0
所以，1,2 , ,m , 1, 2, , n1m , 1, 2 , , n2m
线性无关. 因而它是 V1 V2 的一组基. ∴ dim(V1 V2 ) m (n1 m) (n2 m) n1 n2 m
dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
例1、在 Pn中，用 W1,W2分别表示齐次线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn 0
a21
x1
a22
x2
a2n xn 0
①
as1 x1
as2 x2
asn xn 0
b11 x1 b12 x2 b1n xn 0 与 b21 x1 b22 x2 b2n xn 0 ②
y z
x, y,z P
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AX0 BX0 0,
从而
AX 0 BX 0
A B
X0 0,
X0 W
故 W W1 W2 .
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例2、在 P4 中，设
1 (1,2,1,0), 2 (1,1,1,1) 1 (2,1,0,1), 2 (1, 1,3,7) 1） 求 L(1,2 ) L(1 , 2 ) 的维数的与一组基； 2） 求 L(1,2 ) L(1, 2 ) 的维数的与一组基.
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解：1) 任取 L(1 ,2 ) L(1 , 2 )
设 x11 x22 y11 y22 ,
则有 x11 x22 y11 y22 0,
x1 x2 2 y1 y2 0
即
2
x1 x2 y1 x1 x2 3 x1 y1 7
一、子空间的交
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a | a V1且a V2 } 也为V的子空间，称之为V1与V2的交空间.
事实上， 0 V1 ,0 V2 , 0 V1 V2
任取 , V1 V2 , 即 , V1, 且 , V2 , 则有 V1, V2 , V1 V2 同时有 k V1, k V2 , k V1 V2 , k P
2、设 V1,V2 为线性空间V的子空间，则以下三
条件等价: 1) V1 V2 2) V1 V2 V1 3) V1 V2 V2
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3、 1,2, ,s;1, 2, , t 为线性空间V中两组
向量，则 L(1,2, ,s ) L(1, 2, , t ) L(1,2, ,s , 1, 2, , t )
0 3 5 3
0 0
2 1
2 1
2 7
1 1 2 1
0 0 2 6
0 0
1 0
1 2
1 6
1 1 2 1
0
0 0
1 0 0
1 1 0
1 3 0
B
由B知，1,2 , 1为 1,2 , 1, 2 的一个极大无关组.
L(1,2 ) L(1, 2 ) L(1,2 , 1) 为3维的，
1,2 , 1 为其一组基.
取 V1 V2的一组基 1,2 , ,m
由扩基定理，它可扩充为V1的一组基
1,2 , ,m , 1, 2 , , n1m
它也可扩充为V2的一组基
1,2 , ,m , 1, 2 , , n2m 即有 V1 L(1,2 , ,m , 1, 2 , , n1m )
V2 L(1,2 , ,m , 1, 2 , , n2m )
L(1,2 ) L(1, 2 ) L( ) 为一维的.
2) L(1,2 ) L(1, 2 ) L(1,2 , 1, 2 )
对以 1,2 , 1, 2 为列向量的矩阵A作初等行变换
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1 1 2 1
A
2 1 0
1 1 1
1 1
0 1
3 7
1 1 2 1
显然有, V1 V2 V2 V1, (V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
2、推广
多个子空间的和
V1,V2 , ,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vi V1 V2 Vs
i 1
1 2 s | i Vi ,i 1,2,3, , s
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的和空间.
并不是R3的子空间. 因为它对R3的运算不封闭，如 (1,0,0), (0,1,0) V1 V2
但是 (1,0,0) (0,1,0) (1,1,0) V1 V2
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三、子空间的交与和的有关性质
1、设 V1,V2 ,W 为线性空间V的子空间
1）若 W V1,W V2 , 则 W V1 V2 . 2）若 V1 W ,V2 W , 则 V1 V2 W .
i 1
也为V的子空间，称为 V1,V2 , ,Vs 的交空间.
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二、子空间的和
1、定义 设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合
V1 V2 {a1 a2 | a1 V1,a2 V2 }
也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.
事实上， 0 V1 ,0 V2 , 0 0 0 V1 V2
2
x2
btn xn 0
的解空间. 证：设方程组①,②,③分别为
AX 0, BX 0,
A B
X 0
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设W为③的解空间，任取 X0 W ，有
A B
X0 0,
从而
AX BX
0 0
0,
即
AX0 BX0 0. X0 W1 W2
反之，任 取，X0 W1 W2 , 则有
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所以，有
V1+ V2 L(1,2 , ,m , 1, 2, , n1m , 1, 2 , , n2m ) 下证 1,2 , ,m , 1, 2, , n1m , 1, 2 , , n2m
线性无关. 假设有等式
k11 kmm p11 q1 1 qn2m n2m 0
y2 y2
y2
0 0
0
(＊)
x1 t
解 (＊) 得
x2 4t y1 3t
y2 t
（t 为任意数）
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t(1 42 ) t(2 31) 令 t=1，则得 L(1,2 ) L(1 , 2 ) 的一组基
1 42 5,2,3,4
1 0
W2
x
10 00
y
00 01
x, y P
L
1 0
0 0
,
0 0
0 1
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所以，
W1 W2 L
1 0
0 0
,
0 1
1 0
,
0 0
0 1
x
10 00
y
0 1
1 0
z
0 0
0 1
x, y,z P
x y
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注意：
V的两子空间的并集未必为V的子空间. 例如 V1 {(a,0,0) a R}, V2 {(0,b,0) b R}
皆为R3的子空间，但是它们的并集 V1 V2 {(a,0,0),(0,b,0) a,b R} {(a,b,0) a,b R 且a,b中至少有一是0}
pn1m n1m
令 k11 kmm p11 q1 1 qn2m n2m
pn1m n1m
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则有 a V1且a V2，于是 V1 V2，
即 可被1,2, ,m 线性表出 令 l11 l22 lmm ,
则 l11 l22 lmm q1 1 qn2m n2m
4、维数公式 （定理7）
设 V1,V2为线性空间V的两个子空间，则 dimV1 dimV2 dim(V1 V2 ) dim(V1 V2 ) 或 dim(V1 V2 ) dimV1 dimV2 dim(V1 V2 )
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证：设 dimV1 n1, dimV2 n2 , dim(V1 V2 ) m
故 V1 V2 为V的子空间.
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显然有, V1 V2 V2 V1, (V1 V2 ) V3 V1 (V2 V3 )
2、推广
多个子空间的交
V1,V2 , V1 V2
,Vs 为线性空间V的子空间，则集合
s
Vs Vi | Vi ,i 1,2,3, , s