九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形小结与复习教学课件上册数学课件

∴△ABE≌△DAF.
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(2) 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠1＋∠4＝90°. ∵∠3＝∠4， ∴∠1＋∠3＝90°， ∴∠AFD＝90°. 在正方形ABCD中， AD∥BC， ∴∠1＝∠AGB＝30°. 在Rt△ADF中，∠AFD＝90°，AD＝2， ∴AF＝ 3 ，DF＝1. 由(1)得△ABE≌△DAF， ∴AE＝DF＝1， ∴EF＝AF－AE＝ 3 －1.
A
D
∴OA= OC,OB = OD.
O
又∵△ABO是等边三角形,
B
C
∴OA= OB=AB= 4,∠BAC=60°.
∴AC= BD= 2OA = 2×4 = 8.
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∴□ABCD是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角） .
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
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课堂小结
两组对 边平行
一个角是直角且一组邻边相等
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正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再
判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱
形，再判定这个矩形有一个角为直角；③还可以先判
定四边形是平行四边形，再用①或②进行判定．
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例5 如图，△ABC中，点O是AC上的一动点，过点O 作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交 ∠BCA的外角∠ACG的平分线于点F，连接AE、AF.
O A
C
∴AB2=AO2+OB2.
D
∴ △AOB是直角三角形, ∠AOB是直角.
∴AC⊥BD.
∴ □ABCD是菱形
(对角线垂直的平行四边形是菱形).
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2.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，猜想重叠 部分的四边形ABCD是什么形状？说说你的理由.
解：四边形ABCD是菱形. 过点C作AB边的垂线交点E,作AD边 上的垂线交点F.
四个角 都是直角
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
四边形
条件
①定义：一组邻边相等的平行四边形
②四条边都相等的四边形
③对角线互相垂直的平行四边形
①定义：有一外角是直角的平行四边形
②三个角是直角的四边形
③对角线相等的平行四边形
①定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四 边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形
A
D
（矩形的四个角都是直角）
∴BD = 2AB = 2 ×2.5 = 5.
O
B
C
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例3 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于
点O，过点A作AE∥BD，过点D作ED∥AC，两线相
交于点E． 求证：四边形AODE是菱形；
证明：∵AE∥BD，ED∥AC，
∴四边形AODE是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA=OC= 1 AC，
则菱形ABCD的面积为___3_0__．
B AO
C
D
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7.如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是 BC延长线上一点，连接AG，点E、F分别在AG上， 连接BE、DF，∠1＝∠2，∠3＝∠4.
(1)证明：△ABE≌△DAF； (2)若∠AGB＝30°，求EF的长． (1)证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD. 在△ABE和△DAF中，
A
D
AB2 + BC2 =AC2 ,
O
B
C
∴BC= A C 2 A B 28 2 4 2 43.
∴S□ABCD=AB·BC=4× 4 3 =1 6 3
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4.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作BE∥AC，CE∥BD， BE、CE交于点E，四边形CEBO是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEBO是矩形.
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∴EC＝AE，∴BE＝AE. ∵CF＝AE， ∴BE＝EC＝CF＝BF， ∴四边形BECF是菱形； (2)当∠A＝45°时，菱形BECF是正方形． 证明如下：∵∠A＝45°，∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝45°，∴∠EBF＝2∠CBA＝90°， ∴菱形BECF是正方形．
方法总结
第一章 特殊平行四边形
小结与复习
要点梳理
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考点讲练
课堂小结
课后作业
要点梳理
一、菱形、矩形、正方形的性质
项目 四边形
对边
平行 且四边相等
平行且相等
角
对角线
对角相等 互相垂直且平分， 邻角互补 每一条对角线平分
一组对角
四个角 都是直角
互相平分且 相等
平行 且四边相等
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S 四边形ABCD=AD ·CF =AB ·CE . 由题意可知 CE = CF 且 四边形 ABCD是平行四边形. ∴AD = AB . ∴四边形ABCD是菱形.
AF D E
B
C
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考点二 矩形的性质和判定
例2：如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,
∠AOD=120°,AB=2.5 ,求矩形对角线的长.
OB=OD= 1 BD， 2 ∴OA=OC=O2 D， ∴四边形AODE是菱形.
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【变式题】如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作
BE∥AC，CE∥BD，BE、CE交于点E，四边形CEBO是
矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEBO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形. A
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针对训练
5.如图，两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和 DEF沿直线FC滑动，下列说法错误的是（ B ） A．四边形ACDF是平行四边形 B．当点E为BC中点时，四边形ACDF是矩形 C．当点B与点E重合时，四边形ACDF是菱形 D．四边形ACDF不可能是正方形
6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=10，
∵MN∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC， ∴EO＝CO，FO＝CO， ∴OE＝OF. 又∵当点O运动到AC的中点时，AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形. ∵∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形.
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考点讲练
考点一 菱形的性质和判定
例1：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)
1
1
OB=OD= 2 BD = 2
×6=3(菱形的对角线互相平分)
在等腰三角形ABC中，
B
∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6.
O
A
C
D
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针对训练
1. 已知：如右图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于
点O, AB= 5 ,OA=2,OB=1. 求证： □ABCD是菱形.
证明：在△AOB中.
B
∵AB= 5 , OA=2,OB=1.
A
D
解：∵四边形ABCD是矩形.
O
∴AC = BD(矩形的对角线相等). B
C
OA= OC= 1
2
AC,OB = OD =
1 2
BD ,
(矩形对角线相互平分)
∴OA = OD.
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∵∠AOD=120°,
∴∠ODA=∠OAD=
1 2
(180°- 120°)=30°.
又∵∠DAB=90° ,
理由如下：已知四边形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
A D
B
O
E
C
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形（有一个角是直角的平行
四边形是矩形）.
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考点三 正方形的性质和判定
例4 如图，已知在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC 的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE；
∴AC⊥BD.
∴∠BOC=90°.
D
∵BE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEBO是平行四边形.
∴四边形CEBO是矩形.
B
OEຫໍສະໝຸດ C12/10/2021
针对训练
3.如图,在□ABCD中,对角线AC与BD相交于点O , △ABO是等边三角形, AB=4,求□ABCD的面积.
解：∵四边形ABCD是平行四边形,
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(3)在(2)的条件下，△ABC应该满足什么条件时， 四边形AECF为正方形．
解：当点O运动到AC的中点时， 且满足∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形． ∵由(2)知当点O运动到AC的中点时，四边形AECF 是矩形， 已知MN∥BC， 当∠ACB＝90°， 则∠AOF＝∠COE＝∠COF＝∠AOE＝90°， 即AC⊥EF， ∴四边形AECF是正方形．
(1)试判断四边形BECF是什么四边形？并说明理由； (2)当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECF是正方 形？请回答并证明你的结论．
解：(1)四边形BECF是菱形． 理由如下：∵EF垂直平分BC， ∴BF＝FC，BE＝EC， ∴∠3＝∠1. ∵∠ACB＝90°， ∴∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠2＝90°,∴∠2＝∠4，
(1)求证：∠ECF＝90°； (2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？请
说明理由；
(1)证明：∵CE平分∠BCO， CF平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ 1 ×180°＝90°.
2
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(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是 矩形．理由如下：