§5.3—留数在定积分计算中的应用

0
π
dx 2 ( a 0). a sin x
8
§ 5.3
例2
π
留数在定积分中的应用
计算
0
π
dx 2 ( a 0). a sin x
π dx dx 1 π d2 x 解： 0 2 a sin x 0 a 1 cos 2 x 2 0 a 1 cos 2 x 2 2 令 2x t,
留数，从而简化计算.
1
主要内容：
一、形如 二、形如
0 R(cos , sin )d R( x )dx

2π
三、形如
R( x )e aixdx (a 0)
四、小结与思考
2
§ 5.3
2π
留数在定积分中的应用
一、形如 0 R(cos , sin )d 的积分
z1. .
CR
zk 都包在这积分路线内.此时
R
.
0
.
R
x
C R 与 R, R 一起构成封闭曲线C , R(z)在C及其
内部(除去有限孤立奇点）处处解析. 根据留数定理得 :
R R( x )dx C
R
R
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ],
此式不因 C R 的半径 R 不断增大而有所改变.
18
§ 5.3
因为
留数在定积分中的应用
1 z
z
mn
R( z )

1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
1 a1 z 1 an z n 1 b1 z 1 bm z m
1
mn
当 z 充分大时, 总可使 1 b z 1 b z m 1 , 1 n a1 z an z , 1 m 10 10
2 2 (a a b ) 2π i Res f ( z ),0 Res f ( z ), b
2aπ 2π a 2 b 2 2 2 2 2 ( a a b ). 2 2 b b b
7
§ 5.3
例2 计算
留数在定积分中的应用
1 dz 1 zz 2 iz 1 2p p 2
11
§ 5.3
留数在定积分中的应用
z 1
1 z4 dz 2 2iz (1 pz )( z p) z 1
f ( z )dz .
1 被积函数的三个极点 为 z 0, p, , 而 z 0, p, 在圆周 z 1内， p 且 z 0为二级极点， z p 为一级极点，
8 ( z1 z2 ) 3 ( z1 z2 )3
8π 4 2 4π . 3 3 3
3
§ 5.3
二、形如
留数在定积分中的应用

R( x )dx
的积分
若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, 并且分母在实轴 上无孤立奇点时，积分是存在的.
2. 积分区域的转化:
取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一 条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有 限孤立奇点外处处解析.
(此法常称为“围道积分法”)
17
§ 5.3
留数在定积分中的应用
y
. . z3 . z2
取积分路线图如图,其中 C R 是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周.取R适当 大,使R(z)所有的在上半平面内的极点
k 1
n
f ( z ) 为z的有理函数,且在单位圆周上
z 1 分母不为零,满足留数定理条件.
包含在单位圆周 z 1 内的 f ( z ) 的孤立奇点.
此类型积分的计算： 1) 积分区域的转化 2) 被积函数的转化
4
§ 5.3
例1 计算积分
留数在定积分中的应用
0
2π
sin d (a b 0) a b cos
2
5
§ 5.3
例1 计算积分 解
留数在定积分中的应用
0
2π
sin d (a b 0) a b cos
2
令 z e i , 则
z2 1 z2 1 sin , cos , dz ie i d , 2 zi 2z
0
2π
sin2 d a b cos
dx 2 ( 2 3 cos x )
§ 5.3
留数在定积分中的应用
0
2π
dx 4 d z 2π i lim 2 2 z z1 dz ( z z ) 3i ( 2 3 cos x ) 2
8π ( z z2 )2 2 z ( z z2 ) lim 3 z z1 ( z z 2 )4
( z 2 1)2 4z 2 z 1
2
1 dz 2 z 1 iz a b 2z
2
( z 1) dz 2 2 2iz (bz 2az b) z 1
6
§ 5.3
留数在定积分中的应用
2 2
( z 1) dz 2 2 2 2 a a b a a b z 1 2 z 2iz b z b b
z 沿单位圆周 z 1 的 正方向绕行一周.
3
§ 5.3
留数在定积分中的应用
0
2π
z 2 1 z 2 1 dz R(cos , sin )d R , iz 2 z 2 iz z 1

z 1
f ( z )dz
2π i Res f ( z ), zk .
所以
0
π
dx a sin2 x
2π i 2iRes[ f ( z ), ( 2a 1
2π . 2 ( 2a 1) 1
2a 1 1)].
2
10
§ 5.3
留数在定积分中的应用
0
例3 计算 I 2π 解
cos2 2 d ( 0 p 1)的值. 1 2 p cos p
20
§ 5.3
例5

留数在定积分中的应用
(a 0, b 0, a b)
计算积分
dx ( x 2 a 2 )2 ( x 2 b2 )
解
1 R( z ) 2 ( z a 2 )2 ( z 2 b 2 )
在上半平面有二级极点 z ai, 一级极点 z bi . 1 Res[ R( z ), ai ] 2 2 2 ( z ai ) ( z b )
因为 m n 2，
所以 R( z )
1 z
mn

1 a1 z 1 an z n 1 b1 z bm z
1 m
2 2 z
19
§ 5.3
留数在定积分中的应用
CR
C
R
R( z )dz
R( z )ds
R
2 2π , 2 R R R
把定积分化为一个复变函数沿某条 封闭路线的积分 .
令ze
i
dz ie d
i
2 1 i z 1 i sin (e e ) , 2i 2iz
dz d , iz
2 1 i z 1 i cos (e e ) , 2 2z
当 历经变程 [0 , 2π ] 时,

R : R( z )dz 0 ; R( z )dz R( z )dz , C
R
R
所以
R( z )dz 2π i Res[R( z ), zk ]


如果 R(x) 为偶函数，那么
0
R( x)dx πi Res[ R( z ), zk ]
所以是偶函数iz在实轴上有一级极点是上半平面的奇点其中izixix本课应用围道积分法计算了三类实积分熟练掌握应用留数计算定积分是本章的难点
§5.2 留数在定积分中的应用
用留数计算定积分，当被积函数的原函数不易求 得时更为方便.此时利用留数定理，可以将一些积分
的计算问题转化为计算某些解析函数在孤立奇点的
1 1 dz 1 2π dt 2 2 0 a 1 cos t 2 z 1 1 ( z 1) 2 z iz a 2 2
Байду номын сангаас
dz 2i 2 . z 1 z 2( 2a 1) z 1
9
§ 5.3
极点为 :
留数在定积分中的应用
z1 2a 1 ( 2a 1)2 1 (在单位圆内) z2 2a 1 ( 2a 1)2 1 (在单位圆外)

2π i{Res [ R( z ), bi ] Res [ R( z ), ai ]}
b 2 3a 2 1 2i 3 2 2 2 2 2 2 4 a i ( b a ) 2 bi ( b a )
( 2a b )π 3 2 . 2a b(a b )
§ 5.3
留数在定积分中的应用
1 z4 Res[ f ( z ), p] lim ( z p) 2 z p 2 iz ( 1 pz )( z p )
1 p4 2 2 , 2ip (1 p )
因此
1 p2 1 p2 2π p 2 I 2π i 2 2 2 2. 2ip (1 p ) 1 p 2ip
22
§ 5.3
留数在定积分中的应用

x2 例6 计算积分 0 4 dx . x 1 2 2 x x 1 解 dx 4 dx 0 x4 1 2 1 x z2 因为 R( z ) 4 在实轴上解析， ( z 1)
在上半平面内有一级极点 z1 e , z2 e
而 所以在圆周z 1上被积函数无奇点，
d 2 1 z4 Res[ f ( z ),0] lim z 2 z 0 dz 2 iz ( 1 pz )( z p )
( z pz 2 p p 2 z )4 z 3 (1 z 4 )(1 2 pz p 2 ) lim z 0 2i ( z pz 2 p p 2 z )2 1 p2 2 , 12 2ip
13
§ 5.3
留数在定积分中的应用
例4 计算积分
2π
0
2π
dx 2. ( 2 3 cos x )
1
dz 解 0 2 z 2 1 iz z 1 2 3 2z 4 zdz , 2 3 i z 1 2 4 z 1 z 3 1 极点为 z1 , z2 3, 其中 z1 1, z2 1; 3 由留数定理，有
由于0 p 1,
1 2 p cos p2 (1 p)2 2 p(1 cos )
在 0 2π 内不为零， 故积分有意义.
1 2 1 2 i 2 i 由于 cos 2 (e e ) ( z z 2 ), 2 2
2 2 z z 因此 I 2 z 1
4 i 3 i 4
.
x2 1 x 2 所以 dx 4 dx 0 x4 1 2 1 x 1 2π i Res[R( z ), zk ] 2
z ai
b 2 3a 2 3 2 2 2, 4a i (b a )
21
§ 5.3
留数在定积分中的应用
1 1 Res[ R( z ), bi ] 2 ( z a 2 )2 ( z bi ) z bi 2bi(a 2 b 2 )2 ,
dx 所以 ( x 2 a 2 )2 ( x 2 b 2 )
z n a1 z n1 an 一般设 R( z ) m ,mn2 m 1 z b1 z bm
分析
可先讨论
R R( x )dx, 最后令
R
R 即可 .
§ 5.3
R
留数在定积分中的应用
R R( x )dx
C
f ( z )dz
1. 被积函数的转化: 可取 f(z)=R(z) . (当z在实轴上的区间内变动时 , R(z)=R(x))