2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
2004年全国高中数学联赛福建赛区预赛
…, 11 , …, 25 局的裁判 , 从而 , 第 10 局的输方为甲 . 5. B. 易知 a ≠ 0 . 曲线 ax 2 + bxy + x = 0 是两条直线 2 2 x = 0 与 ax + by + 1 = 0 . 直线 x = 0 与圆 x + y ay = 0 有两个不同的公共点 ( 0 , 0) , ( 0 , a ) , 依题意有 两种可能 :
). 取值范围是 ( π π π π ( A) (B) , , 6 3 6 2 π π π 2 π ( C) ( D) , , 3 2 3 3 3 . 正四面体的 4 个面上分别写着 1 、 2、 3、 4 . 将 4 个这样均匀的正四面体同时投掷于 桌面上 , 与桌面接触的 4 个面上的 4 个数的 ). 乘积被 4 整除的概率是 (
π - arcsin 5 - 1 . 图1 2 由 sin x > cos x 排除区间 ①; 由 tan x > cot x 排除区间 ②; 由 cos x > tan x 排除区间 ③. π 因此 , 解集为 3 π - arcsin 5 - 1 . , 4 2 | b2 - c2 | 11 . . 2
( 1) ax + by + 1 = 0 与圆 x 2 + a・ 0 + b・ a ya
2
2
a
=
,即
a2Biblioteka 4相切于第三点 , 此时 ,
a - 4 ab - 4 = 0 ;
4
2
+1
2
a + b
2
=
2
( 2) ax + by + 1 = 0 过点 ( 0 , a) 且不与坐标轴平 行 , 此时 , ab + 1 = 0 . 6. B. b 是 y3 的一个周期 , 故 t ≤b. 若 t = a , 则由 y 2 = y3 - y 1 可得 b ≤a , 矛盾 . 故 ② 和⑤ 不可能 . 下面的例子表明另外三种情形都可能出现 : 2x 取 y 2 = sin x + sin , 则 b = 6 π. 3 π 2 ( 1) 令 y 1 = - sin , 此时 , 3 π, y 3 = sin x , t = 2 π, t < a ; a=3 ( 2) 令 y 1 = - sin x , 此时 , π π, y 3 = sin 2 , t = 3 π, a < t < b ; a=2 3 ( 3) 令 y 1 = sin x , 此时 , π π, y 3 = 2sin x + sin 2 , t = 6 π, t = b. a=2 3 二、 7 . 60 . log x c = log x abc - log x a - log x b
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷1
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷 考试时间：9月11日上午8：00～10：30一、选择题：每题6分，满分36分1、设函数)(x f 的定义域为R ，且对任意实数)2,2(ππ-∈x ，x x f 2sin )(tan =，则)sin 2(x f 的最大值为（ ）A 0 B21 C 22 D 12、实数列}{n a 定义为,7,1,,3,2,1291112===++-=--a a n a a a a a n nn n n 则5a 的值为（ ）A 3B 4C 3或4D 83、正四面体ABCD 的棱长为1，E 是△ABC 内一点，点E 到边AB,BC,CA 的距离之和为x ，点E 到平面DAB,DBC,DCA 的距离之和为y ，则22y x +等于（ ）A 1 B26 C 35 D 127 4、数列10021,,,x x x 满足如下条件：对于k x k ,100,2,1 =比其余99个数的和小k ，已知nmx =50，m ，n 是互质的正整数，则m+n 等于（ ） A 50 B 100 C 165 D 173 5、若26cos cos ,22sin sin =+=+y x y x ，则)sin(y x +等于（ ） A22 B 23 C 26D 16、P 为椭圆191622=+y x 在第一象限上的动点，过点P 引圆922=+y x 的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M 、N ，则MON S ∆的最小值为（ ） A29 B 329 C 427 D 3427 二、填空题：每小题9分，满分54分7、实数z y x ,,满足,146,74,72222-=+-=+=+x z z y y x 则222z y x ++＝.8、设S 是集合｛1，2，…，15｝的一个非空子集，若正整数n 满足：S S n S n ∈+∈,，则称n 是子集S 的模范数，这里|S|表示集合S 中元素的个数。
4全国高中数学联赛试题及参考答案
2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则q 的弧度数为A ．6πB 。
12512ππ或C 。
1256ππ或D 。
12π答：[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B 。
（26,26-）C 。
（332,332-） D 。
[332,332-] 答：[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A ．[2，3]B 。
（2，3）C 。
[2，4]D 。
（2，4） 答：[ ]4、设O 点在△ABC 内部，且有032=++OC OB OA ，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A ．2B 。
23C 。
3D 。
35答：[ ]5、设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A ．45个B 。
81个C 。
165个D 。
216个 答：[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 是PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是A ．35B 。
352C 。
36D 。
362 答：[ ]二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。
8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
2004年全国高中数学联赛试题及解答
2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cos=0有重根，则的弧度数为( )A．B．或C．或D．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是( )A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]3．不等式+log x3+2>0的解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]4．设点O在ABC的内部，且有+2+3=，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A．2 B．C．3 D．5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )A．B．C．D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则的值是；12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P 在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则++ <．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=，直线A n B n在x轴上的截距为a n，点B n的横坐标为b n，n∈N*．⑴证明a n>a n+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x的方程x2+4x cos+cot=0有重根，则的弧度数为( )A．B．或C．或D．解：由方程有重根，故=4cos2－cot=0，∵ 0<<，2sin2=1，=或．选B．2．已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M∩N，则b的取值范围是( )A．[－，] B．(－，) C．(－，] D．[－，]解：点(0，b)在椭圆内或椭圆上，2b2≤3，b∈[－，]．选A．3．不等式+log x3+2>0的解集为A．[2，3) B．(2，3] C．[2，4) D．(2，4]解：令log2x=t≥1时，>t－2．t∈[1，2)，x∈[2，4)，选C．4．设点O在ABC的内部，且有+2+3=，则ABC的面积与AOC的面积的比为( )A．2 B．C．3 D．解：如图，设AOC=S，则OC1D=3S，OB1D=OB1C1=3S，AOB=OBD=1.5S．OBC=0.5S，ABC=3选C．5．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )A．45个B．81个C．165个D．216个解：⑴等边三角形共9个；⑵等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a，b)，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b<a<2b．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C．6．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为 ( )A．B．C．D．解：AB⊥OB，PB⊥AB，AB⊥面POB，面PAB⊥面POB．OH⊥PB，OH⊥面PAB，OH⊥HC，OH⊥PC，又，PC⊥OC，PC⊥面OCH．PC是三棱锥P－OCH的高．PC=OC=2．而OCH的面积在OH=HC=时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=时，由PO=2，知∠OPB=30，OB=PO tan30=．又解：连线如图，由C为PA中点，故V O－PBC=V B－AOP，而V O－PHC∶V O－PBC==(PO2=PH·PB)．记PO=OA=2=R，∠AOB=，则V P—AOB=R3sincos=R3sin2，V B－PCO=R3sin2．===．V O－PHC=R3．∴令y=，y==0，得cos2=－，cos=，∴OB=，选D．二．填空题(本题满分54分，每小题9分)7．在平面直角坐标系xOy中，函数f(x)=a sin ax+cos ax(a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g(x)=的图像所围成的封闭图形的面积是；解：f(x)=sin(ax+)，周期=，取长为，宽为2的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填．又解：∫[1－sin(ax+)]dx=∫(1－sin t)dt=．8．设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=；解：令x=y=0，得，f(1)=1－1－0+2，f(1)=2．令y=1，得f(x+1)=2f(x)－2－x+2，即f(x+1)=2f(x)－x．①又，f(yx+1)=f(y)f(x)－f(x)－y+2，令y=1代入，得f(x+1)=2f(x)－f(x)－1+2，即f(x+1)=f(x)+1．②比较①、②得，f(x)=x+1．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1—A1的度数是；解：设AB=1，作A1M⊥BD1，AN⊥BD1，则BN·BD1=AB2，BN=D1M=NM=．A1M=AN=．∴AA12=A1M2+MN2+NA2－2A1M·NA cos，12=++－2cos，cos=．=60．10．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；解：设=n，则(k－)2－n2=，(2k－p+2n)(2k－p－2n)=p2，k=(p+1)2．11．已知数列a0，a1，a2，…，a n，…满足关系式(3－a n+1)(6+a n)=18，且a0=3，则的值是；解：=+，令b n=+，得b0=，b n=2b n－1，b n=2n．即=，=(2n+2－n－3)．12．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；解：当∠MPN最大时，⊙MNP与x轴相切于点P(否则⊙MNP与x轴交于PQ，则线段PQ上的点P使∠MPN更大)．于是，延长NM交x轴于K(－3，0)，有KM·KN=KP2，KP=4．P(1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P的横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴某人在这项游戏中最多能过几关？⑵他连过前三关的概率是多少？解：⑴设他能过n关，则第n关掷n次，至多得6n点，由6n>2n，知，n≤4．即最多能过4关．⑵要求他第一关时掷1次的点数>2，第二关时掷2次的点数和>4，第三关时掷3次的点数和>8．第一关过关的概率==；第二关过关的基本事件有62种，不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数，有C个(亦可枚举计数：1+1，1+2，1+3，2+1，2+2，3+1)计6种，过关的概率=1－=；第三关的基本事件有63种，不能过关的基本事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数，可连写8个1，从8个空档中选3个空档的方法为C==56种，不能过关的概率==，能过关的概率=；∴连过三关的概率==．14．在平面直角坐标系xOy中，给定三点A(0，)，B(－1，0)，C(1，0)，点P到直线BC的距离是该点到直线AB、AC距离的等比中项．⑴求点P的轨迹方程；⑵若直线L经过ABC的内心(设为D)，且与P点轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围．解：⑴设点P的坐标为(x，y)，AB方程：+=1，4x－3y+4=0，①BC方程：y=0，②AC方程：4x+3y－4=0，③∴ 25|y|2=|(4x－3y+4)(4x+3y－4)|，25y2+16x2－(3y－4)2=0，16x2+16y2+24y－16=0，2x2+2y2+3y－2=0．或25y2－16x2+(3y－4)2=0，16x2－34y2+24y－16=0，8x2－17y2+12y－8=0．∴所求轨迹为圆：2x2+2y2+3y－2=0，④或双曲线：8x2－17y2+12y－8=0．⑤但应去掉点(－1，0)与(1，0)．⑵ABC的内心D(0，)：经过D的直线为x=0或y=kx+．⑥(a) 直线x=0与圆④有两个交点，与双曲线⑤没有交点；(b) k=0时，直线y=与圆④切于点(0，)，与双曲线⑤交于(±，)，即k=0满足要求．(c) k=±时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c) k0时，k时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k2)x2－5kx－=0．当8－17k2=0或(5k)2－25(8－17k2)=0，即得k=±与k=±．∴所求k值的取值范围为{0，±，±}．15．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．⑴求g(t)=max f(x)－min f(x)；⑵证明：对于u i∈(0，)(i=1，2，3)，若sin u1+sin u2+sin u3=1，则++<．解：⑴ +=t，=－．故<0，>0．当x1，x2∈[，]时，∴f (x)==．而当x∈[，]时，x2－xt<0，于是f (x)>0，即f(x)在[，]上单调增．∴g(t)=－====⑵g(tan u)==≥，∴ ++≤[163+9(cos2u1+cos2u2+cos2u3)]= [75－9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)]而(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥()2，即9(sin2u1+sin2u2+sin2u3)≥3．∴++≤(75－3)=．由于等号不能同时成立，故得证．二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长．解：∵BC=25，BD=20，BE=7，∴CE=24，CD=15．∵AC·BD=CE·AB，AC=AB，①∵BD⊥AC，CE⊥AB，B、E、D、C共圆，AC(AC－15)=AB(AB－7)，AB(AB－15)=AB(AB－18)，∴AB=25，AC=30．AE=18，AD=15．∴DE=AC=15．延长AH交BC于P，则AP⊥BC．∴AP·BC=AC·BD，AP=24．连DF，则DF⊥AB，∵AE=DE，DF⊥AB．AF=AE=9．∵D、E、F、G共圆，∠AFG=∠ADE=∠ABC，AFG∽ABC，∴=，AK==．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中，y轴正半轴上的点列{A n}与曲线y=(x≥0)上的点列{B n}满足|OA n|=|OB n|=，直线A n B n在x轴上的截距为a n，点B n的横坐标为b n，n∈N*．⑴证明a n>a n+1>4，n∈N*；⑵证明有n0∈N*，使得对∀n>n0，都有++…++<n－2004．解：⑴点A n(0，)，B n(b n，)由|OA n|=|OB n|，b n2+2b n=()2，b n=－1(b n>0)．∴ 0<b n<．且b n递减，n2b n=n(－n)= =单调增．∴ 0<n<．令t n=>且t n单调减．由截距式方程知，+=1，(1－2n2b n=n2b n2)∴a n====()2+()=t n2+t n=(t n+)2－≥(+)2－=4．且由于t n单调减，知a n单调减，即a n>a n+1>4成立．亦可由=b n+2．=，得 a n=b n+2+，．∴由b n递减知a n递减，且a n>0+2+=4．⑵即证(1－)>2004．1－===k2(()2－()2)≥>>．∴(1－)>>(+)+(+++)+…+>+++…．只要n足够大，就有(1－)>2004成立．三．(本题满分50分)对于整数n≥4，求出最小的整数f(n)，使得对于任何正整数m，集合{m，m+1，…，m+n－1}的任一个f(n)元子集中，均至少有3个两两互素的元素．解：⑴当n≥4时，对集合M(m，n)={m，m+1，…，m+n－1}，当m为奇数时，m，m+1，m+2互质，当m为偶数时，m+1，m+2，m+3互质．即M的子集M中存在3个两两互质的元素，故f(n)存在且f(n)≤n．①取集合T n={t|2|t或3|t，t≤n+1}，则T为M(2，n)={2，3，…，n+1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f(n)≥card(T)+1．但card(T)=[]+[]－[]．故f(n)≥[]+[]－[]+1．②由①与②得，f(4)=4，f(5)=5．5≤f(6)≤6，6≤f(7)≤7，7≤f(8)≤8，8≤f(9)≤9．现计算f(6)，取M={m，m+1，…，m+5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k，k+2，k+4(k0(mod2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个奇数两两互质．故f(6)=5．而M(m，n+1)=M(m，n)∪{m+n}，故f(n+1)≤f(n)+1．③∴f(7)=6，f(8)=7，f(9)=8．∴对于4≤n≤9，f(n)= []+[]－[]+1成立．④设对于n≤k，④成立，当n=k+1时，由于M(m，k+1)=M(m，k－5)∪{m+k－5，m+k－4，…，m+k}．在{m+k－5，m+k－4，…，m+k}中，能被2或3整除的数恰有4个，即使这4个数全部取出，只要在前面的M(m，k－5)中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数．于是当n≥4时，f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)－1．故f(k+1)≤f(k－5)+f(6)－1=[]+[]－[]+1，比较②，知对于n=k+1，命题成立．∴对于任意n∈N*，n≥4，f(n)= []+[]－[]+1成立．又可分段写出结果：f(n)=。
2004年全国高中数学联赛试题解答
A. 5 / 3 B. 2 5 / 3 C. 6 / 3 D. 2 6 / 3
答(D).∵ AB ⊥ OB , AB ⊥ OP ,
∴ AB ⊥ PB ,面 PAB ⊥ 面 POB .
∵ OH ⊥ PB ,∴ OH ⊥ HC , OH ⊥ PA .
∵ C 是 PA 中点,
∴ OC ⊥ PA .
P
PC 是三棱锥 P −
包括:“得 300 分”与“得 400 分”两种情形.
而学生一旦在(I)问中已求得这名同学得 300
分的概率 P1 = 0.228 ,则这名同学至少得 300 分的概率 P2 = P1 + 0.8 × 0.7 × 0.6 = 0.564 .
然而,(II)问若从反面入手,则相对比较繁
琐.因为“至少得 300 分”的反面包括“得 0
比为
A.2 B.3/2 C.3 D.5/3 则 OuuAuv答+(OuCu)Cuv,设= 2DOuu,DuEv ,分OuuBu别v +是OuuCuAvC= ,2BOuuCEuv边,从的而中有点,
·28·
uuuv 2OD
+
uuuv 4OE
uuuv OE
共线,且
=OuuOuDuvuAuv=+22OOuuuuEBuuvv
{(x, y) y = mx + b} .若对于所有 m ∈ R ,均有
M I N ≠ ∅ ,则 b 的取值范围是
A.[− 6 / 2, 6 / 2] B. (− 6 / 2, 6 / 2)
C. (−2 3 / 3, 2 3 / 3] D. [−2 3 / 3, 2 3 / 3] 答 (A). M I N ≠ ∅ 相当点 (0,b) 在椭圆 x2 + 2 y2 = 3 上或它的内部,
2004年全国高中数学联合竞赛试题一试及答案
2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ） A.6π B.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R MN ∈≠∅均有，则b 的取值范围是（ ）A. ,22⎡-⎢⎣⎦B. 22⎛-⎝⎭C. (33-D. 33⎡-⎢⎣⎦ 3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ） A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ） A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
2004年全国高中数学联赛试题及参考答案
2004年全国高中数学联赛试题【第一试】一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角q 使关于x 的方程0cot cos 42=++θθx x 有重根，则q 的弧度数为A ．6πB 。
12512ππ或C 。
1256ππ或D 。
12π答：[ ]2、已知M={}32|),(22=+y xy x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有,φ≠⋂N M 则b 的取值范围是A ．[26,26-] B 。
（26,26-）C 。
（332,332-） D 。
[332,332-] 答：[ ]3、不等式2log 211log 3212++-x x >0的解集是A ．[2，3]B 。
（2，3）C 。
[2，4]D 。
（2，4） 答：[ ]4、设O 点在△ABC 内部，且有32=++，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为A ．2B 。
23C 。
3D 。
35答：[ ]5、设三位数abc n =，若以c b a ,,为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数有A ．45个B 。
81个C 。
165个D 。
216个 答：[ ]6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 是PA 的中点，则当三棱锥O —HPC 的体积最大时，OB 的长是A ．35B 。
352C 。
36D 。
362 答：[ ]二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数)0(cos sin )(〉+=a ax ax a x f 在一个最小正周期长的区间上的图像与函数1)(2+=a x g 的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。
8、设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
历年联赛题-2004年全国高中数学联赛
闭图形的面积是
.
8. 设函数 f : R →R ,满足 f (0) = 1 ,且对任意 x 、y
∈R ,都有 f ( xy + 1) = f ( x) f ( y) - f ( y) - x + 2. 则
f ( x) =
.
9. 如 图 3 , 正 方 体
ABCD - A1 B1 C1 D1 中 ,二
2 004.
三 、(50 分) 对于整数 n ( n ≥4) ,求出最小的整数
f ( n) ,使得对于任何正整数 m ,集合{ m , m + 1 , …,
m + n - 1}的任一个 f ( n) 元子集中 ,均有至少 3 个
两两互质的元素.
参考答案
一 、1. B.
因题设方程有重根 ,故Δ = 16cos2θ- 4cot θ= 0.
bn + 1 +
1 3
= 2 ( bn +
1 3
)
.
故数列
bn +
1 3
是公比为 2 的等比数列.
bn +
1 3
=2n
b0 +
1 3
=2n
1 a0
+
1 3
=
1 3
×2 n + 1 ,
即 bn =
1 3
20
中等数学
竞赛之窗
2004 年全国高中数学联赛
一 、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分)
1. 设锐角θ使关于 x 的方程 x2 + 4 xcosθ+ cot θ
= 0 有重根. 则θ的弧度数为 ( ) .
(A)
π 6
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工类)(福建卷)
2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工类)(福建卷)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.复数10)11(ii +-的值是( )A.－1B.1C.－32D.32 2.tan15°＋cot15°的值是 ( )A.2B.2＋3C.4D.334 3.命题p:若a 、b ∈R,则|a |＋|b|>1是|a ＋b|>1的充分而不必要条件； 命题q:函数y ＝2|1|--x 的定义域是(－∞,－1]∪[3,＋∞).则 ( )A.“p 或q ”为假B.“p 且q ”为真C.p 真q 假D.p 假q 真4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点,过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点,若△ABF 2是真正三角形,则这个椭圆的离心率是 ( )A.33B.32C.22D.23 5.已知m 、n 是不重合的直线,α、β是不重合的平面,有下列命题:①若m ⊂α,n ∥α,则m ∥n ； ②若m ∥α,m ∥β,则α∥β；③若α∩β＝n,m ∥n,则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α,m ⊥β,则α∥β. 其中真命题的个数是 ( )A.0B.1C.2D.36.某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为 ( )A.2426C AB.242621C A C.2426A AD.262A7.已知函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝f —1(x ),则函数y ＝ f —1(1－x )的图象是( )8.已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ,(b －2a ) ⊥b,则a 与b 的夹角是( )A.6πB.3πC.32π D.65π 9.若(1－2x )9展开式的第3项为288,则)111(lim 2n n xx x +++∞→ 的值是( )A.2B.1C.21D.5210.如图,A 、B 、C 是表面积为48π的球面上三点,AB ＝2,BC ＝4,∠ABC ＝60°,O 为球心,则直线 OA 与截面ABC 所成的角是( ) A.arcsin 63B.arccos 63C.arcsin33 D.arccos 3311.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)＝f(x ＋2),当x ∈[3,5]时,f(x)＝2－|x －4|,则( ) A.f (sin6π)＜f (cos 6π) B.f (sin1)>f (cos1)C.f (cos 32π)＜f (sin 32π)D.f (cos2)>f (sin2)12.如图,B 地在A 地的正东方向4 km 处,C地在B 地的北偏东30°方向2 km 处,河流 的没岸PQ(曲线)上任意一点到A 的距离 比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上 选一处M 建一座码头,向B 、C 两地转运 货物.经测算,从M 到B 、M 到C 修建公 路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km, 那么修建这两条公路的总费用最低是( ) A.(27－2)a 万元 B.5a 万元C.(27＋1) a 万元D.(23＋3) a 万元第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.直线x ＋2y ＝0被曲线x 2＋y 2－6x －2y －15＝0所截得的弦长等于 .x 11-+(x ≠0),14.设函数f(x)＝ a (x ＝0). 在x ＝0处连续,则实数a 的值为 .15.某射手射击1次,击中目标的概率是0.9.他连续射击4次,且各次射击是否击中目标相互之间没有影响.有下列结论:①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1；③他至少击中目标1次的概率是1－0.14.其中正确结论的序号是 (写出所有正 确结论的序号).16.如图1,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一 个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的 底面边长为 时,其容积最大.三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)设函数f(x)＝a ·b ,其中向量a ＝(2cos x ,1),b ＝(cos x , 3sin2x ),x ∈R.(Ⅰ)若f(x)＝1－3且x ∈[－3π,3π],求x ； (Ⅱ)若函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m,n)(|m|＜2π)平移后得到函数y ＝f(x)的图象,求实数m 、n 的值.18.(本小题满分12分)甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6题,乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试,至少答对2题才算合格.(Ⅰ)求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； (Ⅱ)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率.19.(本小题满分12分)在三棱锥S—ABC中,△ABC是边长为4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA＝SC＝23,M、N分别为AB、SB的中点.(Ⅰ)证明:AC⊥SB；(Ⅱ)求二面角N—CM—B的大小；(Ⅲ)求点B到平面CMN的距离.20.(本小题满分12分)某企业2003年的纯利润为500万元,因设备老化等原因,企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造,预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元,今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造,预测在未扣除技术改造资金的情况下,第n 年(今年为第一年)的利润为500(1＋n21)万元(n 为正整数). (Ⅰ)设从今年起的前n 年,若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元,进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金),求A n 、B n 的表达式；(Ⅱ)依上述预测,从今年起该企业至少经过多少年,进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？21.(本小题满分14分) 已知f(x)＝222+-x ax (x ∈R)在区间[－1,1]上是增函数. (Ⅰ)求实数a 的值组成的集合A ； (Ⅱ)设关于x 的方程f(x)＝x1的两个非零实根为x 1、x 2.试问:是否存在实数m,使得不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立？若存在,求m 的取值范围；若不存在,请说明理由.22.(本小题满分12分)如图,P 是抛物线C:y ＝21x 2上一点,直线l 过点P 且与抛物线C 交于另一点Q. (Ⅰ)若直线l 与过点P 的切线垂直,求线段PQ 中点M 的轨迹方程； (Ⅱ)若直线l 不过原点且与x 轴交于点S,与y 轴交于点T,试求||||||||SQ ST SP ST的取值范围.2004年普通高等学校招生全国统一考试数学答案(理工类)(福建卷)一、1.A 2.C 3.D 4.A 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.D 11.D 12.B 二、13.45 14.1/2 15.1,3 16.2/3三、17. 本小题主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能,考查运算能力.满分12分.解:(Ⅰ)依题设,f(x)＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋2sin(2x ＋6π). 由1＋2sin(2x ＋6π)＝1－3,得sin(2 x ＋6π)＝－23. ∵－3π≤x ≤3π,∴－2π≤2x ＋6π≤65π,∴2x ＋6π＝－3π, 即x ＝－4π.(Ⅱ)函数y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m,n)平移后得到函数y ＝2sin2(x －m)＋n 的图象,即函数y ＝f(x)的图象.由(Ⅰ)得 f(x)＝2sin2(x ＋12π)＋1. ∵|m|＜2π,∴m ＝－12π,n ＝1. 18.本小题主要考查概率统计的基础知识,运用数学知识解决问题的能力.满分12分.ξ的概率分布如下:E ξ＝0×301＋1×103＋2×21＋3×61＝59. (Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B,则P(A)＝310361426C C C C +＝1202060+＝32, P(B)＝310381228C C C C +＝1205656+＝1514. 因为事件A 、B 相互独立,方法一:∴甲、乙两人考试均不合格的概率为P(B A ⋅)＝P(A )P(B )＝1－32)(1－1514)＝451.∴甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为 P ＝1－P(B A ⋅)＝1－451＝4544. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 方法二:∴甲、乙两人至少有一个考试合格的概率为P ＝P(A ·B )＋P(A ·B)＋P(A ·B)＝P(A)P(B )＋P(A )P(B)＋P(A)P(B) ＝32×151＋31×1514＋32×1514＝4544. 答:甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为4544. 19.本小题主要考查直线与直线,直线与平面,二面角,点到平面的距离等基础知识,考查空间想象能力和逻辑推理能力.满分12分.解法一:(Ⅰ)取AC 中点D,连结SD 、DB. ∵SA ＝SC,AB ＝BC, ∴AC ⊥SD 且AC ⊥BD,∴AC ⊥平面SDB,又SB ⊂平面SDB, ∴AC ⊥SB.(Ⅱ)∵AC ⊥平面SDB,AC ⊂平面ABC, ∴平面SDB ⊥平面ABC.过N 作NE ⊥BD 于E,NE ⊥平面ABC, 过E 作EF ⊥CM 于F,连结NF, 则NF ⊥CM.∴∠NFE 为二面角N －CM －B 的平面角.∵平面SAC ⊥平面ABC,SD ⊥AC,∴SD ⊥平面ABC. 又∵NE ⊥平面ABC,∴NE ∥SD.∵SN ＝NB,∴NE ＝21SD ＝2122AD SA -＝21412-＝2,且ED ＝EB. 在正△ABC 中,由平几知识可求得EF ＝41MB ＝21,在Rt △NEF 中,tan ∠NFE ＝EFEN＝22,∴二面角N —CM —B 的大小是arctan22. (Ⅲ)在Rt △NEF 中,NF ＝22EN EF +＝23, ∴S △CMN ＝21CM ·NF ＝233,S △CMB ＝21BM ·CM ＝23.设点B 到平面CMN 的距离为h, ∵V B －CMN ＝V N －CMB ,NE ⊥平面CMB,∴31S △CMN ·h ＝31S △CMB ·NE,∴h ＝CMNCMB S NE S ∆∆⋅＝324.即点B 到平面CMN 的距离为324.解法二:(Ⅰ)取AC 中点O,连结OS 、OB.∵SA ＝SC,AB ＝BC, ∴AC ⊥SO 且AC ⊥BO.∵平面SAC ⊥平面ABC,平面SAC ∩平面 ABC ＝AC ∴SO ⊥面ABC,∴SO ⊥BO.如图所示建立空间直角坐标系O －x yz. 则A(2,0,0),B(0,23,0),C(－2,0,0), S(0,0,22),M(1,3,0),N(0,3,2). ∴AC ＝(－4,0,0),SB ＝(0,23,－22), ∵·＝(－4,0,0)·(0,23,－22)＝0, ∴AC ⊥SB.(Ⅱ)由(Ⅰ)得CM ＝(3,3,0),MN ＝(－1,0,2).设n ＝(x ,y,z)为平面CMN 的一个法向量, CM ·n ＝3x ＋3y ＝0,则 取z ＝1,则x ＝2,y ＝－6,MN ·n ＝－x ＋2z ＝0,∴n ＝(2,－6,1),又＝(0,0,22)为平面ABC 的一个法向量, ∴cos(n ,)31. ∴二面角N －CM －B 的大小为arccos31. (Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)得＝(－1,3,0),n ＝(2,－6,1)为平面CMN 的一个法向量, ∴点B 到平面CMN 的距离d ||n 324. 20.本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式的等基础知识,考查运用数学知识解决实际问题的能力.满分12分.解:(Ⅰ)依题设,A n ＝(500－20)＋(500－40)＋…＋(500－20n)＝490n －10n 2；B n ＝500[(1＋21)＋(1＋221)＋…＋(1＋n 21)]－600＝500n －n 2500－100.(Ⅱ)B n －A n ＝(500n －n 2500－100) －(490n －10n 2) ＝10n 2＋10n －n 2500－100＝10[n(n ＋1) － n 250－10]. 因为函数y ＝x (x ＋1) －x 250－10在(0,＋∞)上为增函数, 当1≤n ≤3时,n(n ＋1) － n 250－10≤12－850－10＜0； 当n ≥4时,n(n ＋1) － n 250－10≥20－1650－10>0. ∴仅当n ≥4时,B n >A n .答:至少经过4年,该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.21.本小题主要考查函数的单调性,导数的应用和不等式等有关知识,考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分14分.解:(Ⅰ)f ＇(x)＝222)2(224+-+x x ax ＝ 222)2()2(2+---x ax x , ∵f(x)在[－1,1]上是增函数,∴f ＇(x)≥0对x ∈[－1,1]恒成立,即x 2－ax －2≤0对x ∈[－1,1]恒成立. ①设ϕ(x )＝x 2－ax －2,方法一:ϕ(1)＝1－a －2≤0,① ⇔ ⇔－1≤a ≤1,ϕ(－1)＝1＋a －2≤0.∵对x ∈[－1,1],f(x)是连续函数,且只有当a ＝1时,f ＇(－1)＝0以及当a ＝－1时,f ＇(1)＝0∴A ＝{a |－1≤a ≤1}.方法二:2a ≥0, 2a ＜0, ①⇔ 或ϕ(－1)＝1＋a －2≤0 ϕ(1)＝1－a －2≤0⇔ 0≤a ≤1 或 －1≤a ＜0⇔ －1≤a ≤1.∵对x ∈[－1,1],f(x)是连续函数,且只有当a ＝1时,f ＇(－1)＝0以及当a ＝－1时,f ＇(1)＝0∴A ＝{a |－1≤a ≤1}.(Ⅱ)由222+-x a x ＝x1,得x 2－ax －2＝0, ∵△＝a 2＋8>0 ∴x 1,x 2是方程x 2－ax －2＝0的两实根,x 1＋x 2＝a ,∴ 从而|x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝82+a .x 1x 2＝－2,∵－1≤a ≤1,∴|x 1－x 2|＝82+a ≤3.要使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,当且仅当m 2＋tm ＋1≥3对任意t ∈[－1,1]恒成立,即m 2＋tm －2≥0对任意t ∈[－1,1]恒成立. ②设g(t)＝m 2＋tm －2＝mt ＋(m 2－2),方法一:g(－1)＝m 2－m －2≥0,②⇔g(1)＝m 2＋m －2≥0,⇔m ≥2或m ≤－2.所以,存在实数m,使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤－2}.方法二: 当m ＝0时,②显然不成立； 当m ≠0时,m>0, m ＜0,②⇔ 或g(－1)＝m 2－m －2≥0 g(1)＝m 2＋m －2≥0⇔ m ≥2或m ≤－2.所以,存在实数m,使不等式m 2＋tm ＋1≥|x 1－x 2|对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]恒成立,其取值范围是{m|m ≥2,或m ≤－2}.22. 本题主要考查直线、抛物线、不等式等基础知识,求轨迹方程的方法,解析几何的基本思想和综合解题能力.满分12分.解:(Ⅰ)设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),M(x 0,y 0),依题意x 1≠0,y 1>0,y 2>0.由y ＝21x 2, ① 得y ＇＝x .∴过点P 的切线的斜率k 切＝ x 1,∵x 1＝0不合题意,∴x 1≠0∴直线l 的斜率k l ＝－切k 1＝－11x , ∴直线l 的方程为y －21x 12＝－11x (x －x 1), 方法一:联立①②消去y,得x 2＋12x x －x 12－2＝0. ∵M 是PQ 的中点x 0＝221x x +＝－11x , ∴y 0＝21x 12－11x (x 0－x 1). 消去x 1,得y 0＝x 02＋2021x ＋1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y ＝x 2＋2021x ＋1(x ≠0). 方法二:由y 1＝21x 12,y 2＝21x 22,x 0＝221x x +, 得y 1－y 2＝21x 12－21x 22＝21(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝x 0(x 1－x 2), 则x 0＝2121x x y y --＝k l ＝－11x , ∴x 1＝－01x , 将上式代入②并整理,得y 0＝x 02＋2021x ＋1(x 0≠0),∴PQ 中点M 的轨迹方程为y ＝x 2＋2021x ＋1(x ≠0).(Ⅱ)设直线l :y ＝k x ＋b,依题意k ≠0,b ≠0,则T(0,b).分别过P 、Q 作PP ＇⊥x 轴,QQ ＇⊥y 轴,垂足分别为P ＇、Q ＇,则=+||||||||SQ ST SP ST ||||||||||||||||21y b y b Q Q OT P P OT +='+'. y ＝21x 2 由 消去x ,得y 2－2(k 2＋b)y ＋b 2＝0. ③y ＝kx ＋by 1＋y 2＝2(k 2＋b),则y 1y 2＝b 2.方法一:∴=+||||||||SQ ST SP ST |b|(2111y y +)≥2|b|211y y ＝2|b|21b ＝2. ∵y 1、y 2可取一切不相等的正数,∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,＋∞). 方法二:∴||||||||SQ ST SP ST +＝|b|2121y y y y +＝|b|22)(2b b k +.当b>0时,||||||||SQ ST SP ST +＝b 22)(2bb k +＝b b k )(22+＝b k 22＋2>2； 当b ＜0时,||||||||SQ ST SP ST +＝－b 22)(2b b k +＝b b k -+)(22. 又由方程③有两个相异实根,得△＝4(k 2＋b)2－4b 2＝4k 2(k 2＋2b)>0,于是k 2＋2b>0,即k 2>－2b. 所以||||||||SQ ST SP ST +>b b b -+-)2(2＝2. ∵当b>0时,bk 22可取一切正数, ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,＋∞). 方法三:由P 、Q 、T 三点共线得k TQ ＝K TP , 即22x b y -＝11x b y -. 则x 1y 2－b x 1＝x 2y 1－b x 2,即b(x 2－x 1)＝(x 2y 1－x 1y 2).于是b ＝122212122121x x x x x x -⋅-⋅＝－21x 1x 2. ∴||||||||SQ ST SP ST +＝||||||||21y b y b +|1|21x x -|1|21x x -||12x x ＋||21x x ≥2. ∵||12x x 可取一切不等于1的正数, ∴||||||||SQ ST SP ST +的取值范围是(2,＋∞).。
2004年全国高中数学联赛试题及详细解析
2004年全国高中数学联赛试题及详细解析一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos +cos=0有重根，则的弧度数为( )A ．6B ．12或512C ．6或512 D ．122．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N，则b 的取值范围是( )A ．[－62，62]B ．(－62，62)C ．(－233，233]D ．[－233，233] 3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 4．设点O 在ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．538．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；9．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，二面角A －BD 1—A 1的度数是 ；10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ； 11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i的值是 ；12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ；二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x (x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N*．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N*；⑵ 证明有n 0∈N *，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2004． 三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．EFBCDAGHK2004年全国高中数学联赛试卷第一试一．选择题(本题满分36分，每小题6分)1．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos +cot =0有重根，则的弧度数为( )A ．6B ．12或512C ．6或512 D ．12【答案】B【解析】由方程有重根，故14=4cos 2－cot=0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ．3．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 【答案】C【解析】令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．4．设点O 在ABC 的内部，且有→OA +2→OB +3→OC =→0，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53【答案】C【解析】如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．5．设三位数n=¯¯¯abc ，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则1这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个6．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263二．填空题(本题满分54分，每小题9分) 7．在平面直角坐标系xOy 中，函数f (x )=a sin ax +cos ax (a >0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数g (x )= a 2+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ；【答案】2aa 2+1．【解析】f (x )= a 2+1sin(ax +)，周期=2a ，取长为2a，宽为2a 2+1的矩形，由对称性知，面积之半即为所求．故填2aa 2+1．又解：∫10a 2+1[1－sin(ax +)]dx=a 2+1a ∫20(1－sin t )dt=2p aa 2+1．8．设函数f ：R →R ，满足f (0)=1，且对任意x ，y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )－f (y )－x +2，则f (x )= ；【答案】x+1【解析】令x=y=0，得，f (1)=1－1－0+2，f (1)=2．令y=1，得f (x +1)=2f (x )－2－x +2，即f (x +1)=2f (x )－x ．①又，f (yx +1)=f (y )f (x )－f (x )－y +2，令y=1代入，得f (x +1)=2f (x )－f (x )－1+2，即f (x +1)=f (x )+1．②比较①、②得，f (x )=x +1．10．设p 是给定的奇质数，正整数k 使得k 2－pk 也是一个正整数，则k= ；【答案】14(p +1)2．【解析】设k 2－pk=n ，则(k －p 2)2－n 2=p 24，(2k －p +2n )(2k －p －2n )=p 2，k=14(p +1)2．11．已知数列a 0，a 1，a 2，…，a n ，…满足关系式(3－a n +1)(6+a n )=18，且a 0=3，则n∑i=01a i的值是 ；【答案】13(2n +2－n －3)．【解析】1a n +1=2a n +13，令b n =1a n +13，得b 0=23，b n =2b n －1，b n =23 2n ．即1a n =2n +1－13，n∑i=01a i =13(2n +2－n －3)．12．在平面直角坐标系xOy 中，给定两点M (－1，2)和N (1，4)，点P 在x 轴上移动，当∠MPN 取最大值时，点P 的横坐标为 ；【答案】1【解析】当∠MPN 最大时，⊙MNP 与x 轴相切于点P (否则⊙MNP与x 轴交于PQ ，则线段PQ 上的点P 使∠MP N 更大)．于是，延长NM 交x 轴于K (－3，0)，有KM ·KN=KP 2，KP=4．P (1，0)，(－7，0)，但(1，0)处⊙MNP 的半径小，从而点P 的横坐标=1．三．解答题(本题满分60分，每小题20分)13．一项“过关游戏”规则规定：在第n 关要抛掷一颗骰子n 次，如果这n 次抛掷所出现的点数的和大于2n，则算过关．问：⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关？ ⑵ 他连过前三关的概率是多少？14．在平面直角坐标系xOy 中，给定三点A (0，43)，B (－1，0)，C (1，0)，点P 到直线BC的距离是该点到直线AB 、AC 距离的等比中项．⑴ 求点P 的轨迹方程；⑵ 若直线L 经过ABC 的内心(设为D )，且与P 点轨迹恰好有3个公共点，求L 的斜率k 的取值范围．【解析】⑴ 设点P 的坐标为(x ，y )，(b ) k=0时，直线y=12与圆④切于点(0，12)，与双曲线⑤交于(±582，12)，即k=0满足要求．(c ) k=±12时，直线⑥与圆只有1个公共点，与双曲线⑤也至多有1个公共点，故舍去．(c ) k 0时，k12时，直线⑥与圆有2个公共点，以⑥代入⑤得：(8－17k 2)x 2－5kx －254=0． 当8－17k 2=0或(5k )2－25(8－17k 2)=0，即得k=±23417与k=±22．∴ 所求k 值的取值范围为{0，±23417，±22}．15．已知，是方程4x 2－4tx －1=0(t ∈R )的两个不等实根，函数f (x )= 2x －t x 2+1的定义域为[，]．⑴ 求g (t )=max f (x )－min f (x )；⑵ 证明：对于u i ∈(0，2)(i=1，2，3)，若sin u 1+sin u 2+sin u 3=1，则1g (tan u 1)+1g (tan u 2)+1g (tan u 3)<364．【解析】⑴+=t ，=－14．故<0，>0．当x 1，x 2∈[，]时，∴ f (x )= 2(x 2+1)－2x (2x －t )(x 2+1)2=－2(x 2－xt )+2(x 2+1)2．而当x ∈[α，β]时，x 2－xt <0，于是 f (x )>0，即f (x )在[，]上单调增．∴g (t )=2－t 2+1－2－t 2+1=(2－t )(2+1)－(2－t )(2+1)(2+1)(2+1)=(－)[t (+)－2+2]22+2+2+1=t 2+1(t 2+52)t 2+2516=8t 2+1(2t 2+5)16t 2+25二试题一．(本题满分50分)在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK 的长．二．(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY 中，y 轴正半轴上的点列{A n }与曲线y=2x(x ≥0)上的点列{B n }满足|OA n |=|OB n |=1n，直线A n B n 在x 轴上的截距为a n ，点B n 的横坐标为b n ，n ∈N*．⑴ 证明a n >a n +1>4，n ∈N*；⑵ 证明有n 0∈N*，使得对∀n >n 0，都有b 2b 1+b 3b 2+…+b n b n －1+b n +1b n<n －2004． 【解析】⑴ 点A n (0，1n )，B n (b n ，2b n )由|OA n |=|OB n |，b n 2+2b n =(1n)2，b n =1+(1n)2－1(b n >0)．∴ 0<b n <12n2．且b n 递减，n 2b n =n (n 2+1－n )=n n 2+1+n=11+(1n)2+1单调增． ∴ 0<n b n <12．令t n =1n b n>2且t n 单调减．由截距式方程知，b n a n +2b n1n=1，(1－2n 2b n =n 2b n 2)∴ a n =b n 1－n 2b n =b n (1+n 2b n )1－2n 2b n =1+n 2b n n 2b n =(1n b n )2+2(1n b n)=t n 2+2t n =(t n +22)2－12≥(2+22)2－12=4． 且由于t n 单调减，知a n 单调减，即a n >a n+1>4成立．亦可由1n 2b n=b n +2．1n b n=b n +2，得 a n =b n +2+2b n +2，．∴ 由b n 递减知a n 递减，且a n >0+2+2 2=4．三．(本题满分50分)对于整数n ≥4，求出最小的整数f (n )，使得对于任何正整数m ，集合{m ，m +1，…，m+n －1}的任一个f (n )元子集中，均至少有3个两两互素的元素．【解析】⑴ 当n ≥4时，对集合M (m ，n )={m ，m +1，…，m+n －1}，当m 为奇数时，m ，m +1，m +2互质，当m 为偶数时，m +1，m +2，m +3互质．即M 的子集M 中存在3个两两互质的元素，故f (n )存在且f (n )≤n ． ①取集合T n ={t |2|t 或3|t ，t ≤n +1}，则T 为M (2，n )={2，3，…，n +1}的一个子集，且其中任3个数无不能两两互质．故f (n )≥card (T )+1．但card(T )=[n+12]+[n+13]－[n+16]．故f (n )≥[n+12]+[n+13]－[n+16]+1． ②由①与②得，f (4)=4，f (5)=5．5≤f (6)≤6，6≤f (7)≤7，7≤f (8)≤8，8≤f (9)≤9． 现计算f (6)，取M={m ，m +1，…，m +5}，若取其中任意5个数，当这5个数中有3个奇数时，这3个奇数互质；当这3个数中有3个偶数k ，k +2，k +4(k 0(mod 2))时，其中至多有1个被5整除，必有1个被3整除，故至少有1个不能被3与5整除，此数与另两个。
2004年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2004 年全国高中数学联合竞赛试题 第 1 页 共 11 页
等腰三角形，而以大数为底时， b a 2b ． a 9 或 8 时， b 4,3,2,1 ，有 4 2 8 种；
0 0
2 时取得最大值．此时， OH HC 2 ， PO 2 2 ， 2 6 3 1 VB AOP ， 2
又解：连线如图，由 C 为 PA 中点，故 VO PBC 而 VO PHC : VO PBC
PH PO 2 2 ( PO PH PB )． 2 PB PB 1 3 1 R sin cos R 3 sin 2 ， 6 12
◆答案：B ★解析：由方程有重根，故 0 ，∵ 0
5 1 ，得 sin 2 ，得 或 ． 2 2 12 12
2004*2、已知 M ( x, y ) | x 2 y 3 ， M ( x, y ) | y mx b ，若对所有的 m R ，均有
2 a
a2 1
2004*8、设函数 f : R R ，满足 f (0) 1 ，且对任意 x, y R ， 都有 f ( xy 1) f ( x ) f ( y ) f ( y ) x 2 ，则 f ( x ) ◆答案： f ( x ) x 1 ★解析：令 x y 0 ，得 f (1) 2 ；令 y 1 得 f ( x 1) 2 f ( x ) x ① 交换 x, y 位置后，令 y 1 ，得 f ( x 1) f ( x ) 1 ② 比较①、②得， f ( x ) x 1 ． 2004*9、如图，正方体 ABCD A1 B1C1 D1 中，二面角 A BD1 A1 的度数是 ◆答案： 60 ★解析： 解：不妨设 AB 1 ，作 A1M BD1 ， AN BD1 ，则 BN BD1 AB ，可 得 BN D1M NM
2004年全国高中数学联赛试题及答案
2004年全国高中数学联合竞赛试题第 一 试 时间：10月16日一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、设锐角θ使关于x 的方程24cos cot 0x x θθ++=有重根，则θ的弧度数为（ ）A.6πB.51212orππ C.5612orππ D.12π 2、已知22{(,)|23},{(,)|}M x y x y N x y y mx b =+===+。
若对所有,m R M N ∈≠∅均有，则b 的取值范围是（ ）A. ⎡⎢⎣⎦B. ⎛ ⎝⎭C. (]33-D. ⎡⎢⎣⎦3、3121log 202x +>的解集为（ ） A. [2,3)B. (2,3]C. [2,4)D. (2,4]4、设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（ ）A. 2B.32C. 3D.535、设三位数n abc =，若以a ，b ，c 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数n 有（ ）A. 45个B. 81个C. 165个D. 216个6、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆的圆心，AB OB ⊥，垂足为B ，OH PB ⊥，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长是（ ）A.3B.3C.3D.3二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数()g x 的图像所围成的封闭图形的面积是________________。
8、设函数:,(0)1f R R f →=满足，且对任意,,x y R ∈都有(1)()()()2f xy f x f y f y x +=--+，则()f x =_____________________。
全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷_9773
2004 年全国高中数学联赛福建赛区初赛试卷<2004.9.12. 8:00—10:30 ）题号一二三总分13141516得分评卷人考生注意：1 本试卷共三大题 <16 个小题），全卷满分150分.2．完卷时间 150 分钟 , 用钢笔 , 署名笔或圆珠笔作答. 不可以使用计算器 .3.解答题书写不要高出装订线。
一、选择题 <此题满分 24 分，每题 4 分）此题共有 6 个小题 , 每题均给出A、 B、 C、 D 四个结论 , 其得分评卷人中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内 . 每题选对得 4 分。
不选、选错或选出的代表字母超出一个<无论能否在括号内），一律得0 分。
1．已知 ,点 (x,y> 在直线x+2y=3 上挪动 ,当取最小值时,点(x ,y >与原点的距离是(>A. B.C．D．2．设双曲线的离心率 e，则双曲线的两条渐近线夹角的取值范围是(>A.B．C．D．3.正四周体的 4个面分别写着 1， 2， 3， 4，将 4个这样均匀的正四周体同时扔掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的 4个数的乘积被4整除的概率是(>A．B．C． D.4．甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打竞赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由本来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打 12局,乙共打 21局 ,而丙共当裁判 8局 .那么整个竞赛的第10局的输方<）A．必是甲B．必是乙C．必是丙 D ．不可以确立5．曲线 x2+y 2－ ay=0 与 ax2+bxy+x=0 有且只有 3个不一样的公共点,那么必有 <）A ．(a4+4ab+4>(ab+1>=0B ． (a4－ 4ab－4>(ab+1>=0C． (a4+4ab+4>(ab － 1>=0 D ．(a4－ 4ab－ 4>(ab－ 1>=06．两个周期函数y1,y2的最小正周期分别为a,b,且 b=na(n 2,n为整数 >.假如函数 y3=y 1+y 2的最小正周期为 t .那么五种情况：”t<a”,”t=a”,”a<t<b”,”t=b”,”t>b”中,不行能出现的情况的个数是<）B ．2C．3D．4二、填空题 <此题满分36 分，每题 6 分）得分评卷人此题共有 6 个小题，要求直接将答案写在横线上.7．已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log c x =22220 ｝.已知 M = ｛ x1,.x2, x3, x4.,x5, x6, x7, x8｝N . 那么 max｛ c1,.c2, c3, c4｝–min ｛ c1,.c2,c3, c4｝ =9 . 假如实数 x ,y 知足 3x + 2y － 1 0 , 那么 u = x 2 + y2 + 6x－ 2y的最小值是.10 . 不等式组 sinx > cosx > tanx > cotx 在 (0 , 2>中的解集(用区间表示 >是.11 . 四周体 ABCD 中, AB = CD= a ,BC= AD= b , CA = BD=c .假如异面直线 AB 与 CD所成的角为, 那么 cos =.12．设a , b , x N* , a b . X 为对于 x的不等式 lgb－ lga < lgx < lgb ＋ lga 的解集 . 已知card (X> = 50 . 当a b取最大可能值时,=三、解答题 <此题 90 分 . 共 4 个小题 . 第 13， 14, 15题各20分，第16题30分）13 . 求函数得分评卷人f (x> =︱ sinx +cosx +tanx + cotx + secx + cscx︱的最小值.此中secx=, cscx=.得分评卷人14.椭圆x 24y28中 , +=AB 是长为的动弦.O为坐标原点. 求AOB 面积的取值范围.得分评卷人无量数列｛ x n｝中 <n1），对每个奇数 n，x n,15 .x,x成等比数列，而对每个偶数 n,xx x成等差数列 .已知 x1=a,x2=b.(1> 求数列的通项公式.实数 a,b知足如何的充要条件时 ,存在这样的无量数列 ?(2>求,,,的调解均匀值 , 即的值 .得分16． (1>给定正整数 n5,会合评卷人A n=.能否存在一一映照:A n A n知足条件：对全部 k ( 1k n－ 1 > , 都有 k |(1>+(2> + + (k> ?(2> N*为全体正整数的会合,能否存在一一映照:N *N *知足条件：对全部 k N* , 都有 k | (1>+ (2> + + (k> ?证明你的结论.注 : 映照: A B 称为一一映照 ,假如对随意 b B, 有且只有一个 a A 使得(a>=b . 题中“为|”整除符号 .二 00四年全国高中数学联赛福建赛区初赛试卷参照解答及评分标准说明 :1.选择 ,填空题只按 0分与满分两档给分,不设中间品位 .2.解答题 5分一个品位 .假如考生的解法与参照解答不一样.可参照本标准酌情给分.一 . 选择题 (每题 4分 ,共 24分 >123456A C D AB B二 . 填空题(每题6分,共36分>789101112 60156－(－ arcsin>三. 解答题13.设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x =( u2－ 1 > .sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u +,( 5 分 >当 u > 1 时 , f ( x > = 1 + u － 1 + 1 + 2.( 5 分 >当 u < 1 时 , f ( x > = － 1 + 1－ u +2－ 1 ( u = 1－时等号建立> . ( 5 分>所以 , f ( x > 的最小值是2－ 1 .( 5 分 >14. 令 A, B 的坐标为( x1 , y1 > ,( x 2 , y 2 > , 直线 AB 的方程为y = kx + b , 代入椭圆方程整理得 : (4k 2 +1>x 2 + 8kbx + 4(b 2－ 2> = 0 . 故 x 1 + x 2 = －, x 1x2 =.( 5分 >由= AB 2 = (k 2+1>(x 2－ x1>2 = (k 2+1>((x 1+x 2>2－ 4 x 1x2> =(2(4k 2+1> － b2> 获得b2 = 2 (4k 2+1> －( 5 分>原点 O 到 AB 的距离为,AOB 的面积 S =, 记 u =, 则有S 2= －(u 2－u > = 4 －(u－>2( 5 分 >u = 4－的范围为, (u = 4 为竖直弦>. 故 u =时, max S2= 4 ,而u = 1时, min S 2 =, 所以 S 的取值范围是.( 5 分 >15. (1>察看前几项:a , b ,,,,,, 猜想 : x 2k-1 =,x2k =,( k 1 >.( 5 分 >对k 概括证明通项公式: k =1 明显建立 ,设 x2 k-1, x2k如上 ,则 x2k+1 ==, x2k+2 = 2x2k+1－ x2k=, 所以 , 公式建立.( 5 分 >存在这样的无量数列全部的 x n0. ( 5 分 >(2> b a 时 ,=(>,故== nb－ (n－ 1>a .( b = a 时全部的 x n = a ,结果也对 >. ( 5分 >16. (1> 不存在 .( 5 分>记 S k =.当 n = 2m+1 时 ( m 2 >, 由 2m | S 2 m及 S 2 m=－(2m+1>得(2m+1>m+1(mod 2m>, 但(2m+1> A 2m+1,故(2m+1>= m+1.再由2m－1 | S2m－1及S2m－1=－(m+1>－(2m> 得(2m> m+1(mod 2m－ 1>, 又有(2m>= m+1,与的一一性矛盾 .( 5 分>当 n = 2m+2 时 ( m 2 >, S2m+1=－(2m+2> 给出(2m+2>=1 或 2m+2,同上又得(2m+1>= (2m>= m+2 或 m+1 , 矛盾 .( 5 分 >(2> 存在 . 对 n 概括定义(2n－ 1>及(2n> 以下：( 5 分 >令(1>=1,(2>=3 . 设已定义出不一样的正整数值(k> (1 k 2n>知足整除条件且包括1,2,,n设, v 是未取到的最小正整数值,因为 2n+1 与 2n+2 互素 ,依据孙子定理 ,存在不一样于 v及(k> (1 k 2n>的正整数 u知足同余式组u－S2n(mod 2n+1>－S2n－v (mod 2n+2> .( 5分>定义(2n+1>=u,(2n+2>=v.则正整数(k> ( 1k 2n+2> 也互不同样 ,知足整除条件 ,且包括1,2,,n+1根.据数学概括法原理 ,已经获得切合要求的一一映照： N*N* .(5 分>附：选择、填空题简解：1. 2x+4 y2= 4. x = , y =时取最小值,此时=.2.设渐近线 y=x的倾斜角为,1+=e2, tan =,, 故= min ｛ 2 ,－2｝.3. 事件“4个数均为奇数”的概率p1==，事件“3个为奇数，1个为2”的概率p2== . 故 p =1－ p1－ p2 =.4. 共竞赛 12+21－ 8 = 25局,甲当裁判 25－ 12 = 13局 .因为同一人不会接连当两局裁判,故甲是第 1,3,5,,21,23,25局的裁判 , 进而第 10局的输方为甲.5. 易知 a 0.曲线 ax2+bxy+x = 0 是两条直线 x = 0 与ax+by+1 = 0. 直线 x = 0 与圆 x2+y2 ay=0 有两个不一样的公共点 (0,0>, (0,a>, 依题意有两种可能：(1>.ax+by+1=0与圆 x2+(y －>2=相切于第三点.此时,即a4－4ab－ 4=0。
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年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷（2004.9.12. 8:00 —10:30）题 号 一 二三总分1314 15 16 得 分 评卷人考生注意：1本试卷共三大题（16个小题），全卷满分150分 .2．完卷时间150分钟 ,用钢笔,签字笔或圆珠笔作答.不能使用计算器 . 3.解答题书写不要超出装订线。
一、选择题（本题满分24分，每小题4分）本题共有6个小题,每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的.请将正确答案的代表字母填在题后的括号内.每小题选对得4分;不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否在括号内），一律得0分。
1． 已知,点(x,y)在直线 x+2y=3上移动,当24x y +取最小值时,点(x ,y)与原点的距离是( ) A .354B .4516C ．324D ．982．设双曲线22221x y ab-= 的离心率e 23,23⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3. 正四面体的4个面分别写着1，2，3，4，将4个这样均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的乘积被4整除的概率是 ( ) A ．18B ．964C ．116D.13164．甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打12局,乙共打21局,而丙共当裁判8局.那么整个比赛的第10局的输方 （ ） A ．必是甲 B ．必是乙 C ．必是丙 D ．不能确定5．曲线x 2+y 2－ay=0 与ax 2+bxy+x=0 有且只有3个不同的公共点,那么必有（ ）A ．(a 4+4ab+4)(ab+1)=0B ．(a 4－4ab －4)(ab+1)=0C ．(a 4+4ab+4)(ab －1)=0 D ．(a 4－4ab －4)(ab －1)=06．两个周期函数y 1,y 2 的最小正周期分别为a,b,且 b = na (n ≥2,n 为整数).如果函数y 3=y 1+y 2的最小正周期为t . 那么五种情形：”t<a ”,”t=a ”,”a<t<b ”,”t=b ”,”t>b ” 中,不可能出现的情形的个数是得 分 评卷人（ ）A. 1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6个小题，要求直接将答案写在横线上 .7．已知 log a x = 24, log b x = 40, log abc x = 12 . 那么 log cx =8 . 设 f (x) = (x 2 – 8x +c 1 ) ( x 2 – 8x+c 2 ) (x 2 – 8x +c 3 ) ( x 2– 8x+c 4 ) . M =｛x ︱f( x )= 0 ｝.已知 M =｛x 1,.x 2 , x 3, x 4.,x 5, x 6, x 7, x 8｝⊆ N . 那么max ｛c 1,.c 2, c 3, c 4｝– min ｛c 1,.c 2, c 3, c 4｝=9 . 如果实数 x ,y 满足3x + 2y －1≥0 , 那么 u = x 2+ y 2+ 6x －2y 的最小值是 . 10 . 不等式组sinx > cosx > tanx > cotx 在 (0 , 2π)中的解集 (用区间表示)是 .11 . 四面体ABCD 中, AB = CD = a , BC = AD = b , CA = BD = c . 如果异面直线AB 与CD 所成的角为θ, 那么cos θ= .12． 设a , b , x ∈N * , a ≤b . X 为关于x 的不等式lgb －lga < lgx < lgb ＋lga 的解集 . 已知 card (X) = 50 . 当a ⋅b 取最大可能值时 , b a + =三、解答题（本题90分.共4个小题 .第13，14, 15题各20分，第16题30分） 13 . 求函数f (x) =︱sinx + cosx +tanx + cotx + secx + cscx ︱ 的最小值 . 其中 secx=xcos 1, cscx=xsin 1 .14.椭圆 x 2 + 4y 2 = 8 中, AB 是长为25的动弦 .O 为坐标原点 .求∆AOB 面积的取值范围 .得 分 评卷人得 分 评卷人得 分 评卷人15 . 无穷数列｛x n ｝中（n ≥1），对每个奇数n ，x n, x n+1,x n+2 成等比数列，而对每个偶数n, x n, x n+1, x n+2 成等差数列.已知x 1= a , x 2= b . (1) 求数列的通项公式 . 实数a , b 满足怎样的充要条件时, 存在这样的无穷数列? (2) 求2x ,4x ,……,n x 2的调和平均值, 即∑=nk kx n121的值 .16．(1) 给定正整数n ≥5,集合 A n ={}n ,,2,1 .是否存在一一映射 φ: A n →A n 满足条件：对一切k ( 1≤ k ≤n －1 ) , 都有得 分评卷人得 分 评卷人k | φ(1)+φ(2) +……+φ(k) ?(2) N * 为全体正整数的集合,是否存在一一映射 φ: N *→ N * 满足条件： 对一切k ∈N *, 都有k | φ(1)+φ(2) + ……+φ(k) ?证明你的结论 .注: 映射 φ: A →B 称为一一映射,如果对任意 b ∈B,有且只有一个 a ∈A 使得 φ(a)=b . 题中“|”为整除符号.参考解答及评分标准说明:1.选择,填空题只按0分与满分两档给分,不设中间档次.2.解答题5分一个档次.如果考生的解法与参考解答不同.可参照本标准酌情给分. 一. 选择题(每小题4分,共24分)1 2 3 4 5 6 ACDABB二. 填空题 (每小题6分,共36分)7 8 91011126015－1366(,43ππ－arcsin215- )222acb--6 三. 解答题13. 设 u = sin x + cos x , 则 sin x cos x =21( u 2 － 1 ) .sin x + cos x + tan x + cot x + sec x + csc x = u +12-u , ( 5分 )当 u > 1 时 , f ( x ) = 1 + u －1 +12-u ≥ 1 + 22 . ( 5分 )当 u < 1 时 , f ( x ) = －1 + 1－u +u -12 ≥ 22－1 ( u = 1－2时等号成立 ) .( 5 分) 因此, f ( x ) 的最小值是 22－ 1 .( 5 分 )14. 令 A, B 的坐标为 ( x 1 , y 1 ) ,( x 2 , y 2 ) , 直线 AB 的方程为 y = kx + b , 代入椭圆方程整理得: (4k 2+1)x 2+ 8kbx + 4(b 2－2) = 0 . 故 x 1 + x 2 =－1482+kkb , x 1x 2 =14)2(422+-kb . ( 5分 )由425 = AB 2 = (k 2+1)(x 2－x 1)2 = (k 2+1)((x 1+x 2)2－4 x 1x 2) =222)14()1(16++kk (2(4k 2+1)－b 2) 得到b 2 = 2 (4k 2+1)－)1(64)14(25222++kk ( 5 分)原点O 到 AB 的距离为12+k b , ∆AOB 的面积 S =⋅4512+k b , 记 u =11422++k k , 则有S 2= －1024625(u 2－25128u ) = 4－1024625(u －2564)2 ( 5分)u = 4－132+k的范围为 []4,1 , (u = 4 为竖直弦 ). 故 u =2564 时, max S 2 = 4 , 而u = 1时, min S 2 =10242575, 因此 S 的 取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,103325. ( 5分)15. (1) 观察前几项: a , b ,ab2,aa b b )2(-,aa b 2)2(-,aa b a b )23)(2(--,aa b 2)23(-,… 猜测: x 2 k-1 =aa kb k 2))2()1((---,x 2k =aa k kb a k b k ))1()()2()1((-----,( k ≥ 1 ). ( 5分 )对k 归纳证明通项公式: k =1 显然成立,设 x 2 k-1, x 2k 如上,则x 2k+1 =1222)(-k k x x =aa k kb 2))1((--,x 2k+2 = 2x 2k+1－x 2k = aka b k a k kb ))1)(()1((-+--, 因此, 公式成立 . ( 5 分 )存在这样的无穷数列 ⇔ 所有的 x n ≠0 ⇔ ∉a b⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+N n n n |1. ( 5分 )(2) b ≠a 时,kx 21=ab a -(ak kb ak b k )1(1)2()1(1------),故∑=nk kx n121=))1(11(an nb aa b a n----= nb －(n －1)a .( b = a 时所有的x n = a ,结果也对). ( 5分 )16. (1) 不存在. ( 5分)记 S k =∑=ki i 1)(φ.当 n = 2m+1 时 ( m ≥2 ), 由 2m | S 2 m 及S 2 m =2)22)(12(++m m －φ(2m+1) 得 φ(2m+1)≡m+1(mod 2m), 但 φ(2m+1)∈A 2m+1,故φ(2m+1)= m+1.再由 2m －1 | S 2m －1及S 2m －1=2)22)(12(++m m －(m+1)－φ(2m) 得φ(2m) ≡m+1(mod 2m －1),又有φ(2m)= m+1,与φ的一一性矛盾. ( 5分) 当 n = 2m+2 时 ( m ≥2 ), S 2m+1=2)32)(22(++m m －φ(2m+2) 给出φ(2m+2)=1 或 2m+2,同上又得φ(2m+1)= φ(2m)= m+2 或 m+1 ,矛盾. ( 5 分)(2) 存在. 对n 归纳定义φ(2n －1)及φ(2n) 如下： ( 5 分)令(1)=1, φ(2)=3 .设已定义出不同的正整数值φ(k) (1≤k ≤2n)满足整除条件且包含1,2,…,n ,设 v 是未取到的最小正整数值,由于 2n+1 与 2n+2 互素,根据孙子定理,存在不同于v 及φ(k) (1≤k ≤2n)的正整数u 满足同余式组 u ≡－S 2n (mod 2n+1)≡－S 2n －v (mod 2n+2) . ( 5分)定义φ(2n+1)=u, φ(2n+2)=v .则正整数φ(k) ( 1≤k ≤2n+2 )也互不相同,满足整除条件,且包含1,2,…,n+1 .根据数学归纳法原理,已经得到符合要求的一一映射φ：N * → N *. ( 5 分)附：选择、填空题简解：1. 2x +4y222x y += 42. x =32, y =34时取最小值, 此时22x y +=354.2.设渐近线y =b ax 的倾斜角为β, 1 +22ba = e 2∈4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦, tan β=b a ∈1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦, ,63ππβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦, 故 α= min ｛2β,π－2β｝,32ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.3. 事件 “4个数均为奇数”的概率p 1=412⎛⎫ ⎪⎝⎭=116，事件“3个为奇数，1个为2”的概率p 2=3141142C ⎛⎫⋅⋅ ⎪⎝⎭=18. 故p =1－p 1－p 2 =1316 .4. 共比赛12+21－8 = 25局,甲当裁判25－12 = 13局.由于同一人不会接连当两局裁判, 故甲是第1,3,5,……,21,23,25局的裁判, 从而第10局的输方为甲 .5. 易知a ≠0.曲线ax 2+bxy+x = 0是两条直线x = 0与ax+by+1 = 0. 直线x = 0与圆x 2+y 2ay=0有两个不同的公共点(0,0), (0,a), 依题意有两种可能：(1).ax+by+1 = 0与圆x 2+(y －2a )2 =24a相切于第三点. 此时22|01|22a ab a a b⋅+⋅+=+, 即a 4－4ab －4=0;(2).ax+by+1= 0过点(0,a)且不与坐标轴平行, 此时ab+1= 0.6. b 是y 3的一个周期,故t ≤b.若t = a, 则由y 2=y 3－y 1可得b ≤a,矛盾.故”t=a ”和”t>b ”不可能.下面的例子表明另外的三种情形都可能出现：取y 2 = sinx + sin 23x , 则b = 6π.(1).令y 1 = －sin23π, 此时a =3π, y 3= sinx, t =2π, t < a ;(2). 令y 1 = －sinx, 此时a =2π, y 3= sin 23π, t =3π, a < t< b ;(3). 令y 1 = sinx, 此时a = 2π, y 3 = 2sinx+sin 23π, t = 6π, t = b ; 7. log x c = log x abc －log x a －log x b =121－241－401=601, log c x = 60 .8. 令x 2－8x+c = 0 的两根为α,β, 则α+β=8. (α,β)的不等非负整数值只有(0,8),(1,7),(2,6), (3,5) 故｛c 1,c 2,c 3, c 4｝=｛0,7,12,15｝.9. u = (x+3)2+(y －1)2－10 .半平面 3x+2y －1≥0 中的点到定点 (－3,1) 距离的最小值是13129-+-=138, 所以 min u = (138)2－10 = －1366 .2π10. 在象限图上用区间法求解：各分界线为 ② ③ ①4πk (0≤k ≤7) 与方程 cosx = tanx 的解 arcsin215-, ③ ①π－arcsin215-. ② ① ① ①由 sinx> cosx 排除区间 ①, 由 tanx> cotx 排除 ②, 由 cosx> tanx 排除 ③, 解集为 (43π,π－arcsin215-) . ,11. (1) 向量法： 记 DC = a , DA = b , DB = c .由已知条件, | b a -| = |c |, a 2+b 2－ 2ba ⋅ = c2. 故 b a ⋅ =2222cb a -+,同理c a ⋅ =2222bc a -+.cos θ=|||||)(|c b a c b a -⋅-⋅=222ac b -.(2) 几何法： 该四面体各棱是一个长方体的面对角线 , 设长方体三边为 x , y , z , 则 a 2 = y 2+z 2 , b 2 = z 2+x 2 , c 2 = x 2+y 2 . θ 是 y , z 矩形中两对角线的夹角 , 故cos θ=222|)2()2(|222a a y a a ⋅⋅-+=222||a c b - 12. a b < x < ab , a ≥2 , 50 ≥ ab －a b －1 = ab(1－21a)－1 ≥43ab －1 , 故 ab ≤ 68 .等号当且仅当 a =2 ,b =34 时成立 , 此时 b a += 6 .。