2019-2020学年山东省枣庄三中高一(下)期中数学试卷(含解析)

2019-2020学年山东省枣庄三中高一(下)期中数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 若tan(π+α)=3，则sin(−α)cos(π−α)=( )
A. −3
10
B. 3
10
C. −1
10
D. 1
10
2. sin2100= ( )
A.
B. −
C.
D. −
3. 已知cosα=−4
5，sinα=3
5，那么α的终边所在的象限为( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
4. 已知扇形的半径为2，弧长为4，则这个扇形的面积为( )
A. 2
B. 2π
C. 4π
D. 4
5. 设向量a ⃗ =(x,x +1)，b ⃗ =(1,2)，且a ⃗ ⊥b ⃗ ，则x =( )
A. −2
3
B. 2
3
C. −1
3
D. 1
3
6. 若S =
1+2sinxcosx cos x−sin x
，则S 不能是( )
A. 1+tanx
1−tanx
B. 1−tanx
1+tanx
C.
1+sin2x cos2x
D. cos2x
1−sin2x
7. 已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|=2，|b|=1，则向量a 与向量a +2b 的夹角等于( )
A. 150°
B. 90°
C. 60°
D. 30°
8. 已知f(x)=cosx −sinx ，x ∈[0,π]，则函数的值域和单调增区间分别为( )
A. [−√2,1],(3π
4,π) B. [−√2,1],(0,3π
4) C. [−√2,√2],(3π
4,π)
D. [−√2,√2],(0,3π
4)
9. 将函数y =sin(2x +π
3)的图象先向右平移π
6个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2，
保持纵坐标不变，则得到的函数图象的表达式为( )
A. =sin(2x +π
6 ) B. y =sin(4x +2π
3) C. y =sinx
D. y =sin4x
10. 为了得到函数y =1
2sin(2x +π
3)的图象，可以把函数y =1
2sin2x 的图象上所有的点( )
A. 向右平移π
3个单位 B. 向左平移π
6
个单位
C. 向左平移π
3个单位 D. 向右平移π
6
个单位
11.将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣
除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点
为中心﹐其中，分别为原点到两个顶点的向量﹒若将原点到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为的形式﹐则的最大值为()。

A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
12.已知|a⃗|=4，|b⃗ |=3，a⃗⋅b⃗ =−6，则a⃗与b⃗ 的夹角为()
A. π
6B. π
3
C. 2π
3
D. 5π
6
二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）
13.定义在R上的奇函数f(x)满足：对于任意x∈R，有f(x)=f(2−x)，且f(1)=1若tanα=1
3
，则f(10sinαcosα)的值为______ ．
14.已知a⃗=(3,4)，b⃗ =(t,−6)，且a⃗，b⃗ 共线，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为______．
15.已知cos(2α−π
3)=p
2
，tanαtan(α−π
3
)=p，其中p为正的常数，则p的值为______．
16.已知a⃗、b⃗ 为两个向量，给出以下4个条件：
①|a⃗|=|b⃗ |；②a⃗与b⃗ 的方向相反；③|a⃗|=0或|b⃗ |=0；④a⃗与b⃗ 都是单位向量．
由条件______ 一定可以得到a⃗与b⃗ 平行．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.已知函数f(x)=2sin2(π
4
+x)+√3cos2x−1，x∈R．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)在△ABC中，若f(C)=√3,2sinB=cos(A−C)−cos(A+C)，求tan A的值．
18. 在平面直角坐标系内有两点M(2cos 2
ωx+φ2
, 1)，N(1, √3sin(ωx +φ)−1)，
其中ω>0，0<φ<π2
，设函数f(x)=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中O 为坐标原点，若f(x)的图象相邻两最高点的距离为π，且有一个对称中心为(π
3, 0)，设g(x)=af(x)(a ≠0)． (Ⅰ)求ω和φ的值；
(Ⅱ)求g(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)当a >0时，方程g(x)=k 在[0,a]上有解，求k 的取值范围．
19. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知向量m ⃗⃗⃗ =(sin(A +π3),a)，n ⃗ =(b,cos(π
2
+B))，且m
⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (Ⅰ)求角A 的值；
(Ⅱ)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12，求边a 的最小值．
20. (1)已知sinα+3cosα
3cosα−sinα=5，求sin 2α−sinαcosα的值．
(2)已知角α终边上一点P(−4,3)，求
cos(π2+α)sin(−π−α)
cos(11π2−α)sin(9π2
+α)
的值．
21. 设x ，y ∈R ，i ,j 、为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量，若a ⃗ =x i +(y +2)j ，b ⃗ =x i +
(y −2)j 且a ⃗ 2+b
⃗ 2=16． (1)求点M(x,y )的轨迹C 的方程；
(2)过定点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，若不存在说明理由．
22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，证明：
(1)bcos C +ccos B =a ；
(2)cos A+cos B
a+b
=
2sin 2
C
2
c
．
【答案与解析】1.答案：B
解析：解：∵tan(π+α)=tanα=3，
∴sin(−α)cos(π−α)=(−sinα)(−cosα)=sinαcosα
sin2α+cos2α=tanα
tan2α+1
=3
9+1
=3
10
．
故选：B．
由已知利用诱导公式可求tanα=3，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求后代入计算即可得解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．2.答案：D
解析：试题分析：sin210°=sin(180°+30°)=−sin30°=−．
考点：运用诱导公式化简求值．
3.答案：B
解析：解：∵cosα=−4
5，sinα=3
5
，
∴cosα<0，sinα>0，
∴α是第二象限的角，
故选B．
根据所给的一个角的正弦值和余弦值，直接说明角的范围，得到选项．本题考查三角函数的符号，基本知识的应用．
4.答案：D
解析：解：根据扇形的面积公式得，S=1
2lr=1
2
×4×2=4．
故选：D．
利用扇形的面积计算公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
5.答案：A
解析：解：∵a⃗⊥b⃗ ，
∴a⃗⋅b⃗ =x+2(x+1)=0，解得x=−2
3
．
故选：A．
根据a⃗⊥b⃗ 即可得出a⃗⋅b⃗ =0，然后进行向量坐标的数量积运算即可求出x的值．
本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积运算，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：B
解析：解：对于A，S=1+2sinxcosx
cos2x−sin2x =(sinx+cosx)2
(cosx−sinx)(cosx+sinx)
=sinx+cosx
cosx−sinx
=1+tanx
1−tanx
，故A正确；
对于B，S=sinx+cosx
cosx−sinx ≠cosx−sinx
cosx+sinx
=1−tanx
1+tanx
，故B错误；
对于C，S=1+2sinxcosx
cos2x−sin2x =1+sin2x
cos2x
，故C正确，
对于D，cos2x
1−sin2x =cos2x−sin2x
(cosx−sinx)2
=sinx+cosx
cosx−sinx
=S，故正确．
故选：B．
利用三角函数恒等变换的应用逐项化简即可得解．
本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7.答案：D
解析：试题分析：由题意可得，设向量与向量的夹角等于，则
|，即，故，再由，可得，故选D．
考点：数量积表示两个向量的夹角．
8.答案：A
解析：解：f(x)=cosx−sinx=√2cos(x+π
4
)，
∵x∈[0,π]，
∴x+π
4∈[π
4
,5π
4
]，
∴−1≤cos(x+π
4)≤√2
2
，即−√2≤√2cos(x+π
4
)≤1，
则f(x)的值域为[−√2,1]．
由x+π
4∈(π,5π
4
)，可得：x∈(3π
4
,π)，即单调增区间为：(3π
4
,π)．
故选：A．
f(x)解析式提取变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出f(x)的值域，利用余弦函数的单调性可求单调递增区间．
此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及余弦函数的定义域与值域及单调性，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．
9.答案：D
解析：解：将y=sin(2x+π
3)的图象向右平移π
6
个单位，得到y=sin2x的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的1
2
，得到y=sin4x的图象．
故选：D．
根据三角函数图象平移与变换法则，即可得出变换后的函数图象解析式．本题考查了三角函数图象平移与变换问题，是基础题．
10.答案：B
解析：解：把函数y=1
2sin2x的图象上所有的点向左平移π
6
个单位，可得函数y=1
2
sin2(x+π
6
)=
1 2sin(2x+π
3
)的图象，
故选：B．
由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，可得结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．11.答案：D
解析：试题分析：建立如图所示的直角坐标系，设，则，，
，由得，解得，则，对
应的值为，再由对称性知对应的值分别为，由平面向量基本定理
知所求最大值只能在这六个点中取得，故所所最大值为5.选D
考点：向量的线性运算与坐标表示
12.答案：C
解析：
本题主要考查向量的夹角和向量的数量积，属于基础题．
设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，直接根据a ⃗ ⋅b ⃗ =|a ⃗ |·|b ⃗ |cosθ，代入数值求解cosθ，结合θ∈[0,π]即可得到答案．
解：设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，θ∈[0,π]， ∵已知|a ⃗ |=4，|b ⃗ |=3，a ⃗ ⋅b ⃗ =−6， ∴4×3×cosθ=−6， 求得cosθ=−1
2，∴θ=2π3
，
故选：C ．
13.答案：−1
解析：解：∵tanα=1
3
，
∴10sinαcosα=10sinαcosα
sin2α+cos2α=10tanα
1+tan2α
=10×
1
3
1+1
9
=3，
∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(−x)=−f(x)，
又f(x)=f(2−x)，
所以f(3)=f(2−3)=f(−1)=−f(1)=−1，
故答案为：−1．
由tanα=1
3
可求得10sinαcosα，根据奇函数性质及f(x)=f(2−x)，可求得答案．
本题考查函数奇偶性的性质、同角三角函数的基本关系式，考查学生灵活运用知识分析问题解决问题的能力．
14.答案：−5
解析：
本题考查了向量共线及向量数量积的运算，投影，属中档题．
由向量共线及向量数量积的运算得：a⃗=(3,4)，b⃗ =(t,−6)，且a⃗，b⃗ 共线，所以3×(−6)=4t，解
得t=−9
2
，则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为
|a⃗|cosθ=a⃗ ⋅b⃗
|b⃗|
，得解．
解：因为a⃗=(3,4)，b⃗ =(t,−6)，且a⃗，b⃗ 共线，
所以3×(−6)=4t，解得t=−9
2
，
则向量a⃗在b⃗ 方向上的投影为
|a⃗|cosθ=a⃗⋅b⃗ |b⃗ |
=3×(−9
2
)+4×(−6)
√(−
2)2+(−6)2
=−5，
故答案为−5．
15.答案：√2−1
解析：解：设cos(2α−π
3)=pcosπ
3
，
则cos(α+α−π
3)=pcos[α−(α−π
3
],
即cosαcos(α−π
3)−sinαsin(α−π
3
)=pcosαcos(α−π
3
)+psinαsin(α−π
3
)，
所以tanαtan(α−π
3
)=1−p
1+p
=p，又p>0，
所以p=√2−1，故答案为：√2−1．
把已知条件变为cos(2α−π
3)=pcosπ
3
，则cos(α+α−π
3
)=pcos[α−(α−π
3
]展开，得到关于p的关
系式，解出即可．
考查三角函数两角和与差的公式的应用，重点是对角的变换，中档题．
16.答案：②③
解析：解：长度相等或都是单位向量不能得到a⃗//b⃗ ，但方向相反或其中一个为零向量可以说明a⃗//b⃗ ，故答案为：②③．
根据向量的平行以及单位向量即可判断．
本题考查了向量平行的条件，属于基础题．
17.答案：解：(1)∵f(x)=2sin2(π
4
+x)+√3cos2x−1
=−cos(2x+π
2
)+√3cos2x
=sin2x+√3cos2x
=2sin(2x+π
3
)，
∴函数f(x)的最小正周期T=2π
2
=π；
(2)∵cos(A−C)−cos(A+C)
=cosAcosC+sinAsinC−(cosAcosC−sinAsinC)
=2sinAsinC =2sinB ， ∴sinAsinC =sinB
∵f(C)=2sin(2C +π
3)=√3， ∴sin(2C +π
3)=
√3
2， 即有：2C +π3=π
3或2π3，
∵2C +π
3=π
3，即C =0时不满足题意，
∴2C +π
3=
2π3
，即C =π
6， ∵sinAsinC =sinB =sin(A +C)， ∴1
2
sinA =sin(A +π
6
)=
√3
2
sinA +1
2
cosA ，
即(1−√3)sinA =cosA ， ∴tanA =
1−3
=−
1+√32
．
解析：(1)通过二倍角公式化简可得f(x)=2sin(2x +π
3)，进而可得周期；
(2)通过和、差角公式化简cos(A −C)−cos(A +C)=2sinB ，可知sinAsinC =sinB ，利用f(C)=√3可得C =π
6，利用和角公式，通过sinAsinC =sinB =sin(A +C)解得(1−√3)sinA =cosA ，进而可得结论．
本题考查三角函数恒等变换的应用，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题． 18.答案：
解：(Ⅰ)f(x)=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2cos 2ωx+φ2
+√3sin(ωx +φ)−1=√3sin(ωx +φ)+cos(ωx +
φ)=2sin(ωx +φ+π
6
)， ∵f(x)的图象相邻两最高点的距离为π，∴
2πω
=π，即ω=2．
又f(x)图象的一个对称中心为(π
3,0)，故2sin(2π
3+φ+π
6)=0， ∴
2π3
+φ+π6=kπ，∴φ=kπ−
5π
6
，k ∈Z ，又0<φ<π2，故φ=π
6． (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x +π
3)，∴g(x)=2asin(2x +π
3)，
当a>0时，令−π
2+2kπ≤2x+π
3
≤π
2
+2kπ，解得：−5π
12
+kπ≤x≤π
12
+kπ，
∴f(x)的单调增区间为：[−5π
12+kπ,π
12
+kπ]，k∈Z．
当a<0时，令π
2+2kπ≤2x+π
3
≤3π
2
+2kπ，解得：π
12
+kπ≤x≤7π
12
+kπ，
∴f(x)的单调增区间为：[π
12+kπ≤x≤7π
12
+kπ]，k∈Z．
(Ⅲ)由(Ⅱ)知g(x)=2asin(2x+π
3
)，x∈[0,a]．
∴当0<a≤π
12
时，g(x)在[0,a]上单调递增，故g(x)min=g(0)=√3a，g(x)max=g(a)=2asin(2a+
π
3
)，
当π
12<a≤π
6
时，g(x)在[0,π
12
]上单调递增，在[π
12
,a]上单调递减，且a−π
12
<π
12
，
故g(x)min=g(0)=√3a，g(x)max=g(π
12
)=2a，
当π
6<a≤7π
12
时，g(x)在[0,π
12
]上单调递增，在[π
12
,a]上单调递减，且a−π
12
>π
12
，
g(x)min=g(a)=2asin(2a+π
3)，g(x)max=g(π
12
)=2a，
当a>7π
12时，g(x)在[0,π
12
]上单调递增，在[π
12
,7π
12
]上单调递减，且在x=7π
12
时取得最小值，
故g(x)min=g(7π
12)=−2a，g(x)max=g(π
12
)=2a，
要使方程g(x)=k在[0,a]上有解，则有
当0<a≤π
12时，√3a≤k≤2asin(2a+π
3
)；
当π
12<a≤π
6
时，√3a≤k≤2a；
当π
6<a≤7π
12
时，2asin(2a+π
3
)≤k≤2a；
当a>7π
12
时，−2a≤k≤2a．
解析：(I)化简f(x)的解析式，根据周期和对称中心得出ω和φ的值；
(II)讨论a的符号，根据正弦函数得单调区间列不等式组得出g(x)的单调增区间；(III)讨论a的范围，判断g(x)在[0,a]上的单调性，从而求出g(x)的最值，得出k得范围．本题考查了三角恒等变换，正弦函数的单调性，属于中档题．
19.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n⃗，∴m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=0，
即bsin(A +π3)+acos(π
2+B)=0， ∴1
2sinAsinB +
√3
2cosAsinB −sinAsinB =0，
即√32
cosAsinB −12
sinAsinB =0，
∴sinB(cos(A +π
6))=0， ∵0<B <π，∴sinB ≠0， ∴cos(A +π
6)=0，故A =π
3．
(II)由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12可得bccos(π−π
3)=−12， 故bc =24，
由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccosA =b 2+c 2−bc ≥2bc −bc =bc =24． 当且仅当b =c 时取等号． ∴a 的最小值为√24=2√6．
解析：(I)根据向量数量积为0列方程，根据三角恒等变换得出A 的值； (II)根据余弦定理和基本不等式得出a 的最小值．
本题考查了三角恒等变换，解三角形的应用，平面向量的数量积运算，属于中档题．
20.答案：解：(1)已知sinα+3cosα3cosα−sinα=5=tanα+3
3−tanα，∴tanα=2，
∴sin 2α−sinαcosα=
sin 2α−sinαcosαsin 2α+cos 2α
=
tan 2α−tanαtan 2α+1
=2
5．
(2)∵已知角α终边上一点P(−4,3)， ∴tanα=−3
4
，∴cos(π2+α)sin(−π−α)
cos(11π2−α)sin(9π2
+α)
=
−sinα⋅sinα−sinα⋅cosα=tanα=−3
4
．
解析：(1)由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． (2)利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，求得要求式子的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
21.答案：解：(1)∵a ⃗ =x i +(y +2)j ，b ⃗ =x i +(y −2)j 且a ⃗ 2
+b ⃗ 2
=16，i
,j 为直角坐标系内x 、y 轴正方向上的单位向量，
∴x 2+(y +2)2+x 2+(y −2)2=16
∴点M(x,y )的轨迹C 的方程是x 2+y 2=4；
(2)假设存在直线l ，设方程为y =kx +3，代入x 2+y 2=4可得(1+k 2)x 2+6kx +5=0 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6k
1+k 2，x 1⋅x 2=5
1+k 2 由题意，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1⋅x 2+y 1⋅y 2=0 ∴x 1⋅x 2+k 2x 1⋅x 2+3k(x 1+x 2)+9=0 ∴
51+k 2
+k 2⋅
51+k 2
+3k ⋅(−
6k 1+k 2
)+9=0
∴k =±
√142
∴存在l 且l 的方程为y =±√14
2
x +3．
解析：(1)利用向量的数量积公式，即可求得点M(x,y )的轨迹C 的方程；
(2)设出直线方程，代入圆的方程，结合韦达定理及向量的数量积公式，即可得到结论．
本题考查轨迹方程，考查数量积公式的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.答案：证明：(1)由正弦定理a sinA =b sinB =c
sinC =2R 得：
bcosC +ccosB =2RsinBcosC +2RsinCcosB =2Rsin (B +C )=2RsinA =a 成立． (2)由(1)知，
，
，
，
即c (cosB +cosA )=(a +b )(1−cosC ) =(a +b )⋅2sin 2C
2， ∴
cosA+cosB
a+b
=
2sin 2
C
2
c
，成立．
解析：(1)利用正弦定理对等式左边进行边化角，然后利用三角函数的两角和差公式化简得出等式右边，即可得证．
(2)运用(1)的结论及二倍角公式化简可得要证式子
本题主要考查三角恒等式的证明，利用正弦定理，三角函数的两角和差公式是解决本题的关键．。