第4章线性代数方程组的迭代解法

其中
0 a2 1 B (I D1 A) a 22 a n1 an n
a1n a1 2 a1 1 a1 1 a2n 0 a2 2 an2 0 an n
在例4.2中,由迭代公式写出雅可比迭代矩阵为
8x1 3x2 2x3 20 4x1 11x2 x3 33 6x 3x 12x 36 2 3 1
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )T T 取初始向量 x ( x , x , x ) ( 0 , 0 , 0 ) 1 2 3
进行迭代, 可以逐步得出一个近似解的序列：
x Gx d( k 0 , 1 , )
( k )
( k 1 )
Gx d 中当 k x x ,则 x 时，
(k) *
* *
, 故 x * 是方程组 Ax b 的解。
对于给定的方程组可以构造各种迭代公式。
并非全部收敛
例4.1
用迭代法求解线性方程组
2x1 x2 3 2x1 5x2 3
3 ( k ) 3 1 ( k ) 25 ( k 1) 0 x 2 x3 x1 8 84 82 4 1 4 (k ) 1 (k ) (k 1 1 ) BI D A 0 x1 x3 3 x2 11 11 11 11 6 1 ( k )3 1 ( k 1) (k ) 0 x x x 3 1 2 3 2 4 12 12
2 x 4 x 3 计算得
( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) x 3 x 3 x 9 x 15 x 33 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) x 3 , x 3 , x 9 , x 15 , x 33 , 2 2 2 2 2
x (x x 1 )/8 (k1) (k 1 ) (k) 2x x3 4 )/10 x2 ( 1 (k1) (k 1 ) (k 1 ) x ( x x 3 ) / 5 3 1 2
(k 1 ) 1 (k) 2 (k) 3
( 0 ) T 取初始迭代向量 x ,迭代结果为： ( 0, 0, 0 )
4.4.2 Gauss—Seidel 迭代法的矩阵表示
b 等价于 将A分裂成A =L+D+U，则 Ax
( L+D+U )x = b
于是,则高斯—塞德尔迭代过程
Dx Lx Ux b
( k )
( k 1 )
( k 1 )
LD0 因为 D 0 ,所以 D
(k=0,1,2,…)
雅 可 比 迭 代 法 的 算 法 实 现
4.3.3
(b i
k+ 1 k y i x i i = 1 ,2 ,… ,n n
输 入 a ij, b i, 和 方 程 阶 数 n ,ε
,M
1 k

n
j1 j i
a ij x j ) / a
ii

y
i
i 1,2 , , n
地使用迭代式逐步逼近方程组的精确解,直 到满足精度要求为止。这种方法称为迭代法
存在极限 x x , x , , ( k ) ( k ) 1
* 1
( k ) 2
( k )T n
*
* 2
T * n
则称迭代法是收敛的，否则就是发散的。
收敛时，在迭代公式
D ( A D ) x D b 1 ( k ) 1 ( I D A ) x D b
( k )
1
1
令 则有
B ( I D A ) f D b
1
1
x
( k 1 )
Bx f （k = 0,1,2…）
( k )
称为雅可比迭代公式, B称为雅可比迭代矩阵
( k ) ( k ) ( k ) （k=1, 2, …） ( x , x , x 1 2 3 )
直到求得的近似解能达到预先要求的精度， 则迭代过程终止，以最后得到的近似解作为线
性方程组的解。
当迭代到第10次有 计算结果表明，此迭代过程收敛于方程组的精 确解x*= (3, 2, 1)T。
( 10 ) ( 10 ) ( 10 ) ( 10 )T T x ( x , x , x ) ( 3 . 000032 , 1 . 999838 , 0 . 9998 ) 1 2 3
( k 1) ( k 1 ) ( k 1 ) ( k 1 ) 即在求 x i 时用新分量 x , x , , x 1 2 i 1
( k ) ( k ) ( k ) , x , , x 代替旧分量 x 1 2 i 1
, 就得到高斯-赛德尔迭代法。其迭代法格式为：
i 1 n 1 ( k 1 ) ( k 1 ) ( k ) x ( b a x a x i i ij j ij j ) a j 1 j i 1 ii
记作
A=L+D+U
则 Ax L D U ) x b b等价于 ( ( L U ) x b 即 Dx
因为 a 0 ( i 1 , 2 , , n ) ，则 ii
x D ( L U ) x D b
1 1
这样便得到一个迭代公式
( k 1 ) 1 ( k ) 1 x D ( L U ) x D b
解 构造方程组的等价方程组 x1 x1 x2 3 据此建立迭代公式 x2 2x1 4x2 3
x x
(k 1 ) 1 (k 1 ) 2
x x 3
(k ) 1 (k ) 1 (k ) 2 (k ) 2
0 取 x x
( 0 ) 1 ( 0 ) 2
n n
1 有惟一解 ，经过变换构造 x A b Ax b 出一个等价同解方程组 x Gx d
将上式改写成迭代式
( k 1 ) ( k ) x Gx d( k 0 , 1 , )
选定初始向量 x ,反复不断 x, x, , x
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1 2 ( 0 )T n
考察一般的方程组，将n元线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 annxn bn
据此建立迭代公式 a x b i 1 , 2 , ,n 写成 ij j i j 1 n 1 ( k 1 ) ( k ) ( i 1 , 2 , , n ) a 0 若 , 分离出变量 x ( b a x i 1 , 2 , n x i ii i ij j ) i a j 1 ii n j i 1 x ( b a x i 1 , 2 , ,n i i ij j) a 上式称为解方程组的 Jacobi迭代公式。 j 1 ii
max
1 i n
x
i
y
i
?
y
n k = M ? y 输 出 迭 代 失 败 标 志 输 出 y 1 , y 2 ,…
y
n
4.4 高斯-塞德尔（Gauss-Seidel）迭代法
4.4.1 高斯-塞德尔迭代法的基本思想
在Jacobi迭代法中，每次迭代只用到前一次的
迭代值，若每次迭代充分利用当前最新的迭代值，
1 ,x 1 越来越远迭代不收敛 迭代解离精确解 x 1 2
4.3 雅可比（Jacobi）迭代法
4.3.1雅可比迭代法算法构造 例4.2 用雅可比迭代法求解方程组
x1 , x2 和 x 3 解：从方程组的三个方程中分离出 建立迭代公式
1 5 ( k 1) 3 (k ) 3 1 (k ) 5 x 2 xx2 x1 x3 3 x1 8 2 84 4 2 4 4 1 (k ) 1 ( k 1) (k ) xx x1 x x 3 3 x 3 2 1 3 11 11 2 11 11 1 (k ) 1 (k ) ( k 1) x x x2 1 3 1 3 1 2 x 1 4 x2 3 x3 2 4
授课: 32 学分：2
第四章
解线性方程组的迭代法
在第二章中我们知道，凡是迭代法都有
一个收敛问题，有时某种方法对一类方程组 迭代收敛，而对另一类方程组进行迭代时就 会发散。一个收敛的迭代法不仅具有程序设 计简单，适于自动计算，而且较直接法更少 的计算量就可获得满意的解。因此，迭代法 亦是求解线性方程组，尤其是求解具有大型 稀疏矩阵的线性方程组的重要方法之一。
雅可比迭代矩阵表示法，主要是用来讨论其收敛 性，实际计算中，要用雅可比迭代法公式的分量 形式。即
(k1) 1 (k ) (k ) (k ) x ( a x a x a x 12 2 13 3 1n n b 1) 1 a11 (k1) 1 (k ) (k ) (k ) (a21x1 a23x3 a2n xn b2 ) x2 a22 1 (k1) (k ) (k ) (k ) x ( a x a x a x n1 1 n2 2 n n1 n1 bn ) n ann
4.2
迭代法的基本思想
迭代法的基本思想是将线性方程组转化
为便于迭代的等价方程组，对任选一组初始
( 0 ) 值 x i 1 , 2 , , n )，按某种计算规则，不断地 i (
对所得到的值进行修正，最终获得满足精度
要求的方程组的近似解。
n b R 设 A ，则线性方程组 R 非奇异，
j i
n
4.3.2 雅可比迭代法的矩阵表示
设方程组 Ax b 的系数矩阵A非奇异，且主对 角元素 a ，则可将A分裂成 0 ( i 1 , 2 , , n ) ii
0a a 0 12 a 13 1 n a 11 a 0 0 a a 23 2 n 21 a 22 A a a 0 0 31 32 a n 1 n a nn a a a 0 0 1 n 2 nn 1 n
(i=1,2,…,n
k=0,1,2,…)
例4.3 用Gauss ( 1 ) Seidel 迭代格式解方程组 T x ( 0 . 1250 , 0 . 3750 , 0 . 5000 ) 2 ) x x 1 T 8( x x 1 2 3 ( 0 . 2344 , 0 . 3031 , 0 . 4925 ) ( 3 ) T 2 x 10 x x 4 x1 ( 0 . 2245 ,3 0 . 3059 , 0 . 4939 ) 2 ( 4 ) T * x x 5 x 3 x ≈ x ( 0 . 2250 . 3056 , 0 . 4936 ) 1 2 3, 0 精确要求为 ε( =0.005 ( 4 ) 3 ) x 0 . 005 , ( i 1 , 2 , 3 ) iSeidel i 迭代格式为 解 Gaussx