北师大版八年级上册 7.5.2 三角形内角和定理(教案)-word

7.5.2三角形内角和定理(教案）教学目标知识与技能：掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.过程与方法：体会几何中不等关系的简单证明过程,引导学生从内和外、相等和不相等的不同角度对三角形做更全面的思考.情感态度与价值观：通过积极参与课堂练习,培养学生积极思考及与他人交流合作的学习习惯,同时培养学生大胆猜想、勇于探索数学问题的兴趣和信心.教学重难点【重点】掌握三角形内角和定理的两个推论及其证明.【难点】灵活应用三角形内角和定理的推论解决简单的问题.教学准备【教师准备】教材引例和例题的投影图片.【学生准备】复习、总结三角形内角和定理的证明过程.教学过程一、导入新课导入一:【问题】三角形有几个内角?把ΔABC的内角∠ACB的一边BC延长得到∠ACD,这个角叫做ΔABC的外角.这节课我们就来研究它的性质.(多媒体出示三角形的外角定义)三角形的外角定义:三角形的一边与另一边的延长线所组成的角,叫做三角形的外角.(板书课题)[处理方式]教师先提出问题.学生都知道有三个内角,直接问,学生一起回答就可以了.教师讲解外角,展示外角定义,这样教师就可以很自然地引入到本课.[设计意图]利用问题一问一答,让学生自然而然地认识三角形的外角.激发学生学习的热情,提起学生的学习兴趣.导入二:(播放视频,学生观看思考)师:足球天才梅西在E处射门时受到多人阻挡,可不知是将球传给在B处还是在C处的队友,才能使进球的希望更大,需要大家的帮助.生1:传给在B处的队友.生2:传给在C处的队友.(学生的意见不统一)师:究竟应该传给哪位队友?你想知道理由吗?本节课让我们继续学习三角形内角和定理.(教师板书课题)[设计意图]通过现实情境的展示,调动学生的情绪,激发学生的求知欲,吸引学生的注意力,为新知的学习做铺垫.二、新知构建(1)、外角的定义[过渡语]同学们,我们知道三角形有三个内角,除了内角以外,三角形还有外角,那么什么是三角形的外角,它又有什么性质呢?[处理方式]请自主学习教材第181页议一议前的内容,然后在小组内交流什么样的角是三角形的外角,并举例说明.学生自主学习外角的定义,教师巡视指导.学生在小组内交流后,学生代表展示.【展示交流】生:ΔABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角,称为ΔABC的外角.如右图所示,∠1是ΔABC的外角.(教师多媒体出示图,同时板书外角的定义)师:根据外角的定义,你能说出∠1是ΔABC哪条边与哪条边的反向延长线组成的外角吗?生:(思考后)∠1是ΔABC的边BA与边BC的反向延长线组成的外角.师:三角形还有其他外角吗?生:有.师:你能在图中画出ΔABC的其他外角吗?与同伴交流一下.学生画图展示:师:对以上两个同学所画的图你有什么看法?生:学生2画得比较全面.师:你说得很好,一个三角形有几个外角?一个顶点处有几个外角?生:一个三角形有6个外角,一个顶点处有2个外角.二、三角形外角的性质思路一师:如图所示(多媒体出示),我们知道∠1是ΔABC的一个外角,猜一猜∠1与ΔABC的内角之间有什么等量关系,理由是什么?在小组内交流.[处理方式]学生在小组内合作探究,教师巡视,及时点拨引导.学生探究完成后,让学生代表展示.【展示交流】生1:我们小组同学发现∠1+∠4=180°,依据是平角的定义.生2:我们小组同学发现∠1=∠2+∠3.理由是:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形内角和定理),∠1+∠4=180°(平角的定义),∴∠1=∠2+∠3.师:这两位同学表现得非常棒!由以上内容你们能得出什么结论?生:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.(板书) 师:你能确定∠1与∠4的大小关系吗?与同伴交流.生1:∠1>∠4.生2:∠1与∠4的大小关系不能确定.师:你的理由是什么?生2:因为当∠4是锐角时,∠1>∠4;当∠4是直角时,∠1=∠4;当∠4是钝角时,∠1<∠4.所以∠1与∠4的大小关系不能确定.师:你们同意他的说法吗?生:(若有所悟)同意.师:那么∠1与∠2,∠3的大小关系呢?生:∠1>∠2,∠1>∠3.师:理由是什么?生:由前面我们知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.师:由此你能得到什么结论?生:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(板书) 师:以上两个结论的推导过程中,我们主要依据的是哪个定理?生:三角形内角和定理.师总结:在这里,我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理.像这样,由一个基本事实或定理直接推出的定理,叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.师:现在能告诉梅西将球传给谁了吧?生:能,传给C处的队友.师:为什么呢?生:因为∠DCA是ΔABC的外角,所以∠DCA>∠B,因此应传给C处队友.师:真不错,你可以给梅西做教练了哦!我们运用三角形内角和定理的推论解决了梅西的问题,接下来就看同学们能否运用所学知识解决问题,请看例题.[设计意图]学生主动探索、积极思考、踊跃交流,通过交流,让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,通过学生思考、探索、交流来培养学生解决问题的能力.思路二问题1【课件1】如图所示,ΔABC中,∠A=70°,∠B=60°,∠ACD是ΔABC的一个外角,能由∠A,∠B求出∠ACD吗?如果能,∠ACD 与∠A,∠B有什么关系?问题2【课件2】任意一个ΔABC的一个外角∠ACD与∠A,∠B 的大小是否还有上面的关系呢?[处理方式]留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答,问题1学生能计算出∠ACD的度数,从而得到∠ACD=∠A+∠B,∠ACD>∠A,∠ACD>∠B的关系.问题2中引导学生用与问题1类似的方法及三角形内角和定理、平角的定义得到相同的结论.[设计意图]让学生感受三角形外角与内角之间的关系.归纳三角形外角的性质:推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.[处理方式]在老师的引导下对三角形外角与内角之间的关系加以归纳,从而得到推论.[设计意图]让学生明确三角形外角与内角之间的关系.问题3【课件3】证明三角形外角的性质.推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.已知:如图所示,∠1是ΔABC的一个外角.求证:∠1=∠2+∠3.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.已知:如右图所示,∠1是ΔABC的一个外角.求证:∠1>∠2,∠1>∠3.[处理方式]留时间让学生分析这些问题,这里可以相互讨论,然后找学生回答并通过多媒体展示过程.[设计意图]在理论上明确三角形外角与内角之间的关系. (3)、例题解析,应用新知(教材例2)已知:如图所示,在ΔABC中,∠B=∠C,AD平分外角∠EAC.求证:AD∥BC.〔解析〕要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.学生证明过程展示:①证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),∴∠B=∠EAC(等式的性质).∵AD平分∠EAC(已知),∴∠EAD=∠EAC(角平分线的定义),∴∠EAD=∠B(等量代换),∴AD∥BC(同位角相等,两直线平行).②证明:∵∠EAC=∠B+∠C(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和),∠B=∠C(已知),∴∠C=∠EAC(等式的性质).∵AD平分∠EAC(已知),∴∠DAC=∠EAC(角平分线的定义),∴∠DAC=∠C(等量代换).∵∠B+∠BAC+∠C=180°(三角形的内角和定理),∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°(等量代换),即∠B+∠DAB=180°.∴AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行).师:大家对于三角形的外角与内角之间的等量关系基本掌握.那么你知道不等关系有什么应用吗?我们继续看例3.【课件展示】(教材例3)已知:如图所示,P是ΔABC内一点,连接PB,PC.求证:∠BPC>∠A.(教师板演示范)证明:如图所示,延长BP,交AC于点D.∵∠BPC是ΔPDC的一个外角(外角的定义),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠PDC是ΔABD的一个外角(外角的定义),∴∠PDC>∠A(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠BPC>∠A.师:你还有其他的证明方法吗?与同伴进行交流.学生证明过程展示:①证明:延长CP,交AB于点D.(过程同上)②证明:如图,连接AP,并延长AP,交BC于点D.∵∠3是ΔABP的一个外角(外角的定义),∴∠3>∠1(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∵∠4是ΔACP的一个外角(外角的定义),∴∠4>∠2(三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角).∴∠3+∠4>∠2+∠1,∴∠BPC>∠BAC.[设计意图]通过学生的探索活动,使学生进一步了解辅助线的作法及重要性,理解并掌握三角形的内角和定理及推论.教师引导学生分析解题思路,师生共同完成.在解题的同时,要明确每题用到的知识点,只有明确问题考查的知识点,才能正确运用知识解决问题.本例题可以巩固多边形的内角和定理,培养学生灵活运用知识的能力,同时要规范学生解题步骤的规范性.[知识拓展]三角形的外角实质上就是三角形一个内角的邻补角.三角形外角的顶点是三角形的顶点,一条边是三角形内角的一边,另一条边是该内角另一条边的反向延长线.三、课堂总结四、课堂练习1.三角形的一个外角等于的两个内角的和.答案:和它不相邻2.三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角.答案:大于3.如下图,在∠1至∠9中,ΔABC的外角共有()A.5个B.6个C.7个D.8个答案:B4.如图,∠1是ΔABC的一个外角,则下列说法正确的是 ()A.∠1大于ΔABC中的任一内角B.∠1大于∠B+∠CC.∠1大于∠A+∠BD.∠1等于∠A+∠B答案:D5.如图,在ΔABC中,∠1是它的一个外角,E为AC边上一点,延长BC到D,连接DE.求证∠1>∠2.证明:∵∠1>∠3,∠3>∠2,∴∠1>∠2.五、板书设计第2课时1.外角的定义2.三角形外角的性质3.例题解析,应用新知六、布置作业(1)、教材作业【必做题】教材随堂练习第1,2题.【选做题】教材习题7.7第4题.(2)、课后作业【基础巩固】1.下面四个图形中,能判断∠1>∠2的是()2.如图所示,已知直线AB∥CD,∠C=125°,∠A=45°,则∠E的度数为()A.70°B.80°C.90°D.100°3.如图所示,点B是ΔADC的边AD的延长线上一点,DE∥AC,若∠C=50°,∠BDE=60°,则∠CDB的度数等于()A.70°B.100°C.110°D.120°4.如图所示,∠A,∠1,∠2的大小关系是()A.∠A>∠1>∠2B.∠2>∠1>∠AC.∠A>∠2>∠1D.∠2>∠A>∠1 【能力提升】5.如图所示,在ΔABC中,∠C=70°,若沿图中虚线截去∠C,则∠1+∠2的度数是()A.360°B.250°C.130°D.140°6.一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示,若∠3=50°,则∠1+∠2的度数是()A.90°B.100°C.130°D.180°【拓展探究】7.如图所示,在ΔABC中,∠ABC的平分线和∠ACD的平分线相交于点E.(1)如果∠A=60°,∠ABC=50°,求∠E的大小;(2)如果∠A=70°,∠ABC=60°,求∠E的大小;(3)根据(1)和(2)的结论,试猜测一般情况下,∠E和∠A的大小关系,并说明理由.【答案与解析】1.D(解析:A.∠1与∠2是对顶角,相等,故本选项错误;B.由图可知,∠1<∠2,故本选项错误;C.∠1是锐角,∠2是直角,∠1<∠2,故本选项错误;D.∠1是三角形的一个外角,∠2是这个三角形中与它不相邻的一个内角,所以∠1>∠2,故本选项正确.故选D.)2.B(解析:∵AB∥CD,∠C=125°,∴∠BFE=125°,∴∠E=∠BFE-∠A=125°-45°=80°.故选B.)3.C(解析:∵DE∥AC,∠BDE=60°,∴∠BDE=∠A=60°,又∵∠C=50°,∴∠BDC=∠A+∠C=60°+50°=110°.故选C.)4.B(解析:∵∠1是ΔACD的外角,∴∠1>∠A.∵∠2是ΔCDE的外角,∴∠2>∠1,∴∠2>∠1>∠A.故选B.)5.B(解析:先利用三角形内角与外角的关系,得出∠1+∠2=(∠C+∠4)+(∠3+∠C),再根据三角形内角和定理即可得出结果.∵∠1,∠2是ΔCDE的外角,∴∠1=∠4+∠C,∠2=∠3+∠C,即∠1+∠2=(∠C+∠4)+(∠3+∠C)=∠C+(∠C+∠3+∠4)=70°+180°=250°.故选B.)6.B(解析:设围成的小三角形为ΔABC,分别用∠1,∠2,∠3表示出ΔABC的三个内角,再利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解.∠BAC=180°-90°-∠1=90°-∠1,∠ABC=180°-60°-∠3=120°-∠3,∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,在ΔABC中,∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°,∴90°-∠1+120°-∠3+120°-∠2=180°,∴∠1+∠2=150°-∠3,∵∠3=50°,∴∠1+∠2=150°-50°=100°.故选B.)7.解:(1)∵∠A=60°,∠ABC=50°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=110°,∵BE 平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=∠ABC=25°,∠ECD=∠ACD=55°.∴∠E=∠ECD-∠EBC=55°-25°=30°. (2)∵∠A=70°,∠ABC=60°,∴∠ACD=∠A+∠ABC=70°+60°=130°.∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=∠ABC=30°,∠ECD=∠ACD=65°,∴∠E=∠ECD-∠EBC=65°-30°=35°. (3)猜测∠E=∠A.理由如下:∵BE平分∠ABC,CE平分∠ACD,∴∠EBC=∠ABC,∠ECD=∠ACD.由题意得∠E=∠ECD-∠EBC=∠ACD-∠ABC=∠A.。