2018年高考数学(理)二轮练习：第2部分 必考补充专题 第18讲 平面向量、复数

第18讲 平面向量、复数
(对应学生用书第112页)
一、选择题
1．(2017·湘中名校联考)若复数z ＝m (m －1)＋(m －1)i 是纯虚数，其中m 是实数，则1
z
＝( )
【导学号：07804122】
A ．i
B ．－i
C ．2i
D ．－2i
A [由题意，得m (m －1)＝0且(m －1)≠0，得m ＝0，所以z ＝－i ，1z ＝1
－i ＝i ，故选A.]
2．(2017·石家庄一摸)若复数z 满足(2＋i)z ＝3i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( )
A.2＋i B ．2－i C ．1＋2i D ．1－2i D [依题意得z ＝3i
2＋i ＝
2－2＋
2－
＝1＋2i ，则复数z 的共轭复数为1－2
i ，选D.]
3．(2015·全国Ⅰ卷)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →
，则( )
A.AD →
＝－13AB →＋43AC →
B.AD →＝13AB →－43AC →
C.AD →＝43AB →＋13AC →
D.AD →＝43AB →－13
AC →
A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－A
B →＝3(AD →－A
C →
)， 即4AC →－AB →＝3 AD →，∴AD →
＝－13AB →＋43
AC →.]
4.(2016·全国Ⅰ卷)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B ． 2 C. 3
D ．2
B [∵(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i. 又∵x ，y ∈R ，∴x ＝1，y ＝x ＝1. ∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝2，故选B.]
5.(2016·全国Ⅱ卷)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实
数m 的取值范围是( ) A ．(－3,1) B ．(－1,3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)
A [由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
m ＋3＞0，m －1＜0，
即－3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(－3,1)．]
6．(2015·全国Ⅱ卷)若a 为实数，且(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，则a ＝( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
B [∵(2＋a i)(a －2i)＝－4i ，∴4a ＋(a 2
－4)i ＝－4i.
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
4a ＝0，
a 2
－4＝－4，解得a ＝0.故选B.]
7．(2017·豫南九校4月联考)已知向量a ＝(m,2)，b ＝(2，－1)，且a ⊥b ，则
|2a －b |
a a ＋b
等于
( ) A ．－5
3
B ．1
C ．2
D ．54
B [∵a ⊥b ，∴2m －2＝0，∴m ＝1，则2a －b ＝(0,5)，a ＋b ＝(3,1)，∴a ·(a ＋b )＝1×3＋2×1＝5，|2a －b |＝5，∴
|2a －b |a a ＋b ＝5
5
＝1，故选B.]
8．(2017·福建漳州八校联考)在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|，|AB →|＝|AC →|＝3，则CB →·CA →
的值为( )
【导学号：07804123】
A ．3
B ．－3
C ．－92
D ．92
D [由|AB →＋AC →|＝3|AB →－AC →|两边平方可得，AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝3(AB →2＋AC →2－2AB →·AC →
)，即AB →2＋AC →2＝4AB →·AC →，又|AB →|＝|AC →|＝3，所以AB →·AC →＝92，又因为CB →＝AB →－AC →，所以CB →·CA
→＝(AB →－AC →)·(－AC →)＝AC →2－AB →·AC →
＝9－92＝92，故选D.]
9.(2017·全国Ⅰ卷)设有下面四个命题
p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .
其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
B [设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b i
a 2＋
b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．
对于p 2，若z 2
∈R ，即(a ＋b i)2
＝a 2
＋2ab i －b 2
∈R ，则ab ＝0. 当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．
对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0D /⇒a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．
对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.] 10．(2016·山西太原五中4月模拟)已知△DEF 的外接圆的圆心为O ，半径R ＝4，如果OD →＋DE →＋DF →
＝0，且|OD →|＝|DF →|，则向量EF →在FD →
方向上的投影为( ) A ．6 B ．－6 C ．2 3
D ．－2 3
B [由OD →＋DE →＋DF →＝0得，DO →＝DE →＋DF →
.∴DO 经过EF 的中点，∴DO ⊥EF . 连接OF ，∵|OF →|＝|OD →|＝|DF →
|＝4， ∴△DOF 为等边三角形，∴∠ODF ＝60°. ∴∠DFE ＝30°，且EF ＝4×sin 60°×2＝4 3.
∴向量EF →在FD →方向上的投影为|EF →|·cos〈EF →，FD →
〉＝43cos 150°＝－6，故
选B.]
11.(2017·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →·(PB →＋PC →
)的最小值是( ) A ．－2
B ．－32
C ．－43
D ．－1
B [法一：(解析法)建立坐标系如图①所示，则A ，B ，
C 三点的坐标分别为A (0，3)，
B (－1,0)，
C (1,0)．
图①
设P 点的坐标为(x ，y )，则PA →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →
＝(1－x ，－y )， ∴PA →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2
－3y )＝2⎣⎢⎡⎦⎥
⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－34≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝－32.
当且仅当x ＝0，y ＝32时，PA →·(PB →＋PC →
)取得最小值，最小值为－32
. 故选B.
法二：(几何法)如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则PA →·(PB →＋PC →)＝2PA →·PD →
.
图②
要使PA →·PD →最小，则PA →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2PA →·PD →)min ＝－2|PA →||PD →
|，问题转化为求|PA →||PD →
|的最大值． 又|PA →|＋|PD →|＝|AD →
|＝2×32＝3，
∴|PA →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA →|＋|PD →|22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝34， ∴[PA →·(PB →＋PC →)]min ＝(2PA →·PD →
)min ＝－2×34＝－32.
故选B.]
12.(2017·全国Ⅲ卷)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →
，则λ＋μ的最大值为( )
A ．3
B ．2 2 C. 5
D ．2
A [建立如图所示的直角坐标系，则C 点坐标为(2,1)．
设BD 与圆C 切于点E ，连接CE ， 则CE ⊥BD . ∵CD ＝1，BC ＝2， ∴BD ＝12
＋22
＝5，
EC ＝BC ·CD BD ＝25
＝255，
即圆C 的半径为255
，
∴P 点的轨迹方程为(x －2)2＋(y －1)2
＝45.
设P (x 0
，y 0
)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
x 0
＝2＋25
5
cos θ，y 0
＝1＋25
5
sin θ(θ为参数)，
而AP →＝(x 0，y 0)，AB →＝(0,1)，AD →
＝(2,0)．
∵AP →＝λAB →＋μAD →
＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)， ∴μ＝12x 0＝1＋55cos θ，λ＝y 0＝1＋255sin θ.
两式相加，得
λ＋μ＝1＋255sin θ＋1＋55cos θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3
⎝
⎛
⎭⎪⎫其中sin φ＝55，cos φ＝255，
当且仅当θ＝π
2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3.
故选A.] 二、填空题
13.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋
2b |＝
________.
【导学号：07804124】
2 3 [法一：(直接法)|a ＋2b |＝a ＋2b
2
＝a 2
＋4a·b ＋4b 2
＝22
＋4×2×1×cos 60°＋4×12
＝12＝2 3.
法二：(数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →
|.又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3.
]
14．(2015·全国Ⅱ卷)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝________.
1
2
[∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴存在实数t ，使λa ＋b ＝t (a ＋2b )， 即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
λ＝t ，1＝2t ，解得⎩⎪⎨⎪⎧
λ＝1
2，t ＝1
2.
]
15．(2014·全国Ⅰ卷)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12
(AB →＋AC →)，则AB →与AC →
的夹角为
________．
90° [∵AO →＝12(AB →＋AC →
)，
∴点O 是△ABC 中边BC 的中点，
∴BC 为直径，根据圆的几何性质有〈AB →，AC →
〉＝90°.]
16．(2016·郑州第一次质量预测)已知AB →与AC →的夹角为90°，|AB →|＝2，|AC →|＝1，AM →＝λAB →＋μAC →
(λ，μ∈R )，且AM →·BC →
＝0，则λμ
的值为________．
1
4
[根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，
C (1,0)，所以AB →＝(0,2)，AC →＝(1,0)，BC →＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y )，所以AM →·BC
→
＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM →＝λAB →＋μAC →
，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝1
2y x ＝1
4.]。