教学设计5：3.2.2 复数的乘法～3.2.3 复数的除法

3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法
教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.掌握共轭复数的性质． 知识链接
知识点一 复数的乘法
思考 怎样进行复数的乘法运算？
【答案】两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的i 2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 梳理 (1)复数的乘法
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ，定义z 1z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i. (2)复数乘法的运算律 ①对任意复数z 1，z 2，z 3，有
②对复数z ，z 1，2121n
2.
(3)共轭复数的性质 设z 的共轭复数为z ，则： ①z ·z ＝|z |2＝|z |2. ②z 2＝(z )2. ③z 1·z 2＝z 1·z 2.
知识点二 复数的除法法则
思考 类比根式除法的分母有理化，比如1＋33－2＝(1＋3)(3＋2)(3－2)(3＋2)，你能写出复数的除法法
则吗？
【答案】设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i ≠0)， 则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i. 梳理 (1)复数的倒数
已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，如果存在一个复数z ′，使z ·z ′＝1，则z ′叫做z 的倒数，记作1
z .
(2)复数的除法法则
设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(c ＋d i≠0)，则z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad
c 2＋
d 2i(a ，b ，c ，d ∈R 且c ＋d i≠0)．
特别提醒：复数的除法和实数的除法有所不同，实数的除法可以直接约分、化简得出结果；而复数的除法是先将两复数的商写成分式，然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数)． 题型探究
类型一 复数的乘除运算 例1 计算：
(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)； (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋1
2i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)； (4)3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i
. 解 (1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i. (2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋1
2i (1＋i) ＝⎣⎡⎦
⎤
⎝⎛⎭⎫－
34－
34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i) ＝⎝⎛⎭
⎫
－32＋12i (1＋i) ＝⎝
⎛⎭⎫－
32－12＋⎝⎛⎭
⎫
12－
32i ＝－1＋32＋1－32i.
(3)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝－2＋3i
1＋2i
＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )
＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i.
(4)方法一
3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i
＝(3＋2i )(2＋3i )－(3－2i )(2－3i )(2－3i )(2＋3i )
＝6＋13i －6－6＋13i ＋64＋9＝26i 13＝2i.
方法二
3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝i (2－3i )2－3i －－i (2＋3i )
2＋3i
＝i ＋i ＝2i.
反思与感悟 (1)复数的乘法运算可以把i 看作字母，类比多项式的乘法进行．
(2)复数的除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，类比实数中的分母有理化进行． 跟踪训练1 计算： (1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋3
2i (1＋i)；
(2)
2＋3i
3－2i
；
(3)(i －2)(i －1)(1＋i )(i －1)＋i
. 解 (1)原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋3
2i
＝2⎝⎛⎭⎫－12＋3
2i ＝－1＋3i. (2)原式＝(2＋3i )i (3－2i )i ＝(2＋3i )i
2＋3i ＝i.
(3)原式＝(i －2)(i －1)
i －2＝i －1.
类型二 共轭复数的性质及应用
例2 已知复数z 满足：z ·z ＋2i z ＝8＋6i ，求复数z 的实部与虚部的和． 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ·z ＝a 2＋b 2，
∴a 2＋b 2＋2i(a ＋b i)＝8＋6i ， 即a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝8＋6i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－2b ＝8，2a ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，
b ＝1.
∴a ＋b ＝4，∴复数z 的实部与虚部的和是4.
反思与感悟 (1)z ·z ＝|z |2＝|z |2是共轭复数的常用性质．
(2)实数的共轭复数是它本身，即z ∈R ⇔z ＝z ，利用此性质可以证明一个复数是实数． (3)若z ≠0且z ＋z ＝0，则z 为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数． 跟踪训练2 已知复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z .
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i 且|z |＝a 2＋b 2＝1，即a 2＋b 2＝1. ①
因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(3b ＋4a )i ，而(3＋4i)z 是纯虚数， 所以3a －4b ＝0，且3b ＋4a ≠0.
②
由①②联立，解得⎩⎨⎧
a ＝4
5，
b ＝3
5
或⎩⎨⎧
a ＝－4
5，
b ＝－3
5.
所以z ＝45－35i 或z ＝－45＋3
5
i.
类型三 i n 的周期性 例3 计算：
(1)(4－i 5)(6＋2i 7)＋(7＋i 11)(4－3i)； (2)(－1＋3i )3(1＋i )6－－2＋i
1＋2i
；
(3)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 016＋(4－8i )2－(－4＋8i )2
11－7i . 解 (1)原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i －4i ＋i 2)＋(28－4i －21i ＋3i 2) ＝47－39i.
(2)原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3
－(－2＋i )(1－2i )5
＝(－1＋3i )3(2i )3－－2＋4i ＋i ＋25＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫3＋i 23
－i ＝i －i ＝0. (3)原式＝(－23＋i )(1－23i )(1＋23i )(1－23i )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 1 008＋0＝13i 1＋12＋(－i)1 008＝i ＋1. 反思与感悟 (1)i n 的周期性
①i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，i 4n ＝1(n ∈N ＋)． ②i n ＋i n ＋
1＋i n ＋
2＋i n ＋
3＝0(n ∈N ＋)． (2)记住以下结果，可提高运算速度 ①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i. ②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i ＝i. ③1
i
＝－i. ④设ω＝－12＋32i ，则ω2＝－12－3
2i ，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
跟踪训练3 计算：1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 012.
解 ∵i 2＝－1，i 3＝i·i 2＝－i ，i 4＝(i 2)2＝1，i 5＝i 4·i ＝i ， ∴i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋
3＝－i ，i 4n ＝1且i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0， ∴1＋i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 012＝1＋(i ＋i 2＋i 3＋i 4)×503＝1. 达标检测
1．若复数z ＝2
1－i ，其中i 为虚数单位，则z 等于( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i
【答案】B
【解析】∵z ＝2
1－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，
∴z ＝1－i ，故选B.
2．设复数z 1＝1＋i ，z 2＝m －i ，若z 1·z 2为纯虚数，则实数m 可以是( ) A ．i B ．i 2 C ．i 3 D ．i 4 【答案】B
【解析】z 1·z 2＝(1＋i)(m －i)＝m ＋1＋(m －1)i. ∵z 1·z 2为纯虚数，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝0，m －1≠0， 即⎩
⎪⎨⎪
⎧
m ＝－1，m ≠1， 得m ＝－1，∵i 2＝－1， ∴实数m 可以是i 2，故选B.
3.已知i 为虚数单位，图中复平面内的点A 表示复数z ，则表示复数z 1＋i
的点是( )
A ．M
B ．N
C ．P
D ．Q 【答案】D
【解析】由图可知z ＝3＋i.
∴复数z
1＋i ＝3＋i 1＋i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝4－2i 2＝2－i 表示的点是Q (2，－1)．故选D.
4．复数z 的共轭复数记作z .已知(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ，则z ＝________. 【答案】5＋i
【解析】∵(1＋2i)(z －3)＝4＋3i ， ∴z －3＝4＋3i 1＋2i ，z ＝3＋4＋3i
1＋2i ，
z ＝3＋(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝3＋10－5i
5＝5－i ，
则z ＝5＋i.
5．已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·(z －3i)＝10
1－3i ，求z .
解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i ，
由z ·(z －3i)＝10
1－3i ，得z z －3z i ＝1＋3i ，
即a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，
由复数相等的充要条件，得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＋3b ＝1，
－3a ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－1，
b ＝－3，
所以z ＝－1或z ＝－1－3i.。