2018北师大版文科数学高考总复习练习：11-2综合法含答案

第2讲综合法、分析法、反证法
基础巩固题组
(建议用时：35分钟）
一、选择题
1．若a，b∈R,则下面四个式子中恒成立的是
( ) A．lg（1＋a2）>0 B．a2＋b2≥2(a－b－1）
C．a2＋3ab>2b2D。

错误!<错误!
解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝（a2－2a＋1)＋（b2＋2b＋1）＝(a－1)2＋（b＋1)2≥0，
∴a2＋b2≥2（a－b－1）恒成立．
答案B
2．用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°"
时，应假设
( ) A．三个内角都不大于60°
B．三个内角都大于60°
C．三个内角至多有一个大于60°
D．三个内角至多有两个大于60°
答案B
3．已知m>1，a＝m＋1－m，b＝错误!－错误!，则以下结论正确的是
（）A．a〉b B．a〈b
C．a＝b D．a，b大小不定
解析∵a＝错误!－错误!＝错误!，
b＝m－错误!＝错误!.
而错误!＋错误!>错误!＋错误!＞0（m＞1),
∴错误!〈错误!，即a<b.
答案B
4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a ＋b＋c＝0，求证错误!＜错误!a”索的因应是
（）A．a－b＞0 B．a－c＞0
C．（a－b)(a－c)＞0 D．（a－b）(a－c）＜0
解析由题意知错误!＜错误!a⇐b2－ac＜3a2
⇐（a＋c）2－ac＜3a2
⇐a2＋2ac＋c2－ac－3a2＜0
⇐－2a2＋ac＋c2＜0
⇐2a2－ac－c2＞0
⇐(a－c)（2a＋c)＞0⇐（a－c）（a－b)＞0。

答案C
5．①已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2，用反证法证明时，可假设p＋q≥2;②已知a，b∈R，|a｜＋｜b|<1，求证方程x2＋ax＋b＝0的两根的绝对值都小于1,用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设｜x1｜≥1。

以下正确的是
( ) A．①与②的假设都错误
B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误
D．①的假设错误;②的假设正确
解析反证法的实质是否定结论,对于①，其结论的反面是p＋q ＞2，所以①不正确；对于②，其假设正确．
答案D
二、填空题
6。

错误!＋错误!与2错误!＋错误!的大小关系为________．
解析要比较错误!＋错误!与2错误!＋错误!的大小,
只需比较(6＋错误!）2与（2错误!＋错误!）2的大小，
只需比较6＋7＋2错误!与8＋5＋4错误!的大小，
只需比较错误!与2错误!的大小，只需比较42与40的大小，∵42>40，∴6＋错误!〉2错误!＋错误!.
答案6＋错误!>2错误!＋错误!
7．用反证法证明命题“a,b∈R,ab可以被5整除,那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________．答案都不能被5整除
8．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0,其中能使错误!＋错误!≥2成立的条件的序号是________．
解析要使错误!＋错误!≥2,只需错误!>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使错误!＋错误!≥2成立．
答案①③④
三、解答题
9．若a,b,c是不全相等的正数，求证:
lg错误!＋lg错误!＋lg错误!＞lg a＋lg b＋lg c。

证明∵a,b,c∈（0,＋∞）,
∴a＋b
2
≥ab＞0，错误!≥错误!＞0，错误!≥错误!＞0。

又上述三个不等式中等号不能同时成立．
∴错误!·错误!·错误!＞abc成立．
上式两边同时取常用对数,
得lg错误!＞lg abc，
∴lg错误!＋lg错误!＋lg错误!＞lg a＋lg b＋lg c。

10．设数列｛a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．(1)求证：数列｛S n}不是等比数列;
（2)数列｛S n｝是等差数列吗?为什么？
（1)证明假设数列｛S n｝是等比数列，则S错误!＝S1S3,
即a2，1（1＋q）2＝a1·a1·(1＋q＋q2），
因为a1≠0，所以（1＋q)2＝1＋q＋q2,
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S n}不是等比数列．
（2)解当q＝1时，S n＝na1，故{S n}是等差数列；
当q≠1时，｛S n｝不是等差数列，
否则2S2＝S1＋S3，
即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2),
得q＝0，这与公比q≠0矛盾．
综上,当q＝1时，数列｛S n}是等差数列；当q≠1时,数列{S n}不是等差数列．
能力提升题组
(建议用时：20分钟）
11．已知函数f(x)＝错误!x，a，b是正实数,A＝f错误!,B＝f(错误!），C＝f错误!，则A，B，C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
解析∵错误!≥错误!≥错误!，又f（x）＝错误!x在R上是减函数,∴f错误!≤f（错误!)≤f错误!。

答案A
12．设a，b，c均为正实数，则三个数a＋错误!，b＋错误!,c＋错误!
( ) A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析∵a＞0，b＞0，c＞0,
∴错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋
错误!≥6,当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于
2，即至少有一个不小于2。

答案D
13．如果a错误!＋b错误!〉a错误!＋b错误!，则a，b应满足的条件是________．解析∵a错误!＋b错误!－（a错误!＋b错误!)
＝a(a－b）＋错误!（b－a)
＝(错误!－错误!）(a－b)
＝(错误!－错误!）2(错误!＋错误!）．
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－错误!)2(错误!＋错误!)>0。

∴a错误!＋b错误!〉a错误!＋b错误!成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
答案a≥0，b≥0且a≠b
14．设x≥1,y≥1，证明x＋y＋1
xy≤错误!＋错误!＋xy.
证明由于x≥1，y≥1，所以要证明x＋y＋错误!≤错误!＋错误!＋xy，只需证xy(x＋y)＋1≤y＋x＋（xy)2。

将上式中的右式减左式，得
[y＋x＋（xy)2]－[xy(x＋y）＋1］
＝[（xy）2－1]－［xy（x＋y)－（x＋y）］
＝（xy＋1）（xy－1)－(x＋y）（xy－1）
＝（xy－1）(xy－x－y＋1）
＝（xy－1)(x－1)（y－1）．
因为x≥1，y≥1，所以（xy－1）(x－1)(y－1）≥0，从而所要证明的不等式成立.。