南关区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

南关区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）
A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0
C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0
2．若双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的顶点到渐近线的距离为，则双曲线的离心率e=（）
A．2 B．C．3 D．
3．冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示．
杂质高杂质低
旧设备37 121
新设备22 202
根据以上数据，则（）
A．含杂质的高低与设备改造有关
B．含杂质的高低与设备改造无关
C．设备是否改造决定含杂质的高低
D．以上答案都不对
4．在平面直角坐标系中，若不等式组（为常数）表示的区域面积等于，则的值为（）A． B． C． D．
5．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B 两点，若△AF
B的周长为4，则C的方程为（）
1
A ． +=1
B ．
+y 2=1
C ． +=1
D ． +=1
6． 如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（ ）
A ．i ≤21
B ．i ≤11
C ．i ≥21
D ．i ≥11
7． 若复数（m 2﹣1）+（m+1）i 为实数（i 为虚数单位），则实数m 的值为（ ） A ．﹣1 B ．0
C ．1
D ．﹣1或1
8． 若函数21,1,()ln ,1,
x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则函数1
()2y f x x =+的零点个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9． 已知函数y=x 3+ax 2+（a+6）x ﹣1有极大值和极小值，则a 的取值范围是（ ）
A ．﹣1＜a ＜2
B ．﹣3＜a ＜6
C ．a ＜﹣3或a ＞6
D ．a ＜﹣1或a ＞2
10．点P 是棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1上一点，则
的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，﹣]
B ．[﹣，﹣]
C ．[﹣1，0]
D ．[﹣，0]
11．已知正方体的不在同一表面的两个顶点A （﹣1，2，﹣1），B （3，﹣2，3），则正方体的棱长等于（ ）
A ．4
B ．2
C ．
D ．2
12．已知实数x ，y 满足
，则目标函数z=x ﹣y 的最小值为（ ）
A ．﹣2
B ．5
C ．6
D ．7
二、填空题
13．某高中共有学生1000名，其中高一年级共有学生380人，高二年级男生有180人.如果在全 校学生中抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率为19.0，先采用分层抽样（按年级分层）在全校抽取 100人，则应在高三年级中抽取的人数等于 .
14．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…其中从第三个数起，每一个数都等于他前面两个数的和．该数列是一个非常美丽、和谐的数列，有很多奇妙的属性．比如：随着数列项数的增加，前一项与后一项之比越逼近黄金分割0.6180339887…．人们称该数列{a n }为“斐波那契数列”．若把该数列{a n }的每一项除以4所得的余数按相对应的顺序组成新数列{b n }，在数列{b n }中第2016项的值是 ．
15．二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，则其常数项为 ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将直线y=与直线x=1及x 轴所围成的图形旋转一周得到一个圆锥，
圆锥的体积V 圆锥=
π（）2dx=x 3|=
．
据此类推：将曲线y=x 2
与直线y=4所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，该旋转体的体积V= ．
17．在（1+2x ）10的展开式中，x 2项的系数为 （结果用数值表示）．
18．已知曲线y=（a ﹣3）x 3+lnx 存在垂直于y 轴的切线，函数f （x ）=x 3﹣ax 2﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则a 的范围为 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）已知过抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点，斜率为11A x y （，）
和22B x y （，）（12x x ＜）两点，且9
2
AB =． （I ）求该抛物线C 的方程；
（II ）如图所示，设O 为坐标原点，取C 上不同于O 的点S ，以OS 为直径作圆与C 相交另外一点R ， 求该圆面积的最小值时点S 的坐标．
20．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos （）
=1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．
（1）写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．
21．求下列各式的值（不使用计算器）：
（1）
；
（2）lg2+lg5﹣log 21+log 39．
22．（本题满分12分）设向量))cos (sin 2
3
,
(sin x x x -=，)cos sin ,(cos x x x +=，R x ∈，记函数 x f ⋅=)(.
（1）求函数)(x f 的单调递增区间；
（2）在锐角ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若2
1
)(=A f ，2=a ，求ABC ∆面积的最大值.
23．已知f （x ）=log 3（1+x ）﹣log 3（1﹣x ）． （1）判断函数f （x ）的奇偶性，并加以证明；
（2）已知函数g （x ）=log ，当x ∈[，
]时，不等式 f （x ）≥g （x ）有解，求k 的取值范围．
24．（本题满分14分）
在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知cos (cos )cos 0C A A B +=． （1）求角B 的大小；
（2）若2=+c a ，求b 的取值范围．
【命题意图】本题考查三角函数及其变换、正、余弦定理等基础知识，意在考查运算求解能力．
南关区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：f（0）=d＞0，排除D，
当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，
函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，
则f′（x）=0有两个不同的正实根，
则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，
由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，
则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），
∴b＜0，c＞0，
故选：A
2．【答案】B
【解析】解：双曲线C：x2﹣=1（b＞0）的顶点为（±1，0），
渐近线方程为y=±bx，
由题意可得=，
解得b=1，c==，
即有离心率e==．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用点到直线的距离公式，考查运算能力，属于基础题．3．【答案】
A
【解析】
独立性检验的应用．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表
杂质高杂质低合计
旧设备37 121 158
新设备22 202 224
合计59 323 382
由公式κ2=≈13.11，
由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．
【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题．
4．【答案】B
【解析】【知识点】线性规划
【试题解析】作可行域：
由题知：
所以
故答案为：B
5．【答案】A
【解析】解：∵△AF
B的周长为4，
1
∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，
∴4a=4，
∴a=，
∵离心率为，
∴，c=1，
∴b==，
∴椭圆C的方程为+=1．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．6．【答案】D
【解析】解：∵S=
并由流程图中S=S+
故循环的初值为1
终值为10、步长为1
故经过10次循环才能算出S=的值，
故i≤10，应不满足条件，继续循环
∴当i≥11，应满足条件，退出循环
填入“i≥11”．
故选D．
7．【答案】A
【解析】解：∵（m2﹣1）+（m+1）i为实数，
∴m+1=0，解得m=﹣1，
故选A．
8．【答案】D
【解析】
考点：函数的零点．
【易错点睛】函数零点个数的判断方法：（1）直接求零点：令0)(=x f ，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理法：要求函数在],[b a 上是连续的曲线，且0)()(<b f a f .还必须结合函数的图象和性质（如单调性）才能确定函数有多少个零点．（3）图象法：先把所求函数分解为两个简单函数，再画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.
9． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）=x 3+ax 2
+（a+6）x ﹣1，
有f ′（x ）=3x 2
+2ax+（a+6）．
若f （x ）有极大值和极小值，
则△=4a 2
﹣12（a+6）＞0，
从而有a ＞6或a ＜﹣3，
故选：C ．
【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件．属基础题．
10．【答案】D
【解析】解：如图所示：以点D 为原点，以DA 所在的直线为x 轴，以DC 所在的直线为y 轴，以DD 1所在的直线为z 轴，
建立空间直角坐标系．
则点A（1，0，0），C1（0，1，1），设点P的坐标为（x，y，z），则由题意可得0≤x≤1，0≤y≤1，z=1．
∴=（1﹣x，﹣y，﹣1），=（﹣x，1﹣y，0），
∴=﹣x（1﹣x）﹣y（1﹣y）+0=x2﹣x+y2﹣y=+﹣，
由二次函数的性质可得，当x=y=时，取得最小值为﹣；
故当x=0或1，且y=0或1时，取得最大值为0，
则的取值范围是[﹣，0]，
故选D．
【点评】本题主要考查向量在几何中的应用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】解：∵正方体中不在同一表面上两顶点A（﹣1，2，﹣1），B（3，﹣2，3），
∴AB是正方体的体对角线，AB=，
设正方体的棱长为x，
则，解得x=4．
∴正方体的棱长为4，
故选：A．
【点评】本题主要考查了空间两点的距离公式，以及正方体的体积的有关知识，属于基础题．
12．【答案】A
【解析】解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，
由得A（3，5），
当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，
即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．
故选A．
二、填空题
13．【答案】25
【解析】
考点：分层抽样方法．
14．【答案】0．
【解析】解：1，1，2，3，5，8，13，…除以4所得的余数分别为1，1，2，3，1，0，；1，1，2，3，1，0…，即新数列{b n}是周期为6的周期数列，
∴b2016=b336×6=b6=0，
故答案为：0．
【点评】本题主要考查数列的应用，考查数列为周期数性，属于中档题．
15．【答案】70．
【解析】解：根据题意二项式展开式中，仅有第五项的二项式系数最大，
则n=8，
所以二项式=展开式的通项为
T r+1=（﹣1）r C8r x8﹣2r
令8﹣2r=0得r=4
则其常数项为C84=70
故答案为70．
【点评】本题考查二项式定理的应用，涉及二项式系数的性质，要注意系数与二项式系数的区别．16．【答案】8π．
【解析】解：由题意旋转体的体积V===8π，
故答案为：8π．
【点评】本题给出曲线y=x2与直线y=4所围成的平面图形，求该图形绕xy轴转一周得到旋转体的体积．着重考查了利用定积分公式计算由曲边图形旋转而成的几何体体积的知识，属于基础题．
17．【答案】180
【解析】解：由二项式定理的通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r可设含x2项的项是T r+1=C7r（2x）r
可知r=2，所以系数为C102×4=180，
故答案为：180．
【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型，难度系数0.9．一般地通项公式主要应用有求常数项，有理项，求系数，二项式系数等．
18．【答案】．
【解析】解：因为y=（a ﹣3）x 3
+lnx 存在垂直于y 轴的切线，即y'=0有解，即
y'=在x ＞0时有解，
所以3（a ﹣3）x 3
+1=0，即a ﹣3＜0，所以此时a ＜3．
函数f （x ）=x 3﹣ax 2
﹣3x+1在[1，2]上单调递减，则f'（x ）≤0恒成立， 即f'（x ）=3x 2
﹣2ax ﹣3≤0
恒成立，即
，
因为函数在[1，2]
上单调递增，所以函数
的最大值为
，
所以
，所以．
综上．
故答案为：
．
【点评】本题主要考查导数的基本运算和导数的应用，要求熟练掌握利用导数在研究函数的基本应用．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查抛物线标准方程、抛物线定义、直线和抛物线位置关系等基础知识，意在考查转化与化归和综合分析问题、解决问题的能力．
因
为12y y ≠，20y ≠，化简得12216y y y ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
，所以221222256323264y y y =++≥=， 当且仅当2
222
256y y =
即2
2y ＝16，24y =?时等号成立.
圆的直径OS =因为21y ≥64，所以当21y ＝64即1y =±8时，
min OS S 的坐标为
168±（，）． 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由
从而C 的直角坐标方程为
即
θ=0时，ρ=2，所以M （2，0）
（Ⅱ）M 点的直角坐标为（2，0）
N 点的直角坐标为
所以P 点的直角坐标为，则P 点的极坐标为，
所以直线OP 的极坐标方程为
，ρ∈（﹣∞，+∞）
【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．
21．【答案】
【解析】解：（1）
=4+1﹣﹣ =1； （2）lg2+lg5﹣log 21+log 39
=1﹣0+2 =3．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，有理指数幂的化简求值，考查计算能力．
22．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查了向量的内积运算，三角函数的化简及性质的探讨，并与解三角形知识相互交汇，对基本运算能力、逻辑推理能力有一定要求，难度为中等.
23．【答案】
【解析】解：（1）f（x）=log3（1+x）﹣log3（1﹣x）为奇函数．
理由：1+x＞0且1﹣x＞0，得定义域为（﹣1，1），（2分）
又f（﹣x）=log3（1﹣x）﹣log3（1+x）=﹣f（x），
则f（x）是奇函数.
（2）g（x）=log=2log3，（5分）
又﹣1＜x＜1，k＞0，（6分）
由f（x）≥g（x）得log3≥log3，
即≥，（8分）
即k 2≥1﹣x 2，（9分）
x ∈[，]时，1﹣x 2最小值为，（10分）
则k 2
≥，（11分）
又k ＞0，则k ≥，
即k 的取值范围是（﹣∞，
].
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断和证明，考查不等式有解的条件，注意运用对数函数的单调性，考查运算化简能力，属于中档题．
24．【答案】（1）3
B π
=；（2）[1,2).
【
解
析
】。