08年全国高中数学联赛试题及答案

2008年全国高中数学联赛
受中国数学会委托，2008年全国高中数学联赛由重庆市数学会承办。

中国数学会普及工作委员会和重庆市数学会负责命题工作。

2008年全国高中数学联赛一试命题范围不超出教育部2000年《全日制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。

主要考查学生对基础知识和基本技能的掌握情况，以及综合和灵活运用的能力。

全卷包括6道选择题、6道填空题和3道大题，满分150分。

答卷时间为100分钟。

全国高中数学联赛加试命题范围与国际数学奥林匹克接轨，在知识方面有所扩展，适当增加一些竞赛教学大纲的内容。

全卷包括3道大题，其中一道平面几何题，试卷满分150分。

答卷时问为120分钟。

一 试
一、选择题（每小题6分，共36分）
1．函数2
54()2x x f x x
-+=-在(,2)-∞上的最小值是 （ ）。

（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3
2．设[2,4)A =-，2{40}B x x ax =--≤，若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）。

（A ）[1,2)- （B ）[1,2]- （C ）[0,3] （D ）[0,3)
3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比
对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23
，乙在每局中获胜的概率为13
，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为 （ ）。

（A ）
24181 （B ）26681 （C ）27481
（D ） 670243
4．若三个棱长均为整数（单位：cm ）的正方体的表面积之和为564 cm 2，则这三个正方体
的体积之和为 （ ）。

（A ）764 cm 3或586 cm 3 （B ） 764 cm 3
（C ）586 cm 3或564 cm 3 （D ） 586 cm 3 5．方程组0,
0,
0x y z xyz z xy yz xz y ++=⎧⎪+=⎨⎪+++=⎩
的有理数解(,,)x y z 的个数为 （ ）。

（A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4
6．设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边a b c 、、成等比数列，则
sin cot cos sin cot cos A C A B C B
++的取值范围是（ ）。

（A ）(0,)+∞ （B ）
（C
） （D
）)+∞ 二、填空题（每小题9分，共54分） 7．设()f x ax b =+，其中,a b 为实数，1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x +=，1,2,3,n =，若
7()128381f x x =+，则a b += .
8．设()cos 22(1cos )f x x a x =-+的最小值为12
-，则a = .
第15题
9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配
方法共有 种．
10．设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =，则通项n a = ．
11．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2008f = ，且对任意x ∈R ，满足
(2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，则)2008(f = .
12．一个半径为1
的小球在一个内壁棱长为则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 .
三、解答题（每小题20分，共60分）
13．已知函数|sin |)(x x f =的图像与直线y kx = )0(>k 有且仅有三个交点，交点的横坐标
的最大值为α，求证：
2
cos 1sin sin 34ααααα
+=+． 14．解不等式
121086422log (3531)1log (1)x x x x x ++++<++．
15．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C 、在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ∆，求PBC ∆面积的最小值．
解 答
1. 当2x <时，20x ->，因此21(44)1()(2)22x x f x x x x
+-+==+--
-2≥。