北京市西城区2020届高三数学上学期期末考试试题含解析

北京市西城区2019—2020学年度第一学期期末试卷
高三数学
第Ⅰ卷（共40分）
本试卷共5页,共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试 卷上作答无效.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项
1.设集合{}{},3,0,1|,5A x x a B =<=-,若集合A B I 有且仅有2个元素,则实数a 的取值范围为（ ） A. ()3, -+∞ B. (]0,1
C. [)1,+∞
D. [)1,5
【答案】B 【解析】 【分析】
根据集合的交集运算，由题意知{}3,0A B =-I ，由此可得，01a <≤．
【详解】因为集合A B I 有且仅有2个元素，所以{}3,0A B =-I ，即有01a <≤． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，属于基础题． 2.已知复数31i
z i
-=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象
限 【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的运算法则，化简复数12z i =-，再利用复数的表示，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，复数()()()()31324121112
i i i i
z i i i i ----=
===-++-， 所以复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限.
故选D.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3.在ABC V 中,若6,60,75a A B ==︒=︒,则c =（ ）
A. 4
B.
C.
D. 【答案】D 【解析】 【分析】
根据三角形内角和求出角C ，再根据正弦定理即可求出边c ． 【详解】因为180756045C =--=o o o o ，所以根据正弦定理知，
sin sin a c
A C
=，即6
sin 60sin 45
c
=o o
，解得c = 故选：D ．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边，利用正弦定理解三角形，属于基础题． 4.设x y >,且0,xy ≠则下列不等式中一定成立的是（ ）
A.
11x y
> B. ln ln x y >
C. 22x y --<
D. 2
2
x y >
【答案】C 【解析】 【分析】
根据基本初等函数的单调性或者不等式的性质，即可判断各选项的真假． 【详解】对A ，若0x y >>，则
11
x y
<，错误； 对B ，当x y >时，取x 1,y 2==-，根据对数函数的单调性可知，ln ln x y <，错误； 对C ，因为x y >，所以x y -<-，根据指数函数的单调性可知，22x y --<，正确；
对D ，当x y >时，取x 1,y 2==-，22
x y <，错误．
故选：C ．
【点睛】本题主要考查利用函数的单调性或者不等式的性质比较大小，属于基础题． 5.已知直线20x y ++=与圆2
2
220x y x y a ++-+=有公共点,则实数a 的取值范围为
（ ） A. (],0-∞
B. [)0,+∞
C. [)0,2
D.
(),2-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
依题意可知，直线与圆相交或相切，所以由圆心到直线的距离小于等于半径，即可求出． 【详解】依题意可知，直线与圆相交或相切．
22220x y x y a ++-+=即为()()22
112x y a ++-=-．
≤0a ≤．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题．
6.设三个向量,,a b c r r r 互不共线,则 “0a b c ++=r r r r
”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存
在”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据充分条件、必要条件的定义即可判断．
【详解】因为三个向量,,a b c r r r 互不共线，所以三个向量皆不为零向量，设,a AB b BC ==r u u u r r u u u r
，
而,,a b c r r r
互不共线，所以,,A B C 三点不共线．
当0a b c ++=r r r r 时，c CA =r u u u r
，因为,,A B C 三点不共线， ,,a AB b BC c CA ===r u u u r r u u u r r u u u r ，
所以以,,a b c r r r
为边长的三角形存在；
若以,,a b c r r r 为边长的三角形存在，但是,a AB b BC ==r u u u r r u u u r ，c AC =r u u u r ，0a b c ++≠r r r r ． 故“0a b c ++=r r r r
”是 “以,,a b c r r r 为边长的三角形存在”的充分不必要条件．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的理解与判断，属于基础题．
7.紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品,其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众 多,经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等.其中,石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的).下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位:cm ),那么该壶的容量约为（ ）
A. 1003cm
B. 3200cm
C. 3003cm
D. 4003cm
【答案】B 【解析】 【分析】
根据圆台的体积等于两个圆锥的体积之差，即可求出．
【详解】设大圆锥的高为h ，所以46
10
h h -=，解得10h =． 故22
1119651036200333
V πππ=⨯⨯-⨯⨯=
≈3cm ． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查圆台体积的求法以及数学在生活中的应用，属于基础题． 8.已知函数()1f x x k =+,若存在区间[][),1,a b ∈-+∞,使得函数f (x )在区间
[],a b 上
的
值域为[]1,1,a b ++则实数k 的取值范围为（ ）
A. ()1,-+∞
B. (]1,0-
C. 1,4⎛⎫-
+∞ ⎪⎝⎭
D.
1,04⎛⎤- ⎥⎝⎦
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的单调性可知，()()1
1f a a f b b ⎧=+⎪⎨
=+⎪⎩，即得1010
a k
b k ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，是方程20x x k --=的两个不同非负实根，由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知，()()1
1f a a f b b ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，即可得到1010
a k
b k ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，即可
知2
0x x k --=的两个不同非负实根，所以12
140
0k x x k ∆=+>⎧⎨=-≥⎩，解得
1
04
k -<≤． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用，意在考查学生的转化能力，属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分. 9.在()5
1x -的展开式中,2x 的系数为___________. 【答案】10 【解析】 【分析】
根据二项展开式的通项，赋值即可求出． 【详解】()
5
1x -展开式通项为()15r
r
r T C x +=-，令2x =，所以2x 的系数为
()2
25110C -=．
故答案为：10．
【点睛】本题主要考查二项展开式某特定项的系数求法，解题关键是准确求出展开式的通项，属于基础题．
10.已知向量()()4,6,2,a b x =-=r r 满足//a b r r
,其中x ∈R ,那么b =r _____________
【解析】 【分析】
根据向量平行的坐标表示求出x ，再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为//a b r r
，所以4260x --⨯=，解得3x =-．
因此b ==r
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用，属于基础题． 11.在公差为() 0d d ≠的等差数列{}n a 中,11a =- ,且2412,,a a a 成等比数列, 则d =______________
【答案】3 【解析】 【分析】
根据等差数列的通项公式，用d 表示出2412,,a a a ，再根据2412,,a a a 成等比数列，列式即可求解． 【
详
解
】
因
为
1(1)1(1)n a a n d n d
=+-=-+-，所以
24121,13,111a d a d a d =-+=-+=-+，
而2412,,a a a 成等比数列，所以13111113d d
d d
-+-+=-+-+，解得3d =或0d =(舍去)．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及等比数列的定义的应用，属于基础题． 12.某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的四个侧面中,直角三角形有__________个
【答案】3 【解析】 【分析】
根据三视图先还原成四棱锥，然后在该四棱锥的四个侧面中判断，即可得出．
【详解】如图所示，该四棱锥是一个底面为直角梯形，一条侧棱PA 垂直于底面的四棱锥．
由三视图可知，2,1PA AD AB BC ====，,AD AB BC AB ⊥⊥． 因为PA ⊥面ABCD ，所以,PAB PAD V V 都是直角三角形．
在PBC V 中，222222,1,4419PB BC PC PA AB BC ===++=++=，所以
222PB BC PC +=，PBC V 也是直角三角形．
在PDC △中，2
2
2
2
448,125PD CD =+==+=，而29PC =，所以PDC △不是直角三角形．因此，该四棱锥的四个侧面中，直角三角形有3个． 故答案为：3
【点睛】本题主要考查三视图还原成几何体，线面垂直的定义、勾股定理及其逆定理的应用，
意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题． 13.对于双曲线,给出下列三个条件: ①离心率为2;
②一条渐近线的倾斜角为30°; ③ 实轴长为8,且焦点在x 轴上.
写出符合其中两个条件的一个双曲线的标准方程 __________．
【答案】22
11648
x y -=,答案不唯一
【解析】 【分析】
根据双曲线的性质，选择其中两个条件，求出,,a b c ，即可得到满足题意的一个的双曲线标准方程．
【详解】若选择①③，所以2,28c
e a a
=
==，解得4,8a c ==，所以222228448b c a =-=-=，
因为焦点在x 轴上，所以双曲线的标准方程为2211648
x y
-=．
若选择其它，可以得到其它的双曲线的标准方程．
故答案为：22
11648
x y -=，答案不唯一．
【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题．
14.某商贸公司售卖某种水果.经市场调研可知:在未来20天内,这种水果每箱的销售利润
r (单位:元)与时间120(,t t t N ≤≤∈,单位:天)之间的函数关系式为1
104
r t =
+, 且日销售量y (单位:箱)与时间t 之间的函数关系式为1202y t =- ①第4天的销售利润为__________元;
②在未来的这20天中,公司决定每销售1箱该水果就捐赠) (
*m m N ∈元给 “精准扶贫”对象.为保证销售积极性,要求捐赠之后每天的利润随时间t 的增大而增大,则m 的最小值是__________．
【答案】 (1). 1232 (2). 5
【解析】 【分析】
①先求出第4天每箱的销售利润，再求出当天的销售量即可求出该天的销售利润； ②先求出捐赠后的利润解析式，再根据二次函数的性质，列出不等式组即可解出． 【详解】①因为()1
4410114
r =⨯+=，()412024112y =-⨯=，所以该天的销售利润为111121232⨯=；
②设捐赠后的利润为W 元，则()()11202104W y r m t t m ⎛⎫=-=-+- ⎪⎝⎭
， 化简可得，()2
1
21012001202
W t m t m =-+++-．
令()W f t =，因为二次函数的开口向下，对称轴为210t m =+，为满足题意所以，
()*2102010m f n N +≥⎧⎪
>⎨⎪∈⎩
，解得5m ≥． 故答案为：①1232；②5．
【点睛】本题主要考查数学在生活中的应用，涉及二次函数的性质的应用，解题关键是对题意的理解和函数模型的建立，属于基础题．
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知函数()2.6f x cosx sin x π⎛⎫
⎪⎝
=⎭
-g （1）求函数()f x 的最小正周期; （2）求函数()f x 在区间 ,02π⎡-
⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值和最大值. 【答案】（1）π（2）最大值0．最小值3
2
-. 【解析】 【分析】
（1）先利用两角差的正弦公式展开，再利用二倍角公式和辅助角公式(或两角差的正弦公式)合并成()sin y A x k ωϕ=++的形式，即可求出函数()f x 的最小正周期.
（2）由 ,02x π⎡∈-
⎤
⎢⎥⎣⎦
，求出72,666t x πππ⎡⎤=-∈--⎢⎥⎣⎦，再根据sin y t =的单调性可求出
函数()f x 的最大最小值． 【详解】（1
）因为1
()2cos cos )2
f x x x x =⋅-
2cos cos x x x =-
11
2cos222
x x =
-- π1
sin(2)62
x =--
所以函数()
f x 的最小正周期为2π
π2
T =
=． （2）因为π02x -
≤≤，所以7πππ
2666t x -≤=-≤-，而sin y t =在7,6
2ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦上单调递减，在,26ππ⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
上单调递增，而7sin sin 66π
π⎛⎫⎛⎫-
>- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以当ππ
262t x =-
=-，即π6x =-时，()f x 取得最小值32
-， 当π7π
266
t x =-=-，即π2x =-时，()f x 取得最大值0．
【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式、辅助角公式的应用，以及三角函数在闭区间上的最值求法，意在考查学生的转化和运算能力，属于基础题．
16.高铁和航空飞速发展不仅方便了人们的出行,更带动了我国经济的巨大发展.据统 计,在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次.为了 解乘客出行的满意度,现从中随机抽取100人次作为样本,得到下表(单位:人次):
（1）在样本中任取1个,求这个出行人恰好不是青年人的概率; （2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中,随机选取2人次,记其中老年人出行的人次为X .以频率作为概率,求X 的分布列和数学期望;
（3）如果甲将要从A 市出发到B 市,那么根据表格中的数据,你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由.
【答案】（1）
2950（2）分布列见解析，数学期望25（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市.见解析
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；
（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755
=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k k k P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即可求出X 的分布列和数学期望； （3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．
【详解】（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，
所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050
P M +=
=． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，
因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人 为老年人概率是
151755
=， 所以022116(0)C (1)525
P X ==⨯-=， 12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，
22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：
0 1
2 1625 825
125
故16812()0122525255
E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．
如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：
由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：
521012511011652121115
⨯+⨯+⨯=++ 乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++ 因为11622155
>， 所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．
【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用、古典概型的概率计算、以及离散型随机变量的分布列和期望的计算，解题关键是对题意的理解，概率类型的判断，属于中档题．
17.如图,在三棱柱111
ABC A B C -中,1BB ⊥平面 ,ABC ABC V 为正三角形, 侧面11ABB A 是边长为2的正方形,D 为BC 的中点.
（1）求证1://A B 平面1AC D ;
（2）求二面角1C AC D --的余弦值;
（3）试判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系,并加以证明.
【答案】（1）证明见解析（2）15（3）直线11A B 与平面1AC D 相交.证明见解析 【解析】
【分析】 （1）根据线面平行的判定定理,在面1AC D 内找一条直线平行于1A B 即可．所以连接1A C 交AC 与点E ，再连接DE ，由中位线定理可得1//DE A B ，即可得证；
（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，再根据二面角的向量方法即可求出；
（3）根据平面1AC D 的法向量与直线11A B 的方向向量的关系，即可判断直线11A B 与平面1AC D 的位置关系．
【详解】（1）由题意，三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱．
连接1A C ． 设11A C AC E =I ，则E 是1A C 的中点．连接DE ， 由D ，E 分别为BC 和1A C 的中点，得1//DE A B ．又因为DE ⊂平面1AC D ，1A B ⊄平面1AC D ，
所以1//A B 平面1AC D ．
（2）取11B C 的中点F ，连接DF ．
因为V ABC 为正三角形，且D 为BC 中点，所以AD BC ⊥．
由D ，F 分别为BC 和11B C 的中点，得1//DF BB ，
又因为1BB ⊥平面ABC ， 所以DF ⊥平面ABC ，即有DF AD ⊥，DF BC ⊥． 分别以DC ，DF ，DA 为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系，
则3)A ，1(1,2,0)C ，(1,0,0)C ，(0,0,0)D ，(1,0,0)B -，
所以1(1,2,0)DC =u u u u r ，(0,0,3)DA =u u u r
，(1,0,3)CA =-u u u r ，1(0,2,0)CC =u u u u r ，
设平面1AC D 的法向量1111(,,)n x y z =u r
， 由10DA n ⋅=u u u r u u r ，110DC n ⋅=u u u u r u u r ，得11130,20,z x y ⎧=⎪⎨
+=⎪⎩
令11y =，得1(2,1,0)=-n ．
设平面1AC C 的法向量2222(,,)n x y z =u u r ， 由20CA n ⋅=u u u r u u r ，120CC n ⋅=u u u u r u u r ，得22230,20,
x z y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 令21z =，得2(3,0,1)n =u u r
．
设二面角1C AC D --的平面角为θ，则 121215|cos |||||||n n n n θ⋅==⋅u u r u u r u u r u u r ． 由图可得二面角1C AC D --为锐二面角，
所以二面角1C AC D --的余弦值为155
．
（3）结论：直线11A B 与平面1AC D 相交．
证明：因为(1,0,3)AB =--u u u r ，11//A B AB ，且11=A B AB ，
所以11(1,0,3)A B =-u u u u r ．
又因为平面1AC D 的法向量1(2,1,0)n =-u u r ，且11120A B n ⋅=≠u u u u r u u r ，
所以11A B u u u u r 与1n u r 不垂直，
因为11A B ⊄平面1AC D ，且11A B 与平面1AC D 不平行，
故直线11A B 与平面1AC D 相交．
【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理的应用，二面角的求法，以及直线与平面的位置关系判断，意在考查学生的直观想象能力、逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．
18.已知椭圆2
2: 14
x W y +=
右焦点为F ,过点F 且斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆W 交于,A B 两点,线段AB 的中点为,M O 为坐标原点.
（1）证明:点M 在y 轴的右侧;
（2）设线段AB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别相交于点,C
D .若ODC △与CMF V 的面
积相等,求直线l 的斜率k
【答案】（1）证明见解析（2）【解析】
【分析】
（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出点M 的横坐标即可证出；
（2）根据线段AB
的垂直平分线求出点,C D 的坐标，即可求出ODC △的面积，再表示出CMF V 的面积，由V ODC 与V CMF 的面积相等列式，即可解出直线l 的斜率k ．
【详解】（1
）由题意，得F ，直线(l y k x =：（0k ≠）
设11(,)A x y
，22(,)B x y ， 联立22(1,4
y k
x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(41)
(124)0k x x k +-+-=， 显然>0∆，12x x + 则点M 的横坐标122M x x x +==， 因为2
2041
M x k =>+， 所以点M 在y 轴的右侧．
（2）由（1）得点M 的纵坐标(M M y k x =-
即M ．
所以线段AB 的垂直平分线方程为：2
221()4141
y x k k k +=--++．
令0x =，得D ；令0y =，得C ．
所以V ODC 的面积222222
127||||||=241412(41)ODC k k S k k k ∆⋅=⋅⋅+++，
V CMF 的面积222
13(1)|||22(41)CMF k k S k ∆+⋅=⋅⋅=+． 因为V ODC 与V CMF 的面积相等，
所以22222227||3(1)||2(41)2(41)k k k k k k ⋅+⋅=++，解得4
k =±
所以当V ODC 与V CMF 的面积相等时，直线l 的斜率4
k =±． 【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系的应用、根与系数的关系应用，以及三角形的面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．
19.已知函数()21,2
x f x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;
（2）当1a =时,求函数()f x 的单调区间;
（3）若()212
f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立,求b a -的最大值. 【答案】（1）10x y -+=（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞.
（3）11e
+ 【解析】
【分析】
（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；
（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等
式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；
（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨
论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．
【详解】（1）由21()e 2
x f x x =+，得()e x f x x '=+， 所以(0)1f =，(0)1f '=．
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=．
（2）由21()e 2
x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以
由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，
所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ，
由()e 10x f x x '=-+<得，0x <
所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．
综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．
（3）由21
()2
f x x x b ++≥，得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立． 设()e (1)x
g x a x b =-+-，
则()e (1)x g x a '=-+．
由()e (1)0x g x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．
随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：
所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增．
所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-．
由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤．
设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--． 因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1
(0,)e 上单调递增，在1(,)e
+∞上单调递减． 所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+． 所以当11e a +=
，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e +． 【点睛】本题主要考查导数的几何意义的应用，利用导数研究函数的单调性和最值，以及函数不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的等价转化思想和数学运算能力，属于较难题．
20.设整数集合{}12100,,,A a a a =⋯,其中121001?·
·205a a a ≤<<<≤ ，且对于任意(),1100i j i j ≤≤≤，若i j A +∈，则.i j a a A +∈
（1）请写出一个满足条件的集合A ;
（2）证明:任意{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉;
（3）若100205a =,求满足条件的集合A 的个数.
【答案】（1）{1,2,3,,100}A =L （2）证明见解析 （3）16个
【解析】
【分析】
（1）根据题目条件，令n a n =，即可写出一个集合{1,2,3,,100}A =L ；
（2）由反证法即可证明；
（3）因为任意的{}101,102,,200,x x A ∈⋯∉，所以集合{201,202,,205}A I L 中至多5
个元素.设100100m a b -=≤，先通过判断集合A 中前100m -个元素的最大值可以推出(1100)i a i i m =-≤≤，故集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，即可求出．
【详解】（1）答案不唯一． 如{1,2,3,,100}A =L ；
（2）假设存在一个0{101,102,,200}x ∈L 使得0x A ∈，
令0100x s =+，其中s ∈N 且100s ≤≤1，
由题意，得100s a a A +∈，
由s a 为正整数，得100100s a a a +>，这与100a 为集合A 中的最大元素矛盾，
所以任意{101,102,,200}x ∈L ，x A ∉．
（3）设集合{201,202,,205}A I L 中有(15)m m ≤≤个元素，100m a b -=，
由题意，得12100200m a a a -<<<L ≤，10011002100200m m a a a -+-+<<<<L ，
由（2）知，100100m a b -=≤．
假设100b m >-，则1000b m -+>．
因为10010010055100b m m -+-+=<-≤，
由题设条件，得100100m b m a a A --++∈，
因为100100100100200m b m a a --+++=≤
， 所以由（2）可得100100100m b m a a --++≤
， 这与100m a -为A 中不超过100的最大元素矛盾，
所以100100m a m --≤
， 又因为121001m a a a -<<<L ≤，i a ∈N ，
所以(1100)i a i i m =-≤≤．
任给集合{201,202,203,204}的1m -元子集B ，令0{1,2,,100}{205}A m B =-L U U ， 以下证明集合0A 符合题意：
对于任意,i j 00)(1i j ≤≤≤1，则200i j +≤．
若0i j A +∈，则有m i j +≤100-，
所以i a i =，j a j =，从而0i j a a i j A +=+∈．
故集合0A 符合题意，
所以满足条件的集合A 的个数与集合{201,202,203,204}的子集个数相同，
故满足条件的集合A 有4216=个．
【点睛】本题主要考查数列中的推理，以及反证法的应用，解题关键是利用题目中的递进关系，找到破解方法，意在考查学生的逻辑推理能力和分析转化能力，属于难题．。