第11讲 并项求和法

第十一讲 并项求和法
并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和． 形如()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解．例如， 22222210099989721n S =-+-+
+-()()()100999897215050=++++++=. 例1．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且()21n n S a n =-∈*N . （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）令2log n n b a =，求数列
(){}21n n b -前2n 项的和T . 【答案】(1) 12n n a ；(2)()21T n n =-. 【解析】（1）由112121
n n n n S a S a --=-⎧⎨=-⎩得()*12N ,1n n a a n n -=∈≥， 于是{}n a 是等比数列.令1n =得11a =，所以12n n a -=.
（2）122log log 21n n n b a n -===-，于是数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列.
2222221234212n n T b b b b b b -=-+-+--+ 123212n n b b b b b -=+++++，
所以()
()221212n n T n n -==-.
例2．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()11n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T .
【答案】（1）43n a n =-（2）4037 【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，7a 成等比数列，所以2217a a a =，
可得()()21116a d a a d +=+，0d ≠，得14d a =，
又41133a a d ==+，可得11a =，4d =，所以43n a n =-.
（2）()()()111143n n n n b a n ++=-=--，
2019122019T b b b =++⋅⋅⋅+
()()()15913806580698073=-+-+⋅⋅⋅+-+()4100980734037=-⨯+=.
例3．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =-，*n N ∈.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若()1n
n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）43n a n =-，*
n N ∈（2）2,21,n n n T n n ⎧=⎨-+⎩为偶数为奇数 【解析】（1）由22n S n n =-，
当2n ≥时，()()2
21221143n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 当1n =时，111a S ==，而4131⨯-=，
所以数列{}n a 的通项公式43n a n =-，*n N ∈.
（2）由（1）可得()()()1143n n n n b a n =-=--，
当n 为偶数时，()159131743n T n =-+-+-++-422
n n =⨯=，
当n 为奇数时，1n +为偶数，()()11214121n n n T T b n n n ++=-=+-+=-+. 综上，2,21,n n n T n n ⎧=⎨-+⎩为偶数
为奇数.
课后练习：
1.（2016天津高考）已知{}n a 是等比数列，前n 项和为()n S n *
∈N ，且6123
1
12,63S a a a -==.
(Ⅰ)求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若对任意的,b n n N ∈*是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列(){}2
1n
n b
-的前2n 项和.
【解析】（Ⅰ）解：设数列}{n a 的公比为q ， 由已知有2111211
q a q a a =-，解得1,2-==q q ，又由616(1)
631a
q S q -==-知1-≠q ， 所以6321)
21(61=--a ，解得11=a ，所以1
2-=n n a . （Ⅱ）解：由题意得2211(log log )2n n n b a a +=+1221(log 2log 2)2n n -=+1
2n =-，
即数列}{n b 是首项为21，公差为1的等差数列.设数列})1{(2
n n b -的前n 项和为n T ，
则22222221234212()()()n n n T b b b b b b -=-++-++⋅⋅⋅+-+122n b b b =++⋅⋅⋅+122()2n n b b +=22n = 所以数列})1{(2
n n b -的前2n 项和为22n .
2.(2018山西省适应性考试)已知等比数列{}n a 中，0n a >，1164a =，n a 1-11+n a =2
2+n a ，*
n ∈N ．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）设2
2(1)(log )n n n b a =-⋅，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ． 解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＞0． 因为n a 1-11+n a =22+n a ，所以111-n q a -n q a 11=112
+n q
a ，因为q ＞0，解得q =2．
所以a n =641
×2n -1=2n -7，n ∈N*．
（2）b n =(-1)n log 22a n =(-1)n log 222n -7=(-1)n (n -7) 2．
（3）设c n =n -7，则b n =(-1)n (c n ) 2．
T 2n =b 1+ b 2+ b 3+ b 4+…+ b 2n -1 + b 2n
=-c 1 2+ c 2 2- c 3 2+ c 4 2+…- c 2n -1 2+ c 2n 2
=（-c 1+ c 2）（c 1+ c 2）+（-c 3+ c 4）（c 3+ c 4）+…+（-c 2n -1+ c 2n ）（c 2n -1+ c 2n ） = c 1+ c 2+c 3+ c 4+…+c 2n -1+ c 2n =2[6(27)]
2n n -+-=2(213)213n n n n -=-．。